圆锥曲线限时规范训练
圆锥曲线限时训练(文)(答案)
限时训练（答案）1．（Ⅰ）2=-+mymx；（Ⅱ）),4(+∞．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知FP,两点的坐标，首先求此直线的斜率，然后代入点斜式直线方程，化简；（Ⅱ）第一步，直线方程与抛物线方程联立，求出根与系数的关系，第二步，根据焦点弦长求,和点到直线的距离，第三步，（Ⅲ）第一步，将所给共线向量写成坐标形式，根据向量相等，反解出λ和μ，将μλ+写成坐标形式，根据上一问根与系数的关系计算定值．试题解析：解：（Ⅰ）由题知点P、F的坐标分别为),1(m-，)0,1(于是直线PF所以直线PF ，即为2=-+mymx。
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，，得)162(2222=++-mxmxm，，121=xx。
点D到直线2=-+mymx 的距离因为R∈m且0≠m，于是4>S，所以△DAB 的面积S 范围是),4(+∞。
2.（1（2）存在定值，2，理由略．【解析】试题分析：（1，设3(0)a k k =>，则，223b k =，可设椭圆C 的方由于直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，代入椭圆方程，解得y 即可得出；（2）假设存在点E ，使得为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x 轴重合时，当直线AB 与x 轴垂直时由，解得0x 的值，即知若存在点E ，此时值2．根据对称性，只需考虑直线AB 过点设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB，与椭圆C 联立方程组，利用韦达定理化简即可得出．试题解析：（1，设3(0)a k k =>，则，223b k =， 所以椭圆C 的方程为，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y k =±，于是所以椭圆C 的方程为（3）假设存在点E ，使得为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x 轴重合时，有当直线AB 与x 轴垂直时，所以若存在点E ，此时2． 根据对称性，只需考虑直线AB 过点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB 的方程为，与椭圆C 联立方程组，考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的综合问题．。
圆锥曲线限时训练2带答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A.(3，＋∞)B.(－∞，－2)C.(3，＋∞)∪(－∞，－2)D.(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】 由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D. 【答案】 D2.已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )【导学号：37792048】A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D.以上都不对【解析】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.【答案】 A3.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A.5B.4C.3D.1【解析】 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】 B4.椭圆mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)的焦点坐标为( )【导学号：37792049】A.(0，±m －n )B.(±m －n ，0)C.(0，±n －m )D.(±n －m ，0)【解析】 将mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)化成标准方程得x 2－n ＋y2－m＝1，由m <n <0⇒－m >－n >0，得焦点在y 轴上，即a 2＝－m ，b 2＝－n ，得c 2＝a 2－b 2＝n －m ，故选C.【答案】 C5.设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】 由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4， 即|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形. 【答案】 B 二、填空题6.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【解析】依题意，有⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 【答案】 37.椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.【解析】由题意知⎩⎨⎧10－m >0，m －2>0，10－m －(m －2)＝4或⎩⎨⎧10－m >0，m －2>0，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8. 【答案】 4或88.已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________.【解析】 如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0).又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝16 三、解答题9.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点.设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标.【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1， ∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0).10.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【导学号：37792050】【解】 (1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2). 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[能力提升]1.已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3【解析】 设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C. 【答案】 C2.已知M 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1为椭圆的一个焦点，且|MF 1|＝2，N 为MF 1的中点，O 为坐标原点，则ON 的长为( )A.2B.4C.8D.12【解析】 设椭圆的另一个焦点为F 2，由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝10. 