2011年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试题(含答案)

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、分式
)0(≠++xyz z
y x xyz
中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。

（A ）2倍 （B ）4倍 （C ）6倍 （D ）8倍 答：选B 。

2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。

在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。

则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）． （A ）
2b a + （B ） 2
n
m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bn am ++ 答：选D 。

3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）．
（A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a
答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。

4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。

若
60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）
（A ）
40 （B ）
60 （C ）
80 （D ）
100 答：作C 关于AD 的对称点C ’。

因为AD 是角平分线， 则C ’一定落在AB 上。

由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=， 所以B D AC C ∠=∠=∠2'，
又 120180=∠-=∠+∠A C B ，故
40=∠B ，选A 。

5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面
积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。

（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
答：设x S ADO =∆。

由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，
第5题
O
A
D
B
C
第4题
C'D
A
B
C
同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。

6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。

那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。

重量（千克）
1
**
2
**
3
**
长度（厘米）
**
5
**
6
**
7 A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米
答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y ）与称重（x ）的关系是x y +=5.3，故弹簧最长为13.5厘米，选B 。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、已知1
31,1
31-=
+=
b a ，则72
2++b a 的值为 .
答：由题设有：4
324,432422
+=-=
b a ，则372
2=++b a 。

2、已知在ABC ∆中，
90=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ，
1:2:=DC BD ，则B ∠的度数是 。

答：因为AD 是角平分线，所以1:2::==AC AB DC BD ， 故 30=∠B 。

３、在ABC ∆中， 80=∠A ，I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则BIC ∠的度数为 ．
答：由题知
1302
1
90)180(21180)2121(180=∠+=∠--=∠+∠-=∠A A C B BIC 。

４、设函数)0(>=k kx y 与x y 1
=的图像相交于A 、C ，过A 作x 轴
的垂线相交于B ，则ABC ∆的面积是 。

答：由题得B 的坐标为),1(
k k
，
第2题
D
B
A
C
第4题
y
x
C
B
O
A
G E
D
F
C
B
A
所以2
1121=⋅⋅=
∆k k S ABO ，又显然O 为AC 的中点， 故12==∆∆ABO ABC S S 。

三、（本大题满分20分）
设t x tx +=-22是关于x 的方程。

当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t 的取值范围。

解：方程整理为t x t +=-2)2( 当2≠t 时，方程的解为：2
2-+=t t
x …………………5分 （1）当0>x 时，则
022>-+t t
，此时，2-<t 或2>t ；…………………10分 （2）当0=x 时，则022=-+t t
，此时，2-=t ； …………………15分
（3）当0<x 时，则02
2<-+t t
，此时，22<<-t 。

…………………20分
四、(本大题满分25分)
在平面直角坐标系中，A （2,0），B （3,0），P 是直线x y =上的点，当PB PA +最小时，试求P 点的坐标。

解：如图，作A 关于直线x y =的对称点A ’， 则'PA PA =，
故PB PA PB PA +=+'。

…………………5分
由图知，只有当A 、P 、B 共线时，PB PA +最小。

……10分 又由A 与A ’关于x y =对称知，A’（0,2）。

…………15分 由'A 、B 两点坐标得AB 直线方程：
12
3=+y
x 。

……20分 联立⎪⎩
⎪⎨⎧==+x y y
x 1
23解得56==y x ，
故当PB PA +最小时，P 的坐标为)5
6
,56(。

…………………25分 五、（本大题满分25分）
求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。

设BD 、CE 是ABC ∆的两条中线（如图），证明AC AB =。

……5分
x
y 第四题
A'O
A
B P
F
E
D
B
C
A
证明1 作中线AF ，则三条中线交于重心G 。

……10分 因为BD BG 32=
，CE CG 3
2
=，所以CG BG =； ………15分 所以BC GF ⊥，即BC AF ⊥。

………20分 又AF 是中线，故AC AB =。

……………25分 证明2：
如图，将EC 沿ED 平移得DF ，连接ED 、CF ，则四边形EDFC 是平行四边形， 所以DF EC BD ==. …………10分 又D 、E 分别AC 、AB 的中点，所以DE 平行BC ， 所以B 、C 、F 共线。

所以 ECB DFB DBF ∠=∠=∠ ………15分 又 BD =CE ，BC =CB
所以)(SAS DBC ECB ∆≅∆ ………20分 所以ACB ABC ∠=∠，故AB=AC 。

……………25分。