【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理科)一轮复习模拟试题及答案解析
【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(理)高考模拟仿真试题及答案解析二
2018届高三模拟考试数学理试题答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|||{〈=x x A ，|{x B =x 31log ＜0},则B A ⋂是A ．∅B ．（－1，1）C ．)21,0( D ．(0,1)【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：}1|{<=x x A {}11<<-=x x ，|{x B =x 31log ＜0}{}1>=x x ，所以B A ⋂=∅故选：A【思路点拨】解出不等式1<x 和0log 31<x 的解集，利用B A ⋂的定义即可解得结果。
2．若bi i ai -=+1)21(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则=+||bi aA ．i +21 B ．5C ．25 D ．45 【知识点】复数相等的充要条件；复数的模【答案解析】C 由已知得：bi i a -=+-12，所以1,21-=-=b a ，则i bi a --=+21， 所以=+||bi a 2545)1()21(2122==-+-=--i ， 故选：C【思路点拨】把给出的等式左边化简，整理后运用复数相等的充要条件求得a 和b 的值，然后利用求模公式计算．3．已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =--1的最大值为A ．5B ．4C ．12D ． 3- 【知识点】简单的线性规划【答案解析】B 解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，如图：其中A （-1，-1），B （2，-1），C （21，21） 2z x y =--1可变形为：12--=z x y ，表示斜率为2，在y 轴上截距为1--z 的一组平行线，将直线l ：z=2x-y 进行平移，当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ， 所以41)1(22max =---⨯=z ，故选：B【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=2x-y-1对应的直线进行平移，可得当x=2，y=-1时，z 取得最大值。
【全国通用-2018高考推荐】高三数学(理科)高考一模测试题及答案解析
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．811．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2 D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n ﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n×（）n+1= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD ∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．20．如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．2．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③为假命题相，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为真命题．∴正确的是②④，故选：D．3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．5．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数f（x）=sin（2x﹣2φ）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨设：x2=，x1=，即f（x）在x1=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=+kπ，k∈Z，由于0＜φ＜，不合题意，不妨设：x2=，x1=﹣，即f（x）在x1=﹣，取得最小值，sin[2×（﹣）﹣2φ]=﹣1，此时φ=﹣kπ，k∈Z，当k=0时，φ=满足题意．故选：D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，∴由g（x）=f（x2﹣4x+5），得g（x）关于x=2对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有6个根，则六个根两两关于x=2对称，则关于对称的根分别为x1和x2，x3和x4，x5和x6，则=2，=2，=2则x1+x2=4，x3+x4=4，x5+x6=4则这6个根之和为4+4+4=12，故选：C．8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|， ∴|BF 1|=2a ，设切点为T ，B （x ，y ），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B （，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a ，则c==a ，即有e==．故选C ．10．已知点A （1，﹣1），B （4，0），C （2，2），平面区域D 由所有满足（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）的点P （x ，y ）组成．若区域D 的面积为8，则a+b 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．8【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）表示的平面区域D 为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S 平行四边形DEQF ==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b ）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ．分别作=， =， 则由所有满足（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）表示的平面区域D 为平行四边形DEQF ．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．11．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣a1，结合S2017=﹣1007﹣b，求得a1+b=1，代入+，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣a1=﹣1008，即：a1﹣1008=﹣1007﹣b，∴a1+b=1，∴+=+=3++2≥3+2，故选：D．12．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，进一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），把函数g（x）求导，用η，ξ表示b，c，二次求导可得在区间（η+1，ξ+1）内h′（x）＜0，则答案可求．【解答】解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，∴f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），由0＜ξ﹣η＜1，得0＜ξ，η＜0，则g′（x）=x2﹣3x+（b+2）+=，令h（x）=x3﹣3x2+（b+2）x+c﹣b+η=x3﹣3x2+（2﹣3ξ2）x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ=（x﹣1）3﹣（1+3ξ2）（x﹣1）+2ξ2﹣2ξ，则h′（x）=3（x﹣1）2﹣（3ξ2+1），当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ﹣1）＜0．∴h（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1）+（2ξ3﹣2ξ）=0，当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=0，即当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜0，∴g（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（3，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，则m＞3，故答案为：（3，+∞）14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】对任意n∈N*，都有S n＞0，可得：a1＞0，d≥0．由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+﹣9=0，△＞0，而且两根之和=﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：对任意n∈N*，都有S n＞0，∴a1＞0，d≥0．∵a2a4=9，∴（a1+d）（a1+3d）=9，化为+4a1d+3d2﹣9=0，△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．d=时，a1=0，舍去．则d的取值范围为．故答案为：．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C 上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，可知：A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），分别代入椭圆方程可得：=．由于直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，可得﹣2≤≤﹣1，==k2，可得k1k2=．即可得出．【解答】解：∵椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，∴A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），=1，=．设P（x0，y0），则=1，可得：=．∴=．∵直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，∴﹣2≤≤﹣1，==k2，∴k1k2===．∴，∴﹣1，解得．那么直线PA1斜率的取值范围是．故答案为：．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n ﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n×（）n+1= ．【考点】组合及组合数公式；类比推理．【分析】由，可得，即，再利用二项式定理即可得出．【解答】解：由，得，，∴==．故案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab•sinC，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得sinC=，…∴S=ab•sinC==．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～5051～100101～150151～200201～300＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C 五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y关于x的回归方程是．（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7．设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，（ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为X ﹣200 400 700P 0.1 0.2 0.7则X的数学期望为EX=﹣200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C 五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：．19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD ∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，Cz 为z 轴，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ，如图所示，则，∵x 轴⊂平面ACD ，∴平面ACD 的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z 轴∥平面ABD ，∴平面ABD 的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为θ，那么，∴，∴二面角B ﹣AD ﹣C 的正弦值为．20．如图，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F （0，1），取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q ．（1）求抛物线C 和圆Q 的方程；（2）过点F 作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l ，且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，求|MN||AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出r，b，可得圆Q的方程；（2）设出直线方程y=kx+1且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|•|AB|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2+（y﹣b）2=r2，∵P1Q⊥P2Q，∴△P1QP2是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有．由题可知在P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线x2=4y求导得，所以抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，所以，代入，解得b=3．所以圆Q的方程为x2+（y﹣3）2=8．（2）设直线l的方程为y=kx+1，且，圆心Q（0，3）到直线l的距离为，∴，由，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由抛物线定义知，，所以，设t=1+k2，因为，所以，所以，所以当时，即时，|MN||AB|有最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h （x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，求出AD，即可求圆O的半径R；（Ⅱ）求出cos∠DOE，即可求线段BE的长．【解答】解：（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，∵CD=4，DE=2，BD=2，∴4×2=2AD，∴AD=8∴AB=10，∴圆O的半径R=5；（Ⅱ）△ODE中，DE=2，OD=3，OE=5，∴cos∠DOE==，∴BE==．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，由|x+3|＞|x﹣7|，两边平方，解得，x＞2，由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，且x≥7时，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．则有2＜x＜7．故可得其解集为{x|2＜x＜7}；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．2016年9月3日。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理)一轮复习模拟试题及答案解析