又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. ∴|ON |＝12|MF 2|＝4. 【答案】 B3.椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________.【解析】 由条件可取F 1(－3,0)，∵PF 1的中点在y 轴上， ∴设P (3，y 0)，由P 在椭圆x 212＋y 23＝1上得y 0＝±32， ∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±34.【答案】 ±344.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2-2-3)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍.若|AB |＝152，求椭圆C 的方程.【导学号：37792051】图2-2-3【解】 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得 |F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ， 在△F 1F 2B 中，由余弦定理得 (2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒ m ＝2(a 2－c 2)2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以2(a2－c2)2a＋c＝a2－c22a－c，解得2a＝3c，可得m＝5c8，|AB|＝3m＝15c8＝152，c＝4.由ca＝23，得a＝6，b2＝20，所以椭圆C的方程为x236＋y220＝1.。
高三圆锥曲线规律经典练习题(1)(2)(3)(4)及详解
高三圆锥曲线规律经典练习题（1）题1：如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹题2：已知12,,A A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的顶点（如图）,直线l 与椭圆交于异于顶点的,P Q 两点,且2//l A B ．若椭圆的离心率是3,且2||5A B =．（１）求此椭圆的方程；（２）设直线1A P 和直线BQ 的倾斜角分别为αβ,．试判断αβ+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． x yO A BEFM题3：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅u u u u r u u u r 为定值;（II ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；(Ⅲ) 证明直线PQ 恒过一个定点.答案题1：答案：2122().9273y x x =-> 详解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得解得20021(1),E E ky ky y x k k--=∴=将k 换成-k ，可得F 点坐标 ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值) 所以直线EF 的斜率为定值（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 题2：答案：πβα=+∴详解：（１）由已知可得225c a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，所以.1,2==b a 椭圆方程为2214x y +=． （２）αβ+是定值π．理由如下：由（１），A 2（2，0），B （0，1），且l //A 2B ，所以直线l 的斜率212A B k k ==-．设直线l 的方程为11221,(,),(,)2y x m P x y Q x y =-+,221412x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩联立，222220x mx m -+-=.048)22(44222≥-=--=∆∴m m m即22≤≤-m ，且 ⎩⎨⎧-==+22222121m x x mx x ． ,,22P Q ππαβ∴≠≠Q 两点不是椭圆的顶点121211tan ,tan 2A P BQ y y k k x x αβ-∴====+． 又因为m x y m x y +-=+-=221121,21，221112tan tan x y x y -++=+βα211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-++-+--=+＝212121212(1)()22(1)2(22)220(2)(2)m x x x x m m m m m x x x x -+-+----+-==++ tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==-．又),0(,πβα∈)2,0(πβα∈+∴ πβα=+∴是定值．题3：答案：45o; PQ 过定点E （1，－4）.详解：（I ）设点P y y P y y M Θ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，112222112,,1444AM PM y y y k k y y y -∴==+-即4,142121211=∴+=+y y y y y y 即.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OM(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOP OM S ROM Θ由此可得tanα=1.又(0,),45,45.OM OP απα∈∴=︒ou u u u r u u u r 故向量与的夹角为(Ⅲ)设点M y y Q Θ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴3133222233131323133131311,,41444(1)()4,40.y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即Θ 即.(*)04)(43232=+++y y y y ,44432232232y y y y y y k PQ +=--=Θ )4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.高三圆锥曲线规律经典练习题（2）题1：如图A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）求证：⑴A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值。
2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质限时规范训练含解析新
