2019年中考数学试题目分类整理汇编与圆有关的位置关系.doc

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2019年全国中考数学真题分类汇编40：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系一、选择题1.（2019年重庆市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；故选：C．2. （2019年云南省）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A.4B.6.25C.7.5D.9【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O的半径为r ，∴OE=OF=r，∴S 四边形AEOF =r ²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r ²=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（）A ．2B ．2C ．3D ．4【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD ＝OD ， ∴tan A ＝＝，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ＝×6＝2；故选：A ．4.（2019年乐山市）如图5，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（）()A 3 ()B 241 ()C 27 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A （-4,0），B （4,0），即OA=4.又因为P 在圆C 上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q 是AP 上的中点.所以当AP 与圆C 相切时OQ 最大。

中考数学试题分类汇编知识点34 与圆有关的位置关系

知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （xx 四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A. 3B. 2C.【答案】D 【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=3，PA=2【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （xx 四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ．【知识点】圆与圆的位置关系3. （xx 江苏无锡，8，3分）如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O 相切.其中正确说法的个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（xx·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝3，则线段CD的长是（）A．2 BC．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODC OB=42=．∴DC【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （xx山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（xx四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt △DOE 中，OD=OF ·cos30°=×=1.所以边心距为1. 【知识点】正多边形和圆1. （xx 湖北鄂州，8，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，AC 是⊙O的直径，OP 与AB 相交于点D ，连接BC ．下列结论：①∠APB ＝2∠BAC ；②OP ∥BC ；③若tanC ＝3，则OP ＝5BC ；④AC 2＝4OD ·OP ．其中正确的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A ．【思路分析】利用切线长定理证明Rt △APO ≌Rt △BPO ，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP ＝∠C ，得到OP ∥BC ，∠APB ＝2∠BAC ，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP ＝∠C ，可证得OP ＝()1122310101010522OA OA OA AC BC BC +====，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC ∽△PAO ，再通过等量代换可证得AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．【解析】解：A 选项，设OP 与⊙O 交于点E ，∵ PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，则在Rt△APO 和Rt △BPO 中，∵OA OB AP BP ==⎧⎨⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BPO ，∠AOE ＝∠BOE ，∴∠AOP ＝∠C ，∴OP ∥BC ，故②正确；∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°，∵∠PAO ＝90°，∴∠APO ＋∠AOP ＝90°，即∠C ＋∠APO ＝90°，∴∠APO ＝∠BAC ，∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BAC ，故①正确；∵tanC ＝3，∴tan ∠AOP ＝3，则在Rt △ABC 中，3AB BC=，则AB ＝3BC ，故AC ＝()22310BC BC BC +=，在Rt △BPO 中，3APAO =，则AP ＝3OA ，故OP ＝()1122310101010522OA OA OA AC BC BC +====，故③正确；∵OA ＝OC ，OP ∥BC ，∴OD是△ABC 的中位线，∴OD ＝12BC ，BC ＝2OD ，在△ABC 和△P AO 中，∵∠OAP ＝∠ABC ＝90°，∠AOP＝∠C ，∴△ABC ∽△PAO ，∴AC BC OP OA =，∴212AC OD OP AC =，∴4AC OD OP AC =，∴AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．故选A ．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2. （xx ·重庆A 卷，9，4）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ．若⊙O 的半径为4，BC ＝6，则PA 的长为（）A ．4B ．3C ．3D ．2.5【答案】A ．【解析】如下图，连接OD ．O DCA P∵PC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥PC ．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （xx河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （xx湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A．30°B．35° C.40°D．45°【答案】DOD AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=45°，【解析】∵直线AB是O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵//故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （xx广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60︒角与直尺交点，3AB=,则光盘的直径是( )A．3 B．33C．6D．63【答案】D．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO＝∠OAB，从而求出∠BAO的度数，再在Rt△OAB中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O，设另一个切点为点C，连接OA、OB、OC，则由切线长定理可得，∠CAO＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OBAB ，即tan 6033OB=︒=，解得OB ＝33，故直径为63．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（xx 湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3-【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）.故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （xx 山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论.解：连接OA 、OB ，∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50°∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50°∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质二、填空题1. （xx 四川内江，24，6）已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝41a -＋10b ，则△ABC 的外接圆半径＝．【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝41a -＋10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－41a -＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋()21a -－41a -＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋()212a --＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，()212a --≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD ＝22AC AD -＝4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R -，解得R ＝258． BCOD A【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （xx 安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC 的AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D,E 若点D 是AB 的中点,则∠DOE【答案】60° 【解析】连接OA ，根据菱形的性质得到△AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD ，同理计算即可．解：连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形，∴BA=BO ，∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD=12∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （xx 湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦CD AB ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③OCF OEC ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ，∴BC BD =，故①正确；∵∠A=30°，∴∠COB=60°，∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ，∴OCF OEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （xx 江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°.【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=22°，∴∠AOB=136°，∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°，∴∠COB=46°，∵CB 是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠OCB=90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （xx江苏泰州，16，3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sin A=513，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心、PA'长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为.【答案】15625或10213【解析】设⊙P的半径为r，∵∠ACB=90°，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，∴∠A′EB=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（xx 山东威海，16，3分）在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为______．E D C B A【答案】135°【解析】连接CE ，∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°；∵⊙E 内切于△ADC ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝135°；∵△AE ≌△EB ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （xx 四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1,若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，S= .(结果保留根号）【答案】23 【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BHOHtan∠BOH，∴BH=33,∴S=12×33×1×12=23，故答案为23.【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （xx浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．【答案】70°【解析】∵⊙O内切于△ABC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°．∴∠BOD＝70°．故填70°.【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（xx宁波市，17题，4分）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________M DAB CP【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P与DC相切时，如图（1）所示，设BP=x，则PC=8-x;∵DC于圆相切，MD A∴PC=PM又∵M是AB中点∴BM=4在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2∴x2+42=(8-x)2∴解得：x=3∴BP=3(2)如图（2）所有当⊙P与DA相切时过点P作PE⊥AD,交AD与点E∵⊙P与DA相切与点E∴EP=MP=8在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2∴BP=综上所述：BP的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10.（xx浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为32cm2，则该圆的半径为cm.MDAB CP（第17题图）图2图1【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O 连接OP,OA,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB 中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8 【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x ，得32494362=⨯x ，得x=337所以再利用四边形OCPD 为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB 中解三角形，过点P 作PH ⊥OB 因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP ,PH=235,所以在△OPH 中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。

2019中考数学试题分类汇编考点29与园有关的位置关系含解析.doc

2019中考数学试题分类汇编：考点29 与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2019•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2019•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．3．（2019•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2019•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2019•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2019•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2019•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2019•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高 B．外切 C．相交 D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2019•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2019•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2019•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2019•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= 2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2019•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2019•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2019•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O 的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2019•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．三．解答题（共4小题）17．（2019•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2019•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2019•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．20．（2019•泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．。

第一轮复习—25与圆有关的位置关系.docx

与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：① ________ ,②__________ ,③ __________ ;对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d _____ r, ②d _______ r, ③d _______ r.2.直线与圆的位置关系共有三种：① _______ ,②________ ,③ _________ •对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d _____ r,②d ________ r,③d _______ r.3.圆与圆的位置关系共有五种：① _____ ,②______ ,③______ ,④_____ ,⑤______ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r （R>r） Z间的数量关系分别为：①d R-r,②d ______________ R-r,③R—r_d R+r,④d _____ R + r,⑤d _______ R + r.4.圆的切线 _______ 过切点的半径；经过_______ 的一端，并且______ 这条_________ 的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引—条切线， _____________ 相等，_______________ 相等.6.三角形的三个顶点确定—个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫—心，是三角形 _________________ 的交点，它到_____________________ 相等。

