NO.17整式乘除复习
北师大版七年级数学下册17整式的除法1 课件
倍 速
单项式除以单项式，其结果 (商式)仍是 一个单项式 ;
课 时
商式的系数＝ (被除式的系数 )÷ (除式的系数 )
学 练
(同底数幂 ) 商的指数＝ (被除式的指数 ) —(除式的指数
被除式里单独有的幂 ，pp写t课件在商里面作 因式。
4
第四页，共10页。
单项式 的 除法(法ch则úf(ǎf)ǎzé)
随堂练习(liànxí)
随堂练习(liànxí)
1、计算(jì suàn)：
(1) (2 a 6b3)÷(a3b2) ;
(2) ( 1 x3y2 ) ÷ ( 1 x2y ) ;
48
16
(3) (3m2n 3)÷(mn )2 ;
倍 速 课 时 学 练
(4) (2x2y )3÷(6x3y 2) .
ppt课件
倍
则 a = 12 , m = 3 , n = 2 ;
速
课
时
学 2、能力(néng:lì)挑战
练
若
3x
?
a
，3y
?
b
，求 ppt 课件
32x?
y
的值 。
a2
b
10
第十页，共10页。
? 观察 & 思考
? (1)(2) 小题(xiǎo tí)的结,构说一说样可能用到
的有关幂的运算公式或法则 . ? 阅读
? 三块之间是同级运
算, 只能从左到右 .
倍
? 速
课
同底幂的除法法则 :
时 am÷a n = am?n
? 学
练
括号内是积、
括号外右角有指数时，
先用积的乘方法则。
? 题 (3)能这样解吗 ? p40例1(3
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算，它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算，其规则如下：1.单项式相乘：两个单项式相乘时，按照数字相乘，字母相乘，再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如：(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘：将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所得的结果相加。
例如：(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘：根据一些常见公式和特殊公式，可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如：(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算，其规则如下：1.简单整式的除法：当被除式是单项式，除式也是单项式，并且除式不为零时，可以进行简单整式的除法运算。
例如：12x^3/4x=x^32.整式长除法：当被除式是一个整式，除式也是一个整式，并且除式不为零时，可以进行整式长除法运算。
例如：(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法：分式的除法可以利用倒数的概念进行处理，将除法问题转化为乘法问题。
例如：(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算，使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序，简化计算过程。
3.乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的乘除课件
详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以 将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数 运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利 用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂 相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它 们的系数相除，同时将同底数的幂相 减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式 相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养 的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数 学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需 将两个单项式的系数相乘，并将相同 的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。
整式的乘除知识点及题型复习
举例说明：如单项 式x^2除以多项式 2x-1，结果为 (x^2)/(2x1)=x+1
除法运算顺序：按照从左到 右的顺序进行除法运算，注 意先处理括号内的内容
除法法则：类似于多项式乘 法，将除法转化为乘法，然 后利用乘法法则进行计算
除法结果的化简：将除法结 果化简到最简形式，注意约
分和合并同类项
除法运算的注意事项：注意 处理符号和运算优先级的问
添加标题
解析：根据速度、时间和距离的关系，速度=距离/时间，所以时间=距离/速度。将已知数值代入公式，得到时间=100千米 /80千米/小时=1.25小时。
添加标题
题目：一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，飞行了3小时后，发现方向有误，于是立即改变航向，并以每小时 1000千米的速度飞行了4小时，求飞机到达乙地所需的总时间。
项式。
整式除法的结 果仍为一个多 项式，其各项 系数和次数与 被除式相同。
整式除法的一 般形式为：被 除式=除式×商
式+余式。
在整式除法中， 需要注意除数 不能为0，且各 项系数和次数 必须符合数学
规则。
定义：将一个单项式除以另一个单项式的商称为单项式除以单项式。
运算法则：与单项式乘法类似，按照系数、字母因子的指数分别相除，对于只在被除式 中出现的字母因子，连同其指数一起作为商的一个字母因子。
定义：两个多项式相乘，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项 相乘，再将所得积相加。 举例：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$
公式：$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
注意事项：注意乘法分配律的应用，以及合并同类项时的符号问题。
2024-2025学年七年级数学下册同步讲义(北师大版)第一章 整式的乘除复习与巩固(教师版)
典例：1.下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．（2a）3＝6a3
【答案】D
C．（am）2＝a2+m D．a2+2a2＝3a2
【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案； B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案； C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
第一章 整式的乘除 复习与巩固
1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除 以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
＝12022 ＝1， 故选：C． 【点拨】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
典例：3.计算（1）
30
1 8
1 3 2
1 3
2
（2） 3a3 2 2a3 8a12 2a3
【答案】(1)-8 (2)14a9
【分析】（1）结合幂的混合运算进行计算即可．
（2）结合幂的乘方，乘法公式运算即可．
知识点一. 幂的运算 1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
( m，n 为正整数).