第二章 2.4 2.4.2基础练习1．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(2,3) D ．(3,2) 【答案】D【解析】将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3.∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8 【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d ＝3＋p2＝4.解得p ＝2.3.(2020年某某五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A.y 2＝－12xB.y 2＝－8xC.y 2＝－6xD.y 2＝－4x 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 的值为( )A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】D【解析】C 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)过定点P (－2,0)．过点A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |.∴点B (1，22)．∴k ＝22－01－－2＝223.故选D ．5．(2019年某某某某期末)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是__________________．【答案】x 2＝2y【解析】由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y .6.(2020年某某某某质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.7．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由题意，直线AB 的方程为y ＝x －1，代入抛物线方程y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0. (方法一)由x 2－6x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x ·x 2＝2×62－4＝8.(方法二)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝|AA 1|＝x 1＋1，|BF |＝|BB 1|＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B (AB 不垂直于x 轴)，F 为焦点且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒过定点Q (6,0)，求抛物线C 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8－p .又|QA |＝|QB |，∴(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22，即(x 1＋x 2－12)(x 1－x 2)＝2p (x 2－x 1)．∵x 1≠x 2，∴x 1＋x 2＝12－2p .∴12－2p ＝8－p .解得p ＝4. ∴所求抛物线C 的方程为y 2＝8x .能力提升9．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，∴这样的直线有两条．故选B ．10.(多选题)如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率存在，则( )A.|AB |＝x 1＋x 2＋pB.x 1x 2＝p 24C.y 1y 2＝－p 2D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】ABCD【解析】由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝x 1＋x 2＋p ，A 正确.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，B ，C 正确.设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2，∴以AB 为直径的圆与准线相切，D 正确.综上，ABCD 全选. 11.(2020年某某永州模拟)已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为.【答案】2＋2【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116.设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab .由抛物线的定义得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b ).由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab(2ab )2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋2.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解：焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.。
高二数学高效课堂资料圆锥曲线限时训练
高二数学高效课堂资料高二数学圆锥曲线限时训练1.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点。
若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） A. 221189x y += B. 2212718x y += C. 2213627x y += D. 2214536x y +=2.直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为（ ）A ．31 B ．21 C ．32 D ．434.双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（ ） A.5 B. 24 C.3 D.55.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为60的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞6.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x y 242=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则△POF 的面积为（ ）A.2B.22C.32D.47．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足 ∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞8. 已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒， 则C 的离心率为（ ）A ． 23B ．12C ．13D ．149. 设椭圆22:12xC y+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA OMB∠=∠.10.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线交于,A B 两点.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）是否存在AOB ∆面积的最大值？若存在，求出AOB ∆的面积；若不存在，说明理由.。
2021年高考数学总复习 提能拔高限时训练：圆锥曲线的综合问题(练习+详细解析)大纲人教版2