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算、几何意义即可得出．【解析】：解：复数z=（2﹣i）2=3﹣4i在复平面内对应的点（3，﹣4）所在的象限是第四象限．故选：D．【点评】：本题考查了复数的运算、几何意义，属于基础题．2．（5分）已知双曲线离心率是，那么b等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线离心率是，可得a=2，c=，即可求出b的值．【解析】：解：∵双曲线双曲线离心率是，∴a=2，c=，∴b==1，故选：A．【点评】：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据题意，得出该几何体的侧视图是什么，从而得出正确的结论．【解析】：解：根据题意，得；该几何体的侧视图是点A、D、D1、A1在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被挡住的线段，应为虚线；∴符合条件的是B选项．故选：B．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．4．（5分）设a=﹣1，b=2log3m，那么“a=b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：集合．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若a=b，则2log3m=﹣1，解得，当时，b=2log3m=2log3=log3=﹣1，此时a=b，即“a=b”是“”的充要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的运算法则是解决本题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=那么该函数是（）A．奇函数，且在定义域内单调递减B．奇函数，且在定义域内单调递增C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，且在（0，+∞）上单调递增【考点】：分段函数的应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数的奇偶性和单调性的定义，注意函数的定义域的运用，加以判断即可得到．【解析】：解：函数f（x）=，定义域关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣2x=﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则有对于x∈{x|x∈R，x≠0}，都有f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数，又x＞0时，f（x）=2x递增，x＜0时，f（x）=﹣2﹣x递增，又x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）＞0，由单调性的定义可得f（x）在定义域内为递增函数．故选：B．【点评】：本题考分段函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法的运用，属于中档题．6．（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解析】：解：将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（x+）的图象；令x+=kπ，k∈z，求得x=2kπ，故所得函数的图象的一条对称轴方程为x=，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金．李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（）A． 3 B．4 C． 5 D． 6【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：综合题；推理和证明．【分析】：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，可得x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，即可得出结论．【解析】：解：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，故不同的选择方式的种数是3种，故选：A．【点评】：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f（x+t）+tf（x）=0对任意x都成立，则称f（x）是“回旋函数”．给下列四个命题：①函数f（x）=x+1不是“回旋函数”；②函数f（x）=x2是“回旋函数”；③若函数f（x）=a x（a＞1）是“回旋函数”，则t＜0；④若函数f（x）是t=2时的“回旋函数”，则f（x）在[0，4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：①利用回旋函数的定义即可．②利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；③若指数函数y=a x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得出结论．④由定义得到f（x+2）=﹣2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点令x=0，2，2×2，3×2，…，2015×2，即可得到【解析】：解：对于①函数f（x）=x+1为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得x+t+1+t （x+1）=0，t（x+2）=﹣1﹣x，∴t=﹣，故结论正确．对于．②函数f（x）=x2是“回旋函数”若（x+t）2+tx2=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有t=0，令x=1，则有t2+3t+1=0，显然t=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论不正确；对于③，若指数函数y=a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x=0，a t+t=0，∴t＜0，∴结论成立，对于④：若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+2）=﹣2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，…，2015×2，则函数f（x）在[0，4030]上至少存在2015个零点．故结论正确故真命题为：①③④，故选：C．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，那么实数m= 2或4 ．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：集合．【分析】：利用元素与集合之间的关系即可得出．【解析】：解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，∴m∈A，∴m=2或4．故答案为：2或4．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题．10．（5分）已知数列{a n}中，a2=2，a n+1﹣2a n=0，那么数列{a n}的前6项和是63 ．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：∵a2=2，a n+1﹣2a n=0，∴a n+1=2a n，∴2a1=2，解得a1=1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴S6==63．故答案为：63．【点评】：本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是0 ．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=5时满足条件i ＞4，退出循环，输出a的值为0．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得a=2，i=1不满足条件i＞4，a=，i=2不满足条件i＞4，a=1，i=3不满足条件i＞4，a=，i=4不满足条件i＞4，a=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出a的值为0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值是解题的关键，属于基础题．12．（5分）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PC过圆心O，且与圆O交于B，C两点，过C点作CD⊥PA，垂足为D，PA=4，BC=6，那么CD= ．【考点】：相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：利用切割线定理，求出PO，利用△OAP∽△CDP，求出CD．【解析】：解：由题意，利用切割线定理可得：42=PB•（PB+6），∴PB=2，∴PO=5，连接OA，则OA⊥PA，∵CD⊥PA，∴△OAP∽△CDP，∴，∴∴CD=．故答案为：．【点评】：本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．13．（5分）11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是16 ．【考点】：计数原理的应用．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分类讨论，利用列举法，即可得出结论．【解析】：解：若重复的是1，有1317，1371，1137，7131，1713，7113，共6个；1，3交换，重复1317，7131，有4个若重复是3，有1337，1373，3137，7133，3713，7313，共6个；1，3交换，重复3137，7313，有4个若重复是7，有1377，7137，7713，3177，7317，7731，共6个，共有10+10+6=26．故答案为：26．【点评】：本题考查计数原理的运用，考查列举法，比较基础．14．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=120°，AD=DC=2，AB=4，动点M在△BCD内（含边界）运动，设=+μ，则λ+μ的取值范围是[1，] ．【考点】：简单线性规划的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】：不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：建立空间坐标系，利用向量的基本定理，求出M的坐标，利用线性规划的知识进行求解．【解析】：解：将四边形ABCD放入坐标系中，则A（0，0），D（0，2），B（4，0），∵∠ADC=120°，AD=DC=2，∴∠DCA=30°，AC=，则C（），设M（x，y），∵=+μ，∴（x，y）=λ（4，0）+μ（0，2）=（4λ，2μ），即x=4λ，y=2μ，则λ=，μ=，则λ+μ=+，设z=+，则y=+2z，平移直线y=+2z，由图象知当直线y=+2z经过点B（4，0）时，截距最小，此时z最小，z=，当直线y=+2z经过点C（）时，截距最大，此时z最大，即z=，故1≤z≤，故λ+μ的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]【点评】：本题主要考查平面向量基本定理的应用以及线性规划的综合应用，建立坐标系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，，△ABC的面积是．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2A的值．【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得a的值，再利用余弦定理求得b的值．（Ⅱ）由正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2A的值．【解析】：解：（Ⅰ）因为△ABC的面积是，c=5，，所以=，即=，求得a=3．由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，求得b=7．（Ⅱ）由正弦定理，可得，∴．【点评】：本题主要考查正弦定理和余弦定理、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．16．（13分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求出年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A，所以．…（3分）（Ⅱ）设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，所以．…（7分）（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．所以，，，．…（11分）所以X的分布列是…（12分）所以EX=0×+1×+2×=．…（13分）【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．17．（14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，且∠A1AC=，点O为AC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面A1OB；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点B关于AC的对称点是D，在直线A1A上是否存在点P，使DP∥平面AB1C．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连结A1C，证明A1O⊥AC，BO⊥AC，可得AC⊥平面A1OB；（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值；（Ⅲ）设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），．由，得．求出λ，即可得出结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连结A1C，因为AC=AA1，，AB=BC，点O为AC的中点，所以A1O⊥AC，BO⊥AC．因为A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1OB．…（4分）（Ⅱ）解：因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，所以A1O⊥平面ABC．所以A1O⊥BO．…（5分）所以以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，所以，，．设平面AB1C的法向量为，所以即所以．…（7分）因为平面ABC的法向量为，所以＜．所以二面角B1﹣AC﹣B的余弦值是．…（9分）（Ⅲ）解：存在．因为点B关于AC的对称点是D，所以点．…（10分）假设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），．所以．所以．所以．…（12分）因为DP∥平面AB1C，平面AB1C的法向量为，所以由，得．所以λ=1．…（13分）所以在直线A1A上存在点P，使DP∥平面AB1C，且点P恰为A1点．