2.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
( m，n 为正整数).
3.积的乘方：积的乘方 ，等于各因数乘方的积；
( n 为正整数).
4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减；
m n ).
5.零指数幂： a0 1a 0. 即任何不等于零的数的零次方等于 1.
七年级下册整式的乘除
【练习1】计算：
① （a+b-c）4·（a+b-c）5 ② (a-b)2·(b-a)3
【练习2】判断（正确的 错误的打“×”）
打“√”，
(1) x3·x5=x15 (×) (2) x·x3=x3 (×)
(3) x3+x5=x8 (×) (3)x2·x2=2x4 (×)
1.计算：
(1)s7 s3
(3)(t)11 (t)2
(5)(3)6 (3)2
(2)x10 x8
(4)(ab)5 (ab)
(6)a100 a100
2.填空：
x x （1） 7 （ ）= 8
a a （2）（
）
3
=
8
c c b （3）b4 b3 （ ） = 21 （4） 8 （ ）= 5
3. 与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。
【法则推导】 ３３·３２＝？（－３）３·（－３）２=?
am ·an等于什么（m,n都是正整数)? 为什么？
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
=a·a·… ·a
m+n个a
=am+n
n个a
同底数幂相乘 底数 不变 ， 指数 相加 .
(3) (an)3 = an×3 =a3n ;
(4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ;
(5) (y2)3 ·y= y2×3 ·y = y6 ·y = y7;
(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
【练习1】计算
⑴（ [ a）3 ]2 ⑵（ [ x 2 y）3 ]2n
七年级数学下册17整式的除法课件新版北师大版
) ÷7a
课堂探究
探究（二）：多项式除以单项式小结:
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
典例精析
例一、计算
(1) 6x2yxy21x3y3÷(-3xy)
2
解：6x2y(3xy)xy2(3xy)1x3y3(3xy) 2
2x1y1x2y2 36
随堂检测
1.下列算式中,不正确的是( ) C
ห้องสมุดไป่ตู้境导入
探究二：多项式除以单项式的推导过程：
同学们：你们能进行多项式除以单项式的运算吗？
课堂探究
探究二：多项式除以单项式的推导过程：
2、探究算法
(a d b d ) d ad d bd da+d
(1) .