7.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________ ,内切圆的圆心是三角形________________ 的交点，叫做三角形的 _______ ,它到____________________ 相等.练习题―、选择题A1.如图，PA、刖分别切O0于点久〃，点F是00上一点，且ZJ^60°,则ZP的度数为（- ）A. 120°B. 90°C. 60°D. 75°2.已知OO的半径为5cm,如果圆心O到直线/的距离为5.5cm ,那么直线/ 二、填空题和OO的位置关系是（C.相离D.相交或•相离）3.如图，加是00的直径，初是00的切线，点C在00上，BC//0D.個=2, 则忧的长为（）2 3 ££3B' 2 2 D ' 24.已知半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（）5.已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为1,则两圆的位置关系是（）6.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点那么这两个圆的圆心距〃的取值范围是（)A. d>8B. d>2C. 0 < J < 2D. d>8 或0W〃v27.如图.半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切.则小圆扫过的阴影部分的面积为（）.A. 17 nB. 32 兀C. 49 开D. 8（）1._____________ 如图所示，AB, AC与00相切于点B, C, ZA = 50°，点P是圆上异于B, C的一动点，则ZBPC的度数是_B2._________________________________________________________________________________ 如图，肋与相切于点氏初的延长线交OQ于点G连结处若Z/f=36.°,则ZQ ___________________________3._________________________________________________________________ 已知OO］和OO?的半径分别为3cm和5cm,且它们内切，则OQ?等于__________________________________ cm.3._________________ 如图，在比屮，Z/1-90°,分别以〃、C为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm,则图屮阴影部分的面积为.。

