Chap5微扰理论
微扰理论
A ⇒ {a1 , a 2 , a 3 ⋅ ⋅ ⋅}
分量
∗ 刁矢： B ⇒ b 1∗ , b 2 , b 3∗ ⋅ ⋅ ⋅
{
}
∑
n ∗ a n bn
∗ B A ⇒ a 1 b1∗ + a 2 b 2 + ⋅ ⋅ ⋅ = 点积：
背景：
v 设有一个态 ψ ( r ) ，它是算符 Ta 的本征 态，对应的本征值为 λ ，则表示这个态的刃 和刁写为：
2
( 0)
(1)
( 2)
若要求能量的一级修正，只需取上式右 边的两项代入波动方程
(
ˆ ˆ H0 + λH ′ ψ n = Enψ n
E n = ∫ψ n
(1 ) ( 0 )∗
)
展开后按同次幂的 λ 的系数必须相等，得到： 能量的一级修正：
ˆ ′ψ ( 0 ) d τ H n
= 〈ψ n
波函数的一级修正：
)
用未微扰的本征函数 ψ 合把 ψ n 展开，
( ψ n = ∑ a mψ m0)
(0) m
的完全集
ˆ ˆ 把展开式代入 H 0 + H ′ ψ n = Enψ n中得：
(
m
)
ˆ ψ (0) + ∑a H′ψ (0) = ∑a E ψ ( 0) ˆ amH0 m ∑ m m m n m
m m m
即
ψ x, y, z 是用坐标 例： 的，称为坐标表象。
(
)
( x, y, z ) 的函数来表示
⑤量子力学中表象的选取不是唯一的[如同几何学中 选坐标系一样（直角坐标，球坐标）] 。坐标表象， 动量表象的选取依处理问题的方便。
背景：
⑥狄拉克符号：经典力学或几何学中，常用矢量形 式讨论问题而不使用坐标。 同样量子力学中，微观体系的状态也可以用 一种矢量来表示而不指明表象，这种符号即为狄拉 克符号。 刃矢：
量子力学微扰理论
量子力学微扰理论量子力学微扰理论是量子力学中一个重要的理论工具，它可以用来研究体系在外加微弱扰动下的行为。
这个理论被广泛应用于各个领域，如原子物理、固体物理和量子化学等。
在本文中，我们将介绍微扰理论的基本原理、应用以及一些相关的研究进展。
一、量子力学微扰理论的基本原理量子力学微扰理论的基本原理是基于微扰理论的思想，通过将体系的哈密顿量拆分为一个容易求解的部分和一个微弱扰动部分，从而简化求解复杂问题的过程。
根据微扰的性质，我们可以将微扰分为两类：一类是无简并微扰，即体系本身的能级是非简并的；另一类是简并微扰，即体系本身的能级是简并的。
对于无简并微扰，我们可以使用微扰理论的一阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
一阶微扰理论的基本公式可以表示为：E_n^{(1)} = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle其中，E_n^{(1)}为包含微扰的能级修正，E_n^{(0)}为无微扰的能级，|n^{(0)}\rangle为无微扰下的波函数，V为微弱扰动的哈密顿量。
对于简并微扰，由于在简并态上的微扰能级修正不再是一个确定的值，我们需要使用微扰理论的高阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
高阶微扰理论的计算过程更加复杂，需要考虑简并态之间的耦合效应。
二、量子力学微扰理论的应用1. 原子物理领域在原子物理领域中，微扰理论广泛应用于计算原子的能级结构和跃迁概率。
通过引入微弱的扰动，我们可以计算原子能级的微小变动，并且预测产生的光谱线的频率和强度。
这对于原子吸收光谱和发射光谱的解释具有重要意义。
2. 固体物理领域在固体物理领域中，微扰理论被用来研究固体中的电子能级和电子态密度。
通过引入微弱的外电场或者磁场，我们可以计算固体材料的电子能级的变化，并且研究外界扰动对电子输运性质的影响。
3. 量子化学领域在量子化学领域中，微扰理论被广泛用于计算分子的能谱和分子反应的速率常数。
微扰理论
以
( 0) m *
（m≠n）左乘上式两边，并对整个
空间积分，得
( 0 ) (1) 0 0 ( 0) (1) 0 0 ' E a * d E ' a * l l m l n l m l d l l (1) 0 ( 0) 0 ˆ ' ( 0) d En * d * H n m n m
(0) ˆ ' ( 0) d H ' mn m *H n
N me
2
2
x
2
H m (x)(ex) N n e
2
2
x2
H n (x)dx dx
N m N n e N m N n e
xH m (x) H n (x)e
2 x 2
2
d ]