…（14分）【点评】：本题考查线面垂直，考查二面角的余弦值，考查线面平行，正确运用向量法是关键．18．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点是F（﹣1，0），上顶点是B，且|BF|=2，直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若在x轴上存在点P，使得与k的取值无关，求点P的坐标．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由椭圆C的左焦点是F（﹣1，0），且|BF|=2，可得c，a．再利用a2=b2+c2，得b2即可．（II）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积及其使得与k的取值无关，即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点是F（﹣1，0），且|BF|=2，∴c=1，a=2．由a2=b2+c2，得b2=3．∴椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）∵直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点，联立方程组消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．∴△=144k2+144＞0．设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），∴，．∴=（x1﹣x0）•（x2﹣x0）+y1y2=====，∵与k的取值无关，∴．∴．∴点P的坐标是．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）=ae﹣x﹣x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，求证：2e﹣x﹣2＜x2﹣x．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，利用导数研究函数的最值即可求a的取值范围；（Ⅲ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明不等式．【解析】：解：（Ⅰ）因为f（x）=ae﹣x﹣x+1，a=1，所以f（x）=e﹣x﹣x+1．所以f'（x）=﹣e﹣x﹣1．所以f（0）=2，f'（0）=﹣2．所以切线方程是y﹣2=﹣2x，即2x+y﹣2=0．（Ⅱ）由f（x）＜0可得ae﹣x﹣x+1＜0．所以a＜（x﹣1）e x．令g（x）=（x﹣1）e x．所以g'（x）=xe x＞0．所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．所以﹣1＜g（x）＜0．所以a≤﹣1．（Ⅲ）令．所以h'（x）=﹣2e﹣x﹣x2+1．…（9分）由（Ⅱ）可知，当a=﹣2时，f（x）=﹣2e﹣x﹣x+1＜0．所以h'（x）＜0．所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．所以h（x）＜h（0）=0．所以．【点评】：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．20．（14分）设函数f（x）=，方程f（x）=x有唯一解，数列{a n}满足f（a n）=a n+1（n∈N*），且f（1）=数列{b n}满足b n=．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，其前n项和为S n，若存在n∈N*，使kS n=成立，求k的最小值；（Ⅲ）若对任意n∈N*，使不等式成立，求实数t的最大值．【考点】：数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）通过根的判别式为零可知=x有唯一解时，从而，计算可知，利用得a1=1；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b n=2n﹣1，通过拆项可知c n=（﹣），从而利用基本不等式解可得；（Ⅲ）对已知不等式变形及可知＞0，通过作商法可知g（n）是递增数列，计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）∵，方程f（x）=x有唯一解，∴，即mx2+（2m﹣1）x=0（m≠0）有唯一解．∴△=4m2﹣4m+1=0．所以，∴，∴，∴a n a n+1+2a n+1﹣2a n=0，∴，∴，∵，∴，解得a1=1．所以数列首项为1，公差为的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴．∵，∴b n=2n﹣1，∴，∴=，∵，∴，所以，当且仅当，即n=2时等号成立．所以k的最小值是；（Ⅲ）∵，∴．令，∵，∴g（n）＞0，∴=，∴g（n）是递增数列，从而，∴．所以t的最大值是．【点评】：本题是一道数列与不等式的综合题，涉及到基本不等式，数列的单调性，根的判别式等知识，考查分析、解决问题的能力以及计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．。
2018年全国普通高等学校高考高三数学模拟试卷及解析高三理科数学(一)
2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。
【全国通用-2018高考推荐】高三数学(理科)一轮复习检测试题及答案解析
2017-2018学年度一轮复习检测二高三年级理科数学试题考试时间120分钟 试题分数150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}0,A b =，{}2|30B z Z x x =∈-<，若AB ≠Φ，则b 等于 （ ）A.1 B ．2 C ．3 D ．1或2 2、若:1p x >,1:1q x<，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知在各项为正的等比数列{}n a 中,2a 与8a 的等比中项为8,则374a a +取最小值时首项1a 等于( )A.8B.4C.2D.14、已知正数x,y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则142yx x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为 （ ）A ．1B ．3124C ．116D ．1325、已知角θ的始边与轴非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则cos 2θ= （ ）45A -、45B 、35C -、35D 、6、已知非零向量a 、b 满足233a b a b a +=-=，则a b +与a b -的夹角为（ ）56A π、6B π、23C π、3D π、7、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．1808．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形， 如图所示，则该几何体的体积等于 （ ） A ．123 B ．163 C ．203 D ．3239、有一个函数的图象如图所示，则这个函数可能是下列哪个函数（A ）221xy x =--（B ）2sin 21x x x y =+（ ）（C ）2(2)x y x x e =-（D ）ln x y x=10、已知函数()1y f x =-的图像关于直线1x =对称，()'y f x =是()y f x =的导函数，且当(),0x ∈-∞时，()()'0f x xfx +<成立。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)全国统一考试猜题卷及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）理科数学本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目，2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z==·( )A. -2+i B．i C．2-i D．-i：2．已知集合M= ，N=，则MUN=·( )A.[-2，4）B．（-2，4）C．(o，2) D．(o，2]3．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50入中，编号落人区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为·( ) A．12 B．13 C．14 D．154．已知命题p:函数y=ln(x2 +3)+的最小值是2；命题q：x>2是x>l的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是··( )A. p q B．￢p q C．￢p q D．p q5．已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1，的焦点的距离为p，则双曲线C2的离心率等于··( )A．B．C．D．6．的展开式中含x的正整数指数幂的项数是··( )A1 B．2 C．3 D．47．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是··( )A.若a2+a5>0, 则a1+a2>0B.若a1+a3<0, 则a1+a2<0C.若0<a1<a2，则a3>-D.若a1<0，则（a2-a1）（a4-a2）>08．如图，正四棱锥P-ABCD庇面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P-ABCD=，则球O的表面积是··( )A．4B．8C．12D．163 r+y-2≤0，9．变量x，y满足线性约束条件，目标函数z= k x-y仅在点(O，2)取得最小值，则k的取值范围是··( )A．k<-3 B．k>l C．-l<k<1 D．-3<k<l10．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为·( )A．B．C．D．11.已知M是△ABC内一点（不含边界），且·=2，∠BAC=300，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y，z，记f (x，y，z)=，则f(x，y，z)的最小值为·( )A. 26 B．32 C．36 D．4812.已知集合M=，若对于任意（x1，y1）∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“商高线”．给出下列四个集合：①M=；②M=；③M=；④M=．其中是“商高线”的序号是··( )A.①②B.②③C.①④D.②④绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）理科数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共6页，请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出的m的值是__________________.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m（m为常数），则f(-log35)的值为________________.15.关于函数f(x)=2(sinx—cos x) cosx的四个结论：P1: 最大值为；P2: 把函数f(x)=的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sinx一cosx)cosx的图象；P3: 单调递增区间为，k∈Z；P4: 图象的对称中心为，k∈z．其中正确的结论有_________个．16.已知数列{a n}满足a1=，a n-1-a n=(n≥2)，则该数列的通项公式为_________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A=，sin B=3sin c．（1）求tan C的值；（2）若a=，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）201 5年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表（图①）：已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2：3．（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（图②）．（2）该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，从“压岁钱超过2千元的青少年”、“压岁钱不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设S为选取的3人中“压岁钱超过2千元的青少年”的人数，求ɛ的分布列和数学期望．（3）若以颇率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“压岁钱超过2千元的青少年”的人数为η，求η的期望．19.（本小题满分12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD=BD=2，BF=2DE=2(1)求证：AE⊥CF；(2)求二面角A-FC-E的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点，譬在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程5(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线L交椭圆C于A,B两点，求证：为定值，21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R)，g(x)满足gˊ(x)=（a∈R，x>0），且g(e)=a，e为自然对数的底数．(1)已知h(x)=e1--x f (x)，求h(x)在(1，h(1))处的切线方程；(2)若存在x∈[1，e]，使得g(x)≥一x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；(3)设函数F(x)=，O为坐标原点，若对于y=F(x)在x≤一1时的图象上的任一点P，在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q，使得·，且PQ的中焦在y轴上，求a的取值范围，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D．(1)求证：=；(2)若AC=3，求AP·AD的值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：(a>0)，过点P（-4，-2）的直线L的参数方程为（t为参数），L与C分别交于点M，N.（1）写出C的直角坐标方程和L的普通方程；（2）若，，成等比数列，求a的值，24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=lx--1l+ lx+1l.（1）求不等式，f(x)≥3的解集；（2）若关于x的不等式，f（x）˃a2-x2 +2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．答案1.B 解析：解法一：z===i解法二：z==2.A 解析：M=，N=，M N=[-2，4）3.A解析：若采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，…，所以编号落入区间[1，400]的有20人，编号落入区间[401，750]的有18人，所烈做问卷C的有12人．4.C解析：命题p为假命题，命题q为真命题，所以￢p q为真命题．5.C 解析：因为点A到抛物线C,的焦点的距离为p，所以点A到抛物线准线的距离为p，从而点A的坐标可以为（，±p），所以双曲线的渐近线方程为了y=±2x．所以=2，所以b2=4a2．又b2=c2 -a2，所以c2= 5a2．所以双曲线的离心率为6．B解析：的展开式中第r+1项为．（-）=(-1)r，当为正整数时，r=0或2，所以的展开式中含x的正整数指数幂的项数是2．7．