2019中考数学分类汇编汇总知识点34 与圆有关的位置关系(第一期) 解析版

一、选择题1. （2019江苏省无锡市，8，3）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°第8题图第8题答图【答案】B【思路分析】本题考查切线的性质，连接OA ，先利用切线性质求∠AOP ，再借助等边对等角求∠B .【解题过程】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．【知识点】切线的性质2. （2019四川省自贡市，12，4分）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（）A . B. C. D.【答案】B.【解析】解：∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB = ，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD = .∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴ ，即， x yO -6OOO B C A A BB AP E F∴OE=，∴BE=OB-OE=.∵S△ABE=BE·OA=AB·EG，∴EG=.在Rt△BGE中，∠EBG=450，∴BG=EG=，∴AG=AB-BG=.在Rt△AEG中，tan∠BAD=.故选B.【知识点】勾股定理，锐角三角函数，圆的切线.3. (2019浙江台州,7题,4分)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-第7题图【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.第7题答图【知识点】切线的性质,角平分线的判定,三角函数,勾股定理4. （2019重庆市B 卷，4，4）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C＝40°则∠B 的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ．【知识点】切线定义，三角形内角和 .5. （2019重庆A 卷，4，4）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质6.（2019广东广州，5，3分）平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O的切线条数为第4题图A（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条【答案】C【解析】解：∵⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，∴d ＞r ，∴点P 与⊙O 的位置关系是：P 在⊙O 外，∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C ．【知识点】切线的性质7. （2019湖北荆门，12，3分）如图，△ABC 内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是（）A ．DI ＝DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定【答案】A【解析】解：连接BI ，如图，∵△ABC 内心为I ，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI ，∴DI ＝DB ．故选：A ．【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心8. （2019台湾省，23，3分）如图，有一三角形ABC 的顶点B 、C 皆在直线L 上，且其内心为I ．今固定C 点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A B C ''的顶点A '落在L 上，且其内心为I '．若A B C ∠<∠<∠，则下列叙述何者正确？( )#JYA ．IC 和I A ''平行，II '和L 平行B ．IC 和I A ''平行，II '和L 不平行C ．IC 和I A ''不平行，II '和L 平行D ．IC 和I A ''不平行，II '和L 不平行【答案】C【解析】解：作ID BA '⊥于D ，IE AC ⊥于E ，I F BA ''⊥于F ，如图所示：则//ID I F '， ABC ∆的内心为I ，△A B C ''的内心为I '，ID IE IF ∴==，12ICD ACB ∠-∠，12I A C B A C ''''∠=∠， ∴四边形IDFI '是矩形，//II L '∴，A B C ∠<∠<∠，A B C ''∴∠<∠<∠，ICD I A C ''∴∠>∠，IC ∴和I A ''不平行，故选：C ．【知识点】三角形的内切圆与内心；旋转的性质；平行线的判定9.（2019台湾省，19，3分）如图，直角三角形ABC 的内切圆分别与AB 、BC 相切于D 点、E 点，根据图中标示的长度与角度，求AD 的长度为何？( )A ．32B ．52C ．43D ．53【答案】D【解析】解：设AD x =，直角三角形ABC 的内切圆分别与AB 、BC 相切于D 点、E 点，1BD BE ∴==，1AB x ∴=+，4AC AD CE x =+=+，在Rt ABC ∆中，222(1)5(4)x x ++=+，解得53x =，即AD 的长度为53．故选：D ．【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理10. （2019浙江嘉兴，7，3分）如图，已知O 上三点A ，B ，C ，半径1OC =，30ABC ∠=︒，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为( )A ．2B C D ．12【答案】B【解析】解：连接OA ， 30ABC ∠=︒，260AOC ABC ∴∠=∠=︒，过点A 作O 的切线交OC 的延长线于点P ，90OAP ∴∠=︒，1OA OC ==，tan 601AP OA ∴=︒=故选：B ．【知识点】切线的性质；圆周角定理二、填空题1. （2019湖南省岳阳市，16，4分）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3π；④若AC=3，BD=1，则有CM=DM．【答案】①②④【思路分析】①连接OM，运用平行线的性质和等腰三角形的性质进行证明；②连接BM，证明△AMC∽△ABM，则结论可证；③分别求出圆心角和半径，利用弧长公式进行计算；④先运用平行线等分线段定理证明CM=DM，再证明△ACM∽△MDB，利用比例式进行计算．【解题过程】连接OM，BM∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ，∴CM =MD ．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°，∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM =∠BDM =90°，∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CM DM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．【知识点】圆的基本性质，切线的性质，弧长计算，相似三角形的判定和性质2. （2019江苏省无锡市，17，2）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，若O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.第17题图【答案】25【思路分析】本题考查动圆与三角形的边动态相切问题，由于Rt △ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，故可以通过两个内切圆半径的差为1来求△ABC 的周长.【解题过程】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接A O 1 与C O 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt△ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++=23，ED =1，∴ID = IE + ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25. 【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形内心的性质，直角三角形的内切圆3. （2019山东省济宁市，14，3分）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BCAC ＝3．则图中阴影部分的面积是．【解析】在Rt △ABC中，∵tan 3BC A AC ==，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ．设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r， ∴阴影的面积是S ＝60360×π×(32)2＝6－334π．【知识点】锐角三角函数，扇形面积格式，圆的切线的性质4. （2019四川省眉山市，17，3分）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【思路分析】连接OQ ，由PQ 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OQ 与PQ 垂直，利用勾股定理列出关系式，AC由OP 最小时，PQ 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PQ 的最短值.【解题过程】解：连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB =12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB∙=4，∴PQ= ．故答案为：【知识点】勾股定理，等积法，最短距离问题5. (2019浙江宁波,17题,4分)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.第17题图【答案】132或【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论: ①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在; ②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或【知识点】切线性质,中位线,相似三角形,勾股定理6.（2019湖北鄂州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA ＝OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长度的最大值为．【答案】16【解析】解：连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大， ∵C （3，4）， ∴OC 5，∵以点C 为圆心的圆与y 轴相切． ∴⊙C 的半径为3， ∴OP ＝OA ＝OB ＝8， ∵AB 是直径， ∴∠APB ＝90°， ∴AB 长度的最大值为16，故答案为16．【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；切线的性质7. （2019江苏连云港，16，3分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是．【答案】3【解析】解：如图，过点P 作//PE BD 交AB 的延长线于E ，AEP ABD ∴∠=∠，APE ATB ∆∆∽，∴AP AEAT AB=， 4AB =，4AE AB BE BE ∴=+=+，∴14AP BEAT =+， BE ∴最大时，APAT最大，四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，4CD AB ==，过点C 作CH BD ⊥于H ，交PE 于M ，并延长交AB 于G ，BD 是C 的切线，90GME ∴∠=︒，在Rt BCD ∆中，5BD =，90BHC BCD ∠=∠=︒，CBH DBC ∠=∠， BHC BCD ∴∆∆∽，∴BH CH BCBC DC BD ==， ∴3345BH CH ==， 95BH ∴=，125CH =，90BHG BAD ∠=∠=︒，GBH DBA ∠=∠， BHG BAD ∴∆∆∽，∴HG BG BHAD BD AB==， ∴95354HG BG ==，2720HG ∴=，94BG =，在Rt GME ∆中，33sin 55GM EG AEP EG EG =∠=⨯=，而94BE GE BG GE =-=-， GE ∴最大时，BE 最大， GM ∴最大时，BE 最大， 2720GM HG HM HM =+=+，即：HM 最大时，BE 最大，延长MC 交C 于P '，此时，HM 最大2425HP CH '===， 1234GP HP HG ''∴=+=，过点P '作//P F BD '交AB 的延长线于F ，BE ∴最大时，点E 落在点F 处，即：BE 最大BF =，在Rt △GP F '中，1234143sin sin 45GP GP FG F ABD ''====∠∠，8BF FG BG ∴=-=，∴AP AT 最大值为8134+=，故答案为3．【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质8. （2019江苏南京，14，2分）如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A +∠C ＝．【答案】219°【解析】解：连接AB，∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∵∠P＝102°，∴∠P AB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠P AD+∠C＝∠P AB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【知识点】圆周角定理；切线的性质9.（2019江苏宿迁，15，3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．【答案】2【解析】解：直角三角形的斜边13，所以它的内切圆半径2．故答案为2．【知识点】三角形的内切圆与内心10.（2019山东菏泽，14，3分）如图，直线y x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．【答案】（，0）或P（，0）．【解析】解：∵直线y x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P 与直线AB 相切于D ，连接PD ，则PD ⊥AB ，PD ＝1，∵∠ADP ＝∠AOB ＝90°，∠P AD ＝∠BAO ， ∴△APD ∽△ABO ， ∴，∴，∴AP，∴OP或OP，∴P （，0）或P （，0），故答案为：（，0）或P （，0）．【知识点】一次函数的图象；切线的判定与性质; 相似三角形的判定和性质11. （2019浙江温州，14，5分）如图，O 分别切BAC ∠的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧()EDF 上，若66BAC ∠=︒，则EPF ∠等度．【答案】57【解析】解：连接OE ，OFO 分别切BAC ∠的两边AB ，AC 于点E ，F OE AB ∴⊥，OF AC ⊥又66BAC ∠=︒114EOF ∴∠=︒ 2EOF EPF ∠=∠ 57EPF ∴∠=︒故答案为：57︒【知识点】切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理三、解答题1. （2019浙江省金华市，21，8分）如图，在Y OABC 中，以O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点B ，与OC 相交于点D .（1）求»BD 的度数；（2）如图，点E 在⊙O 上，连结CE 与⊙O 交于点F .若EF =AB ，求∠OCE 的度数.（第21题图）【思路分析】本题考查了切线的性质；垂径定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形的判定；勾股定理；特殊角的锐角三角函数的综合运用.（1）连结OB ，利用切线的性质；平行四边形的性质证△AOB 是等腰直角三角形得∠ABO ＝45°．利用平行线的性质得∠BOC ＝45°．由圆心角的弧度就是所对弧的度数得出结论．（2）连结OE ，作OH ⊥EC ．设EH ＝t ，先利用垂径定理，平行四边形的性质证得CO ＝2t ，再利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求得OH ＝t ，最后利用特殊角的锐角三角函数求出∠OCE 的度数. 【解题过程】解： 1）连结OB ． ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥BC ，∵四边形OABC 是平行四边形 ∴OA ∥BC ，∴OB ⊥OA ． ∴△AOB 是等腰直角三角形． ∴∠ABO ＝45°． ∵OC ∥AB ，∴∠BOC ＝∠ABO ＝45°． ∴BD 的的度数为45°；C（2）连结OE ，过点O 作OH ⊥EC 于点H ，设EH ＝t ，∵OH ⊥EC ，∴EF ＝2HE ＝2t ，∵四边形OABC 是平行四边形 ∴AB ＝CO ＝EF ＝2t ，∵△AOB 是等腰直角三角形． ∴⊙O 的半径OA．∴在R t △EHO 中，OH＝t在R t △OCH 中，∵OC ＝2OH ，∴∠OCE ＝30°．【知识点】切线的性质；垂径定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形的判定；勾股定理；特殊角的锐角三角函数2. （2019浙江湖州，23，10）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1分别交x 轴和y 轴于点A (－3，0)、B (0，3)．（1）如图1，已知⊙P 经过点O ，且与直线l 1相切于点B ，求⊙P 的直径长；（2）如图2，已知直线l 2：y ＝3x －3分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线l 2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆．①当点Q 与点C 重合时，求证：直线l 1与⊙Q 相切；②设⊙Q 与直线l 1相交于点M ，N ，连结QM ，QN ．问：是否存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．C【思路分析】（1）连接PO 、PB ，由切线的性质得AB ⊥BP ，再由∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，得到∠OBA ＝∠OAB ＝45°，进而得到△OPB 是等腰直角三角形，由三角函数易求⊙P 的直径．（2）第①个问题利用圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，计算点C 到直线AB 的距离与半径比较即可；②分两种情况讨论：若点Q 在CF 上，由等腰直角三角形的锐角为45°，加上∠BAC ＝45°，得∠AGN ＝90°，利用设点Q 的坐标并结合直线解析式，得到N 的坐标，从而建立关于点Q 的横坐标的一元方程解之即可．另一种情况利用中心对称性质，结合上种情况将两点坐标交换一下，就轻松锁定答案．【解题过程】（1）如答图1，连接PO 、PB ．∵⊙P 与直线l 1相切于点B ， ∴AB ⊥BP ．∵A (－3，0)、B (0，3)， ∴OA ＝OB ＝3．又∵∠AOB ＝90°，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∴∠PBO ＝45°． ∵PB ＝PO ，∴∠OPB ＝90°．在Rt △POB 中，由sin ∠PBO ＝POOB，得PO ＝OB •sin ∠PBO ＝3×sin45°＝2．∴⊙P 的直径为．图1第23题图（2）①如答图2，过点C 作CE ⊥AB 于点E ．易知C (1，0)，从而AC ＝3＋1＝4．在Rt △ACE 中，由sin ∠CAE ＝CEAC，得CE ＝AC •sin ∠CAE ＝4×sin45°＝． ∵⊙Q 的半径为，且点Q 与点C 重合， ∴⊙Q 与直线l 1相切．②假设存在符合条件的等腰直角三角形，令直线l 1、l 2相交于点F ．易求直线AB 的解析式为y ＝x ＋3．分两种情况讨论如下：若点Q 在线段CF 上，如答图3，由∠MNQ ＝∠NAG ＝45°，得∠AGN ＝90°，从而点Q 、N 两点的横坐标相等，不妨令Q (m ，3m －3)，则N (m ，m ＋3)，于是由NQ ＝，得(m ＋3)－(3m －3)＝，解得m ＝3，故Q (3，6－)．若点Q 在线段CF 的延长线上，如答图4，由可知(3m －3)－(m ＋3)＝，解得m ＝3第23题答图41第23题答图3第23题答图1，故Q (3，6＋)．综上，存在符合条件的点Q 有两个：Q 1(3，6－)，Q 2(3，6＋)．【知识点】圆的切线性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形的判定与性质；三角函数；一次函数；动点问题；分类思想；数形结合思想．3. （2019天津市，21，10分）已知PA,PB 分别与⊙O 相切于点A,B ，∠APB=80°，C 为⊙O 上一点， (1)如图①，求∠ACB 的大小；(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小.【思路分析】(1)如图，由于PA,PB 分别是切线，所以连接OA,OB 可得∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形内角和可求∠AOB,根据圆周角和圆心角的关系可求∠ACB 的大小。

