第8章 最优化方法
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计算机算法设计与分析(王晓东第4版)第8章
都变成负值为止
Department of Electronic Information
30
Fun Time
z
=
9
+
21x2
−
3 4
x4
−
2x5,
s.t.
x3
−
1 2
x2
+
41x4
=
3
x1 x6
+ −
5 2
x2
5 2
x2
+ −
41x4 43x4
+ +
2x5 = 10 +8x5 = 1
• 选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量 • z 行中的正系数非基本变量都满足要求
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24
单纯形表
max z = −x2 + 3x3 − 2x5,
s.t.
x1
+
3x2
−
x3
+
2x5
=
7
x4 − 2x2 + 4x3 = 12
x2 x3 x5
z 0 -1 3 -2 x1 7 3 -1 2 x4 12 -2 4 0 x6 10 -4 3 8
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23
单纯形算法的第 1 步–选取入基变量
• 查看单纯形表的第 1 行（也称之为 z 行）中标有非 基本变量的各列中的值
2x2 − 7x4 ≤ 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 9
x2 − x3 + 2x4 ≥ 1 xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4
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Fun Time
z
=
9
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21x2
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3 4
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2x5,
s.t.
x3
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1 2
x2
+
41x4
=
3
x1 x6
+ −
5 2
x2
5 2
x2
+ −
41x4 43x4
+ +
2x5 = 10 +8x5 = 1
• 选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量 • z 行中的正系数非基本变量都满足要求
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单纯形表
max z = −x2 + 3x3 − 2x5,
s.t.
x1
+
3x2
−
x3
+
2x5
=
7
x4 − 2x2 + 4x3 = 12
x2 x3 x5
z 0 -1 3 -2 x1 7 3 -1 2 x4 12 -2 4 0 x6 10 -4 3 8
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单纯形算法的第 1 步–选取入基变量
• 查看单纯形表的第 1 行（也称之为 z 行）中标有非 基本变量的各列中的值
2x2 − 7x4 ≤ 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 9
x2 − x3 + 2x4 ≥ 1 xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4
管理学 第8章 组织变革
第八章 组 织 变 革
詹姆斯·钱皮是公认的研究业务重组(business reengineeing)、组织变革(organizational change)和企业复兴 (corporate renewal)等管理问题的世界权威。钱皮曾经担任过 CSC咨询集团的总裁，并且是CSC Index国际管理咨询公司 的创始人之一，曾在PBS商务频道主持节目，并给《福布 斯》、《销售与营销管理》等杂志撰写专栏文章。詹姆 斯·钱皮是一个能够抓住现实变革根本的管理大师，所以， 才会有那么多人在聆听他的声音、关注他的言行。
第八章 组 织 变 革
