一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统的单位阶跃响应曲线
一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统的单位阶跃响应曲线，是描述系统动态响应的重要指标之一。
在控制系统中，一阶系统是普遍存在的，例如电路中的RC电路、机械系统中的阻尼系统等。
了解单位阶跃响应曲线，有助于我们更好地理解一阶系统的性能特征，并能够更好地设计和调节控制系统。
单位阶跃响应曲线是指，当系统输入信号为单位阶跃时，系统输出信号的变化规律。
一阶系统的单位阶跃响应曲线可表达为，y(t) =K(1-e^(-t/τ))，其中y(t)为系统的输出、t为时间、K为系统的增益系数、τ为系统的时间常数。
曲线的初始斜率为K/τ，随着时间的推移，斜率逐渐趋近于零。
曲线的形态反映了系统的响应速度和稳定性，以及系统的动态特征。
对于一阶系统的响应特点，我们可以从曲线的几个方面来观察和分析。
首先，我们可以看到响应曲线在初始时刻为零，即当输入信号改变时，系统初始时并未立即做出反应，而是需要经过一段时间才会开始响应。
这段时间即为系统的响应延迟时间，τ。
其次，我们可以看到曲线在初始时刻的斜率即为系统的增益系数，K/τ。
增益系数反映了系统的敏感度，即当输入信号改变时，系统的输出变化幅度与输入信号变化幅度之比。
增益系数越大，系统对输入信号的响应越敏感。
最后，我们可以看到曲线朝着稳态值逐渐趋近，而当时间趋向于无穷大时，曲线即达到稳态值。
稳态值即为系统在稳定状态下的输出，反映了系统的稳定性。
一般来说，系统的稳定性越好，稳态值的波动越小，即曲线趋于平缓。
通过对一阶系统的单位阶跃响应曲线的观察和分析，我们可以更好地理解系统的动态特性，以及指导我们进一步设计和调节控制系统的性能。
当我们需要提高系统的响应速度时，可以通过增加系统的增益系数或减小系统的时间常数来实现；当我们需要稳定系统的输出时，可以通过调整系统的增益系数或增加系统的时间常数来实现。
同时，我们也可以通过改变输入信号的方式和幅度来测试和验证系统的性能，以进一步完善控制系统的设计和调节过程。
机电习题集1
《控制工程基础》习题集第二部分 填空题1.积分环节的特点是它的输出量为输入量对 的积累。
2.满足叠加原理的系统是 系统。
3.一阶系统的单位阶跃响应在t ＝0处的斜率越大，系统的 越快。
4.临界阻尼二阶系统的单位阶跃稳态响应为 。
6.微分环节的输出比输入超前 。
7.若闭环系统的特征式与开环传递函数)()(s H s G 的关系为)()(1)(s H s G s F +=，则)(s F 的零点就是 。
8.线性定常系统的偏差信号就是误差信号的条件为 。
9.降低系统的增益将使系统的稳态精度 。
10.统在前向通路中含有积分环节将使系统的稳定性严重 。
11.不同属性的物理系统可以有形式相同的 。
12.当输入量发生突变时，惯性环节的输出量按 单调上升变化。
13.闭环系统前向传递函数是输出信号的拉氏变换与 的拉氏变换之比。
14.一阶系统的时间常数为T ，其脉冲响应为 。
15.过阻尼二阶系统的单位阶跃稳态响应为 。
16.干扰作用下，偏离原来平衡状态的稳定系统在干扰作用消失后将 回原来的平衡状态。
17.单位脉冲函数的拉普拉斯变换是 。
20.控制系统的误差是期望输出与 之差。
21.积分环节的积分时间常数为T ，其脉冲响应为 。
22.理想微分环节的输出量正比于 的微分。
23.一阶系统的时间常数T 越小，系统跟踪 的稳态误差也越小。
24.二阶临界阻尼系统的阶跃响应为 曲线。
28.对于二阶系统，加大增益将使系统的 变差。
29.Ⅰ型系统跟踪阶跃信号的稳态误差为 。
30.控制系统含有的积分个数多，开环放大倍数大，则系统的 愈好。
31.求线性定常系统的传递函数条件是 。
33.控制框图的等效变换原则是变换前后的 保持不变。
34.二阶欠阻尼系统的阶跃响应为曲线。
38.Ⅰ型系统跟踪阶跃信号的稳态误差为。
39.积分环节的特点是它的输出量为输入量对的积累。
41.理想微分环节的传递函数为。
42.实际系统传递函数的分母阶次分子阶次。
（完整版）大工《机械工程控制基础》期末考试复习题
（完整版）⼤⼯《机械⼯程控制基础》期末考试复习题⼤⼯2018年春《机械⼯程控制基础》期末考试复习题⼀、单项选择题（本⼤题共40⼩题，每⼩题2分，共80分）1、当⼆阶系统传递函数的极点分布在s 平⾯的虚轴上时，系统的阻尼⽐ζ为（）。
A ．ζ<0 B ．ζ=0 C ．0<ζ<1 D ．ζ≧12、已知函数1()()s F s s s a +=+，则()f t 的终值()f ∞=（）。
A ．0B ．∞C ．aD ．1/a3、某系统的传递函数2100()12100G s s s =++，则⽆阻尼⾃然频率n ω等于（）。
A ．10rad/sB ．0.1rad/sC ．1rad/sD ．0.01rad/s 4、作为⼀个控制系统，⼀般来说（）。
A ．开环不振荡B ．闭环不振荡C ．开环⼀定振荡D ．闭环⼀定振荡5、系统不稳定时，其稳态误差为（）。
A ．+∞B ．-∞C ．0D ．以上都不对6、⼀阶单位反馈系统的开环传递函数为G s Ks s K ()()=+，则该系统稳定的K 值范围为（）。
A ．K ＞0B ．K ＞1C ．0＜K ＜10D ．K ＞－17、某⼀系统的稳态加速度误差为⼀常数，则该系统为（）系统。
A ．0型B ．I 型C ．Ⅱ型D ．以上选项都不对8、以下关于系统稳态偏差的说法正确的是（）。
A ．稳态偏差只取决于系统的结构和参数B ．稳态偏差只取决于系统输⼊和⼲扰C ．稳态偏差与系统结构、参数、输⼊和⼲扰等有关D ．系统稳态偏差为09、在直流电动机的电枢回路中，以电流为输出，电压为输⼊，两者之间的传递函数是（）。