2019全国中考数学真题分类汇编：与圆有关的位置关系

一、选择题1．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（）A ．54 °B ．36°C ．32 °D ．27°（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ．2. （2019·无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°【答案】B【解析】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．3.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动xy O-6OO B C AA BE F点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A. B. C. D.【答案】B.【解析】∵A（8，0），B（0，8），∠AOB=900，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=，∠OBA=450，取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，∵线段DH是Rt△CFD斜边上中线，∴DH=CF=10，故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时，△ABE的面积最小.在Rt△ADH中，AH=OH+OA=13,∴AD=.∵∠AOE=∠ADH=900，∠EAO=∠HAD，∴△AOE∽△ADH，∴，即，∴OE=，∴BE=OB-OE=.∵S△ABE=BE·OA=AB·EG，∴EG=.在Rt△BGE中，∠EBG=450，∴BG=EG=，∴AG=AB-BG=.在Rt△AEG中，tan∠BAD=.故选B.4. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.5.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C＝40°则∠B的度数为50°. 故选Ｂ．6.（2019·重庆A卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3；④若AC =3，BD =1，则有CM =DM ．【答案】①②④【解析】连接OM ，BM∵PE 是⊙O 的切线，∴OM ⊥PE ．∵AC ⊥PE ，∴AC ∥OM ．∴∠CAM ＝∠AMO ．∵OA ＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAO ．∴∠CAM =∠MAO ．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，∴∠CAM＝∠BMD．∵∠ACM=∠BDM=90°，∴△ACM∽△MDB．∴AC CM DM BD=．∴CM·DM=3×1=3．∴CM=DM．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC中，AC∶BC∶AB=5∶12∶13，O在△ABC内自由移动，若O的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.3. （2019·济宁）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BCAC ＝3．则图中阴影部分的面积是．【答案】64- 【解析】在Rt △ABC中，∵tan BC A AC ==，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ．设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r， ∴阴影的面积是S ＝60360×π×(32)2＝6－334π．4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短， ∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB = 12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB∙=4，AC∴PQ=．故答案为： 5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论: ①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在; ②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ,∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或三、解答题1．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°．在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ．∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线；（2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝．由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝∴∆OBD 的面积为12×8×，扇形OAB 的面积为16×π×82＝323π， ∴阴影部分的面积为323π． 2．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D 、C 两点（1）如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积图1 图2【解题过程】图6C B O E DCB ABB证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ．又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ． ∴OE EC ED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC（2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

