O二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简和作图
目录摘要 (2)关键词 (2)1引言 (2)2预备知识 (2)3二次曲线的分类 (4)4二次曲线方程的化简 (4)4.1中心二次曲线方程的化简 (4)4.2无心二次曲线方程的化简 (7)4.3线心二次曲线方程的化简 (10)参考文献 (12)英文题目 (12)英文摘要 (12)英文关键词 (12)二次曲线方程的化简与作图曾XX 2008111XXXX数学科学学院数学与应用数学专业 2008级汉班指导老师李XX摘要：二次曲线方程的化简是解析几何中的重难点之一，本文简单介绍了二次曲线方程的分类，将其分为中心、无心、线心曲线三类，并运用待定系数法与配方法相结合的方法，详细介绍了这三类曲线方程的化简，并举例进行了说明.关键词：二次曲线、方程、待定系数、化简1引言我们知道，在不同的坐标系下，同一点有不同的坐标，因而同一图形有不同的方程，方程的形式越简单，它的图形的几何性质就越明显.对于给定的图形，我们就需要选取合适的坐标系，使它的方程更简单，这就涉及到方程的化简问题.二次曲线方程的化简与作图是大学空间解析几何的重点内容之一，它也是解析几何中的一个难点.如何把二次方程代表的曲线化简并作图，以便更容易看出方程所代表的二次曲线的类型，确定曲线的性质、形状以及在坐标中的位置，这具有重要的意义。
纵观有关资料对此问题的研究与讨论，给出了以下几种二次曲线方程化简的方法：坐标变化法、主直径法、不变量与半变量法、参数法、配方法、正交配方法、因式分解法等，这些方法各有优劣。
本文经过深入分析有关二次曲线方程化简的知识，在已知二次曲线分类的基础上，通过对二次曲线化简后所得方程以及其图形形状的探索，运用待定系数法与配方法、因式分解法相结合的方法求出二次曲线方程化简过程中所要知道的未知量，从而求出简化方程，为学习二次曲线方程的化简提供了一定的指导.2预备知识定义1 在平面直角坐标系中，由二元二次方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= (2221112220a a a ++≠) （1） 表示的曲线称为二次曲线.为了方便起见，引进下面一些记号：22111222132333(,)222F x y a x a xy a y a x a y a =+++++；1111213(,)F x y a x a y a =++； 2122223(,)F x y a x a y a =++； 3132333(,)F x y a x a y a =++；11122I a a =+；1112221122121222a a I a a a a a ==-； 1112133122223132333a a a I a a a a a a =. 定义2 把一个点对于某一坐标系的坐标变换为同一个点对于另外一个坐标系的坐标，这种变换称为坐标变换.设在直角坐标系xoy 里给定了两条互相垂直的直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=如果取直线1l 为新坐标的横轴''o x ，而直线2l 为纵轴''o y ，并设平面上任意点p 的旧坐标与新坐标分别是(,)x y 与''(,)x y ，则由点到直线的距离公式我们有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩去掉绝对值便有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)其中正负号的选取要使'x 中的x 与'y 中的y 的系数同号.3二次曲线的分类4二次曲线方程的化简4.1中心二次曲线方程的化简对于中心二次曲线方程的化简，实质上是把坐标轴变换到与二次曲线的对称轴（即主直径）重合的位置，坐标原点与曲线中心重合，因此，对中心二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的两条互相垂直的主直径，然后以它们作为新坐标轴，作坐标变换即可化为最简单的形式.设中心二次曲线两条互相垂直的主直径分别a kx y +=与b x k y +-=1，则以主直径为新的x 轴、y 轴可以将原方程化0)1()(22=+-++--C b x ky B a kx y A的形式，这里理论上是可以求出待定系数的，但是比较麻烦，因此我们不妨从主直径入手，先求出主直径的方程，从而得出简化方程.二次曲线的特征方程为0-212=+I I λλ，其特征根为2422112,1I I I -±=λ，如果判别式04)(421222211221=+-=-=∆a a a I I ，那么2211a a =，012=a ，这时的中心曲线为圆（包括点圆、虚圆），它的特征根为一对二重根，)0(2211≠==a a λ，任何方向都是圆的渐进主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的主直径.