（）
3、仿照计算，寻找规律
(1)(10a2-15a)÷5a=
1（0a2 ）÷5a1-5(a ) ÷5a=2(a-3 )；
(2). (3ab)aa2 b a3a ba a(b3b)
(2)(35a3-28a2+7a)÷(7a)=
（ ）÷7a- ( ) ÷7a+(
(3). (x y 3 2 x y ) x y x y 3 x y 2 x y x y (y 2 2 ) 35a3
28a2 ÷ 7a
=(
)。
5a2 -4a+1
本课小结
整式的除法的运算法则： （1）单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再 把所得的商相加。
作业布置
家庭作业: 完成本节的同步练习 复习作业:复习本单元整式的乘除法则
七(下)第1章整式的乘除(全章复习与巩固)知识讲解与专项讲练
2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(a m )n ＝a mn ＝a nm ＝(a n )m (m 、n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(ab )n ＝a n b n ，(a x b y )n ＝a nx b ny (n 、x 、y 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 为正整数，并且m ＞n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即：任何不等于零的数的零次方等于1.6.负整数次幂：p p a a 1=-(a ≠0，p 为正整数），a n 与a －n 互为倒数，n m m n pp a b b a ,a b b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---即：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘除1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算1．计算：（1）()3201113823π-⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2331233282a a a a -⋅-÷举一反三：【变式1】计算：101|2|(2023667)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）()()223234(6)x y xy ⋅-÷【变式2】计算：(1)22012()272--+-(2)2642135(2)5x x x x x⋅--+÷(1)253()()[()]a b b a a b -⋅-÷--；(2)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎣⎦，其中5a =-．2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题(1)比较大小：205______204（填写>、<或=）(2)比较332与223的大小（写出具体过程）(3)已知23a =，86b =求()322a b +的值【答案】(1)>(2)332223<，见分析(3)972【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将332与223转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将()322a b +转化为()3222a b ⨯，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有2a 和8b 的性质，进行计算即可．（1）解：∵54>，∴202054>，故答案为：>．（2）∵()1133311228==，()1122211339==，89<，∴332223<．（3）原式()3222a b =⨯()()33222a b =⨯()()32322ba =⨯()2338b =⨯3236=⨯=972．【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．举一反三：【变式1】已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．(1)已知1012m =，103n =，求10m n -的值；(2)如果33a b +=，求327a b ⨯的值；(3)已知682162m m ⨯÷=，求m 的值．类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法3．计算：(1)()()()2332ab a a b --- ；(2)()()221a a -+；(3)()()212x x +-．【答案】(1)446a b -(2)3222a a --(3)2232x x --【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；（1）解：()()()2332ab a a b --- ()2236a b a b =- 44a b =-．（2）()()221a a -+3222a a =--；（3）()()212x x +-2242x x x =-+-2232x x =--．