19与圆的位置关系

与圆的位置关系一、知识要点概述1、点与圆的三种位置关系设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则2、直线与圆的三种位置关系设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则3、切线的判定方法除定义（直线l与圆只有惟一的公共点）外，还有：（1）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（2）过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．4、切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）过圆心且垂直于切线的直线必过切点；（5）过切点且垂直于切线的直线必过圆心．5、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．6、注意三角形“四心”的区别外心——三边中垂线的交点，为三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等．内心——三个内角平分线的交点，为三角形内切圆的圆心，它到三角形三边距离相等，其中直角三角形内切圆半径等于周长的一半与斜边的差．重心——三条中线的交点．垂心——三条高的交点． 7、圆与圆的位置关系设两圆半径分别为R ，r(R≥r>0)，圆心距为d ，则关于圆与圆的五种位置关系，应掌握下表内容．二、典型例题剖析例1、已知两圆的半径为r 1=1，r 2=3，圆心距d 和r 1，r 2恰好能构成一个三角形，则：（1）这两圆有_________公共点；（2）d 的取值范围是_________；（3）这两圆的位置关系是_________．分析：由于圆心距d 和r 1，r 2恰好能构成一个三角形，可知|r 1－r 2|<d<|r 1＋r 2|2<d<4两圆相交两圆有两个公共点．解：（1）2；（2）2<d<4；（3）相交．例2、如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD=OB，C在圆上，∠CAB=30°．求证：DC是⊙O的切线．分析：因C在圆上，欲证DC是圆的切线，只需证明OC⊥CD即可，这一步可通过∠OCB ＋∠BCD＝90°得到．证明：连结OC、BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又OC=OB，∠CAB=30°，∴△BCO为等边三角形，即OB=OC=BC．又BD=OB，∴BD=BC，∴△BDC为等腰三角形，∴∠BCD=∠ABC=30°，∠OCD=∠OCB＋∠BCD=60°＋30°=90°，∴DC是⊙O的切线．例3、如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，DO、AE相交于点F，CO、BE相交于点G．求证：（1）CO⊥DO；（2）四边形EFOG是矩形．分析：（1）欲证OC⊥OD只需证∠ODC＋∠OCD=90°．根据切线长定理，得∠ODC＋∠OCD=(∠ADC＋∠BCD)．再由切线的性质不难得AD//BC，从而∠ADC＋∠BCD=180°，（1）获证．（2）仍由切线长定理，可证AE⊥DO，BE⊥CO，而∠AEB=90°，（2）获证．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD//BC，∴∠ADC＋∠BCD=180°．又∵DC是⊙O的切线，由切线长定理，得∠ODC=∠ADC，∠OCD=∠BCD，∴∠ODC＋∠OCD=(∠ADC＋∠BCD)=90°，故∠DOC=90°，即OC⊥OD．（2）∵DA、DE分别切⊙O于点A、E，∴DA=DE，∴AE⊥DO，∴∠EFO=90°．同理BE⊥CO，∠EGO=90°．又AB是直径，∴∠FEG=90°，∴四边形EFOG是矩形．点评：在有关圆的问题中，切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．例4、如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为（2，0），⊙O′与x轴交于原点O和点A．又B、C、E三点的坐标分别为（－1，0），（0，3），（0，b），且0<b<3．（1）求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系中b的取值范围．分析：本例是数形结合类的结论探索型问题．其中第（1）问不难求解；第（2）问应先设点E在OC上移动至某处时，恰使直线BE切⊙O′于点M．下面的目标是探求OE之长，即知．再由0<b<3知直线BE与⊙O′的三种位置关系的b值或取值范围．解：（1）由题设条件可得A（4，0）．设经过B、C两点的直线的解析式为y=kx＋b，将B（－1，0），C（0，3）代入，易求得直线的解析式为y=3x＋3．（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O′有三种位置关系：相离、相切、相交．设当点E在OC上移动至某处时，恰使直线BE切⊙O′于点M，连结O′M．∵BM切⊙O′于点M，∴O′M⊥BM且O′M=2．在Rt△BMO′中，∵BO′=3，O′M=2，又∵OE⊥OB，O′M⊥BM，∠EBO=∠O′BM，∴Rt△BEO∽Rt△BO′M点评：结论探索型问题是近几年中考的热点题型．解题时，一般充分利用已知条件或图形特征进行猜想和分析，发现规律、获取结论．例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于点C，直线CB交⊙O2于点D，直线DA交⊙O1于E，连结CE．求证：（1）△CAE是等腰三角形；（2）DA·DE=CD2－CE2．证明：（1）连结AB．∵CA切⊙O2于点A，∴∠FAD=∠ABD．又∵四边形ABCE为⊙O1的内接四边形，∴∠ABD=∠E，∴∠FAD=∠E．又∵∠FAD=∠EAC，∴∠E=∠EAC，∴CE=CA，即△ACE为等腰三角形．（2）∵CA切⊙O2于点A，∴∠CAB=∠D．又∵∠ACB=∠DCA，∴△CAB∽△CDA，∴，即CA2=CB·CD．①又∠ABD=∠E（（1）已证），∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△CED，∴，即DA·DE=DB·DC，②①＋②得：CA2＋DA·DE=CB·CD＋BD·CD=CD2，∴DA·DE=CD2－CA2=CD2－CE2．点评：一条公共弦的连结，使弦切角与圆周角、圆内接四边形的外角与内角之间得以沟通，可见“两圆相交、连公共弦”是多么重要．而更多的时候要用到“连心线垂直平分公共弦”这条重要性质的传递作用．例6、⊙O1与⊙O2外切于点P，一条公切线为AB，A、B为切点．设两圆的半径为r1、r2．求证：AB2=4r1r2．证法一：C、O2C及O1P、如图（1），过两圆的切点P作内公切线PC交AB于点C，连结O1O2P．∵AB、CP均为两圆的切线，C平分∠ACP，O2C平分∠BCP，∴CA=CP=CB，O1∴∠OCO2=90°．1O2上，又P在两圆连心线O1∴OO2为Rt△O1CO2的斜边，且CP⊥O1O2．1PC∽Rt△CPO2得CP2=O1P·O2P，由Rt△O1即，∴AB2=4r1r2．证法二：如图（2），连结OA、O2B及O1O2，过O1作O1D⊥O2B于D．1∵AB为两圆的公切线，∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴四边形ABDO1为矩形，∴BD=AO1，O1D=AB．设⊙O1，⊙O2的半径分别为r1、r2(r2>r1)，则O1O2=r1＋r2，O2D=r2－r1．在Rt△O1DO2中，O1D2=O1O22－O2D2=(r1＋r2)2－(r2－r1)2=4r1r2，即AB2=4r1r2．点评：证法（一）作两圆的内公切线，充分发挥了切线长定理的两个作用（切线长相等、点C与圆心的连线平分两条切线的夹角）；证法（二）是通过平移切线AB，化归为解直角三角形问题来解决，显得简洁、直观，这些都是常用的方法．例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上．（1）如图（1），AD是⊙O2的直径，连结DB，并延长交⊙O1于点C．求证：O2C⊥AD；（2）如图（2），如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论．证明：（1）连结AB，则有∠AO2C=∠ABC=180°－∠ABD=90°，∴CO2⊥AD．（2）CO2所在直线与AD垂直，理由：作直径AD1交⊙O2于D1，连结D1B并延长交⊙O1于C1，连结AB．由第（1）问可知∠AO2C1=90°，∴∠AD1B＋∠BC1O2=90°．在⊙O2中，∠AD1B=∠ADB，在⊙O1中，∠BC1O2=∠BCO2，∴∠ADB＋∠BCO2=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥AD．点评：解决此类问题，关键是要找出一般与特殊的关系．在图形变换中，要找出不变量．冲刺练习一、填空题．1、等腰直角三角形内切圆半径与外接圆半径之比是_________．2、在△ABC中，∠A=80°．若H为垂心，则∠BHC=_________；若O为外心，则∠BOC=_________；若I为内心，则∠BIC=_________．3、已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，⊙O的切线DE交BC于E．那么DE︰BC=_________．4、△ABC中，AB=12，BC=10，AC=7，AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F点，则AD=_________，BE=_________，CF=_________．5、已知半径不相等的两圆有公共点，则两圆的公切线条数是__________．6、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，CA是⊙O1的直径，CA、CB的延长线分别交⊙O2于D、E两点．若AD=CB=2cm，BE=10cm，则⊙O2的半径是__________cm．7、如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2相外切，且⊙O1分别与DA、DC边相切，⊙O2分别与AB、BC边相切，则圆心距O1O2的长为__________．[答案]二、选择题．8、如图，PC、DA为⊙O的切线，AB为⊙O的直径．若DA=2，CD︰DP=1︰2，则AB的长为（）A．B．4C．D．29、若⊙O外一点P与点O的距离为4cm，从P向⊙O作切线，切线长与圆的半径之差为2cm，则圆的半径为（）cm.10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（）A．B．C．D．11、如图，⊙O2与⊙O1内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2交⊙O2于点C、D．若AC︰CD︰DB=2︰4︰3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）A．2︰3B．2︰5C．1︰3D．1︰412、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为．若圆心距O1O2等于，则（）A．两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线B．两圆既有两条外公切线，又有两条内公切线C．两圆只有两条外公切线，没有内公切线D．两圆既无外公切线，也无内公切线13、若⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为（）A．105°B．75°或15°C．105°或15°D．15°[答案与提示]三、解答题．14、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D．连结AD并延长交BC于点E．（1）若BC=，CD=1．求⊙O的半径；（2）取BE的中点F，连结DF．求证：DF是⊙O的切线；（3）过D点作DG⊥BC于G，OE与DG相交于点M．求证：DM=GM．[答案]15、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA=r．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求AD·OC的值；（3）若AD＋OC=，求CD的长．[答案]16、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C．过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：PA·PE=PC·PD；（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长．[答案]17、如图，⊙O与⊙O1内切于点A，直线OO1交⊙O于点B，交⊙O1于另一点F．过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于点C，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：CD=DE；（2）将两圆内切改为外切，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．[答案]18、如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B、C．连结BA并延长交⊙O1于D，过D作CB的平行线交⊙O2于E、F．（1）求证：CD是⊙O1的直径；（2）试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．[答案]19、如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4．求BE的长．[答案]20、如图，AD是⊙O的直径，一条直线l与⊙O相交于E、F两点．过点A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，CD交⊙O于G．（1）求证：AD·BE=FG·DF；（2）设AB=m，BC=n，CD=p．求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2－nx＋p=0的两个实数根；（3）若（2）中方程满足n2=4mp，判断直线l与⊙O的位置关系．[答案]1、2、100°；160°；130°3、1︰24、4.5；7.5；2.55、1条或2条或3条6、7、提示：2、分别画出图形．3、BE=DE=EC．4、设AD=x，BE=y，CF=z，则6、连结O1B，O2B，过O2作O2H⊥BE于H，易求得AC=4cm，则△CO1B为边长是2cm的正三角形，则O2H=．由勾股定理求得BO2=．7、分别由O1、O2作AB的垂线，垂足为E、F，再作O2H⊥O1E于H，则O1H=O2H=3－(r1＋r2)．由2[3－(r1＋r2)]2=(r1＋r2)2求得．8、A 9、B 10、A11、C 12、B 13、C提示：10、设⊙O的半径为r，作OE⊥AC于E，则△AEO∽△ACD，故有．11、作连心线O1O2，交⊙O1于F，则其必过点E．设⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r，且r=EO2=2k，则AO2=4k，BO2=5k，故4k·5k=2k·(2R－2k)，∴R=6k．12、∵O1O2>，∴两圆外离．13、分圆心在公共弦的两侧和同侧．14、解：（1）易求r=1．（2）连结OF，则OF//AE，可证△OBF≌△ODF，∴∠ODF=∠OBF=90°，∴DF是⊙O的切线．（3）∵DG//AB，．∵AO=BO，∴DM=GM．15、证：（1）连结OD，证∠OBC=90°及△OBC≌△ODC．（2）连结BD，由△ABD∽△OCB得AD·OC=2r2．（3）AD、OC是关于x的一元二次方程x2－＋2r2=0的两个根，解得OC=4r．再由勾股定理得．16、解：（1）连结AB、CE，证△PCE∽△PAD即可．（2）由PB·PD=PA2得PB=3．又∵PA·PC=PB·PE，∴PE=4，而DA2=DB·DE=9×16，∴AD=12．17、解：（1）连结DF、AD、AC，证Rt△EDA≌Rt△CDA即可．（2）成立，画图，证法同（1）．18、解：（1）过A点作内公切线，连结AC，可证AB⊥AC．连结CD，则CD的圆周角为90°，故CD是⊙O1的直径．（2）BE=BF=BC．连结AE，△EBA∽△DBE，BE2=BA·BD．又BC2=BA·BD，∴BE=BC．又∵∠CBE=∠BEF，∠CBE=∠EFB，∴∠EFB=∠BEF，∴BF=BE．19、解：（1）两圆外切．作⊙ABD的切线l交DE于H，延长BA交⊙AEC于F，可证∠HAE=∠C，再证AH也是⊙AEC的切线．（2）延长DA交⊙AEC于G，连结GF，可证△ADB∽△AGF，∴AB︰AF=2（等于两圆的半径比）．又∵AB=4，∴AF=2，∵BA·BF=BE·BC，∴BE=4．20、解：（1）作OH⊥l于H，则CF=BE，△GCF∽△AFD，用BE代换CF即得．（2）连结AG，则AB=CG，（3）由n2=4mp得BC2－4AB·CD=0，即(FC＋FB)2－4FC·FB=0，∴(CF－FB)2=0，∴FC=FB，∴F是BC的中点．又E是BC的中点，∴E与F重合，即直线l与⊙O相切．。