提能拔高限时训练38 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,那么双曲线的渐近线的斜率为〔 〕 A.±2 B.34±C.21±D.43± 解析:椭圆的长轴两端点和焦点分别为(5,0),(-5,0)和(4,0),(-4,0).设双曲线方程为12222=-by a x ,那么有c=5,42=ca ,a 2+b 2=c 2, ∴a 2=20,b 2=5. 故其渐近线为x y 21±=. 答案:C2.F 1,F 2是椭圆C:14822=+y x 的两个焦点,在椭圆C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为〔 〕 A.0 B.1 C.2 D.4解析:由14822=+y x ,得a=22,b=2,c=2. ∵b=c=2,∴以原点为圆心,c 为半径的圆与椭圆有2个交点. ∴满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为2. 答案:C3.双曲线1422=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,△PF 1F 2的面积为3,那么21PF PF •的值是〔 〕A.2B.3C.-2D.3- 解析:设||1PF =m,||2PF =n,∠F 1PF 2=θ,那么21mnsinθ=3,m 2+n 2-2mncosθ=(52)2.由这两式消去m 和n,得,3,3cos 1sin πθθθ==-∴cosθ=21. ∴mn=4.∴21PF PF •=mncosθ=4×21=2. 答案:A4.如图,在△ABC 中,,212tan=C 0=•BC AH ,0)(=+•CB CA AB ,那么过点C,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为〔 〕A.2B.3C.2D.3 解析:由0=•BC AH ,得AH⊥BC.由,212tan=C 得tanC=34. 设CH=3m,那么AH=4m,AC=5m(m>0).由双曲线的离心率的定义,知过点C,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率2354=-=-=mm mCH CA AH e .答案:A5.在给定双曲线中,过焦点且垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,那么该双曲线的离心率为〔 〕 A.22B.2C.2D.22 解析:不妨设双曲线方程为12222=-b y a x (a>0,b>0),那么依题意有222=a b 且212=-c a c ,据此解得2==ace ,选C. 答案:C6.直线l:x=4,直线l 上任一点A,过点A 作l 的垂线l 1,点B(8,2),线段AB 的垂直平分线交l 1于点P,那么点P 的轨迹方程是〔 〕A.(y-2)2=8(x-6)B.(y-2)2=4(x-6)C.19)2(16)6(22=-+-y x D.19)2(16)6(22=---y x解析:如图,设P(x,y),那么A(4,y),AB 的中点)22,6(+y M . 因为PM 是线段AB 的垂直平分线, 所以有k AB ·k PM =-1.整理,得(y-2)2=8(x-6), 即为点P 的轨迹方程. 答案:A7.设椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率21=e ,右焦点为F(c,0),方程ax 2+bx-c=0的两实根分别为x 1,x 2,那么点P(x 1,x 2)〔 〕 A.必在圆x 2+y 2=2内 B.必在圆x 2+y 2=2上C.必在圆x 2+y 2=2外 D.以上情形都有可能 解析:∵21==a c e ,∴a=2c. 又∵a 2=b 2+c 2,∴b 2=243a . ∵x 1+x 2=a b -,x 1x 2=ac-,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2247143<=+=. 答案:A8.椭圆x 2+2y 2=4,那么以(1,1)为中点的弦的长度为〔 〕 A.23 B.32 C.330 D.263 解析:依题意,设弦端点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4.∴x 12-x 22=-2(y 12-y 22). ∴此弦斜率21)(221212121-=++-=--=y y x x x x y y k .∴此弦直线方程为)1(211--=-x y , 即2321+-=x y . 代入x 2+2y 2=4, 整理,得3x 2-6x+1=0. ∴x 1x 2=31,x 1+x 2=2. ∴|AB|=330344254)()211(1212212=-•=-+•-+x x x x .答案:C9.假设椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,那么此椭圆的离心率为〔 〕 A.1716B.1712-C.22-D.552解析:由｜F 1F ｜∶｜FF 2｜=5∶3,其中｜FF 2｜=｜OF 2｜-｜OF ｜=2bc -, ｜F 1F ｜=｜OF 1｜+｜OF ｜=c+2b . ∴.3522=-+b c bc ∴c=2b. 又∵a 2=b 2+c 2=b 2+4b 2=5b 2, ∴a=5b. ∴.55252===bb ac e 答案:D10.△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,那么点P 在平面α内的轨迹是〔 〕 A.圆的一局部 B.椭圆的一局部 C.双曲线的一局部 D.抛物线的一局部 解析:∵AD⊥α,BC⊥α,∴AD∥BC,且∠CBP=∠DAP=90°. 又∠CPB=∠APD,故Rt△CBP∽Rt△DAP, 有2184===BC AD PB PA . 在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中点为坐标原点,建立如上图所示的直角坐标系,那么A(-3,0)、B(3,0). 设P(x,y),那么21)3()3(2222=+-++y x y x , 化简,得x 2+y 2+10x+9=0. 注意到点P 不在直线AB 上,∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2+10x+9=0(y≠0),点P 在平面α内的轨迹为圆的一局部. 答案:A 二、填空题11.(2021湖北八校高三第一次联考)当α∈［2π,π)时,方程x 2sinα-y 2cosα=1表示的曲线可能是__________.(填上你认为正确的序号)①圆 ②两条平行直线 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线 解析:∵α∈［2π，π), ∴当α=43π时,sinα=-cosα=22.此时x 2sinα-y 2cosα=1, 即x 2+y 2=2表示一个圆;当α=2π时,sinα=1,cosα=0, 此时x 2sinα-y 2cosα=1,即x 2=1表示两条平行直线; 当2π<α<π,且α≠43π时,cosα<0<sinα,且|sinα|≠|cosα|,此时x 2sinα-y 2cosα=1表示椭圆.答案:①②③12.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=30°,AB、AC 边上的高分别为CD 、BE,那么以B 、C 为焦点,且经过D 、E 两点的椭圆与双曲线的离心率之和为.解析:设BC=2,椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,离心率为e;双曲线的焦距为2c′,实轴长为2a′,离心率为e′.于是2c=2c′=2,2a=|BE|+|CE|=1+3,2a′=||BE|-|CE||=3-1, 所以321321322222=-++=''+='+a c a c e e . 答案:3213.抛物线y 2=2px(p>0),过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,那么我们知道||1||1BF AF +为定值.