三阶系统的单位阶跃响应主导极点
自控第三章 时域分析法
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————— *100% h（∞） 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L
-1
[ K（S）]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h（∞）= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小，而不能最终消除。
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。
(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du C c c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。
解：设激磁磁通f f i K =φ恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。
电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。
另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。
两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。
自动控制理论第四版课后习题详细解答答案（夏德钤翁贻方版）
⾃动控制理论第四版课后习题详细解答答案（夏德钤翁贻⽅版）《⾃动控制理论（夏德钤）》习题答案详解第⼆章2-1 试求图2-T-1所⽰RC ⽹络的传递函数。
(a)11111111+=+?=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： 2121221212)()(R R Cs R R R Cs R R z z z s U s U i o +++=+= (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压⽅程：=++=)(1)()]()([)(1)(2221111s I s C s U s I s I R s I sC s U o i 并且有)()1()(122211s I sC R s I s C += 联⽴三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：1)(1111)()(222111221212211112++++=+ ++=s C R C R C R s C C R R R s C R s C s C R sC s U s U i o 2-2 假设图2-T-2的运算放⼤器均为理想放⼤器，试写出以i u 为输⼊，o u 为输出的传递函数。
(a)由运算放⼤器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=，对上式进⾏拉⽒变换得到)()()s U i i +-= 故传递函数为RCsRCs s U s U i 1)()(0+=(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联⽴两式消去c u 得到02220101=++?u R u R dt du R CR i 对该式进⾏拉⽒变换得0)(2)(2)(20101=++s U R s U R s sU R CR i 故此传递函数为)4(4)()(10+-=RCs R R s U s U i (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联⽴两式可消去c u 得到 0222101=++?Ru R u dt du R CR ii 对该式进⾏拉⽒变换得到0)(2)(2)(2011=++?s U Rs U R s sU R CR i i 故此传递函数为RCs R R s U s U i 4)4()()(110+-= 2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输⼊量，以电动机的转⾓θ为输出量的微分⽅程式和传递函数。
基于Matlab的高阶阶系统单位阶跃响应主导极点分析
基于Matlab的高阶阶系统单位阶跃响应主导极点分析1. 引言在控制系统的设计和分析中，经常会遇到高阶阶系统。
高阶阶系统的单位阶跃响应主导极点分析是一项重要的任务。