如果特征方程的判别式04)(421222211221>+-=-=∆a a a I I ，那么特征根为两不等的非零实根1λ、2λ，则由特征根1λ与2λ确定的主方向分别为122211111211:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （3）122221121222:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （4） 从而曲线的主直径为0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与0),(),(2212=+y x F Y y x F X ，从而我们可以将方程（1）化为0)],(),([)],(),([2221222111=++++C y x F Y y x F X B y x F Y y x F X A （5） 把他与方程（1）的系数作比较，从而可以求出待定系数C B A ，，的值.现在我们把直线0),(),(2111=+y x F Y y x F X 作为新坐标的x 轴，把直线0),(),(2212=+y x F Y y x F X 作为新坐标的y 轴，这里需要注意，一般我们常将斜率大于0的主直径作为新坐标的x 轴，以确保在旋转变换时，其转角θ为锐角.假设两主直径方程中，y x 、的系数分别为11B A 、与22B A 、，作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=，，)],(),([1)],(),([121112121'22122222'y x F Y y x F X B A y y x F Y y x F X B A x （6）则二次曲线方程（1）可以化为0)()(2'21212'2222=++++C y B A B x B A A做适当变换即可得到下列五种曲线中的一种形式：[1]12222=+b y a x (椭圆)；[2] 12222-=+by a x （虚椭圆）；[3] 12222=-by a x （双曲线）；[4] 02222=+by a x （点或者相交于实点的共轭虚直线）；[5] 02222=-by a x （两相交直线）.例1 化简二次曲线方程01616854822=--+++y x y xy x ，并作出它的图形.解 因为0365228135821≠===+=I I ，，所以曲线为中心二次曲线，曲线的特征方程是03613-2=+λλ，解得两特征根为，，942,1==λλ因而由公式（3）与（4）知，曲线的两个主方向为）（2-:1)84(:2:11=-=Y X 1:28-9:2:22==）（Y X曲线的两主直径为0)852(2428=-+-++y x y x ）（与 0)852()428(2=-++++y x y x ， 即 052=+-y x 与02=+y x .设原方程可以化为0)2()52(22=++++-C y x B y x A ，与原方程系数比较可得365954-===C B A ，，，由（6），作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=),52(51-),2(51''y x y y x x 则原方程可化为036942'2'=-+x y ，化为标准方程得1942'2'=+y x ， 这是椭圆，图形如图一所示4.2无心二次曲线方程的化简由二次曲线的分类我们知道无心二次曲线可以化为02''132''22=+x a y a 的形式，设对任意给定的无心二次曲线方程可以表示为：0)()(2=+-+++b y kx B a ky x A的形式，展开得0)()2()2(22222=++-+++++bB A a y B aAk x Bk aA y Ak Akxy Ax ，将其待定系数与方程（1）对比，我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+==,,22,22,22,33223131211a bB A a a B aAk a Bk aA a kA a A 解之得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-=++==,,))((2)()(,2,,112122112311131211223121311112212211332122112311131211212211231213111112a A a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a B a a a a a a a a a k （7） 现在我们分别把直线0=++a ky x 与直线0=+-b y kx 作为新坐标的x 轴、y 轴，同样的，一般我们常将斜率大于0的直线作为新坐标的x 轴，以确保'x 轴与x 轴的夹角为锐角。
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
4.3应用不变量化简二次曲线方程
4.3.2 应用不变量化简二次曲线的方程
（ using invariant to Simplify of equation quadratic curves）
应用二次曲线的三个不变量I1,I2,I3与一个半不变量K1来化简二 次曲线的方程,不需要具体的求出坐标变换公式,只要简单计算 一下这些不变量与半不变量,就可以决定二次曲线的简化方程, 进而写出它的标准方程。 下面分为中心型曲线、无心型曲线和线心型曲线三种情况来讨 论。
故所给的曲线是双曲线。 其特征方程为λ2-2λ-8=0， 得到特征根为λ1=4， λ2=-2， 所以简化方程为4x2-2y2-2=0. 化成标准方程是