2019中考数学分类汇编汇总知识点34 与圆有关的位置关系(第二期) 解析版

1. （2019广西北部湾，12，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知BC=2，当CE+DE 的值最小时，则CE DE 的值为A.910B.23C.3D.5【答案】A.【思路分析】首先作出C 关于OB 的对称点C′，连接C′D 得出使DE+CE 最小时E 的位置，然后连接BD ，OC 交与点M ，根据勾股定理以及等面积法求出DM 的长，进而得出BD 的长，最后过点D 作DD′⊥BC ，由勾股定理求出CD′，由相似三角形的判定与性质可得CE C C B DE DE BD ==′E ′′，进而得出答案. 【解答过程】解：作C 关于OB 的对称点C′，连接DC′交OB 于E.∵OB 垂直平分C′C ，∴CE=C′E.∵CE+DE=C′E+DE≥C′D ，∴C′、E 、D 三点共线时，DE+CE 最小，最小值为C′D ，∴图中点E 为所求点.连接BD ，OC 交于M 点.在Rt △ODC 中，OC 2=DO 2+CD 2=9，∴OC=3.∵DM 为Rt △ODC 斜边上的高，根据面积相等，DM=OD DC OC∴过D 作DD′⊥BC ，交于BC 延长线于D′，设CD′=x 则DD′2=4-x 2在Rt △DBD′中，BD′=2+x ，，， ∴(2+x )2+4-x 2=1659⨯， ∴x =29.∴2921029CE C C B DE DE BD ====+′E ′′，故选A.【知识点】作图-轴对称变换；勾股定理；相似三角形的判定与性质.2. （2019黑龙江哈尔滨，5，3分）如图,PA 、PB 分别与⊙0相切于A 、B 两点,点C 为⊙O 上一点,连接AC 、BC,若∠P=50°,则∠ACB 的度数为（）。