三、组织变革分类 按照变革的不同侧重，将组织变革分为以下四种类型： (1) 战略性变革。战略性变革是指组织对其长期发展战 略或使命所做的变革。如果组织决定进行业务收缩，就必须 考虑如何剥离非关联业务；如果组织决定进行战略扩张，就 必须考虑购并的对象和方式，以及组织文化重构等问题。 (2) 结构性变革。结构性变革是指组织需要根据环境的 变化适时对组织的结构进行变革，并重新在组织中进行权力 和责任的分配，使组织变得更为柔性灵活、易于合作。
第八章 组 织 变 革
3. 使员工更具环境适应性 组织变革的最直接感受者就是组织的员工。组织如若不 能使员工充分认识到变革的重要性，顺势改变员工对变革的 观念、态度、行为方式等就可能无法使组织变革措施得到员 工的认同、支持和贯彻执行。需要进一步认识到的是，改变 员工的固有观念、态度和行为是一件非常困难的事，组织要 使人员更具环境适应性，就必须不断地进行再教育和再培训， 决策中要更多地重视员工的参与和授权，要能根据环境的变 化改造和更新整个组织文化。
第八章 组 织 变 革
2．对结构的变革 结构的变革包括权力关系、协调机制、集权程度、职务 与工作再设计等其他结构参数的变化。管理者的任务就是要 对如何选择组织设计模式、如何制定工作计划、如何授予权 力以及授权程度等一系列行动做出决策。现实中，固化式的 结构设计往往不具有可操作性，需要随着环境条件的变化而 变化，管理者应该根据实际情况灵活改变其中的某些组成要 素。
最优化理论——精选推荐
最优化理论课程名称：最优化理论英文译名：Optimization Theory课程编码：070102X07适用专业：信息与计算科学课程类别：专业选修学时数：64 学分：4编写执笔人：余东明审定人：高仕龙编写日期：2005/04/15一、课程的性质、目的和任务最优化理论是现代应用数学的一个重要分支，是一门应用广泛、实用性强的学科。
它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
通过最优化理论和方法的学习，使学生得到良好的数学训练，培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及教学基本要求：第一章概述（2学时）1、教学内容：学科简述，线性规划与非线性规划问题。
2、教学目的及要求：了解学科发展历程。
理解优化理论包含的内容。
掌握线性规划与非线性规划的定义，形式和性质。
第2 章凸集与凸函数（4学时）1、教学内容：凸集，凸函数。
2、教学目的及要求：了解本学科的研究内容、重要进展及发展趋势。
理解凸集、凸函数等基本概念，凸集，凸函数的几何意义。
掌握凸集、凸函数等基本概念，定理和判定理。
第3 章线性规划的基本性质（4学时）1、教学内容：标准形式及图解法，基本性质。
2、教学目的及要求：了解线性规划解的方法与计算机实现方法。
理解与线性规划有关的定理，性质。
掌握线性规划的性质，涉及相关的定理，计算方法。
第4章单纯形方法（6学时）1、教学内容：单纯形方法，两阶段法与大M法，退化情形，修正单纯形法，变量有界的情形，分解算法。
2、教学目的及要求：了解解的有效性和时间性。
理解变量有界的情形，分解算法。
掌握线性规划的基本性质、单纯形法、修正单纯形法，对偶理论等线性规划的基本理论和方法。
第5章对偶原理及灵敏度分析（6学时）1、教学内容：线性规划中的对偶理论，对偶单纯形法，原始—对偶算法，灵敏度分析。
2、教学目的及要求：了解对偶理论和灵敏度分析的作用和意义。
理解有关算法收敛性的理论。
掌握线性规划中的对偶理论，对偶单纯形法算法和原始—对偶算法，并能借助算法进行一些计算。
最优化方法-迭代下降算法概述
四.算法的收敛性
X k1 X k X k X
(1) 1 ，算法具有线性收敛速度
(2) 1 2 ，算法具有超线性收敛速度
(3) 2 ，算法具有二阶收敛速度
四.算法的收敛性
定义 3.16（有限收敛性或二次收敛性）： 若将某种算法应用与任意一个具有正定Hesse矩阵的
二.最优步长的性质
设无约束极小化问题为：min f(X),X E n
二、最优步长的性质
2.几何意义：
f ( X k P)PT 0 X K 1 X k P
二.最优步长的性质
由于 k 是最优步长，故 是 X k1 f ( X )在过点 X k1
而与搜索方向 Pk 平行的直线L上的极小点。因
算法产生的点列通常只是其极限属于某个指定的解 集，须规定一些准则，使得计算经过有限次迭代后 在满足过给的准则的条件下终止。
三.计算过程的终止
终止准则
（1）梯度准则：目标函数在迭代点的梯度的 模达到充分小，即 f (Xk ) （2）点距准则：两个迭代之间的距离充分
小,即
X km X k 2 或比值
迭代下降算法概述
本节主要内容
一.算法的基本格式 二.最优步长的性质 三.计算过程的终止 四.算法的收敛
本章的目的和要求