2) 无心型曲线（I2=0，I3≠0 ）
定理3 如果二次曲线是无心型曲线,那么它的简化方程为
这里根号前的正负号可以任意选取。
例 求二次曲线x1/2+y1/2=a1/2的简化方程与标准方程。 解 由题,显然有a≥0,且x和y均非负. 当a =0时,原方程表示坐标原点。此时须注意不可将原方程写成
4.3.1 二次曲线的不变量
（Invariant of quadratic curves）
因为同一二次曲线在不同的坐标系下有不同的方程,但是,由 方程的系数确定的几何量(如圆锥曲线的焦参数、长短轴、 离心率等)却不因坐标系的改变而改变,或者说不因坐标变换 而改变,这些量就是不变量。不变量和半不变量是方程的某些 系数的函数,它们与这些不变的几何量具有密切的关系。 下面给出不变量和半不变量的确切定义：
4.3 应用不变量化简二次曲线方程
（using invariant to Simplify of equation quadratic curves)
经过适当的转轴和移轴变换，可以得到方程的 标准形式，就可以确定曲线的形状和位置。但是有 时候方程是依赖某些参数的，需要指出当参数变化 时曲线的类型和形状的变化。这就要求能从给定的 方程的系数及其函数来判别曲线的类型和形状。
二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到x"2＋y"＝0, 即x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5- 6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线：a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。
二次曲线方程化简与分类的矩阵表示
二次曲线方程化简与分类的矩阵表示冯福存【摘要】利用二次曲线的方程与实对称矩阵的对应关系及矩阵的秩是合同变换的不变量,通过合同变换和二次曲线的特征向量的几何含义,引出并证明了三个新的定理,讨论了二次曲线的化简与分类.最后结合实例,说明三个定理在二次曲线方程化简和作图中的具体应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】7页(P37-43)【关键词】二次曲线;实对称矩阵;合同变换;化简;分类【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21平面二次曲线的化简、作图与分类不仅是大学本科阶段空间解析几何研究的主要内容之一，而且对中学圆锥曲线内容的教学有非常重要的指导作用．如何把二次曲线的方程进行化简、做出二次曲线的图形并对二次曲线进行分类具有重要的教学和研究价值．目前，各种教材[1-3]及相关文献资料[4-6]给出了二次曲线化简的四种方法：坐标变换法；主直径、主方向法；不变量与半不变量法；因式分解法．这四种方法中前两种是纯几何的方法，便于作图但化简过程太复杂，需要掌握的量较多；后两种方法是纯代数的方法，能快速的将二次曲线化为最简形式，但不易作图.本文通过深入分析二次曲线的相关知识点，挖掘其深刻的几何背景，运用代数与几何相结合的方法，得出一种既易于二次曲线的方程化简又易于作图和分类的简便方法，以便为学生的自主性学习和教师的研究型教学提供一定的指导和参考．平面二次曲线的方程为定义1 二次型的矩阵的秩称为二次型的秩，二次曲线的矩阵的秩称为二次曲线的秩．定义2 设X=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，Y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn，若存在C∈Rn×n，使得X=CY，称为由X到Y的一个线性变换．若r(C)=n，则称线性变换X=CY是可逆的．需要注意的是此定义中的X,Y的分量xi,yi(i=1,2,…,n)若任意取值，则该定义可认为是一个线性变换，但若某一个xi或yi是确定的实数，则该定义只能是变换而不一定是线性变换．定义3 A,B∈Rn×n，若存在C∈Rn×n，且r(C)=n,使得B=CTAC成立，称A与B合同．定义4 若有可逆的变换X=CY使得A,B∈Rn×n满足B=CTAC，则称变换X=CY 为合同变换．由以上定义可知，合同矩阵具有相同的秩．定义5[7] Rn中的变换φ若保持任意两个向量间的距离不变，即定理1[8] 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式．定理2[8] 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵P，使PTAP=P-1AP成对角形．定理3 对称矩阵只能合同于对称矩阵．证明设A与B合同，且A为对称矩阵，那么存在可逆矩阵C使得B=CTAC，则BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B，故合同变换将对称矩阵变为对称矩阵．定理4[7] Rn中的等距变换有以下性质：1)两个等距变换的乘积仍是等距变换；2)φ是等距变换，且φ(0)=0，则φ是正交变换．反之亦然；3)任一等距变换可唯一的分解为一个正交变换与一个平移变换之积；4)等距变换是可逆的，逆也是等距变换．