【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(1)()()202024311202323π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭（2）()()()222x y x y x x y -++--【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a ，宽为b 的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A ，B 表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m ，（用a ，b ，m 分别表示周长和面积）(1)填空：①空白部分A 的周长A P =__________，面积A S =_____________，②空白部分B 的周长B P =______________，面积B S =________________；(2)若5a b =，求A B P P -，A B S S -的代数式．类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：(1)()()()214121x x x +---；（2）()()223223a b a b +--+.【答案】(1)72x -(2)2244129a b b -+-【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；（2）利用平方差公式计算，即可求解．（1）解：()()()214121x x x +---22441441x x x x x =-+--+-72x =-（2）解：()()223223a b a b +--+()()223223a b a b =+---⎡⎤⎣⎦()()22223a b =--2244129a b b =-+-【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：(1)()()()y x y x y x y +--+;(2)()()224x x x ++-【变式2】运用公式进行简便计算：(1)210.210.2 2.4 1.44-⨯+；(2)2222111111112342022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x ，y 满足2296x y -=，8x y -=，求x y +的值．（2）已知实数a 、b 满足()23a b +=，()227a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】（1）12x y +=；（2）229a b ab ++=．【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得22a b +和ab 的值，即可求解．解：（1）∵2296x y -=，∴()()96x y x y +-=，∵8x y -=，∴12x y +=；（2）∵()23a b +=，()227a b -=，∴2223a ab b ++=，22227a ab b -+=，∴222a 2b 30+=，424ab =-，∴22a b 15+=，6ab =-，∴()221569a b ab ++=+-=．【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．举一反三：【变式1】已知5a b +=，3ab =．求下列各式的值：(1)22a b +；(2)()2a b -；(3)()()()()1111a b a b ++--．【变式2】已知：221x x +=，将()()()()2(1)3331x x x x x --+----先化简，再求它的值．类型四、整式的乘除➽➼整体的除法6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：(1)()()322432714x y xy x y ⋅-÷；(2)()()222x y x y y x ⎡⎤+-+÷．【变式1】先化简，再求值：()()()21242x y x y x y y ⎡⎤+--+÷⎣⎦，其中1x =，2y =．【变式2】已知24750a a -+=，求代数式()2232(21)a a a a -÷--的值．类型五、整式的乘除➽➼图形问题7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a ，b 的式子且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：计算：①10397⨯；②()()22a b c a b c +---．【变式1】图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+D ．()222a b a b -=-(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：3a b -=，2221a b -=，求a b +的值；②计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【中考真题专练】【1】（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【2】（2022·广西·统考）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．【3】（2022·河北·统考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．a+，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵【4】（2022·浙江金华）如图1，将长为23爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a=时，该小正方形的面积是多少？2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