通过分析系统的主导极点，可以对系统的动态性能进行评估，并在必要时进行控制器的调整和优化。
Matlab是一种强大的数值计算和编程环境，支持矩阵计算、绘图和数据分析等功能。
本文将介绍在Matlab中对高阶阶系统进行单位阶跃响应主导极点分析的方法和步骤。
2. 单位阶跃响应主导极点分析方法单位阶跃响应主导极点分析是通过分析系统的单位阶跃响应以及极点的位置来评估系统的动态特性。
主导极点是决定系统响应快慢的关键因素。
在Matlab中，可以使用控制系统工具箱中的函数来进行单位阶跃响应主导极点分析。
以下是一套基本的步骤：1.定义系统传递函数：在Matlab中，可以使用tf函数定义系统的传递函数。
例如，对于一个二阶系统，可以定义如下：sys = tf([b0 b1 b2], [a0 a1 a2]);其中b0, b1, b2和a0, a1, a2分别是系统的分子和分母多项式的系数。
2.绘制单位阶跃响应曲线：使用step函数可以绘制系统的单位阶跃响应曲线。
例如：step(sys);该命令将绘制系统的单位阶跃响应曲线。
3.分析主导极点：观察单位阶跃响应曲线，可以确定系统的主导极点。
主导极点是响应曲线上最快的极点。
4.评估系统的动态性能：根据主导极点的位置和单位阶跃响应曲线的特点，可以评估系统的动态性能。
例如，主导极点越远离虚轴，系统的动态响应速度越快。
5.进行控制器调整和优化：根据动态性能评估结果，可以对控制器进行调整和优化，以满足设计要求。
3. 实例分析为了更好地理解基于Matlab的高阶阶系统单位阶跃响应主导极点分析的方法，我们将介绍一个实例。
假设有一个三阶系统，传递函数为：G(s) = (s+2) / ((s+1)(s+3))我们可以在Matlab中进行如下操作：b = [12];a = conv([11], [13]);sys = tf(b, a);step(sys);运行上述代码后，将绘制出系统的单位阶跃响应曲线。
三阶系统的单位阶跃响应主导极点
第三章 线性系统的时域分析法
3
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应
极点对三阶系统系统性能的影响
两个复数极点闭环主 P3> n 导极点 －p3 附加闭环极点 三阶简化为二阶
极点愈靠近虚轴，其 对应分量的衰减愈慢， 即起主导作用
－p3向虚轴移动，超调 量，上升时间，调 节时间。 单调响应，无超调量
n
PD阻尼比d
二阶系统
t sr t cs (t ) 2 / n
第三章 线性系统的时域分析法
R(s)=1/s2
R( s) E ( s) 2 n (s 1) 1 s ( s 2 n )
esr lim sE ( s) 2 / n
s 0
8
卢p49
3. 扰动作用下的系统瞬态分析
带零点的二阶闭环系统－PD控制
增大阻尼比，减少 超调量，但也导致 稳态误差的增大。
输出比例加微分 PD 负反馈的系统 相同－超调量降低 优势－稳态误差不变 带零点的二阶闭环系统－PD控制
稳态误差 - tsr
2 n (s 1) G( s ) 2 2 s 2( ) s n n 2
Cd ( s ) T1s 1 K1K 2 / T1 D( s ) K1 s 2 s / T1 K1 K 2 K b / T1 稳态误差 K b K1K 2 / T1 (T1s 1) 1 K1 K b s 2 s / T1 K1 K 2 K b / T1
2 2
0<<1
=-1/
e nt l c(t ) 1 sin( d t ) (t 0) 2 z 1
零点与闭环复数极点相距愈远，零点影响愈小， 系统则与不带零点的系统响应相同。
自控理论 3-4高阶系统分析
C(t) 1.16 1.0 0.05
t
3.2 4.6 7.0
作图得 σ % = 16%
t r = 3.2
t p = 4.6
ts = 7
ω n = 0.8
可作为主导极点， β = 10.5， s1 s2 可作为主导极点， ζ = 0.5 原系统闭环增益 K = Φ ( 0) = 1
利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。 Φ(0)不变 利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。
式中 s1, 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ
2
1 增加闭环极点： 增加闭环极点：s 3 = − T
单位阶跃响应
e s 3t e − ζωn t c( t ) = 1 − − 2 βζ ( β − 2) + 1 βζ 2 ( β − 2) + 1 βζ ζ 2 ( β − 2) + 1 2 sin ω d t βζ ( β − 2) cos ω d t + 1−ζ 2
