离散数学试卷A答案

第1学期
《离散数学》试卷 A
（试卷共6页，答题时间120分钟）
一、选择题（每小题 2分，共 20 分。

请将答案填在下面的表格内）
1、从集合分类的角度看,命题公式可分为( )
A.永真式、矛盾式
B. 永真式、可满足式、矛盾式
C. 可满足式、矛盾式
D. 永真式、可满足式 2、设B 不含有x ，))((B x A x →∃等值于 ( )
A.
B
x xA →∀)( B.))((B x A x ∨∃
C.B x xA →∃)(
D.))((B x A x ∧∃
3、设S,T,M 是集合，下列结论正确的是（ ）
A ．如果S ∪T=S ∪M ，则T=M
B ．如果S-T=Φ，则S=T
C ．S S S =⊕
D ．)(~T S T S I =- 4、设R 是集合A 上的偏序关系，则R 不一定是( )
A.自反的
B. 对称的
C. 反对称的
D. 传递的
5 设R 为实数集，定义R 上4个二元运算，不满足结合律的是（ ）。

A. f 1(x,y)= x+y B. f 2(x,y)=x-y C. f 3(x,y)=xy
D. f 4(x,y)=max{x,y}
6、设<L,∨∧,>是一个格，则它不满足( )
A.交换律
B. 结合律
C. 吸收律
D. 消去律 7、设A={1,2},则群>⋂<),(A P 的单位元和零元是( )
A. Φ与A
B. A 与Φ
C. {1}与Φ
D. {1}与A
8、下列编码是前缀码的是( ).
A.{1,11,101}
B.{1,001,0011}
C. {1,01,001,000}
D.{0,00,000}
9、下图中既是欧拉图又是哈密顿图的是（ ）
A ． 9K
B ．10K
C ．3,2K
D ．3,3K 10、下图所示的二叉树中序遍历的结果是（ ）
A ．abcde
B ．edcba
C ．bdeca
D ．badce
二、填空题（每题3分，共24分）
1、含3个命题变项的命题公式的主合取范式为76430M M M M M ∧∧∧∧, 则它的主析取范式为 。

(的形势表示成m m ∨)
2、〈4Z ，⊕〉模4加群， 则3是 阶元，3⊕3= ，3的逆元是 。

3、设V=<Z,+>,其中“+”是普通加法。

Z x ∈∀，
令ϕ1(x)=x, ϕ2(x)=-x,ϕ3(x)=x+5, ϕ4(x)=2x ，其中有 个自同构.
4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=645132654321π是集合A={1，2，3，4,5,6}上的一个置换，则
把它表示成不相交的轮换的积是 。

4、已知n 阶无向简单图G 有m 条边，则G 的补图有 条边。

5、一个有向图是强连通的充分必要条件是 。

7、已知n 阶无向图G 中有m 条边，各顶点的度数均为3。

又已知2n-3=m ， 则m= .
8、在下图中从A 点开始，用普里姆算法构造最小生成树，加入生成树的第三条边是 （ ）。

A B
C 24
三、计算题（每题9分，共 36分）
1、已知命题公式)()(p q q p ∨⌝→→⌝，
(1) 构造真值表。

(2) 求主析取范式(要求通过等值演算推出)。

2、R 1={<1,2>,<1,3>,<2,3>}, R 2={<2,2>,<2,3>,<3,4>},求：
(1)21R R - （２）11-R (３) 求12R R ο ３、设<A,R>为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，12，24},R 是A 上的整除关系。

（1）画R 出的哈斯图；
（2）求A 的极大元和极小元； （3）求B={4,6}的上确界和下确界。

４、画一棵带权为1，1，1，3，3，5，8的最优二叉树T ，并计算它的权W （T ）。

四、证明题（共 20分）
1、（7分）前提： r p q s q p ⌝∨→→,),(
结论: s r →
2、（7分）A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1)}, R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d)∈A 且a+b=c+d }. (1)证明：R 是A 上的等价关系． (2)给出R 确定的对A 的划分(分类).
3、（6分）设><ο,G 是群, },|{x y y x G y G x x S οο=∈∀∈=且对于, 证明S 是G 的子群.
《离散数学》试卷 A
参考答案
一、选择题（每小题 2分，共 20 分。

请将答案填在下面的表格内）
二、填空题（每题3分，共24分） 1、521m m m ∨∨ 2、4,2,1
3、2
4、（123）（45）。

4、
n n n --2
)
1( 5、存在经过每个顶点的回路 7、 9 . 8、 d,c 或 c ，d
三、计算题（每题9分，共 36分）
1
(2) 主析取范式(5分):
)()()()()()(p q q p p q q p p q q p ∨⌝∨∨⌝⇔∨⌝→∨⇔∨⌝→→⌝ ⇔∧∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∨⌝∨⌝∧⌝⇔)()()()()(q p q p q p p q q p )3,2,0(320∑⇔∨∨⇔m m m
2、(每小题3分)
(1)21R R -= {<1,2>,<1,3>}
(２)11-R ={<2,1>,<3,1>,<3,2>}
(1) 求12R R ο={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}
３、 (每小题3分)
(1)（4分）
49
（2）（3分）A 的极大元9,24; 极小元1; （3）（2分）B={4,6}的上确界12 下确界2。

４、画图(7分) W （T ）=55(2分
)
3
1
122
四、证明题（共 20分）
1、（7分）证明：附加前提证明法..1分 ① r ② r p ⌝∨
③ p ①②………….. 3分 ④ )(s q p →→
⑤ s q → ③④ ………….. 5分 ⑥ q
⑦ s ⑤⑥ …………. 7分 2、证明：（1）（5分）
自反性。

对于),(),(,
),(b a R b a b
a b a A b a +=+∈∀ 自反性成立
对称性。

对于d c b a d c R b a A d c b a +=+∈∀),,(),(,),(),,(如果
),(),(b a R d c b a d c 所以+=+ 对称性成立 传递性。

),,(),(),
,(),(,),(),,(),,(y x R d c d c R b a A y x d c b a 如果∈∀ ),(),(,
,,y x R b a y x b a y x d c d c b a 从而
所以
+=++=++=+
传递性成立
（2）A/R={{(0,0)},{(0,1),(1,0)},{(1,3),(2,2),(3,1)},{(2,3)}}
（2分）
3、证明：（每步各2分）
（1）S 不空：><ο,G 是群，设e 是><ο,G 的单位元，那么 S e ye ey G y ∈=∈∀,,都有，所以 S 不空。

（2）221121,,,,yx y x yx y x G y S x x ==∈∀∈∀都有那么对于
)()()()()()(212121212121x x y x yx x y x yx x y x x y x x =====那么
所以,,21S x x ∈
（3）1111,
,,----==∈∀∈∀yxx x xyx x yx xy S y S x 都有那么对于
y x yx 11--=即
所以,S x ∈-1 S 是G 的子群.。