《整式乘除100题》[大全]
《整式乘除100题》[大全]第一篇：《整式乘除100题》[大全]整式乘除计算 100 题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在整式乘除这一部分的计算能力。
大致分了三个模块：①单项式与单项式（34题）；②单项式与多项式（33题）；③多项式与多项式（33题）；共题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一单项式与单项式方法总结：单项式乘单项式：单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式中含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．易错总结：相同字母相乘，注意是字母不变，指数相加；注意单项式相乘，他们的系数也是分别相乘，不是相加；系数里的负号要注意不要忘掉单独出现的字母最后要作为积的一个因式，不要遗漏例题解析：—ꅘy 2 · 2ꅘ2 y 2 ．解：—ꅘy 2 · 2ꅘ2 y 2 =—ꅘ y 2· 4ꅘ4 y 2=— 4ꅘ5 y 4 ．……【系数、相同字母分别相乘】巩固练习：1.计算：— 8a⺁·a 2 ⺁． 422ꅘ3 · —져ꅘ y 3 ． 4.计算：a 4 ·—a 3÷ — a 2． 5.计算：——ꅘ2 3 · —ꅘ 2 2 —ꅘ· —ꅘ 3 3 ． 6.计算：—ꅘ6—— 3ꅘ 3 2 — [ — 2ꅘ 2 ] 3 ． 7.计算：—a 2 ·— a 3·— a+— a 2—— a 3． 8.计算：a —2 ⺁2 · a 2 ⺁—2 —3 ． 9.计算：— 2ꅘ2 ·(ꅘ2)3 · —ꅘ 2 ． 10.计算：— 21ꅘ2 y 4 ÷ — 3ꅘ 2 y 3 ． 11.计算：2a 3 ⺁ 3— 8a⺁ 2÷ — 4a 4 ⺁ 3． 12—a 2 · a 4 ÷ a 3 ． 13.计算：12a⺁ 2a⺁c 4 ÷ — 3a 2 ⺁3 c ÷ 2 a⺁c 3 ． 17—a 3·— a 218.计算：(2a)3 —a · a 2 + 3a 6 ÷ a 3 ． 19.(a 5)2·(a 2)2—(a 2)4·(a 3)2 ． 20.ꅘ + 2ꅘ + 3ꅘ + ꅘ· ꅘ2 · ꅘ 3 + ꅘ 3 2 ． 21.计算：ꅘm · ꅘn 3 ÷ ꅘ m—1 · 2ꅘ n—1 ． 22.计算：— 2ꅘ2 y · 5ꅘy 3 ·— 3ꅘ 3 y 2． 523.ꅘ5 · ꅘ져 + ꅘ6 ·(—ꅘ 3)2 + 2(ꅘ 3)4 ． 24.计算：— 1a⺁ 2·— 2a 3 ⺁c ． 425.计算：— 2ꅘ— 3ꅘ2 y 2 3 · 1y 2 + t ꅘ져 y 8 ． 32 3 4 14.计算：a 3 · a 5 · a 2 +a 5—a 2· a 2 ． 15.化简：(4ꅘ2 y)2 ÷ 8y 2 ． / 服务内核部-初数教研10.计算：6ꅘy ·ꅘ y — 1y+ 3ꅘ y2 ． 211.计算：8a 2 ⺁— 4a⺁ 2÷ — 1a⺁ 2服务内核部-初数教研/ 28.— 2ꅘ2 y 2 3 · 3ꅘ y 4 ． 29.计算：— 1a 3 · — 6a⺁ 2 ． 330.计算：2ꅘ3 y — 2ꅘ y + — 2ꅘ 2 y 2 ． 312a 2 ⺁·— 3⺁2 c ÷ 4a⺁ 3． 32.计算：— 3ꅘ2 y 3·— 2 ꅘ y 233.计算：—3a 2·a 2 ÷ — 1 a 22． 3 2 34.计算：(— 2ꅘm y n)2 ·(—ꅘ2 y n)3 ·(— 3ꅘ y 2)．模块二单项式与多项式方法总结：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．易错总结：巩固练习：1.化简：—져ꅘ2 y 2ꅘ 2 y — 3ꅘ y 3 + ꅘ y ． 22ꅘ y 5ꅘ y 2 + 3ꅘ y —1 ． 3.计算：— a 2 ⺁c + 2a⺁ 2 — 3 ac·— 2 ac 2 ． 5 3 4.计算：— 2ꅘ2 y — 3ꅘ y + 3ꅘ 2 y 3 — 6ꅘ 3 ． 3 2 5.计算：ꅘn+1 · ꅘ 2n —ꅘ n+1 + ꅘ 2 ． 6.计算：2 2 3a 2 2— 1 ． 7.计算：a⺁2 · 2a 2 ⺁— 3a⺁2 ． 282a 23a⺁ 2 — 5a⺁ 3． 9.计算：— 4 a⺁2 ·— ta 2 ⺁— 12a⺁ + 3⺁ 2． 3 2 4 12.化简3a 5 ⺁ 3 — a 4 ⺁ 2÷ — a 2 ⺁ 213.计算：2져ꅘ3 — 18ꅘ 2 + 3ꅘ÷ — 3ꅘ． 14.计算：45a 3 — 1a 2 ⺁ + 3a÷ — 1a ． 6 3 15.计算：6m 2 n — 6m 2 n 2 — 3m 2÷ — 3m 2． 16.计算：—ꅘ2 3 — 3ꅘ 2 ꅘ 4 + 2ꅘ— 2 ． 17.计算：— 1ꅘ y 2 3 — 2ꅘ y ꅘ y —ꅘ2 y 5 ． 318.计算：a⺁ 2 — 2a⺁ + 4⺁· 1a⺁—a⺁ 2 ． 3 3 2 2 19.计算：— 2a ⺁(6a ⺁— 3a + 3 ⺁)．2 20.计算：2a a — 2a 3—— 3a 2． 21.化简 1单项式乘多项式中的每一项时，注意不要漏掉前面的符号注意多项式中的每一项都要和单项式相乘，不要漏项例题解析：计算：— 2ꅘy 2 2 ·y 2 — 1ꅘ2 — 3ꅘ y ． 4 2 2 解：原式= 4ꅘ2 y 4 · 1y 2 — 1ꅘ 2 — 3ꅘ y 4 2 2 = ꅘ2 y 6 — 2 ꅘ 4 y 4 — 6 ꅘ 3 y 5 ．……【用单项式去乘多项式的每一项】/ 服务内核部-初数教研3ꅘ2 — y — 22ꅘ2 + y ． 24.