A ．60°B ．75°C ．70°D ．65°【答案】D【解析】先利用切线的性质得∠OAP ＝∠OBP ＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数．解：连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°﹣∠P ＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°．故选：D ．【知识点】切线的性质;圆周角定理3.（2019湖北仙桃，10，3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质4.（2019广西贺州，11，3分）如图，在ABC∆中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的O与AC相AB=，CD的长是()切于点D，BD平分ABC∠，AD=，12A．B．2C．D．【答案】A【解析】解：O与AC相切于点D，∴⊥，AC OD90ADO ∴∠=︒， 3AD OD =，tan OD A AD ∴==， 30A ∴∠=︒，BD 平分ABC ∠，OBD CBD ∴∠=∠，OB OD =，OBD ODB ∴∠=∠，ODB CBD ∴∠=∠，//OD BC ∴，90C ADO ∴∠=∠=︒，60ABC ∴∠=︒，162BC AB ==，AC == 30CBD ∴∠=︒，6CD ∴=== 故选：A ．【知识点】切线的性质; 直角三角形的性质; 等腰三角形的性质; 平行线的判定与性质; 锐角三角函数的定义5. （2019四川泸州，11，3分）如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，∵等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，OD ⊥AB ，BE ＝BD ，∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝3，在Rt △ABE 中，AE 4，∵BD ＝BE ＝3，∴AD ＝2，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，AO ＝4﹣r ，在Rt △AOD 中，r 2+22＝（4﹣r ）2，解得r ，在Rt △BOE 中，OB， ∵BE ＝BD ，OE ＝OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH ＝EH ，OB ⊥DE ，∵HE •OB OE •BE ， ∴HE ，∴DE ＝2EH．故选：D ．【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心二、填空题1. （2019广西河池，T16，F3分）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，38OAB ∠=︒，则P ∠= ︒．【答案】76．【思路分析】由切线的性质得出PA PB =，PA OA ⊥，得出PAB PBA ∠=∠，90OAP ∠=︒，由已知得出9052PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解题过程】解：PA，PB是O的切线，∴=，PA OAPA PB⊥，∴∠=∠，90PAB PBAOAP∠=︒，∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，90903852PBA PAB OABP∴∠=︒-︒-︒=︒；180525276故答案为：76．【知识点】切线的性质2. (2019海南,14题,4分)如图, O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为________度.第14题图【答案】144【解析】∵ O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,∴OB⊥AB,OD⊥DE,∵正五边形每个内角为108°,∴∠O＝∠C+∠OBC+∠ODC＝108°×3－90°×2＝144°.【知识点】正多边形,切线的性质3.．(2019内蒙古包头市，18题，3分)如图8，BD是圆O的直径，A是圆O外一点，点C在圆O上，AC与圆O相切于点C，∠CAB=900，若BD=6，AB=4，∠ABC=∠CBD，则弦BC的长为.【答案】.【解题过程】解：连接OC，CD，∵AC为切线，OC为半径，∴AC⊥OC，∴∠ACB+∠OCB=900，∵BD为直径，∴∠BCD=900，∴∠CBO +∠D =900，又∵OC =OB ,∴∠OCB =∠OBC ，∴∠ACB =∠D .又∵∠A =∠BCD =900,∴△ABC ∽△CBD ，∴ ，即BC 2=AB ·BD =6×4=24，∴BC= .故答案为 .【知识点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆的性质.4. （2019·江苏常州，17，2）如图，O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切．连接OC ，则tan ∠OCB ＝__________．【答案】5．【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O 与BC 边相切于点D ，连接OB 、OD ．由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°，再由切线长定理易求∠OBC ＝30°，而OD，从而由tan ∠OBD ＝OD BD，得BD＝3，于是CD ＝BC －BD ＝8－3＝5．在Rt △OCD 中，由正切函数定义，得tan ∠OCB ＝OD CD＝5．因此本题答案为5．【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数5. （2019湖北荆州，15，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点第17题答图第17题图D ，E 为弦AC 的中点，AD ＝10，BD ＝6，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当△AEP 是直角三角形时，AP 的长为．【答案】4和2.56【解析】解：∵过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，∴AB ⊥BD ，∴AB 8，当∠AEP ＝90°时，∵AE ＝EC ，∴EP 经过圆心O ，∴AP ＝AO ＝4；当∠APE ＝90°时，则EP ∥BD ，∴， ∵DB 2＝CD •AD ，∴CD3.6， ∴AC ＝10﹣3.6＝6.4，∴AE ＝3.2，∴ ，∴AP ＝2.56．综上AP 的长为4和2.56．故答案为4和2.56．【知识点】勾股定理；切线的性质三、解答题1. （2019广东深圳，23，9分）已知在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （－3，0），C （－3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交⊙E 于点D ，连接OD.（1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ：①当tan ∠ACF=71时，求所有F 点的坐标（直接写出）；②求CFBG 的最大值. 【思路分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°，依据“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”得证；（2）①分两种情况：一是当F 位于AB 上时，构造相似，用含x 的式子分别表示未知线段，再根据tan ∠ACF=71列出方程求出F 1的坐标；二是当F 位于BA 的延长线上时，同样方法求出F 2的坐标；②方法1：利用相似及勾股定理得出BG CF，再令y=CG 2·（64－CG 2），求出y 的最大值，进而得出BG CF 的最大值；方法2：作GM ⊥BC 于点M ，先证明△CBF∽△CGB ，再由相似三角形对应高的比等于相似比，得出BG CF 的最大值；方法3：利用锐角三角函数，得出BG CF =cos sin BC BC αα，进而得出BG CF的最大值．【解题过程】（1）证明：连接DE ，∵BC 为直径，∴∠BDC=90°，∴∠BDA=90°．∵OA=OB ，∴OD=OA=OB ，∴∠OBD=∠ODB．∵EB=ED ，∴∠EBD=∠EDB，∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，即∠EBO=∠EDO．∵CB⊥x 轴，∴∠EBO=90°，∴∠EDO=90°，∴直线OD 为⊙E 的切线．（2）∵A （3，0），B （－3，0），C （－3，8），∴AB=6，BC=8，∴AC=10．如图1，当F 位于AB 上时，作F 1N ⊥CA 于N ，∵△ANF 1∽△ABC ，∴AN AB =1NF BC =1AF AC， ∴设AN=3x ，则NF 1=4x ，AF 1=5x ，∴CN=CA －AN=10－3x ．∴tan ∠ACF=1NF CN =4103x x －=71，解得x=1031， ∴AF 1=5x=5031， OF 1=3－5031=4331，即F 1（4331，0）．如图2，当F 位于BA 的延长线上时，作F 2M ⊥CA 于M ，∵△AMF 2∽△ABC ，∴设AM=3x ，则MF 2=4x ，AF 2=5x ，∴CM=AC+AM=10+3x ， ∴tan∠ACF=2F M CM =4103x x +=71，解得x=25， ∴AF 2=5x=2，OF 2=3+2=5，即F 2（5，0）．（3）方法1：△CBG∽△CFB，∴BGBF=BCCF=CGBC，BC2=CG·CF，CF=2 BC CG，∵CG2+BG2=BC2，BG2=BC2－CG2，∴22BGCF=2242BC CGBCCG－=()2226464CG CG－，∴BGCF．令y=CG2·（64－CG2），∴y=－CG4+64CG2=－（CG2－32）2+322，当CG2=32时，y最大值=322，此时，∴BG CF的最大值为3264=12．方法2：如图，作GP⊥BC于点P，∵BC是直径，∴∠CGB=∠CBF=90°，∴△CBF∽△CGB，∴BGCF=PGBC=8PG．∵PG≤半径=4，∴BGCF=8PG≤48=12．∴BGCF的最大值为12．方法3：∵BC是直径，∴∠CGB=∠CBF=90°，∴∠CBG=∠CFB（记为α，其中0°＜α＜90°）则BGCF=cossinBCBCαα=sinαcosα=12sin2α≤12，∴BGCF的最大值为12．【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；二次函数的最值问题2. （2019广西省贵港市，题号，分值8分）如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE OA ⊥交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE ．（1）求证：AE 是半圆O 的切线；（2）若2PA =，4PC =，求AE 的长．【思路分析】（1）根据已知条件推出ABO OCE ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到BAO OAE ∠=∠，过O 作OF AE ⊥于F ，根据全等三角形的性质得到OF OB =，于是得到AE 是半圆O 的切线；（2）根据切割线定理得到AF ==，求得AB AF ==，根据勾股定理得到BC ==3AO =，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解题过程】（1）证明：在矩形ABCD 中，90ABO OCE ∠=∠=︒，OE OA ⊥，90AOE ∴∠=︒，90BAO AOB AOB COE ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAO COE ∴∠=∠，ABO OCE ∴∆∆∽， ∴AB AO OC OE=， OB OC =， ∴AB AO OB OE=， 90ABO AOE ∠=∠=︒，ABO AOE ∴∆∆∽，BAO OAE ∴∠=∠，过O 作OF AE ⊥于F ，90ABO AFO ∴∠=∠=︒，在ABO ∆与AFO ∆中，BAO FAO ABO AFO AO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABO AFO AAS ∴∆≅∆，OF OB ∴=，AE ∴是半圆O 的切线；（2）解：AF 是O 的切线，AC 是O 的割线，2AF AP AC ∴=，AF ∴==AB AF ∴==6AC =，BC ∴==3AO ∴=，ABO AOE ∆∆∽， ∴AO AB AE AO =，∴3AE =，AE ∴．【知识点】切线的判定与性质；矩形的性质3. （2019广西河池，T25，F10分）如图，五边形ABCDE 内接于O ，CF 与O 相切于点C ，交AB 延长线于点F ．（1）若AE DC =，E BCD ∠=∠，求证：DE BC =；（2）若2OB =，AB BD DA ==，45F ∠=︒，求CF 的长．【思路分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出AE DC =，由圆周角定理得出ADE DBC ∠=∠，证明ADE DBC ∆≅∆，即可得出结论；（2）连接CO 并延长交AB 于G ，作O H A B ⊥于H ，则90OHG OHB ∠=∠=︒，由切线的性质得出90FCG ∠=︒，得出CFG ∆、OGH ∆是等腰直角三角形，得出CF CG =，OG ，由等边三角形的性质得出30OBH ∠=︒，由直角三角形的性质得出112OH OB ==，OG ，即可得出答案．【解题过程】（1）证明：AE DC =，∴AE DC =，ADE DBC ∴∠=∠，在ADE ∆和DBC ∆中，ADE DBC E BCDAE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE DBC AAS ∴∆≅∆， DE BC ∴=；（2）解：连接CO 并延长交AB 于G ，作OH AB ⊥于H ，如图所示：则90OHG OHB ∠=∠=︒， CF 与O 相切于点C ，90FCG ∴∠=︒，45F ∠=︒，CFG ∴∆、OGH ∆是等腰直角三角形，CF CG ∴=，OG ，AB BD DA ==，ABD ∴∆是等边三角形，60ABD ∴∠=︒，30OBH ∴∠=︒，112OH OB ∴==，OG ∴=2CF CG OC OG ∴==+=．【知识点】切线的性质；圆周角定理4. （2019贵州省毕节市，题号26，分值14分）如图，点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线PO 与⊙O 相交于点A 、B ．（1）若∠A ＝30°，求证：P A ＝3PB ；（2）小明发现，∠A 在一定范围内变化时，始终有∠BCP ＝12（90°﹣∠P ）成立．请你写出推理过程．【思路分析】（1）由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代换确定出PB与P A的关系即可；（2）由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系．【解题过程】解：（1）∵AB是直径∴∠ACP＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC＝12 AB，∴P A＝3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝180°﹣∠P，∴∠BCP＝12（90°﹣∠P）【知识点】切线的性质．5.（2019贵州黔西南州，22，12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．（1）若∠A＝30°，求证：P A＝3PB；（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．【思路分析】（1）由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代换确定出PB与P A的关系即可；（2）由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系．【解题过程】解：（1）∵AB是直径∴∠ACP＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC AB，∴P A＝3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝180°﹣∠P，∴∠BCP（90°﹣∠P）【知识点】切线的性质内角和定理；圆周角定理；以及含30度直角三角形的性质6.（2019贵州遵义，23，4分）如图，AB是O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC=BD，连接AD,BC。