[
]
( 3 − 67 )
jω ω
式中 β =
ζω n
s3
− s3
s1
- ζωn σ 0
取ζ=0.5,以β为参变量作 =0.5, c(t)和 ωnt 的关系曲线 。 (t)和 图3-31
s2
结论
(1)附加一个闭环极点, 将使 σ％↓ ，r ↑, tp ↑。 t (2)增加的极点离虚轴越近上述影响越显著。 , 上述影响越显著。 (3)当β < 1, 呈现过阻尼响应迟缓。 ,响应迟缓。 (4)当β闭环主导极点
1.定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 2.满足以下两个条件： 满足以下两个条件： 满足以下两个条件 (1)距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点 距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 (2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 倍以上。 倍以上。 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 因而在系统的时间响应过程中起主导作用； 因而在系统的时间响应过程中起主导作用；而远 离虚轴的极点由于其对应的分量随时间的推移衰 减的快， 减的快，所以可在高阶系统分析中略去远极点对 系统响应的影响。 系统响应的影响。
三阶系统的分析与校正
课程设计报告( 2013—2014年度第一学期)名称：自动控制理论题目：三阶系统的分析与校正院系：控计学院班级：自动化1105学号：学生姓名：指导教师：袁桂丽设计周数：1周成绩：日期：2014年1月9目录一、《自动控制理论A》课程设计任务书 (1)二、《自动控制理论A》课程设计 (3)三、设计正文 (4)五课程设计心得 (21)六参考文献 (22)一、《自动控制理论A 》课程设计任务书1. 目的与要求本次课程设计是在学完自动控制理论课程后进行的。
详细介绍MATLAB 的控制系统工具箱的用法以及SIMULINK 仿真软件，使学生能够应用MATLAB 对自动控制理论课程所学的内容进行深层次的分析和研究，能用MATLAB 解决复杂的自动控制系统的分析和设计题目；能用MATLAB 设计控制系统以满足具体的性能指标； 能灵活应用MATLAB 的CONTROL SYSTEM 工具箱和SIMULINK 仿真软件，分析系统的性能，进行控制系统设计。
2. 主要内容简要介绍控制系统理论的基本概念和基本方法，并介绍MATLAB 软件的基本知识。
包括MATLAB 的基本操作命令、数据结构、矩阵运算、编程算法等; 简要介绍MATLAB 的控制系统工具箱的用法。
包括控制系统的模型及相互转换、时域分析方法、频域分析方法等应用MATLAB 工具箱进行分析研究，增强理解;简要介绍SIMULINK 仿真软件，介绍SIMULINK 的应用方法及各种强大功能，应用SIMULINK 对系统进行仿真研究;简要介绍控制系统分析与设计所必须的工具箱函数，包括模型建立、模型变换、模型简化、模型实现、模型特性、方程求解、时域响应、频域响应、根轨迹等各个方面。
1. 在掌握控制系统基本理论和控制系统工具箱函数的基础上，利用MATLAB 及其工具箱函数来解决所给控制系统的分析与设计问题,并上机实验;撰写课程设计报告。
2. 设计任务2.1 自选单位负反馈系统，开环传递函数)s (G 0[一个三阶或以上系统]。
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
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1)
(s2
n2 p3 2ns n2
)(s
p3 )
单位阶跃响应 R(s)=1/s （0< <1）： a0 1; a1 2 ( 2) /[ 2 ( 2) 1];
C(s)
a0 s
(s2
a1s a2
2 ns n2 )
a3 (s p3 )
第三章 线性系统的时域分析法
R(s)=1/s2
esr
lim
s0
sE(s)
2
/n
8
卢p49
3. 扰动作用下的系统瞬态分析
Cd (s) T1s 1 D(s)
1
K1K2 / s(T1s 1) K1K2Kb / s(T1s 1)
带零点的 K1
二阶系统
K1 K 2
s(T1s 1) K1K2Kb
输出比例加微分 PD 负反馈的系统
相同－超调量降低 优势－稳态误差不变
G(s)
s2
n2 (s 1)
2(
n 2
)
n
s
n2
PD阻尼比d