因为X,Y∈Rn，若r(C)=n，从几何角度看，变换X=CY可看做n维向量空间中的一个坐标变换，若C为正交矩阵，变换X=CY可看作右手直角坐标系下的旋转变换，若C为等距变换所对应的矩阵，变换X=CY可看作一个旋转变换与一个平移变换的复合．平面二次曲线的方程化简的本质就是适当的选择直角坐标系使得方程形式最简单，而坐标系的建立就是确定坐标轴的方向和原点的位置．由解析几何[1]的理论知当二次曲线的对称轴与其主方向一致时，方程形式可以大大简化．因此建立坐标系时让坐标轴与二次曲线的主方向一致，再取一个合适的点为原点，这时二次曲线的方程为最简形式．主方向的本质是二次曲线的特征值所对应的特征向量．二次曲线的特征值就是二次曲线的矩阵的特征值，而二次曲线的矩阵为实对称矩阵，这样对二次曲线的方程化简与分类的讨论，其本质就是对二次曲线的矩阵的化简和最简形式的讨论，这样便可将几何问题的讨论转化为矩阵问题．而矩阵化简的本质是利用可逆变换将矩阵化为对角形(若不能化为对角形退而求其次化为准对角形)，因为对角形是最简单的矩阵，而在变换的过程中，矩阵的秩是可逆变换的不变量．因此，可以利用二次型(3)的秩和二次曲线(1)的秩的关系来对二次曲线的方程进行化简与分类．因为平面二次曲线(1)的矩阵是一个三阶实对称矩阵，若把平面上任一点的坐标(x,y)写成其齐次坐标(x,y,1)，则(2)可看做关于变量为x,y,1的二次型，令X=(x,y,1)，用矩阵乘积的表示形式(2)式可写为有了前面的理论分析，下面可以通过与A的秩的关系化简和分类二次曲线，并绘制二次曲线的图形．定理5 当(A)<3时，二次曲线(1)的最简形式为λ1x′2+λ2y′2=0，所做的坐标变换为其中λ1,λ2为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，δ∈R2×1表示的点在二次曲线(1)上．证明由A∈R2×2是二次型(3)的矩阵，设λ1,λ2为A的特征值，利用二次型理论知存在正交矩阵P∈R2×2，使得．又为对称矩阵，且)=r(A)<3，可知合同于，由分块矩阵理论可知存在向量δ∈R2×1，有可逆矩阵使得可知Aδ+b=0,f(δ)=0，说明以δ为坐标的点在二次曲线上(1)．此时所做的合同变换为，即定理6 当(A)+1时，二次曲线(1)的最简形式为λ1x′2+λ2y′2+c1=0，所做的坐标变换为其中c1≠0，λ1,λ2为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，δ∈R2×1表示的点不在二次曲线(1)上．证明由定理5的证明可知λ1,λ2为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，由为对称矩阵，且)=r(A)+1，可知合同于，此时c1≠0,否则)=r(A)，由分块矩阵理论可知存在向量δ∈R2×1，有可逆矩阵使得可知Aδ+b=0，且f(δ)=c1≠0，说明以δ为坐标的点不在二次曲线(1)上．由定理5的证明可知二次曲线(1)的方程化简为λ1x′2+λ2y′2+c1=0所做的坐标变换为定理7 当(A)+2时,二次曲线(1)的最简形式为λ1x′2+2c1y′=0，所做的坐标变换为其中c1≠0，λ1为A的特征值，P∈R2×2为正交矩阵，δ∈R2×1表示的点在二次曲线(1)上．证明因为讨论的是二次曲线，r(A)≥1，又是三阶方阵，)≤3，所以对于本命题所讨论的情况只能是)=3．这时A的特征根肯定有一个为零，一个不为零，不妨设λ1≠0，由定理5的证明和定理3可知此时二次曲线(1)的矩阵合同于，且c1≠0,否则)=r(A)=1．这时有正交矩阵P与向量δ∈R2×1，使得由分块矩阵理论可知此时f(δ)=0，说明以δ为坐标的点在二次曲线(1)上．由定理5的证明可知，变成所做的坐标变换为+δ．如果按照的秩可将二次曲线分为：退化二次曲线和非退化二次曲线．退化二次曲线当时，表示两条相交直线；当时，表示两条重合直线；当时，表示两条平行直线．非退化二次曲线)=3)当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当r(A)=1时，表示抛物线．如果按照A的秩可将二次曲线分为：中心二次曲线≠0，即r(A)=2)和非中心二次曲线=0，即r(A)=1)．中心二次曲线，即r(A)=2)当时，表示椭圆；当=0时，表示相交虚直线；当时，表示双曲线；当=0时，表示相交实直线．非中心二次曲线，即r(A)=1)无心二次曲线：，表示抛物线；线心二次曲线：当)=r(A)=1时，表示两条重合直线；当时，表示两条平行直线．例化简二次曲线的方程x2-xy+y2+2x-4y=0，并画出几何图形．解.特征多项式为得特征根为，由Aδ+b=0，解得所以合同于，故二次曲线的方程的简化形式为y′2-4=0．可判断二次曲线为椭圆．若要绘制此椭圆的图形，由特征根可计算得正交矩阵，所以二次曲线化为最简形的坐标变换为。
一般二次曲线的化简与分类
例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。
解 由于I2=1×4-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为θ,则有
得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有：
解 因为I2＝<0,所给的二次曲线是双曲型的.