C解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a2+a5>0，则a1十a2=(a2 - d)+(a5 - 3d)=(a2 +a5）-4d，由于d 的正负不确定，因而a1+a2的符号不确定，故选项A错误；若a1+a3<0，则a1 +a2=（a1+a3）-d，由于d的正负不确定，因而a1+a2的符号不确定，故选项B错误；若0<a1<a2，则a1>0,d>0,a2>0,a3>0,a4>0,所以=，a3>，故选项C正确；（a2–a1）（a4 - a2）=d(2d) =2d2，由于d有可能等于0，故选项D错误．8．D 解析：连接PO，由题意知，PO⊥底面ABCD，PO=R，S正方彤ABCD== 2R2．因为V P-ABC=，所以，解得R=2，所以球0的表面积是16．9．D解析：如图，作出不等式组表示的平面区域，由z= kx-y得y =kx-z，要使目标函数z=kr-y仅在点A(O，2)处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方，所以目标函数的斜率A满足-3<k<l．10．D解析：由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥，其中从点A出发的三条棱两两垂直，且AB=1，PC=，PB=a，BC=b，则PA2 +AC2 =a2—1 +b2 -1=6，即a2+b2 =8.所以(a+b)2 =8+2ab≤8+2，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号，此时，PA=，AC=.所以该几何体的体积V=．11.C解析：由·=2．∠BAC=300得S△ABC=1，即x+y+z=1，f(xyz)==14+=14+4+6+12=36.当且仅当y=2x，z=3x，2z=3y，即x=，y=，z=时取等号12．D解析：如果对于函数图象上的任意一点M(x1，y1)，在其图象上都存在点N(x2，y2)使OM⊥ON，则函数图象上的点的集合为商高线．对于①，若取M(1，1)，则不存在这样的点；对于③，若取M(1，O)，则不存在这样的点．故选D．13. 0 解析：若输入x=0.1，则m=lg 0.1= -1，因为m<0,m= -1+1=0.所以输出的仇的值为0．14. -4解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=1+m=0，m= -1．f(-log35)=-f(log3 5)=- (3log35-1)=-4.15. 2 解析：因为f(x)=2sinx·cosx2cos2x=sin2x cos2x1=，所以其最大值为1，P1错误f(x)=的图像向右平移个单位后得到函数为f(x)==，P2错误由，k Z得函数f(x)的单调递增区间为，k Z，P3正确16. 解析：因为a n-1-a n=(n)，，..所以，，经检验，n=1时也适合此公式17. 解(1)因为A=，B+C=sin(-C)=3sinC·2分cosC+sinC=3 sinC·4分cosC=sinC，tanC=·6分(2)由，sinB=3sinC得b=3c·8分ΔABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cosA=9c2+c2-2×(3c) ×c×=7c2·10分因为a=，c=1，b=3ΔABC的面积为S=bsinA=·12分18. 解：(1)根据题意，有，解得·2分p=0.15，q=0.10(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“压岁钱超过2千元的青少年”有10=4人，“压岁钱不超过2千元的青少年”有10=6人··5分故的可能取值为0，1，2，3P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=·7分所以的分布列为：0 1 2 3P·10分(3)以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱超过2千元的青少年”的概率为，则η~B(15，)，所以随机变量η的期望为E(η)=15×=6·12分19. (1)证明：方法一：由题意知，在ΔAEF，AE=，EF=，AF=·1分AE2+EF2=AF2，AE⊥EF.·2分在ΔAEC中，AE=， EC=，AF=·3分AE2+EC2=AC2，AE⊥EC·4分又EF EC=E,AE⊥平面ECF·5分又平面ECFᴝFC，AE⊥FC.·6分方法二：因为四边形ABCD是菱形，AD=BD=2，AC⊥BD,AC=·1分因为ED⊥平面ABCD,BD=2，BF=2，DE=2，故可以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第一次高考模拟试题及答案解析一
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|2≤x＜4} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}2．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x＞0，则“a=4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A．17 B．16 C．18 D．195．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．6 B．12 C．24 D．606．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D．8．有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79）则P（ξ≤﹣2）=0.21；③函数f（x）=﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个9．已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时xf′（x）＜﹣f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=﹣2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b10．已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）11．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为．14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= ．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f3（x）=2，，，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．19．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．21．对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．选修4-5：不等式选讲．24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤2x的解集；（2）如果关于x的不等式log a2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|2≤x＜4} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】集合A为绝对值不等式的解集，由绝对值的意义解出，求出其和集合B的交集，求出后进行集合的运算即可．【解答】解：A=[0，2]，B=[﹣1，2]，所以A∩B=[0，2]=A，∁R（A∩B）{x|x＜0或x＞2}，故选：C．【点评】本题考查对集合的认识以及集合的基本运算，属基本题．2．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法化简复数，求出对应点的坐标，即可判断选项．【解答】解：复数z===﹣1﹣2i．复数z=的共轭复数对应的点（﹣1，2），所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知x＞0，则“a=4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合基本不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若a=4，则根据基本不等式的性质可知x+=x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，即充分性成立．若a=16，x+=x+≥2=8，当且仅当x=，即x=4时取等号，此时满足x+≥4成立，但a=4不成立，即必要性不成立，故“a=4“是“x+≥4”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A．17 B．16 C．18 D．19【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加器S≥p时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于16时继续循环，故p的最小整数值为16．故选：B【点评】处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将n=n+1与S=S+2n ﹣1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．6 B．12 C．24 D．60【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，∴5a1+35d=120，解得a1+7d=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=24．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先画出图形，如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．【解答】解：如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得，•=0，∴AC⊥OF，∴AO=AF，又c=OF，OA：y=，A的横坐标等于C的横坐标，所以A（，），且AO=，AO2=，所以a=b，则双曲线的离心率e为=．故选C．【点评】本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知若（+）•=0的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+3）的距离为要使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．8．有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79）则P（ξ≤﹣2）=0.21；③函数f（x）=﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据特称命题的否定进行判断；②根据正态分布的定义和性质判断；③利用根的存在性判断．【解答】解：①根据特称命题的否定是全称命题知：命题“存在x∈R，使x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“对任意的x∈R，都有x2﹣x﹣2＜0”；所以正确．②因为正态分布的对称轴为x=1，所以P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=1﹣0.79=0.21，所以正确．③因为f （）＜0，f （）＞0，所以根据根的存在性定理可知，正确． 故选A ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，涉及的知识点较多．9．已知函数y=f （x ）定义在实数集R 上的奇函数，且当x ∈（﹣∞，0）时xf ′（x ）＜﹣f （x ）成立（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a=f （），b=f （1），c=﹣2f （log 2），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】由f （x ）为奇函数得到f （﹣x ）=﹣f （x ），有xf ′（x ）+f （x ）＜0，由导数的积的运算得到[xf （x ）]′＜0，令F （x ）=xf （x ），则F （x ）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=﹣2f （﹣2）=2f （2）=g （2），a=f （）=g （），b=f （1）=g （1），即可得到所求大小关系．【解答】解：当x ∈（﹣∞，0）时，xf ′（x ）＜﹣f （x ）， 即xf ′（x ）+f （x ）＜0， ∴[xf （x ）]′＜0， ∴令F （x ）=xf （x ），由函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 则F （x ）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数， 由c=﹣2f （log 2）=﹣2f （﹣2）=2f （2）=g （2），a=f （）=g （），b=f （1）=g （1），由1＜＜2，可得b ＜a ＜c ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．10．已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；数形结合；转化思想；不等式．【分析】由题意作平面区域，从而化简可得t==1﹣，而几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，∵（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0，∴t（x+y+2）+2x﹣y+4=0，∴t==1﹣，几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，而k AB==，k AC==1，故≤＜1，故＜≤，故﹣≤1﹣＜﹣，故选：A．【点评】本题考查了数形结合的思想应用，同时考查了转化的思想应用，关键在于化简得到t=1﹣．11．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；球．【分析】由余弦定理求出CD=2，以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，球O的半径R=，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，∴CD==2，∴BC2+CD2=BD2，∴AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，则球O的半径R===，∴球O的表面积S=4=25π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为15 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】先利用定积分求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中的常数项．【解答】解：a=dx=lnx=2﹣1=1，则二项式（ax2﹣）6 =（x2﹣）6 的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有45 种．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；整体思想；分析法；排列组合．【分析】设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得．【解答】解：设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，则有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种，故答案为：45．【点评】本题考查错位排序法，需要分类讨论，列举要不重不漏，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= 2．