请写出关于椭圆的类似结论________:.当椭圆方程为13422=+y x 时,||1||1BF AF +=_________. 解析:通过列方程组及椭圆的第二定义,计算|AF|与|BF|推出结论,这个和为定值:22||1||1baBF AF =+. 当椭圆方程为13422=+y x 时,34||1||1=+BF AF .答案:椭圆12222=+b y a x (a>b>0),过焦点F 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点,那么22||1||1b a BF AF =+为定值34 14.从双曲线15322=-y x 的左焦点F 引圆x 2+y 2=3的切线FP 交双曲线右支于点P,T 为切点,M 为线段FP 的中点,O 为坐标原点,那么|MO|-|MT|等于_________.解析:点P 在双曲线的右支上,设右焦点为F 2,那么|PF|-|PF 2|=2a=32.在Rt△OTF 中,|FO|=c=22,|OT|=a=3,∴|TF|=b=5. 在△PFF 2中,MO 为其中位线, ∴|MF|-|MO|=a=3, 即|MT|+5-|MO|=3. ∴|MO|-|MT|=35-. 答案: 35- 三、解答题15.椭圆C 1的方程为1422=+y x ,双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;(2)假设直线l:y=kx+2与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点,且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<•OBOA (其中O 为原点),求k 的取值范围.解:(1)设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ,那么a 2=4-1=3.再由a 2+b 2=c 2,得b 2=1.故双曲线C 2的方程为1322=-y x . (2)将y=kx+2代入1422=+y x ,得(1+4k 2)x 2+82kx+4=0, 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点,得Δ1=(82)2k 2-16(1+4k 2)=16(4k 2-1)>0,即k 2>41.① 将y=kx+2代入1322=-y x ,得(1-3k 2)x 2-62kx-9=0, 由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 、B,得 即k 2≠31且k 2<1.② 设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ), 那么x A +x B =22319,3126k x x k k BA --=-. 由6<•OB OA ,得x A x B+y A y B<6,而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +2)(kx B +2)=(k 2+1)x A x B +2k(x A +x B )+2=(k 2+1)·13732312623192222-+=+-•+--k k k k k k .于是6137322<-+k k ,即013131522>--k k . 解此不等式,得k 2>1513或k 2<31.③由①②③,得31412<<k 或115132<<k .故k 的取值范围为)11513()33,21()21,33()1513,1(， ----. 16.抛物线y=x 2上两点A 、B 满足PBAP λ=,λ>0,其中点P 坐标为(0,1),OB OA OM+=,O 是坐标原点.(1)求四边形OAMB 的面积S 的最小值;(2)求点M 的轨迹方程. 解:(1)由PB AP λ=,知A 、P 、B 三点在同一直线上,设该直线方程为y=kx+1,A(x 1,x 12),B(x 2,x 22).由⎩⎨⎧=+=,,12x y kx y 得x 2-kx-1=0, ∴x 1+x 2=k,x 1x 2=-1.∵OB OA •=x 1x 2+x 12x 22=-1+(-1)2=0,∴OB OA ⊥.又∵四边形OAMB 是平行四边形, ∴四边形OAMB 是矩形. ∴S=||||OB OA ⊥24k +=.因此k=0时,S 取最小值2.(2)设M(x,y),∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②x x y ①x x x .,222121由①②,得x 2=y-2,∴点M 的轨迹方程是y=x 2+2.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】直线l:y=kx+1与双曲线C:x 2-y 2=1的左支交于不同的两点A 、B,直线m 过点P(-2,0)和AB 的中点M,求m 在y 轴上的截距b 的取值范围.解:由⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得(k 2-1)x 2+2kx+2=0,x≤-1,由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<-=+>-+=∆≠-,012,012,0)1(84,01221221222k x x k k x x k k k解得1-k<2. 设M(x 0,y 0),那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=.111,122002110k kx y k k x x x由P(-2,0),)11,1(22k k k M --,Q(0,b)三点共线可知2222++-=k k b . 令f(k)=-2k 2+k+2,那么f(k)在(1,2)上为减函数. ∴f(2)<f(k)<f(1)且f(k)≠0, 那么b<-(2+2)或b>2.【例2】定点P(p,0)(p>0),动点M 在y 轴上的射影为H,假设向量PM 与HM 在OM 方向上的投影相等,直线l:x+y=m. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)假设将曲线C 向左平移1个单位与直线l 相交于两个不同点R 、Q,且OR OQ •=0,求p 关于m 的函数f(m)的表达式.解:(1)设M(x,y),那么H(0,y),那么OM =(x,y),HM =(x,0),PM =(x-p,y). 由题意可知OMHM OM PM•=•,得x(x-p)+y 2=x 2.故C 的方程为y 2=px.(2)曲线C 向左平移1个单位后的曲线方程为y 2=p(x+1). 由⎩⎨⎧+==+)1(,2x p y m y x 消去y,得y 2-(2m+p)x+(m 2-p)=0,Δ=(2m+p)2-4(m 2-p) =p(4m+p+4)>0, 即41p m -->. 设Q(x 1,y 1),R(x 2,y 2),那么由一元二次方程根与系数的关系,得x 1+x 2=2m+p,x 1·x 2=m 2-p. ∵OR OQ ⊥,∴x 1·x 2+y 1·y 2=2(m 2-p)-m(2m+p)+m 2=m 2-(m+2)p=0.∴p=f(m)=22+m m .又p>0,m>-1-4p , ∴f(m)的定义域为(-2,0)∪(0,+∞).【例3】如图,F 为椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线12222=-by a x 的两条渐近线l 1、l 2分别交于点M 、N,与椭圆交于点A 、B. (1)假设∠MON=3π,双曲线的焦距为4,求椭圆方程; (2)假设0=•MN OM(O 为坐标原点),FA 31=AN ,求椭圆的离心率e.解:(1)∵∠MON=3π,M,N 是直线l 与双曲线两条渐近线的交点, ∴,336tan ==πa b 即a=b 3. ∵双曲线的焦距为4,∴a 2+b 2=4. 