A ．⽐例环节 B ．积分环节 C ．惯性环节 D ．微分环节 10、⾃动控制系统的反馈环节中必须具有（）。
A ．给定元件B ．检测元件C ．放⼤元件D ．执⾏元件 11、在阶跃函数输⼊作⽤下，阻尼⽐（）的⼆阶系统，其响应具有减幅振荡特性。
A ．ζ＝0 B ．ζ>1 C ．ζ＝1 D ．0<ζ<1 12、⼀阶系统的传递函数为G s KTs ()=+1，则该系统时间响应的快速性（）。
32一阶系统的时域分析
k(0)=
1 T
h’(0)=1/T
K’(0)=
1
Th2(TT)=0.632h(∞)
h(2T)=0.865h(∞)
响应应
h(3T)=0.95h(∞)
问应
1 、3个图各如何求T？ h(42T、)=调0.节98时2h间(∞ts=)？
3 、r(t)=vt时，?ess=？
4、求导关系
小结: t d 1（t） d 2 t 1t
什么是二阶系统？凡以二阶微分方程作为运动方 程的控制系统，即为二阶系统。 研究二阶系统的意义:
1. 二阶系统的典型应用极为普遍 2. 不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系 统特性来表征。
本节主要内容： 一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。 二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和
ch(t()t=)1=-1e－e-t/T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
t
0
T
2T 3T 4T 5T
稳态性能指标:
图 3-4指 数 响 应 曲 线
一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差
ess
lim r (t )
t
h(t)
1
h()
11
0
讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过
dt
T dc(t) c(t) r(t)
(3-2)
dt
其中，T＝RC为时间常数；取拉氏变换
TsC(s) C(s) R(s)
TsC(s) C(s) R(s)
则一阶系统的传递函数为：
i(t) R
(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
(3-3)
r(t)
C c(t)
阶跃响应
一阶系统的单位阶跃响应：
一阶系统的数学模型：
用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
如上图所示RC滤波电路是一阶系统，其运动微分方程为
若初始条件为零，传递函数为：
T为系统的时间常数。
一阶系统的结构图如下：
输入r(t)=1(t)时，系统响应c(t)为单位阶跃响应。 带入上式得，
将输入信号的拉氏变换
进行拉氏反变换，得一阶系统的单位阶跃响应为 t
c(t ) 1 e源自T(t≥0)
可以看出，一阶系统单位阶跃响应的初始值为零，终值为1
一阶系统单位阶跃曲线：
表明：一阶系统单位阶跃响应是一条初始值为零、以指数规 律上升到稳态值的曲线。 特点：1.t=0处曲线的斜率最大，为1/T 2.若系统保持初始响应的变化率不变，当t=T时输出就 能达到稳定值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过4T的 时间，响应达到稳态值的 98%。所以，T反应了系统的响应速 度。
谢谢！
一阶系统的单位阶跃响应
图3－5所示系统。
其输入－输出关系为11111)()(+=+=Ts s Ks R s C （3-3） 式中KT 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 sTs s C 111)(+=将)(s C 展开成部分分式，有11()1C s ss T=-+（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 11)(--=0t ≥ (3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由11/()s T+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即Te T dt dh t t T t 1|1|010===-= (3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T1一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。
一阶系统分析
5. 当ξ<0时，系统有一对实部为正的共扼复根， 系统时间响应具有发散振荡的特性，称为 负阻尼状态。
15
二、二阶系统的单位阶跃响应 s1,2 n n 2 1
下面根据不同ξ值的条件来讨论对应的阶跃响应。
过阻尼ξ>1 的情况 式中：
于是闭环传递函数为
s2
2n s n2
(s
1 )(s T1
1) T2
0
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
C(s)
1 / T1T2
1
R(s) (s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2 s 1)
T1
T2
则系统在单位阶跃信号作用时，系统的输出
C(s)