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】先利用面积公式，求出边a=4，再利用正弦定理求解比值．【解答】解：由题意，=×c×1×sin120°∴c=4，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．∴a=∴==2．故答案为：2．【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．【考点】类比推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】观察发现ax2+bx+c＞0将x换成﹣x得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0，则解集也相应变化，﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1），不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，分析可得答案．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），∴x∈（﹣1，﹣）∪（，1），故答案为：（﹣1，﹣）∪（，1）．【点评】本题考查了类比推理，通过已知条件发现规律，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在等比数列{a n }中，a 3=，S 3=． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记b n =log 2，且{b n }为递增数列，若C n =，求证：C 1+C 2+C 3+…C n ＜．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）讨论q=1，q ≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q ，和a 1，进而得到通项公式；（Ⅱ）由对数的运算性质，求得b n =2n ，化C n ===（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，预计不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a 3=，S 3=，∴当q=1时，S 3=3a 1=，满足条件，∴q=1．当q ≠1时，a1q2=， =，解得a 1=6，q=﹣．综上可得：a n =或a n =6•（﹣）n ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n =log 2=log 2=log 222n =2n ，则C n ===（﹣），即有C 1+C 2+C 3+…C n =（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f3（x）=2，，，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）为奇函数；为偶函数；f3（x）=2为偶函数；为奇函数；为偶函数；f6（x）=xcosx为奇函数…所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为．…（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…，；故ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P…．∴ξ的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．19．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BN ⊥平面C1B1N．（Ⅱ）求出平面NCB1的一个法向量，利用向量法能求出sinθ．（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC上一点，利用向是琺能求出当PB=时，MP∥平面CNB1及此时的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（2，2，0），B1（0，4，0），C1（0，4，2），C（0，0，2），∵=4﹣4+0=0，=0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1，∵B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N．解：（Ⅱ）设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则，取x=1，得=（1，1，2），∵=（2，﹣2，﹣2），∴sinθ===．（Ⅲ）∵M（1，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（﹣1，0，a），∵MP∥平面CNB1，∴，=﹣1+2a=0，解得a=，又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=时，MP∥平面CNB1，∴=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题．【分析】（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），则，由此能求出点M的轨迹C的方程．（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：，代入椭圆方程，得，设，．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知，由此能导出存在满足条件的点D．【解答】解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）则，|AB|=3==1（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），则，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，得（k2+4）x2+2kx﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴，=，的方向向量为（1，k），=0，∴﹣﹣2mk=0即m=∵k2＞0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足条件的点D．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，则f（x）=lnx﹣x，f′（x）=，求出切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；（Ⅱ）结合函数f（x）存在“Z区间”的定义，分类讨论满足条件的a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，x=e，则f（x）=lnx﹣x，f′（x）=，则切点坐标为（e，1﹣e），切线斜率k=f′（e）=﹣1，∴函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（﹣1）（x﹣e），即（e﹣1）x+ey=0．（Ⅱ）∵f（x）=（a＞0）．∴f′（x）=（a＞0）．列表如下x （﹣∞，0）（0，a） a （a，+∞）f′（x）﹣﹣0 ﹣f（x）减增极大值减设函数f（x）存在“Z区间”是[m，n]，（1）当0＜m＜n时，由f′（x）≥0得：≥0，解得0＜x≤a，即0＜x≤a时函数f（x）为增函数，当x=n时，取得最大值，当x=m时，取最小值，即，即方程alnx﹣x=x有两个解，即方程a=有两个解，做出y=的图象，由图象以及函数的导数可知，当x＞1时，y=在x=e处取得最小值2e，在x=a时，y=，故方程a=有两个解，由a≤得：a≤e2，此时正数a的取值范围是（2e，e2]．由f′（x）＜0得：＜0，解得x＞a，即x＞a时，函数f（x）为单调减函数，则当x=m时，取得最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减可得，alnm﹣alnn=0，即m=n，不符合；当x≤0时，函数f（x）为减函数，则当x=m时取最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减，可以得到+=1，回代到方程组的第一个式子得到1﹣﹣a=n，整理得到1﹣﹣n=a，由图象可知，方程由两个解，则a∈（，1]，综上正数a的取值范围是（，1]∪（2e，e2]【点评】本题考查的知识点是曲线在某点处的切线方程，新定义，分类讨论思想，难度稍大，中档偏上．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法．【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．【解答】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．【点评】本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣6，t1t2=2．|AB|=|t1﹣t2|===8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．选修4-5：不等式选讲．。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)高考预测试题及答案解析
2018年全国普通高等学校招生统一考试全国数学模拟试卷7(理工类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 直线30x y +=的倾斜角的弧度数是__ _． 2. 若3212n n A C =，则n 等于__ _．3. 若角600的终边上有一点()3,a -，则a 的值为__ _．4. 已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为__ _．5. 某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 （精确到0.01）.6. 在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__ _．7. 已知向量a r＝(1，3)，b r ＝(3，m)．若向量b r 在a r方向上的投影为3，则实成 绩 人 数 40 1 1 50 60 2 2 1 3 70 8090数m ＝__ _．8. 设1i +是关于x 的方程0242=+-qx x （R q ∈）的一个虚根，若n S 表示数列1{5}n q -⋅的前n 项和，则lim n n S →∞的值是__ _． 9. 定义在区间[2，4]上的函数m x f m x (,3)(-=为常数）的图像过点（2，1），设)(x f 的反函数是)(1x f -，则函数)()]([)(2121x f x f x F ---=的值域为__ _． 10. 如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为__ _．11. 过抛物线22y x =的焦点作一条倾斜角为锐角α,长度不超过4的弦,且弦所在的直线与圆22316x y +=有 公共点,则角α的最大值与最小值之和是__ _．12. 某种产品的加工需要 A, B, C , D, E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）13. 某校对文明班级的评选设计了,,,,a b c d e 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式1a c b d es =++ 来计算各班的综合得分,s 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中各项指标显示出0c d e b a <<<<<，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得s 的值增加最多，那么该指标应为 .（填入,,,,a b c d e 中的某个字母）14.设点),(y x Q 是曲线1(0,0)a x b y a b +=>>上的动点，且满足2222212122x y y x y y +++++-+≤，则2a b +的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考B 'C 'A 'O 'x 'y '生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. ”“0sin >x 是“角α为第一象限的角”的[答]（ ）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件16. 如图，O A B C ''''为四边形OABC 的斜二测直观图，则原平面图形OABC 是 [答]（ ） .A 直角梯形 .B 等腰梯形.C 非直角且非等腰的梯形 .D 不可能是梯形17. 若袋中有大小相同的编号为1到8的球各一只，自袋中随机取出两球，设η为取出两球中的较小编号，若k p 表示η取值为k （k =1,2,…,7）的概率，则满足k p ＜18的k p 的个数是 [答]（ ）.A 5.B 4.C 3.D 218. 函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)3;A B ϕ>②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 [答]（ ）.A ①②.B ②③.C ③④.D ②③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.在ABC ∆中, 90o ABC ∠=，3=AB ,1=BC ，P 为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒. (1) 若32PC =,求PA ； (2) 若0120=∠APB ,求ABP ∆的面积S .20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，现将它们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF （如图所示），(1) 求证：BF AE //；(2) 过A 、D 、F 三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比．21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在平面直角坐标系xOy 中，设21=a ，有一组圆心在x 轴正半轴上的圆n A （ ,2,1=n ）与x 轴的交点分别为)0,1(0A 和)0,(11++n n a A ．过圆心n A 作垂直于x 轴的直线n l ，在第一象限与圆n A 交于点),(n n n b a B ． (1) 试求数列}{n a 的通项公式；(2) 设曲边形11++n n n B B A （阴影所示）的面积为n S ，若对任意*N ∈n ，m S S S n≤+++11121 恒成立，试求实数m 的取值范围．y1B 2B 3B 2S 1S22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设12,x x 为函数2()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点. (1) 若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ； (2) 若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；(3) 若2a ≥，212x x -=,且当12(,)x x x ∈时，2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最 小值.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． (1) 求椭圆D 的方程；(2) 已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=, 求λ的取值范围；(3) 作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值．