中考数学试题目分类整理汇编与圆有关的位置关系6页word

2019年中考数学试题分类汇编---与圆有关的位置关系整理编辑陶云龙一、选择题1. （2019哈尔滨）如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠AOB 等于（） A.60°B.90°C.120°D.150°2. （2019年兰州）已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（）A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 3．（2019年无锡）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足（）A ．9d >B ． 9d =C ． 39d <<D ．3d =4．（2019宁波市）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 5．（2019年长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 6．（2019四川宜宾）若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定7. （2019上海）已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（） A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 8．（2019宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（）．A.内含B.内切C.相交D.外切二、填空题1.(2019台州市)如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O的位置关系是，阴影部分面积为(结果保留π) ．2.（2019年金华）如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4cm 的⊙O 2内切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ cm.3．（2019安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一圆的半径为_______．4．（2019浙江义乌）已知直线l 与⊙O 相切，若圆心O 到直线l 的距离是5，则⊙O 的半径是．5．（2019株洲市）两圆的圆心距5d =，它们的半径分别是一元二次方程2540x x -+=的两个根，这两圆的位置关系是 .三、解答题1．（2019桂林）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点第10题BDOE （第1为F ， FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ；（2）证明：BF ＝FD ；（3）若EF ＝4，DE ＝3，求AD 的长．2.（2019年兰州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=21AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求 MN ·MC 的值.3．（2019毕节）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．4．（2019陕西省）如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE（1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？（2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径5．（2019年天津市）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C .（Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；ABC D EO H（Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.6．（2019山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45º．（1）试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径为3cm ，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值．7．（2019黄冈）如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.8．（2019山东德州）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数．9．（2019安徽芜湖）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB,M 是劣弧AB ⌒上一点，过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于点N 。

2019全国中考数学真题分类汇编：与圆的有关计算及参考答案

一、选择题1．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．2．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．3、（2019·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 4．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD ＝AD＝12AC ＝4,∴BD =故选C.5．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 6．（2019·绍兴）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( )A.πB.π2C.π2D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A＝180°-∠B -∠C＝45°，连接OB ，OC ，则∠BOC＝2∠A＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．7．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π- 2πC.πD.2π第10题图【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD＝∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD＝－2π2π-,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（）A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6 设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋n90°＋45°＝135°∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆）4t 2t t165432QP EDAOBC MN如图，C的路径为MN,E的路径为PQ设⊙O的半径为1，则⊙D，∴MNPQ＝42136022360ttππ⨯⨯⨯10. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为A.12π B.π C.2π D.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝12OE＝12OA,在Rt△AOD中,sinA＝ODOA＝1 2,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝180n rπ＝2π,故选C.11. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－1 2π【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C.12. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.13. （2019·凉山）如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2πB ．2πC ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S△ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .14.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴正方形==≈.15.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．16. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）32【答案】D．【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BDR．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR，∴l＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR＝12·2R．故选D．17.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm【答案】BDCBA【解析】AE＝124ABπ⋅⋅,右侧圆的周长为DEπ⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124ABπ⋅⋅＝DEπ⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.18. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

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2010年中考数学试题分类汇编---与圆有关的位置关系
整理编辑陶云龙
一、选择题
1. （2010哈尔滨）如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠AOB 等于（）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2. （2010年兰州）已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652
=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（）
A ．外离
B ．内切
C ．相交
D ．外切 3．（2010年无锡）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足（）
A ．9d >
B ． 9d =
C ． 39d <<
D ．3d = 4．（2010宁波市）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 5．（2010年长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 6．（2010四川宜宾）若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )
A ．点A 在圆内
B ．点A 在圆上
C ．点A 在圆外
D ．不能确定
7. （2010上海）已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（）
A .相交或相切
B .相切或相离
C .相交或内含
D .相切或内含 8．（2010宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（）． A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
二、填空题
1.(2010台州市)如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是，阴影部分面积为(结果保留π) ．
2.（2010年金华）如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4cm 的⊙O 2
内切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ cm .
3．（2010安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一圆的半径为_______． 4．（2010浙江义乌）已知直线l 与⊙O 相切，若圆心O 到直线l 的距离是5，则⊙O 的半径是．
5．（2010株洲市）两圆的圆心距5d =，它们的半径分别是一元二次方程2
540x x -+=的
第10题图
A B
D
O
E
（第1题）
两个根，这两圆的位置关系是 .
三、解答题 1．（2010桂林）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ， FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ；
（2）证明：BF ＝FD ；
（3）若EF ＝4，DE ＝3，求AD 的长．
2.（2010年兰州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=
2
1
AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求 MN ·MC 的值. 3．（2010毕节）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．
4．（2010陕西省）如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与
D
点，交AC 与E 点，连接BE
（1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？（2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径
5．（2010年天津市）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C .
（Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.
6．（2010山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45º．
（1）试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．
（2）若⊙O 的半径为3cm ，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值．
A
图①
A
D
图②
第（5）题
（第6题）
7．（2010黄冈）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC 延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
8．（2010山东德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC 于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
9．（2010安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB
⌒上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。

（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4,PA=3
2
AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．
第8题图
10．（2010广东中山）如图，P A 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥
OP ，垂足为C ，OP 与⊙O 相交于D 点，已知OA =2，OP =4。

（1）求∠POA 的度数；
（2）计算弦AB 的长。

11．（2010浙江义乌）如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE
的中点，OM 交AC 于点D ，60BOE ∠=°，1
cos 2
C =，BC =
（1）求A ∠的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）求MD 的长度．
O
B
A
C E M
D 第10题图
C B
P D O。