计算：(— 2ꅘy 2)2 · 1y 2 — 1ꅘ2 — 3ꅘ y ． 4 2 2 25.计算：(3ꅘ y)2(ꅘ2 — y 2)—(4ꅘ2 y 2)2 ÷ 8y 2 + t ꅘ 2 y 4 ． 26.计算：4a ⺁(2a 2 ⺁ 2 — a ⺁+ 3)27.计算：2ꅘ—ꅘ2 + 3ꅘ— 4 — 3ꅘ 2ꅘ + 1 ． 228.计算：ꅘꅘ2 —ꅘ— 1 + 3 ꅘ 2 + ꅘ— 1ꅘ 3ꅘ 2 + 6ꅘ． 329.化简：ꅘ 1ꅘ + 1— 3ꅘ 3ꅘ— 2 ． 2 2 30.求值：ꅘ2 3ꅘ— 5 — 3ꅘꅘ 2 + ꅘ— 3，其中ꅘ= 1 ． 231.先化简，再求值：ꅘꅘ2 —ꅘ— 1+ 2 ꅘ2 + 2 — 1ꅘ 3ꅘ 2 + 6ꅘ— 1，其中ꅘ =— 3． 333.先化简，再求值：ꅘ— 2 1 — 3ꅘ— 2ꅘ 2 —ꅘ，其中ꅘ = 4． 2 3 2 模块三多项式乘多项式方法总结：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．易错总结：在不引起歧义的情况下，单项式和其它单项式或多项式作运算时本身可以不加括号；计算时注意符号变化，不要丢掉单独的字母或数字；多项式与多项式相乘后如果出现同类项必须合并．合并同类项时，可以在同类项下边标上相同的符号，避免引起错误.例题解析：计算：ꅘ— aꅘ2 + aꅘ + a 2解：ꅘ— aꅘ2 + aꅘ + a 2= ꅘ3 + aꅘ 2 + a 2 ꅘ— aꅘ 2 — a 2 ꅘ—a 3 ……【用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项】= ꅘ3 — a 3 ．巩固练习：12ꅘ + 5y3ꅘ— 2y ． 2a — 2⺁(a + ⺁)． 332ꅘ— 1 ． 6ꅘ + yꅘ— 2y ． 72ꅘ + 3y3ꅘ— 2y ． 8— 1ꅘ + — 3ꅘꅘ + 3 ． 9.计算：ꅘ 1ꅘ— 2 ． 10a + 32a + 5． 11m + 22m — 3 ． 12ꅘ— 32ꅘ + 5 ． 13.计算：4ꅘ2 y — 5ꅘ y 2· 져ꅘ 2 y — 4ꅘ y 2 ． 14.计算：ꅘm — 2y n3ꅘ m + y n． 15.计算：ꅘ— 1ꅘ2 + ꅘ + 1 ． 18.计算：ꅘ— aꅘ2 + aꅘ + a 2.19.计算：ꅘ + yꅘ2 —ꅘ y + y 2． 203ꅘ + 1ꅘ— 3 ． 21ꅘ + y — 2ꅘ— y ． 22.计算：2a —⺁ + c2a —⺁— c ． 23.—ꅘ3 + 2ꅘ 2 — 5 2ꅘ 2 — 3ꅘ + 1 ． 24.计算：ꅘ + 52ꅘ— 3 — 2ꅘꅘ2 — 2ꅘ + 3 ． 25.计算：ꅘ2 — 2ꅘ + 3ꅘ— 1ꅘ + 1 ． 26ꅘ 4ꅘ— 3 — 2 ꅘ— 3ꅘ + 1 ． 272ꅘ— 3ꅘ + 4—ꅘ— 1ꅘ + 1 ． 30— 1ꅘ + 2ꅘꅘ + 3 ． 31ꅘ + 3ꅘ— 5— 3 ꅘ— 1ꅘ + 6 ． 325ꅘ + 3y3y — 5ꅘ—4ꅘ— y4y + ꅘ． 33.计算：a⺁ a + ⺁—a —⺁a 2 + ⺁ 2． 4.计算：2ꅘ + 3yꅘ— 2y ． 5.计算：(ꅘ2 y 3 —ꅘ3 y 2)·(ꅘ 2 — y 2)． / 服务内核部-初数教研2 3 4 16.计算：(2m + n 2)(4m 2 — 2mn 2 + n 4)． 17.化简：3ꅘ2 + 2ꅘ + 13ꅘ— 1 ．服务内核部-初数教研/ 服务内核部-初数教研/第二篇：第一章整式的乘除单元测试第一章整式的乘除单元测试（时间120分钟，满分150分）A卷（100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各题中计算错误的是（）2.化简x(y-x)-y(x-y)得（）A、x2-y2B、y2-x2C、2xyD、-2xy3.计算的结果是（）A．B．－C．D．－4.是一个完全平方式，则a的值为（）Ａ.４Ｂ.８Ｃ.４或—４Ｄ.８或—８5.三个数中，最大的是（）A.B.C.D.不能确定6.化简（a+b+c）－（a－b+c）的结果为（）A.4ab+4bcB.4acC.2acD.4ab－4bc7．已知，，则、、的大小关系是（）A．＞＞B．＞＞C．＜＜D．＞＞8．若，则等于（）A．－5B.－3C.－1D.19．边长为a的正方形，边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（）A．B．＋2abC．2abD．b(2a—b)10．多项式的最小值为（）A．4B．5C．16D．25二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填写在题中横线上．11.是_____次_____项式，常数项是_____，最高次项是_____．12.（1）（2）13.（1）（2）14.已知是关于的完全平方式，则=；15．若m2+n2－6n＋4m＋13＝０，m2－n2=；16、如果时，代数式的值为2008，则当时，代数式的值是三、计算题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，解答应写出必要的计算过程．17.；18.19.20.21.四、综合题：本大题共5小题，共32分，解答应写出必要的计算过程．22.（5分）已知，求的值[来23.（6分）简便计算：（1）(2)3.76542＋0.4692×3.7654＋0.23462.24.（5分）已知，，求代数式的值；25．（6分）若4m2+n2－6n＋4m＋10＝０，求的值；26．（8分）若的积中不含与项，（1）求、的值；（2）求代数式的值；B卷（50分）1.若，则=；2.有理数a,b,满足，=；3.=；4.若那么=；5.