参考答案二、 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.23π2. 83. 33-4. 15. 17.646. 152+7.3+11.8. 10 9. [2,5] 10. 132π12. 24 13. C71214. [)2,+∞二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15-18:BACB三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.证明：(Ⅰ)由题意知，△ABE 、△CBE 和△BEF 都是正三角形，取BE 的中点O ，连AO 、FO 、CO 、AC,则BE ⊥AO ，BE ⊥FO ，BE ⊥CO ，∴∠AOC 、∠FOC 分别是二面角A-BE-C 和二面角F-BE-C 的平面角，…………3分设AB ＝2a ,则AO ＝FO ＝CO ＝a 3,AC=a 22,在△AOC 中，31332)22()3()3(cos 222-=⨯⨯-+=∠aa a a a AOC ，在△FOC 中，31332)3()3(cos 222=⨯⨯-+=∠aa a a a FOC∴∠AOC+∠FOC ＝0180,即二面角A-BE-C 与二面角F-BE-C 互补，…………………5分所以ABFE 四点共面，又AB=BF=FE=EA ，故AE ∥BF.………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形ABFE 四边形CDEF 都是菱形，所以过三点ADF 的截面把多面体分成三棱锥A-DEF 和四棱锥F-ABCD ， 连BD 、FD 则BCD F ABD F BCD F ABCD F V V V V ----=+=2＝DEF A CDF B V V --=22所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解析】（Ⅰ）由条件可得，)1(211-=-+n n a a ，又因为111=-a ，可得数列}1{-n a 是等比数列．故，121-=-n na，从而121+=-n n a ．…6分（Ⅱ）因为121-=-=n n na b ，所以)2,12(11--+n n n B ，所以)2,12(1n n n B++，且)0,12(1+-n n A ，)0,12(1++n n A111+++-=n n n n n n n A B A A B B A n S S S 扇形梯形2111)2(41)22(221---⨯-+⨯⨯=n n n n π1446-⨯-=n π所以1)41(641-⋅-=n n S π，所以 411)41(164))41(411(64111121--⋅-=+++-=+++-nn n S S S ππππ31816))41(1(31816-<--=n ．故可得实数π31816-≥m ．…14分22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解：（Ⅰ）由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 关于2x =对称，则122b a--= 又110a b +-+= 解得11,33a b ==- 214()133f x x x =-+（Ⅱ）由0a >知只需考虑2a x ≤时的情况 当2ax ≤时()22+f x x a =-可化为22(24)122(22)10+ax a x a x ax a x a +-+=-+---=即221(22)4(1)84400a a a a a a a--∆=-++=-+><且所以关于x 的方程()22+f x x a =-存在唯一负实根0x202(22)(22)4(1)111(1)22=a a a a x a a a a ⎡⎤----++=--+-+⎢⎥⎣⎦令11122t t a =->-则2027171424274=x t t t t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥--++=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎣⎦在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 则()0120x ∈--，（Ⅲ）12222121()()()2()22()()2g x a x x x x x x x x a a x x x x a a =---+-⎛⎫-+ ⎪=--+≤ ⎪⎪⎝⎭ 等号成立条件为21122(,)2x x a x x x +-=∈ 所以 222()2a h a a ⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭211(1)2a a a a =+=++ 因为min 92()(2)2a h a h ≥==23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c 由题意得AB 的方程为:)(3c x y -= 因1F 到直线AB 的距离为3,所以有31333=+--cc ,解得3=c (2)分所以有3222==-c b a ……①由题意知: 42221=⨯⨯b a ,即2=ab ……②联立①②解得:1,2==b a所求椭圆D 的方程为1422=+y x (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆D 的方程为1422=+y x设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λλλλ+=+-=∴1,111my x ……………7分又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm所以04)2)(23(2≥++=λλm 解得：23λ≥-或2λ≤- ……………10分 （Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2414kk+ 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k + （1）当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴 于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………12分 （2） 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +-=+x k k k (14122)41822k k + 因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点 令0=x ,得:2416k k t +-=于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=由4)41()11516(4)(2222411=+-+=---=⋅k k k t y t x NQ NP ,解得:714±=k代入2416k kt +-=,解得:5142±=t综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t ． ……………14分。
最新-2018学年高三理科数学高考模拟考试试题及答案【安徽省宿州二中】 精品
安徽省宿州二中2018—2018学年度高三模拟考试数学试题（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分，测试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项： 1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用HB 或者2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12个小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．22．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x +y=5下方的概率为 （ ）A ．61B ．41 C ．121 D ．91 3．若⎰⎰⎰===220232,sin ,,则xdx c dx x b dx x a a 、b 、c 大小关系是 （ ） A ．a <c <b B ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b4．如图所示给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i5．如右图，一个空间几何体的主视图和侧视图（左视图）都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的侧面积 （ ）A ．4πB ．π42C ．π22 D ．π216．已知函数]3,3[sin ππω-=在x y 上是减函数，则实数的ω的取值范围是 （ ）A ．]23,(--∞B ．)0,23[-C ．]23,0(D ．),23[+∞7．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是 （ ）A ．10海里/小时B ．103海里/小时C ．5海里/小时D ．53海里/小时 8．函数|2|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）9．已知直线x +y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 （ ）A ．2B ．±2C ．－2D ．2±10．已知L 、M 、N 是平面α内的三点，点P 在平面α外，有三个命题①若PL ⊥α，LN ⊥MN ，则PN ⊥MN ②若PL ⊥α，PN ⊥MN ，则LN ⊥MN ③若LN ⊥MN ，PN ⊥MN ，则PL ⊥α 对这三个命题的正确评价是 （ ） A ．仅①是真命题 B ．仅②是假命题 C ．仅③是假命题 D ．全是真命题11．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ）A ．4112221=+e e B ．2112221=+e e C ．42221=+e eD ．22221=+e e12．设函数)(x f 在定义域为D ，如果对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使C x f x f =+2)()(21（C 为常数）成立，则称函数)(x f 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①y=x 3；②y=4sin x ；③y=lg x ；④y=2x ，则满足在其定义域上的均值为2的所有函数是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分， 13．观察下列式子： ,474131211,3531211,2321122222<+++<++<+，则可以猜想：当2≥n 时，有 . 14．若二项式6)sin (x x-θ展开式中的常数项为20，则θ的值为 . 15．在两个实数间定义一种运算“#”，规定⎩⎨⎧≥-<=)(1)(1#b a b a b a ，则方程12|#21|=-x 的解集是 .16．给出下列四个结论：①函数)10(log )10(≠>=≠>=a a a y a a a y x a x 且与函数且在其各自定义域上具备相同单调性； ②函数k k y k (3⋅=为非零常数）的图象可由函数y=3x 的图象经过平移得到；③函数)0)(21131()0(12121≠+-=≠-+=x x y x y x x 是奇函数且函数是偶函数； ④函数y=cos|x |是周期函数.其中正确结论的序号是 .（填写你认为正确的所有结论序号）三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请 17．（12分）已知△ABC 的面积S 满足.,6,333θ的夹角为与且S =⋅≤≤（I ）求θ的取值范围； （2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin)(+⋅+=f 的最大值.18．（12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E 、F 分别是AB ，PB 的中点. （I ）求证：EF ⊥CD ；（II ）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值； （III ）在平面PAD 内是否存在一点G ，使G 在平面PCB 上的射影为△PCB 的外心，若存在，试确定点G 的位置；若不存在，说明理由.19．（12分） 某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人），选3人参加学校的义务劳动. （I ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ；（II ）求男生甲或女生乙被选中的概率；（III ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20．（12分）已知在曲线点项和为的前数列))(1,(,}{,14)(*12N n a a P S n a xx f n n n n n ∈+=+.0,1,)(1>==n a a x f y 且上（I ）求数列{n a }的通项公式n a ；（II ）数列{n b }的首项b 1=1，前n 项和为T n ，且381622121--+=++n n a T a T n n n n ，求数列{n b }的通项公式b n .21．（12分） 设M 是由满足下列两个条件的函数)(x f 构成的集合：①议程0)(=-x x f 有实根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足0<)(x f '<1.（I ）若4sin 2)(xx x f +=，判断方程0)(=-x x f 的根的个数； （II ）判断（I ）中的函数)(x f 是否为集合M 的元素；（III ）对于M 中的任意函数)(x f ，设x 1是方程0)(=-x x f 的实根，求证：对于)(x f 定义域中任意的x 2，x 3，当| x 2－x 1|<1，且| x 3－x 1|<1时，有.2|)()(|23<-x f x f22．（14分）过点T （2，0）的直线2:+=my x l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点.（I ）若直线l 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（II ）设A 、B 在直线n x g =:上的射影为D 、E ，连结AE 、BD 相交于一点N ，则当m变化时，点N 为定点的充要条件是n =－2.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1—5CADAD 6—10BACBC 11—12BD二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13．n n n 12131211222-<++++14．)(22Z k k ∈-ππ 15．),41(+∞ 16．③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θ……………………1分θθθθtan cos ||||21sin ||||21)sin(||||21x S ==-=.tan 3tan 621ϑθ=⨯=………………………………………………………6分.3tan 1.33tan 33,333≤≤∴≤≤≤≤θθ即S].3,4[],,0[ππθπθ∈∴∈ 又………………………………………………8分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………………………10分].1211,43[42],3,4[πππθππθ∈+∈)(,4,4342θπθππθf 时即当==+∴最大，其最大值为3.………………12分18．（本小题满分12分）解：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. 设AD =a ，则D （0，0，0），A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），E （a ，2a，0），P （0，0，a ），F （2a ，2a ，2a）.