解得a 2=3,b 2=1,∴椭圆的方程为1322=+y x . (2)设椭圆的焦距为2c,那么点F 的坐标为(c,0). ∵0=•MN OM,∴l⊥l 1.∵直线l 1的斜率为a b , ∴直线l 的斜率为ba.∴直线l 的方程为)(c x bay -=.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,),(x a b y c x b a y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,,2c ab y c a x即点),(2cabc a N ,设A(x,y),由FA31=AN,得(x-c,y)=),(312y cabx c a --, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)(31),(312y c ab y x c a c x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,4,4322c ab y c a c x ∴点A 的坐标为)4,43(22cabc a c +.∵点A 在椭圆上,∴11616)3(2222222=++c a c a a c , 即(3c 2+a 2)2+a 4=16a 2c 2.∴(3e 2+1)2+1=16e 2.∴9e 4-10e 2+2=0.∴9752±=e . ∴375±=e . ∴椭圆的离心率375±=e . 【例4】曲线C 上任意一点M 到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C 的方程;(2)假设过点P(2,2)的直线m 与曲线C 交于A,B 两点,设PB AP λ=. ①当λ=1时,求直线m 的方程;②当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点),求λ的值.解:(1)设M(x,y),那么由题意得|MF|=|y+2|-1,即1|2|)1(22-+=-+y y x . 当y≥-2时,1)1(22+=-+y y x ,两边平方得x 2=4y;当y<-2时,3)1(22--=-+y y x ,两边平方得x 2=8y+8,因y<-2,不合题意,舍去.故点M 的轨迹C 的方程是x 2=4y.(2)当直线m 的斜率不存在时,它与曲线C 只有一个交点,不合题意,当直线m 与x 轴不垂直时,设直线m 的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).代入x 2=4y,得x 2-4kx+8(k-1)=0,①Δ=16(k 2-2k+2)>0对k∈R 恒成立,∴直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点.设交点A,B 的坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么x 1+x 2=4k,②x 1x 2=8(k-1).③ ①由PB AP λ=,且λ=1,得P 为AB 的中点,∴x 1+x 2=4.把②代入,得4k=4,k=1.∴直线m 的方程是x-y=0. ②∵|AB|=]4))[(1()()(212212221221x x x x k y y x x -++=-+- )22)(1(422+-+=k k k ,点O 到直线m 的距离21|22|k k d +-=,∴S △ABO 22|1|4||212+--=•=k k k d AB ∵S △ABO =24, ∴24)1()1(424=-+-k k , 即(k-1)4+(k-1)2-2=0.(k-1)2=1或(k-1)2=-2(无实根),由(k-1)2=1,解得k=0或k=2.1°当k=0时,方程①的解为x=±22. 当22,2221-==x x 时,2232221-=--=x x λ; 当22,2221=-=x x ,2232221+=--=x x λ. 2°当k=2时,方程①的解为224±, 同理可得λ=3+22或λ=3-22.。
2012届高中三年级文科培优限时训练(圆锥曲线)
培优限时训练一椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，上焦点到2a y c=，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=u u u r u u u r．（1）求椭圆方程；（2）若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，求m 的取值范围．培优限时训练一参考答案解（1）由222a c c c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,22a c b === ∴椭圆C的方程为：2221x y +=．（2）由AP PB λ=u u u r u u u r 得()OP OA OB OP λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，(1)OP OA OB λλ∴+=+u u u r u u u r u u u r又4,143OA OB OP λλλ+=∴+=⇒=u u u r u u u r u u u r设直线l 的方程为：y kx m =+由2221y kx m y x =+⎧⎨+=⎩得222(2)2km (1)0k x x m +++-= 222(2km)4(2)(1)k m ∴∆=-+-224(22)0k m =-+>由此得2222k m >-．①设l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21212222km 1,12m x x x x k k -+=-=++ 由3AP PB =u u u r u u u r得 123x x -=122212223x x x x x x +=-⎧∴⎨=-⎩，整理得212123()40x x x x ++= 22222134022km m k k -⎛⎫∴-+= ⎪++⎝⎭，整理得222(41)22m k m -=- 214m =Q 时，上式不成立，2222122,441m m k m -∴≠=- ②由式①、②得2222222122(1)104141m m m m m -⎛⎫>-⇔-+< ⎪--⎝⎭ 2(1)(1)101(21)(21)2m m m m m m -+⇔<⇔-<<--+或112m <<∴m 取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．培优限时训练二已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点),0(t M 的直线L （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =，求实数t 的取值范围．培优限时训练二参考答案解（1）∵BC 且||2||=过（0，0） 则0||||=⋅=BC AC AC OC Θ又∴∠OCA=90°即)3,3(C 2分又∵11212:,32222=-+=c y x m a 设 将C 点坐标代入得11231232=-+C 解得 c 2=8，b 2=4 ∴椭圆m ：141222=+y x 5分 （2）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ） 1°当k=0时，显然－2<t<2 6分 2°当k≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得01236)31(222=-+++t ktx x k 8分 由△>0 可得 22124k t +< ① 9分 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 2031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22ktk kt H ++-11分 由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt k t+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4∴t 的范围是（1，4） 12分 综上t ∈（－2，4） 13分培优限时训练三已知平面内一动点P 到点F （1，0）的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB •u u u r u u u r的最小值．