1 / T1T2
1
(s 1 )(s 1 ) s
T1
T2
16
取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应
n K , 2n 1 KA
29
首先，由要求的求出相应的阻尼比 ，即由
ln 1 1.61
1 2
0.456
再根据要求条件t p 1s求取无阻尼自振频率n ：
n
tp
3.53rad / s
1 2
R(s)
K s(s 1)
另由 n K 解得：K n2 12.5
1 As
C(s)
n2
1 s
1
s n
n
s (s n )2 d2 (s n )2 d2
取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应:
c(t) 1 ent (cosd t
1 2
sin d t)
(t 0)
1
西交21春自动控制理论(高起专)+答案库考前复习
(单选题)1.若二阶系统的ζ不变,提高Wn,则可以( )
A: 提高上升时间和峰值时间
B: 提高上升时间和调整时间
C: 减少上升时间和峰值时间
D: 减少上升时间和超调量
正确答案: C
(单选题)2.最小相位系统的开环增益越大,其( )
A: 振动次数越多
B: 稳定裕量越大
C: 相位变化越小
D: 稳态误差越小
正确答案: D
(单选题)3.一阶系统的单位阶跃响应曲线中,时间常数 T 时刻对应的响应为稳态响应的( )
A: 98%
B: 95%
C: 87%
D: 66.3%
正确答案: D
(单选题)4.已知二阶系统的单位阶跃响应为x_0 (t)=1+0.2e^(-60t)-1.2e^(-10t),则系统的阻尼比和无阻尼固有频率为( )
A: 24.5, 1.43
B: 1.2, 0.2
C: 600,70
D: 60, 10
正确答案: A
(单选题)5.为了降低噪声干扰,有效的方法是( )
A: 提高系统的型别
B: 降低系统的型别
C: 提高截止频率
D: 降低截止频率
正确答案: D
(单选题)6.一阶系统Φ(s)=1/(Ts+1)的单位斜坡响应的稳态误差为( )
A: T。
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图3－5所示系统。
其输入－输出关系为
1
1
111)()(+=
+=Ts s K
s R s C （3-3） 式中K
T 1
=
，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。
实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。
一、一阶系统的单位阶跃响应
因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 s
Ts s C 1
11)(+=
将)(s C 展开成部分分式，有
11()1C s s
s T
=-
+
（3-4）
对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有 t T e t h 1
1)(--=
0t ≥ (3-5)
由方程(3-5)可以看出，输出量)(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。
常数项“1”是由s 1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。
方程(3-5)中第二项由1
1/()s T
+反变换得到，
它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特
征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平
面中的位置，若根处在复平面的左半平面
如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。
可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即
T
e T dt dh t t T t 1
|1|01
0===-= (3-6)
这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，
输出量就能达到稳态值。
实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的
T
1
一直下降到∞=t 时的零值。
因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态
值的95%，98.2%和99.3%。
由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间s t ，它表征系统过渡过程进行的快慢。
由于T t 3=时，输出响应已达到稳态值的95%；t=4T 时，输出达到稳态值的98.2%，故一般取
)(3s T t s =，(对应Δ=5%的误差带) 或 )(4s T t s =，(对应Δ=2%的误差带)
显然，时间常数T 是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间s t 也越小，响应过程的快速性也越好。
由图3-6(b)可以看出，图3－5所示系统的单位阶跃响应在稳态时与输入量之间没有误差，即
011)(1=-=∞-=h e ss 假设，现有一个单位反馈系统，其开环传递函数为1
21
)(+=Ts s G ，试自行推导其单位
阶跃响应，并与图3-5系统比较其异同。