观察下列各式：1×3＝12+2×1，2×4＝22+2×2，3×5＝32+2×3，…，请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来：__________.6.（6分）计算：.7．（7分）已知：，求－的值．8．（8分）已知a2－3a-1＝0．求、的值；9.（9分）一元二次方程指：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的等式，求一元二次方程解的方法如下：第一步：先将等式左边关于x的项进行配方，第二步：配出的平方式保留在等式左边，其余部分移到等式右边，；第三步：根据平方的逆运算，求出；第四步：求出.类比上述求一元二次方程根的方法，（1）解一元二次方程：；（2）求代数式的最小值；答案：1-5.CBBCA;6-10.AABDC;11.12.（1）（2）；13.（1）（2）；14.；15．-5；16、-2006；17.；18.2；19.；20.；21.22.15；23.(1)1;(2)16;24.3;25.-8;26.;B卷：1.-2；2.6；3.；4.6；5.；6.2；7.30；8.3,13；9.（1）；（2）2；第三篇：初中数学复习整式的乘除专题01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：，，，．学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知，那么．（“华杯赛”试题）（3）把展开后得，则．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若则．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知，则等于（）A．2B．1C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：为指数，我们无法求出的值，而，所以只需求出的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设都是正整数，并且，求的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设，这样可用的式子表示，可用的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式，求的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数使得能被整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出的值，所谓是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式能被整除，求的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当和时，原多项式的值均为0，从而求出的值．当然本题也有其他解法．能力训练A级1．（1）．（福州市中考试题）（2）若，则．（广东省竞赛试题）2．若，则．3．满足的的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．都是正数，且，则中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：，个位数是3；，个位数是9；，个位数是7；，个位数是1；，个位数是3；，个位数是9；…那么的个位数字是，的个位数字是．（长沙市中考试题）6．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．7．已知，那么从小到大的顺序是（）A．B．C．D．（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若，其中为整数，则与的数量关系为（）A．B．C．D．（江苏省竞赛试题）9．已知则的关系是（）A．B．C．D．（河北省竞赛试题）10．化简得（）A．C．D．11．已知，试求的值．12．已知．试确定的值．13．已知除以，其余数较被除所得的余数少2，求的值．（香港中学竞赛试题）B级1．已知则=．2．（1）计算：=．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果，那么．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）与的大小关系是（填“＞”“＜”“＝”）．（2）与的大小关系是：（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果则=．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知，则．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知均为不等于1的正数，且则的值为（）A．3B．2C．1（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）7．若，则的值是（）A．1B．0C．—1D．28．如果有两个因式和，则（）A．7B．8C．15D．21（奥赛培训试题）9．已知均为正数，又，则与的大小关系是（）A．B．C．D．关系不确定10．满足的整数有（）个A．1B．2C．3D．411．设满足求的值．12．若为整数，且，求的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知为有理数，且多项式能够被整除．（1）求的值；（2）求的值；（3）若为整数，且．试比较的大小．（四川省竞赛试题）第四篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。