培优限时训练三参考答案解：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意为22(1)|| 1.x y x -+-= 化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0. 所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.12342222()()||||||||(1)(1)(1)(1)41(2)11(24)1184()AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB AF FB FD EF x x x x k kk k •=++=+++=+=+++++=+++++++=++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g u u u r u u u r u u u r u u u r g g 22184216k k+⨯=g当且仅当221k k =即1k =±时，AD EB •u u u r u u u r 取最小值16．培优限时训练四如图，椭圆C ：22212x y a +=的焦点在x 轴上，左、右顶点分别为A 1、A ，上顶点为B ．抛物线C 1、C 2分别以A 、B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，C 1与C 2相交于直线2y x =上一点P ． （1）求椭圆C 及抛物线C 1、C 2的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M 、N ，已知点(20)Q -，，求QM QN u u u u r u u u rg的最小值．培优限时训练四参考答案解：由题意得A （a ，0），B （0∴ 抛物线C 1的方程可设为24y ax =；抛物线C 2的方程可设为2x =由28x P y ⎧=⎪⎨⎪⎩解得（， 代入24y ax =得a = 4∴ 椭圆方程为221162x y +=，抛物线C 1：216y x =，抛物线C 2：2x =······ 5分 (2) 由题意可设直线l的方程为2y x m =+由221162x y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得2258160x m -+-= ·························· 6分由22()20(816)0m m ∆=---><解得·············· 7分 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则2121281655m x x x x -+==， ·········· 8分 ∵1122()()QM x y QN x y =+=u u u u r u u u r， ∴12121212(((()()QM QN x x y y x x m m =+++=++++u u u u r u u u r g222121233816)()2)2225m x x x x m m -=++++=⨯+++ 22916149838()5599m m m +-==+-∵m <<∴ 当89m =-时，其最小值为389- ······················ 12分培优限时训练五如图，已知离心率为3的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B。
圆锥曲线44道大题特训(含答案)
圆锥曲线44道特训（只要做不死就给死里做）1．已知双曲线12222=-by a x C ：的离心率为3，点)0,3(是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ，直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=．（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．3．已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点为(1,0)F ，离心率为22．设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求22||||PA PB +的最大值.4．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．5．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c 2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．6．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率e = （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（0k ≠）与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线过定点1(,0)2P ，求实数k 的取值范围.7．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB V 面积的最大值.8．已知椭圆错误!未找到引用源。
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小题精练：圆锥曲线(限时：50分钟)1．(2014²济南市模拟)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点在直线x －2y －2＝0上，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2B ．x ＝4C ．x ＝－8D ．y ＝－42．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( ) A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝1 3．(2014²哈师大附中模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1D.y 23－x 2＝1 4．(2013²高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 5．焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线C 有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A ．(1，3)B ．(1，3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)6．(2014²昆明市高三调研测试)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p ＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．