………………2分 （I ）,0)0,,0()2,0,2(=⋅-=⋅a aa.DC EF ⊥∴…………………………………………4分（II ）设平面DEF 的法向量为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=0),,,(z y x n 由得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅.02,0)(2,0)0,2,(),,(,0)2,2,2(),,(y a ax z y x aa a z y x a a a z y x 即取x =1，则y=－2，z=1.).1,2,1(-=∴………………………………………………6分.6362||||,cos =⋅=⋅>=<∴a a n BD设DB 与平面DEF 所成角为.63sin ,=θθ则……………………………………8分 （III ）假设存在点G 满足题意因为).,0,(,z x G PAD G 点坐标为可设平面∈.0,0)2(2),,0()2,2,2(.2,0)2()0,0,()2,2,2()2,2,2(10.)2,2,2(,,.,0),,0()0,0,(2==-+=-⋅---=⋅==-=⋅---=⋅---=∆∴∆⊥∴=-⋅=⋅z ax a a a a a z a a x CP FG ax a x a a a z a a x ax a a x PBC Rt aa a F PB F PBC Rt PC BC a a a 得由得由分的外心为中点为中在∴存在点G ，其坐标为（2a，0，0），即G 点为AD 的中点.……………………12分19．（本小题满分12分） 解：（I ）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得： ;51)2(;53)1(;51)0(3622143612243634=========C C C P C c C P C C P ξξξ…………3分 ∴ξ的分布列为∴E ξ=0×5+1×5+2×5=1.…………………………………………4分（II ）设“甲、乙都不被选中”的事件为C ，则.51204)(3634===C C C P ……6分∴所求概率为.54511)(1)(=-=-=C P C P …………………………………8分 （III ）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，.51)(;212010)(36143625==⋂===C C A B P C C A P ………………………………10分)52104)|(.(52)()()|(2514=====C C A B P A P BA P A B P 或直接得……………12分20．（本小题满分12分）解：（I ）由题意知.141.14122121nn n n a a a a +=∴+=++}1{,4112221nn n a a a 即=-∴+是等差数列.…………………………………………2分.34441)1(411212-=-+=-+=∴n n n a a n.341,0.3412-=∴>-=∴n a a n a n n n 又………………………………5分（II ）由题设知).34)(14()14()34(1-+++=-+n n T n T n n n.1,34.1341411=-=-=--+∴++n n n n n n c c c n Tn T n T 则上式变为设}{n c ∴是等差数列.…………………………………………………………8分.1111111n n b n T n c c n =-+=-+=-+=∴.34)34(.342n n n n T n n T n n-=-==-∴即………………………………10分∴当n =1时，11==T b n ；当.78)1(3)1(434,2221-=-+---=-=≥-n n n n n T T b n n n n 时经验证n=1时也适合上式. ).(78*N n n b n ∈-=∴…………………………12分21．（本小题满分12分） 解：（I ）令.24sin )(,)()(xx x F x x f x F -=-=即 则.0)(,1cos 1.214cos )(≤'∴≤≤--='x F x x x F x x f x F -=∴)()(是单调递减函数.……………………………………2分又取).)((02)(,,02)(,为奇函数或说明取x F F x F x <-==>=--=ππππππ0)(=-∴x x f 方程在其定义域上有唯一实根.……………………………4分（II ）由（I ）知方程0)(=-x x f 有实根（或者由0)(=-x x f ，易知x =0就是方程的一个根），)(x f 满足条件①.………………………………………………5分 .43)(41,1cos 1,4cos 21)(≤'≤≤≤-+='x f x x x f 得由又)(x f ∴满足条件②.故)(x f 是集合M 中的元素.……………………………7分（III ）不妨设)(,1)(0,32x f x f x x 知由<'<<在其定义域上是增函数. ).()(32x f x f <∴………………………………………………………………8分 x x f x f -∴<-')(,01)(又是其定义域上的减函数.23233322)()(0,)()(x x x f x f x x f x x f -<-<->-∴即.………………10分 |)()(||||)()(|12132323x x x x x x x f x f ---=-<-∴.211||||1213<+<---≤x x x x …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解：（I ）设),(),,(2211y x B y x A由.0844222=--⎩⎨⎧=+=my y xy my x 得.8,42121-==+∴y y m y y ………………………………………………2分又),,2()2,(,),2,0(111111y x my x AT MA n M --=+=-λλ即.21,211111my y m y --=-=+∴λλ得同理，由.21,222my --==λλ得………………………………4分.1882)(22)11(2221212121-=+-=+--=+--=+∴mmy my y y y y m λλ…………6分 （II ）方法一：当m =0时，A （2，22），B （2，－2），D （n ，22），E （n ，－22）.∵ABED 为矩形，∴直线AE 、BD 的交点N 的坐标为（).0,22+n ………………8分当),,22(),,22(),,(),,(,021121y n y x n y n E y n D m -=--+=≠ 时(*))2(28)2(2)(2222)222(22)22(2112121121n m m n m y m y y y n y n y m y n y n y x n +=+-=-+-=-+--+=-+-+则同理，对BN 、ND 进行类似计算也得（*）式.………………………………12分 即n =－2时，N 为定点（0，0）.反之，当N 为定点，则由（*）式等于0，得n =－2.…………………………14分方法二：首先n =－2时，则D （－2，y 1），A （),,2(),,2(),,222211y my B y E y my +-+)2(4:2121++-=-x my y y y y l DB ①)2(4:1212++-=-x my y y y y l EA ②…………………………………………8分①－②得,).4141)()(2(12121212y y my my y y x y y ≠+++-+=-.04884241411222121212=+-=++=-+++=∴my m m my y my y y m my my x.)0,0(为定点N ∴…………………………………………………………10分反之，若N 为定点N （0，0），设此时),,(),,(21y n E y n D 则).,2(),,(221y my y n +==由D 、N 、B 三点共线，.022121=-+∴ny y y my ③同理E 、N 、A 三点共线，.021221=-+∴ny y y my ④………………12分 ③+④得,0)()(22212121=+-++y y n y y y my即－16m +8m －4m =0，m (n +2)=0.故对任意的m 都有n =－2.……………………………………………………14分。
2018年高三最新 高三高考模拟数学理科卷参考答案答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）数 学（理工农医类）参考答案1～10：C C B C A B A B D A11、{}41216λλλλλ-<<>≠-≠或且且 12、1(,]2-∞- 13、5414、> 15、2(1)(1)2(1)(1)1n n na d q a q q q -⎧+=⎪⎪⎨-⎪≠⎪-⎩（提示：15.[]111(1)(1)k k k kk a a k d q aq k dq ---=+-=+-，又1(1)k kk a aq k d -=+-01d q ∴==或）16.解：（1）2122()sin cos sin cos )333233x x x x x f x ==+1222sin sin()23333x x x π==+ ………3（分） 由)332sin(π+x =0即231()()332x k k k z x k z πππ-+=∈=∈得:即对称中心为31(,()22k k z π-∈ …………6（分）（2）已知b 2=ac2222221cos 2222125cos 10923333952||||sin sin()132923332sin()133a c b a c ac ac ac x ac ac ac x x x x x πππππππππππ+-+--==≥=∴≤<<≤<+≤->-∴<+≤+≤+分即)(x f 的值域为]231,3(+综上所述，]3,0(π∈x ，故)(x f 值域为]231,3(+…12（分）17．解：（1）32,4x x y ξ-≤-≤∴的最大值为6，此时有1,5x y ==或5,1x y ==，故所求的概率为1115511225P C C +==. …………5（分） （2）ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：……………10（分） 1484422140123456252525252525255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……12（分） 18.解：（1）,AC CD BC CD ⊥⊥CD ABC ∴⊥面， 又CD ⊂∴⊥面BCD,面ABC 面BCD ,AB BC ⊥面ABC 面BCD=BC AB AB BD ∴⊥∴⊥面BCD, …………5（分）（2）当AC CD ⊥时，则AB BD ⊥,,AB a BC b CD c === 2B D A b∴其表面积11112222S ab bc =++ 当AC 与CD 不垂直时，则AD CD ⊥，否则由（1）知AB BD ⊥，可得AC CD ⊥（矛盾）.当AD AC ⊥时，AB 与AD 不能垂直，否则AD ⊥面ABC,,BC AD BC CD BC ∴⊥⊥⊥面ACD ，从而BC AC ⊥，与AB BC ⊥矛盾.BD AD ∴⊥，从而可得2222AD a c b =-- …………①由AD AC ⊥得，2222AD c a b =-- …………②根据①、②得：22a c =，从而导致220AD b =-<矛盾.AD CD ∴⊥，从而得到AB AD ⊥当AD CD ⊥时，2222AD a b c =+-当AB AD ⊥时，2222AD b c a =+-,a c AD b ∴==，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，舍去..∴其表面积为11112222S ab bc =++……………12（分）19.解：（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即 …………（3分）（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变. ……（6分） （Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N*， 由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1，而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b由此猜测b 的最大允许值是1. ……………（10分） 下证 当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2),则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2,所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 最大允许值是1.…（13分）20. 解：(1)设双曲线方程为22221x y a b -=，由椭圆22184x y +=求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴ba= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2213y x -= ……………（5分） (2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。
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2018年高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜43．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．45．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B．C．3 D．7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3 B．6 C．9 D．12，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，1与2夹角为8．已知+μ2的点P组成，其中，那么平面区域．平面区域D由所有满足=λD的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为______．（用数字作答）10．已知等比数列{a n}中，a2=2，a3•a4=32，那么a8的值为______．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA=______；AP=______．12．若，且，则sin2α的值为______．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲20 10 8乙10 20 10运输限制110 100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为______．14．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是______；当时，c的值是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．20．数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i=1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）=a ﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n=1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0求得a的值．【解答】解：∵i•（1+ai）=﹣a+i为纯虚数，∴﹣a=0，即a=0．故选：B．2．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由x2﹣5x＜0，可得B=（0，5），再利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5，∴B=（0，5），∵A∩B=B，∴a≥5．则a的取值范围是a≥5．故选：A．3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×=9，中级职称人数为30×=18，初级职称人数为30×=3．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=1，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，故S=2，k=4，当k=4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C5．