掌握算法的基本格式 熟悉最优步长的性质 知道计算过程的终止准则 了解算法的收敛性
一.算法的基本格式
定义 1 基本格式 2
一.算法的基本格式
1.定义（下降迭代算法）：从某个初始点出 发，根据一定的算法规则，产生一个是目标 函数值有所下降的新的点；再从这个新的点 出发，重复上述过程，这样可以得到一个点 列，在一定的条件下，这个点列将趋于极小 点或我们所期1)线性收敛速度
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
《工程数值计算Python教程》第8章 过程最优化
否
/K
273.15
283.15
293.15
303.15
313.15
323.15
0 /kPa 3.51
6.07
10.03
15.91
24.37
36.17
/K
343.15
353.15
363.15
373.15
383.15
73.44
101.01
136.12
180.05
234.16
333.15
0 /kPa 52.19
设单峰目标函数()在区间 a , c 中存在极小值， ()在三点a < b < c 的函数值
分别为a , b , c ，满足a > b < c ，利用这三点作二次插值，插值函数为：
() = 0 + 1 + 2 2
则：
(a ) = 0 + 1 a + 2 a2 = a
这是一个多参数优化问题，但注意到，当确定时，ln 0 与1/( + )呈线性关系，根
据实验数据，利用线性回归可以确定和，这样就把三参数优化转化为单参数优化，
根据最小二乘法原则，建立优化目标函数：
n−1
() =
lni0 −
i=0
−
+ i
2
利用黄金分割法优化参数，取搜索区间为 −100,100 。计算结果为：
取 , 内两个特定点的值：
= + ( − )
ቊ
= + 2 ( − )
并计算其函数值 = 、 = ，比较和，如果 > (参考图8-3a)，假定是
单峰的，则的极小值必定位于 , 内， , 就是下一步开始时的输入区间。同时注
算法的设计(第8章迭代改进法)
挑战
迭代改进法需要大量的计算资源和时间，特别是在大规模 数据集上。此外，如何获取有效的反馈并进行合理的调整 也是一大挑战。
对未来的展望
• 技术发展：随着计算能力的不断提高和算法的不断改进，迭代改进法有望在更 短的时间内获得更好的结果。未来，随着技术的进步，迭代改进法有望在更多 领域得到应用。
• 算法创新：未来，迭代改进法可能会与其他算法或技术相结合，产生新的算法 或方法。例如，将迭代改进法与深度学习相结合，可能会产生更高效的模型和 算法。
06 迭代改进法的案例分析
线性规划问题
总结词
迭代改进法在解决线性规划问题中，通过不断迭代和改进，寻找最优解。
详细描述
线性规划问题是在满足一系列线性等式或不等式约束条件下，最大化或最小化 一个线性目标函数的问题。迭代改进法通常采用梯度下降法或牛顿法等优化算 法，通过不断迭代和调整变量的值，逐步逼近最优解。
近似算法
对于一些难以精确求解的问题，迭代改进法 可以用来设计近似算法，以获得可接受的近 似解。
处理复杂问题
1 2
多目标优化问题
当目标函数和约束条件较多时，迭代改进法可以 用来处理多目标优化问题，以平衡不同目标之间 的冲突。
高维优化问题
对于高维优化问题，迭代改进法可以通过逐步降 低搜索空间维度，简化问题的复杂性。
• 应用拓展：随着数据规模的扩大和需求的多样化，迭代改进法有望在更多领域 得到应用。例如，在自然语言处理、智能推荐、自动驾驶等领域，迭代改进法 有望发挥更大的作用。
• 挑战与机遇：虽然迭代改进法面临一些挑战，如计算资源和时间的限制、如何 获取有效反馈等，但同时也带来了许多机遇。未来，随着技术的进步和应用需 求的增加，迭代改进法有望成为算法设计领域的重要方向之一。
迭代改进法需要大量的计算资源和时间，特别是在大规模 数据集上。此外，如何获取有效的反馈并进行合理的调整 也是一大挑战。
对未来的展望
• 技术发展：随着计算能力的不断提高和算法的不断改进，迭代改进法有望在更 短的时间内获得更好的结果。未来，随着技术的进步，迭代改进法有望在更多 领域得到应用。
• 算法创新：未来，迭代改进法可能会与其他算法或技术相结合，产生新的算法 或方法。例如，将迭代改进法与深度学习相结合，可能会产生更高效的模型和 算法。
06 迭代改进法的案例分析
线性规划问题
总结词
迭代改进法在解决线性规划问题中，通过不断迭代和改进，寻找最优解。
详细描述
线性规划问题是在满足一系列线性等式或不等式约束条件下，最大化或最小化 一个线性目标函数的问题。迭代改进法通常采用梯度下降法或牛顿法等优化算 法，通过不断迭代和调整变量的值，逐步逼近最优解。
近似算法
对于一些难以精确求解的问题，迭代改进法 可以用来设计近似算法，以获得可接受的近 似解。
处理复杂问题