87．(2014²荆州市高中毕业班质量检查Ⅰ)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( ) A. 2B.72C ．2D.748．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．169．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1，0)，则|PF ||PA |的最小值是( ) A.12B.22 C.32D.23210．(2014²武汉市联考)已知双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．3 C. 3D. 611．(2013²高考新课标全国卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.3312．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△A 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．3213．(2014²济南市模拟)若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是________．14．(2013²高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．15．(2013²高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．16．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p ＞0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．小题精练：圆锥曲线1．解析：选A.直线x －2y －2＝0与x 轴的交点坐标为(2，0)，即p2＝2，故抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－2.2．解析：选D.依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1，选D.3．解析：选C.椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C. 4．解析：选B.先由双曲线的离心率为3得到双曲线标准方程中a 与b 的关系，再求双曲线的渐近线方程．∵e ＝3，∴c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .5．解析：选D.设AF 的中点C (x c ，0)，由题意x c ≤－a ，即a －c2≤－a ，解得e ＝ca≥3，故选D.6．解析：选B.依题意得，△OFM 的外接圆半径为3，△OFM 的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线x ＝p 4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离等于3，即有p 4＋p2＝3，由此解得p ＝4，选B.7．解析：选A.因为 e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2b a ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0，0)的距离d ＝x 21＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝2.8．解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.9．解析：选B.依题意知x ≥0，则焦点F (1，0)，|PF |＝x ＋1，|PA |＝（x ＋1）2＋y 2＝（x ＋1）2＋4x ，当x ＝0时，|PA ||PF |＝1；当x ＞0时，1＜|PA ||PF |＝1＋4x（x ＋1）2≤1＋4x（2x ）2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x ≥0时，1≤|PA ||PF |≤2，22≤|PF ||PA |≤1，|PF ||PA |的最小值是22，选B. 10．解析：选B.由题意知e ＝ca＝2，则b 2＝3a 2，双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B ＝(－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.11．解析：选D.根据椭圆的定义以及三角知识求解． 如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12， ∴|PF 1|＝2|PF 2|. 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 12．解析：选D.由题意知，抛物线焦点坐标为(4，0)．作AA ′垂直抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义|AA ′|＝|AF |，所以在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，此时不妨认为直线AK 的倾斜角为45°，则直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 中得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，A 的坐标为(4，8)．故△A 的面积为12³8³8＝32.13．解析：问题等价于已知双曲线的渐近线4x ±3y ＝0与圆相离或者相切，故实数m 满足|4m |5≥4，即m ≥5或者m ≤－5. 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)14．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF|－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4³3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.答案：4415．解析：根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于a，c的方程求解．设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵在双曲线中c＞a，∴在△PF1F2中，|PF2|所对的角最小且为30°.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 30°，即4a2＝16a2＋4c2－83ac，即3a2＋c2－23ac＝0.∴(3a－c)2＝0，∴c＝3a，即ca＝ 3.∴e＝ 3.答案： 316．解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝xp，切线MA的方程是y－y1＝x1p(x－x1)，即y＝x1px－x212p.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝x1p³2－x212p，即x21－4x1－4p2＝0；同理有x22－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6，得y1＋y2＝12，即x21＋x22 2p＝（x1＋x2）2－2x1x22p ＝12，16＋8p22p＝12，解得p＝1或p＝2.答案：1或2。