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】分别得出直角坐标方程，求出圆心（0，0）到直线的距离d．即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2．【解答】解：直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程：x﹣y+1=0．曲线ρ=1即x2+y2=1．∴圆心（0，0）到直线的距离d=．∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B．C．3 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．∴最长的棱为PD，PD==3．故选：C．7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的标准方程为：+=1（a＞b＞0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|，可得b=．【解答】解：设椭圆的标准方程为：+=1（a＞b＞0），可得：c=6，2a=|PF 1|+|PF 2|=+=6，解得a=3．∴b===3． ∴椭圆的短轴长为6．故选：B ．8．已知1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O ， 1与2夹角为．平面区域D 由所有满足=λ1+μ2的点P 组成，其中，那么平面区域D 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以O 为原点，以方向为x 轴正方向，建立坐标系xOy ，写出、的坐标，根据=λ+μ写出的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点P 的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可．【解答】解：以O 为原点，以方向为x 轴正方向，建立坐标系xOy ，则=（1，0），=（cos ，sin ）=（，），又=λ+μ=（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设=（x ，y ），则（x ，y ）=（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A（，），B（1，0）；所以阴影部分区域D的面积为S=×1×=．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为20 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：T r+1=（2x）5﹣r=25﹣3r x5﹣2r．令5﹣2r=3，解得r=1．∴T4=x3=20x3．故答案为：20．10．已知等比数列{a n}中，a2=2，a3•a4=32，那么a8的值为128 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a3•a4=32，∴a1q=2，=32，解得a1=1，q=2．那么a8=27=128．故答案为：128．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA= ；AP= ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明△OAC是等边三角形，得到∠COA=，利用OA=1，可求AP．【解答】解：由题意，OA⊥AP．∵CP=AC，∴∠P=∠CAP，∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC，∴∠AOP=∠OAC，∴AC=OC，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA=，∵OA=1∴AP=故答案为：，12．若，且，则sin2α的值为．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可解得sin2α的值．【解答】解：∵=（cosα﹣sinα），∴cosα﹣sinα=＞0，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴sin2α=．故答案为：．13．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表： 货物 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件） 甲 20 10 8 乙 10 20 10 运输限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 62 ． 【考点】简单线性规划．【分析】运送甲x 件，乙y 件，利润为z ，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设运送甲x 件，乙y 件，利润为z ，则由题意得，即，且z=8x+10y ，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x+10y 得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由，得，即B （4，3），此时z=8×4+10×3=32+30=62，故答案为：6214．已知函数f （x ）=|lnx|，关于x 的不等式f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）的解集为（0，+∞），其中x 0∈（0，+∞），c 为常数．当x 0=1时，c 的取值范围是 [﹣1，1] ；当时，c 的值是 ﹣2 ．【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质．【分析】当0＜x ＜1时，f （x ）=﹣lnx ，f ′（x ）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x ＞1时，f （x ）=lnx ，f ′（x ）=∈（0，1），进而将x 0=1和代入，结果斜率公式分类讨论可得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=|lnx|，当0＜x ＜1时，f （x ）=﹣lnx ，f ′（x ）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x ＞1时，f （x ）=lnx ，f ′（x ）=∈（0，1），①当x 0=1时，f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）可化为：f （x ）﹣f （1）≥c （x ﹣1）当0＜x ＜1时，f （x ）﹣f （1）≥c （x ﹣1）可化为：≤c ，则c ≥﹣1，当x ＞1时，f （x ）﹣f （1）≥c （x ﹣1）可化为：≥c ，则c ≤1，故c ∈[﹣1，1]；②当x 0=时，f （x ）﹣f （x 0）≥c （x ﹣x 0）可化为：f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）当0＜x ＜时，f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）可化为：≤c ，则c ≥f ′（）=﹣2，当＜x ＜1时，f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）可化为：≥c ，则c ≤f ′（）=﹣2，当x ＞1时，f （x ）﹣f （）≥c （x ﹣）可化为：≥c ，则c ≤1，故c=﹣2，故答案为：[﹣1，1]，﹣2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若f （x ）=sin （2x+C ），求y=f （x ）与直线相邻交点间的最小距离．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）利用诱导公式求得cosC ，可得C 的值，咋利用余弦定理求得AB 的长度．（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+C），求得x1、x2的值，可得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴C=45°．∵，AC=2，∴=4，∴AB=2．（Ⅱ）由，解得或，k∈Z，解得，或，k1，k2∈Z．因为，当k1=k2时取等号，所以当时，相邻两交点间最小的距离为．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】（I）由AC⊥AB，AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1，于是AC⊥A1B；（II）以A为原点建立坐标系，求出和的坐标，计算cos＜＞即可得出直线EF与A1B所成的角；（III）求出和平面EFG的法向量，则sin∠HA1A=|cos＜，＞|．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥AA1．∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB．又A1A⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB=A，∴AC⊥平面A1ABB1．∵A1B⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1B．（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz，如图所示：则A1（0，0，1），，，．∴，．∴．直线EF与A1B所成的角为45°．（Ⅲ），，．=（0，0，1）．设平面GEF的法向量为=（x，y，z），则，∴令，则．∴cos＜＞==．∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角，∴sin∠HA1A=|cos＜＞|=．∴∠HA1A=．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【考点】计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=e x﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a 的取值范围；（Ⅲ）容易得到等价于e x﹣xe x﹣1＞0，可设h（x）=e x﹣xe x﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=e x﹣x﹣1，f'（x）=e x﹣1；令f'（x）=0，得x=0；∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；（Ⅱ）∵e x＞0；∴f（x）＞0恒成立，等价于恒成立；设，x∈（0，+∞），；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；∴a≥1；∴a的取值范围为[1，+∞）；（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，等价于e x﹣xe x﹣1＞0；设h（x）=e x﹣xe x﹣1，x∈（0，+∞），；由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立；∴；∴h′（x）＞0；∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；因此当x∈（0，+∞）时，．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．与抛物线方程联立可得：，由直线OA与OB的斜率之积为﹣p，即．可得：x1x2=4．利用根与系数的关系即可得出．（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得x1x2=4．由，化为，其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x1+x2=，x1x2=．∴p=4，抛物线C：y2=8x．（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，∴，．∴直线OD的斜率为．直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，得．∴．∵k2＞0，∴．20．数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i=1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）=a ﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n=1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由数列{a n}通项公式分别气的前5项，代入即可求得V（5），（Ⅱ）充分性：由，数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，去掉绝对值求得V（m）=a﹣b，再证明必要性，采用反证法，假设数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，求得=|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b，与已知矛盾，即可证明V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）由当丨a i+1﹣a i丨=0时，即数列{a n}为常数列，V（m）=0，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4，当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4=m2．【解答】解（Ⅰ），a1=﹣1，a2=1，a3=﹣1，a4=1，a5=﹣1，V（5）=丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨=2+2+2+2=8，V（5）=8．…（Ⅱ）充分性：若数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，此时有：=（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+（a3﹣a4）+…+（a m﹣1﹣a m）=a1﹣a m=a﹣b．必要性：反证法，若数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，那么：=丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨≥丨a i ﹣a1丨+（a i+1﹣a i）+丨a m﹣a i+1丨，=丨a m﹣a i+a i﹣a i+1丨+（a i+1﹣a i），=丨a﹣b+a i+′﹣a i丨+（a i+1﹣a i），由于a i+1＞a i，a＞b，∴|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b．与已知矛盾．…（III）最小值为0．此时{a n}为常数列．…最大值为，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，（a1，a2≥0），…11分|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4．当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4=m2．由|x﹣y|≤|x|+|y|易证，{a n}的值的只有是大小交替出现时，才能让V（m）取最大值．不妨设：a i+1≤a i，i为奇数，a i+1≥a i，i为偶数．当m为奇数时有：，=a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+a m﹣a m﹣1，=a1﹣a m+2a i﹣4a2i≤2a i=2m2，当m为偶数时同理可证．…2016年9月20日。