1 2
多目标优化问题
当目标函数和约束条件较多时，迭代改进法可以 用来处理多目标优化问题，以平衡不同目标之间 的冲突。
高维优化问题
对于高维优化问题，迭代改进法可以通过逐步降 低搜索空间维度，简化问题的复杂性。
• 应用拓展：随着数据规模的扩大和需求的多样化，迭代改进法有望在更多领域 得到应用。例如，在自然语言处理、智能推荐、自动驾驶等领域，迭代改进法 有望发挥更大的作用。
• 挑战与机遇：虽然迭代改进法面临一些挑战，如计算资源和时间的限制、如何 获取有效反馈等，但同时也带来了许多机遇。未来，随着技术的进步和应用需 求的增加，迭代改进法有望成为算法设计领域的重要方向之一。
最优化方法
最优化方法
任课教师：赵俊锋
联系方式：zhaojf@
办公地点：勇字楼506
教材及主要参考书目
●实用最优化方法(第三版)，唐焕文，秦学志
●应用最优化方法及MATLAB实现，刘兴高，胡云卿●最优化理论与方法，袁亚湘，孙文瑜
●非线性规划(第2版)，宋士吉等译
●最优化计算方法，陈开周编
答疑安排
考核方式
学科总成绩
平时成绩
（30％）
课堂考勤（40％）平时作业
（30％）
课堂表现
（30％）
期末成绩
（70％）
课堂讨论
编程计算
闭卷考试
具体内容
●第一章绪论
●第二章无约束最优化方法●第三章约束最优化方法●第四章人工智能优化算法●第五章多目标优化算法
一
绪论最优化问题模型及分类最优化问题举例
课程简介二三四最优化问题数学基础。
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解答
问题二： 某厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲
需用资源A 3吨资源B 4m3；制成一吨产品乙需用资源A 2吨，资 源B 6m3，资源C 7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别 为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价 值最高？（p153，例8-2） 解：这是个最优化问题，其目标为经济价值最高，约束 条件为三种资源的数量有限，决策为生产甲、乙产品的 数量。令生产产品甲的数量为x1，生产产品乙的数量为 x2。由题意可以建立如下的线性规划模型。
s .t .
解 编写M文件如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900];
*无约束最优化问题的基本算法
返回
求解无约束最优化问题的基本思想 min f X 标准形式：
X E
n
其中
X E
f :E
n
E
X E
1
maxn f X
=
min n [ f X ]
求解的基本思想 ( 以二元函数为例 ) 连 续 可 微
f ( x1 x 2 )
x2
f ( X 0 ) f ( X 1) f ( X 2 )
问题
min z 13
0 .4 0 1 .1 0 1 0
9
0 0 .5
10
0 1 .2
11
12
8 X
0 800 X 1 .3 900
x1 x2 x 3 X x4 x 5 x 6 0
结果:
x= 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000 fval =1.3800e+004 即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、 500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。
结果为：
x= 14.0000 24.0000 fval = -218.0000
0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-5 0.9997 0.9998 1E-8
返回
无约束优化问题的基本算法
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
⑴ ⑵ ⑶ 给定初始点 X 计算 f X
0
k
；
k
E
n
， 允 许 误 差 0 , 令 k = 0 ；
检验是否满足收敛性的判别准则：
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900
解
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3， 在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立 以下线性规划模型：
用单纯法求解时，常将标准形式化为：
min s . t.