带零点的二阶闭环系统－PD控制
E(s) 1
R(s)
2 n
(s
1)
稳态误差 - tsr 二阶系统
s(s 2 n )
tsr t cs (t) 2 /n
esd ts
愈小愈好 愈快愈好
第三章 线性系统的时域分析法
9
4.高阶系统的分析
单位阶跃响应
m
(s)
带零点的二阶闭环系统的分析
Mp
1
2 2 2 1 e ( )/ 1 2 2
＝0.5
Mp tr 零点愈靠近复
数极点
第三章 线性系统的时域分析法
tr ( )n 1 2
ts [4 ln(l / z)]/ n 0.02 ts [3 ln(l / z)]/ n 0.05
3-4 高阶系统的时域分析
✓ 三阶系统的时域分析 ✓ 附加闭环零点对系统性能的影响 ✓ 扰动作用下的系统瞬态分析 ✓ 高阶系统的动态性能估算
卢p44;胡p102
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的传递函数 ： 惯性环节
闭环极点
C(s) R(s)
(s2
n2 2ns n2
)(Ts
n2
z
(s2
(s z)
2ns n2 )
=-1/
0<<1
c(t) 1
e nt
1 2
l z
sin( dt
)
(t 0)
零点与闭环复数极点相距愈远，零点影响愈小， 系统则与不带零点的系统响应相同。
第三章 线性系统的时域分析法
6
卢p47；例题卢p48
2. 附加闭环零点对系统性能的影响
非主导极点: 除主导极点外的其他闭环极点
第三章 线性系统的时域分析法
5
卢p46
2. 附加闭环零点对系统性能的影响
带零点的二阶闭环系统的传递函数与 单位阶跃响应
c(t) c0 (t)
dc0 (t) dt
C(s) R(s)
(s2
n2 (s 1) 2ns n2 )
l z p1 (z n )2 d 2 tg 1( 1 2 / ) tg 1[d /(z n )] z / n
7
Hale Waihona Puke 卢p482. 附加闭环零点对系统性能的影响
带零点的二阶闭环系统－PD控制
增大阻尼比，减少 超调量，但也导致 稳态误差的增大。
第三章 线性系统的时域分析法
3
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应
极点对三阶系统系统性能的影响
▪ 两个复数极点闭环主 P3> n 导极点
极点愈靠近虚轴，其 对应分量的衰减愈慢，
即起主导作用
▪ －p3 附加闭环极点 ▪ 三阶简化为二阶
－p3向虚轴移动，超调 量，上升时间，调 节时间。
2
卢p45
1.三阶系统的单位阶跃响应
☺ 6，三阶系统的单位阶 跃响应和二阶的相同，此时 三阶可简化为二阶系统； >1,Tn<1,系统单位阶 跃响应有振荡。
＝1,Tn＝1,系统单位阶 跃响应为临界阻尼状态。
<1,Tn>1,系统单位阶跃 响应为过阻尼状态。
＝0.3 典型三阶系统单位阶跃响应 曲线图
a2 2[2 2 ( 2) 1]n /[ 2 ( 2) 1]; a3 1/[ 2 ( 2) 1]; p3 / n.
ct 1
e nt
2 ( 2) 1
1
2
e nt 2(
2) 1
n 1
sin( dt ) t
2
0
二阶
c(t) 1
ent
1 2
s in( d t
)
(t 0)
第三章 线性系统的时域分析法
tg1{ ( 2) 1 2 /[ 2 ( 2) 1].
稳态分量＝1
三阶增加一个闭环极点，超调量 减少，调节时间增长。
扰动作用下的时域指标
2n K=K1K2Kb
Cd max愈小愈好
单位阶跃响应
cd max
1 [1 1
K1Kb 2
e ( ) /
]
cd
(t)
1 K1Kb
1 K1Kb
[
ent
1 2
s in( d t
)
T1n 1
2
ent
sin d t ]
▪ 单调响应，无超调量 ▪ 临界阻尼
P3< n
▪ －p3闭环主导极点 ▪ 复数极点使响应产生波纹；
P3= n
▪ 过阻尼
第三章 线性系统的时域分析法
4
1.三阶系统的单位阶跃响应
闭环主导极点
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的
极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴， 那么距虚轴最近的极点在系统响应过程中起主导作用， 这样的闭环极点称为主导极点
偏离仅考虑扰动响应
T1s 1 D(s) K1
Cd (s) D(s)
T1s 1 K1
s2
s
K1K2 / T1 / T1 K1K2Kb
/ T1
1
Kb K1K2 / T1(T1s 1) n2
稳态误差
esd
lim [0
t
cd
(t
)]
1 K1 K d
K1Kb s2 s / T1 K1K2Kb / T1