中心方程组
2x3y100,
解得中心坐标为 (－ 2,2) .作移轴3变x换2y100.
原方程化为
再作转轴变换 ， 得旋转角为 .故转轴变换为
x x 2,
y
y
2,
x23xyy210
cot2θ 1310 x
1 ( x y ), 2
4
y
1 ( x y ). 2
4、转轴变换公式 ：
x
2 x 5
1 y , 5
y
1
x
2
y .
y y"
y'
5
5
代入,可将方程化简为
x"
标准方程是 6x2 y2 12 O'
这是一个椭圆,如图所示.
2
2
O"
x'
x2 y12 1 作图要中点坐：标要系比O-较xy准平确移地到画(2,出1)成新O旧'-坐x'y标',再系把和坐曲标线系的O图'-形x'y,'必旋须转掌角握得好O比"-x例"y、".在新新旧坐原O 标点系的O位"-置x"以y"及中坐根标据轴椭的圆旋的转标角准.本方x 题程
二次曲线方程地化简与分类
2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-1班学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜指导教师：候传燕老师答辩日期：2015年5月6日新疆师范大学教务处目录摘要 ..............................................................................................................................1 1前言 ...........................................................................................................................3 2二次曲线方程的化简与分类 .. (4)2.1方程的化简 (4)2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4)2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4)2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5)2.2 二次曲线的分类 (6)2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7)2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10)2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11)3总结......................................................................................................................... 16 4参考文献. (17)致谢 (18)二次曲线方程的化简与分类摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤.关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；The two curve equation simplification and classificationAbstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification.Key words：Two standard cur ve; equation; invariant method;parametermethod;1前言二次曲线方程的化简与分类既是大学空间解析几何研究的重要内容之一，又是对中学二次曲线内容的教学有极大的作用。
一般二次曲线的化简与分类
若取新坐标原点O (x0,y0)满足方程
• 则在新坐标系下,方程中将无一次项,曲线对称于原点,点 (x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为 曲线的中心。此时方程称为中心方程。
2、作旋转变换,消去交叉项，同时消去1个二次项； 3、对转轴后的方程“配方”，先配二次项,再配一次项； 4、令“配方”后的括号内分别为x''和 y'' (相当于作平移变 换),得到曲线的标准方程。 5、将平移变换代入旋转变换,得到直角坐标变换公式。
6、作出新旧坐标系O-xy，O'-x'y'和O''-x''y'' ,在新坐标系下
注：本题转轴时若取tanθ＝-2，
则可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的转轴公式是
得到的标准方程为
,
图形相对于原坐标系的位置不变。此时Ox轴的正向恰好是 图中y 轴的反向。
例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10x-10y+21=0,写出坐标变换 公式并作出它的图形．
将移轴公式代入转轴公式,得坐标变换公式为
x
1 (x 2 y) 1 ,
5
5
y
1
(2x y) 2 .
作图要点5 ：坐标系O5-xy旋转角tanθ＝2成O'-x'y',再把坐标系
O'-x'y' 平移,得到O"-x"y".在新坐标系O"-x"y" 中可根据抛物
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a'' 11
x''
2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
c''
0.
椭圆型 a1*1a2*2 0
(1) 椭圆 c* 0，a1*1c* 0;
(2) 无轨迹c*
(3)点
c*
0，a1*1c*
0,
0
a'' 11
0,
a1*1 x*2
a2*2
y*2
c*
0
双曲型
a1*1a2*2 0
c''
0
y'
y ''
b2' a2' 2
a'' 11
a1' 1, b1''
a'' 22
=a2' 2
0.
b1' , c''
c'
b2' 2 a2' 2
在新的坐标系O'' x'' y''中原方程化成
a'' 11
x''
2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
c''
0.
方程没有 x'' y'' , y''项，曲线关于 x''轴对称.
3 二次方程的化简 根据系数的具体情况，适当选取坐标系，以化简 二次曲线的方程.希望能够化简成像椭圆， 双曲 线或者抛物线的标准方程的形状.
F (x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2 2b1x 2b2 y c 0.