这里
f
= c x
A x
x
=b 0
x2 c2
（1）
xn
T
= ( a ij ) m , n , x
b2 bn
T
= x1 ,
b = b1
c = c 1
cn
例
m in z = 1 0 x 1 + 9 x 2 s． t． 6 x 1 + 5 x 2 ≤ 6 0 10x1 + 20x2 ≥ 150 x1 ≤ 8 x 1, x 2 ≥ 0
故目标函数为：
max z 7 x1 5 x 2
约束条件为：
3 x1 2 x 2 90 4 x1 6 x 2 200 7 x 2 210 x 0, x 0 2 1
问题2线性规划模型：
max z 7 x1 5 x 2
3 x1 2 x 2 90 4 x1 6 x 2 200 s .t . 7 x 2 210 x 0, x 0 2 1
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数学实验
无约束最优化
电子科技大学应用数学学院
实验目的
1、了解无约束最优化基本算法。
2、掌握用数学软件包求解无约束最优化问题。
实验内容
1、无约束优化基本思想及基本算法。 2、MATLAB优化工具箱简介
3、用MATLAB求解无约束优化问题。
4、实验作业。
无约束最优化问题
求解无约束最优化问题的的基本思想
s .t . AX b Aeq X beq
命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）
AX 注意：若没有不等式： b 存在，则令A=[ ]，b=[ ].
3、模型：min z=cX
s .t . AX b
Aeq X beq
VLB≤X≤VUB 命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束: Aeq beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
f X
X0
0
x2
3 5
0
1
X1
X2
x1
x1
唯一极小 (全局极小)
f ( x1 x 2 ) 2 x1 2 x1 x 2 x 2 3 x1 x 2
2 2
f f 0 . 298
0
f 0 . 298
多局部极小
搜索过程
x1
min f ( x1 x 2 ) 100 ( x 2 x ) (1 x1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 400 0 X 600 500 1
，
编写M文件如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 010010 0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[]; [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
注：有些实际问题可能会有一个约束条件：决策变量
只能取整数，如x1、x2取整数。这类问题实际上是整数线 性规划问题。如果把它当成一个线性规划来解，求得其最 优解刚好是整数时，故它就是该整数规划的最优解。若用 线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定 是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方 法求解（如割平面法、分支定界法）。
min z 13 x 1 9 x 2 10 x 3 11 x 4 12 x 5 8 x 6 x 1 x 4 400 x x 5 600 2 x 3 x 6 500 s .t . 0 . 4 x 1 1 . 1 x 2 x 3 800 0 . 5 x 1 . 2 x 1 . 3 x 900 4 5 6 x i 0 , i 1, 2 , , 6
实验作业
某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用 原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料 需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有 原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料 产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料 各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项 投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生 产计划.
X beq
, 则令Aeq=[ ],
例 1
m ax
z 0 . 4 x 1 0 . 28 x 2 0 . 32 x 3 0 . 72 x 4 0 . 64 x 5 0 . 6 x 6 0 . 01 x 1 0 . 01 x 2 0 . 01 x 3 0 . 03 x 4 0 . 03 x 5 0 . 03 x 6 850 0 . 02 x 1 0 . 05 x 4 700 0 . 02 x 2 0 . 05 x 5 100 0 . 03 x 3 0 . 08 x 6 900 xj 0 j 1, 2 , 6
min z ( 7
x1 5 ) x 2
s .t .
3 4 0
2 x1 6 x 2 7
90 200 210
x1 0 0 x 2
2 1 2
2
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
x2
f
-1 -0.79 -0.53
1 0.58
0.23 -0.18 0.00 0.09 -0.03 0.37 0.11 0.59 0.80 0.95
4.00 3.39 2.60 1.50 0.98
0.47 0.33 0.20 0.63 0.05 0.90 0.003
(i = 1,2 ,3 ,4,5 )
1 0 0 0 -1 0 0 0 1 = (P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 )