假设上面方程中有混乘项, 即 a12 0. 问题是如何消掉混乘项 xy
转轴
x=x' cos y' sin , 代入上面的方程 y x' sin y' cos.
F ' (x' , y' )=a1'1x'2 2a1'2 x' y' a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' 0.
系数的关系
a1'1 a11cos2 2a12sin cos a22sin2
假设 a2' 2 0 ，上面的方程可化为
a1' 1x'2
把坐标系 标变换.
a2' 2 ( y' O' x' y'沿
ayb2'2''2轴)2平移2b1' xab' 2'2'2
c'
b2' x''
方程化为：
a1''1 x '' 2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
y'' y* 方程化为a2*2 y*2 2b1*x* 0.
a2*2 a2"2 a2' 2 , b1* b1" b1' 0.
(1.2.2)若b1'' =0，方程a1''1x''2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
c''
0变为
a'' 22
y''
2
c''
0.
统一记为 a2*2 y*2 c* =0, a2*2 a2"2 , c* c''
a'' 11
0时的曲线，叫做抛物型曲线：有两
种形式: a2*2 y*2 2b1*x* 0， a2*2 y*2 c* =0,
抛物型曲线 a1*1 0, a2*2 0.
(6) 抛物线，顶点为坐标原点O* : b1'' 0 （7）一对平行的直线：b1'' 0, a2*2c* 0
（8）无轨迹：b1'' 0, a2*2c* 0 （9）一条直线：b1'' 0, c* 0
a1*1 a1"1 a1' 1, a2*2 a2"2 a2' 2
c*
c''
b '' 2 1
a'' 11
c'
b1' 2 a1' 1
b2' 2 a2' 2
.
a'' 11
0,
曲线有唯一的对称中心，化简方程的
第三步的几何意义就是把坐标原点移到对称中
心，这类曲线称为中心型曲线.其方程称为标
准方程
a1*1x*2 a2*2 y*2 c* 0.
椭圆型中心曲线：
(I) 椭圆：c* 0，a1*1c* 0; (2) 无轨迹（虚椭圆）： c* 0，a1*1c* 0; (3) 点： c* 0,
双曲型中心曲线：
(4) 双曲线：c* 0, (5) 两条直线：c* 0,
（1.2）如果
a'' 11
0, 则方程 a1''1x''2
a'' 22
2a12
新方程中就没有混乘项，为了得到确定的值,
规定 0
这样，原方程在新坐标系 O'x' y' 就变成如下
没有混乘项的形式
a1'1x'2 a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' 0.
用移轴来进一步简化方程. 假设经过转轴以后二次曲线的方程化为
a1'1x'2 a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' 0.
这也说明二次曲线总有一个对称轴，上面 化简方程的过程，其实就是把坐标轴变成对称 轴的过程，而消掉混乘项的过程，就是把坐标 轴变成与对称轴平行的过程.
在新的坐标系O'' x'' y''中继续化简方程
a1''1 x '' 2
a'' 22
y
'' 2
2b1'' x''
c''
0.
（1.1）如果
a'' 11
0,则上面方程可以化为
a'' 11
将坐标系 标变换
( x ''
b1'' a''
11
)2
a'' 22
y '' 2
O"x'' y''沿 x'' 轴平移
x''
x*
b1'' a''
11
,
cb''1''，ba1即1''''21 经 0过. 坐 a ''
11
y'' y*
曲线的方程化简为
a1*1x*2 a2*2 y*2 c* 0.
y
''
2
2b1'' x''
c''
0
化为
a'' 22
y '' 2
2b1'' x''
c''
0.
（1.2.1）若
将坐标系 标变换
b1'' 0
a'' 22
y '' 2
2b1'' (x''
O"x'' y''沿 x'' 轴平移
x''
x*
c'' 2b1''
,
2cb2''c1'b' ')'1''， 0即. 经过坐 其中
抛物线没有对称中心，称为无心曲线.
总结
二次方程的化简分三步完成。前两步将坐标轴 变成曲线的对称轴，第三步按照中心型和非中 心型曲线，把坐标原点移动到中心或者顶点， 得到标准坐标系和标准方程. 根据标准方程，二 次曲线可以分为椭圆型，双曲型和抛物型三大 类。
a1'1x'2 a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' （0 a2' 2 0）.
a1'2 (a22 a11)sin cos a12 (cos2 sin2 )
a2' 2 a11sin2 2a12sin cos a22cos2
b1' b1cos b2sin b2' b1sin b2cos
c' c
要使得新方程中没有