系数
2 Nn [ ] 2 n n!
1
N n 1 [
2
1 n 1
] (n 1)!
1
1 2
1 2 2 [ ] [ ] 2(n 1) 2 n n! 1 [ ]2 Nn 2(n 1)
N n 1 [
1 2
1
2
n 1
] (n 1)!
，以
( 0) n *
左乘上式
两边，并对整个空间积分，得
( 0) ˆ E 0 ) (1) d E (1) ( 0) * ( 0) d ( 0) * H ˆ (1) ( 0) d * ( H n n n n n n n n
多体系统中的微扰理论简介
多体系统中的微扰理论简介引言：多体系统是指由多个粒子组成的系统，其中每个粒子都与其他粒子相互作用。
研究多体系统的行为和性质是理论物理学的重要课题之一。
微扰理论是一种常用的方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
本文将简要介绍多体系统中的微扰理论。
一、微扰理论的基本思想微扰理论是一种近似方法，通过将系统的哈密顿量分解为一个已知的简单系统和一个微小的扰动，来研究系统的性质。
基本思想是将扰动项视为小量，通过级数展开的方式求解。
微扰理论在量子力学、统计物理学等领域有广泛应用。
二、微扰理论的形式表达微扰理论的形式表达通常采用级数展开的形式，可以通过求解一系列的微扰项来逐步逼近真实的系统。
一般而言，微扰理论可以分为非简并微扰理论和简并微扰理论两种情况。
1. 非简并微扰理论非简并微扰理论适用于系统的能级不发生简并的情况。
在这种情况下，通过将扰动项加入到系统的哈密顿量中，可以得到一系列的修正能级。
通过逐阶计算修正能级，可以得到系统的能级结构的近似解。
2. 简并微扰理论简并微扰理论适用于系统的能级发生简并的情况。
在这种情况下，需要通过对简并子空间进行对角化来求解系统的能级结构。
简并微扰理论中，还存在一阶微扰和高阶微扰的概念，通过求解一系列的微扰项，可以得到系统能级的修正。
三、微扰理论的应用微扰理论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 量子力学中的微扰理论微扰理论在量子力学中有广泛应用，用于求解各种系统的能级结构。
例如，氢原子中电子的自旋-轨道耦合问题可以通过微扰理论求解。
2. 统计物理学中的微扰理论统计物理学中的微扰理论可以用于求解复杂系统的平均性质。
例如，通过微扰理论可以计算气体的压强、磁化率等宏观性质。
3. 固体物理学中的微扰理论微扰理论在固体物理学中也有重要应用。
例如，可以通过微扰理论来计算固体中电子的能带结构和输运性质。
结论：微扰理论是一种重要的近似方法，用于描述多体系统中微小扰动引起的变化。
第五章 微扰理论c
第五章 微扰理论§5.1 学习指导应用量子力学理论解决实际问题，通常需要求解薛定谔方程。
除了前几章中介绍过的几个高度理想化的简单模型外，绝大多数实际量子体系的薛定谔方程都不能精确求解。
因此在量子力学基本理论的基础上，寻找有效的近似方法，求出实际量子体系的近似解是量子力学的重要内容之一。
量子力学中常用的近似方法有微扰近似、准经典近似和变分法等，这些方法在实际问题中有广泛的应用。
微扰近似方法是在已知精确解的量子力学模型的基础上进行的，该方法把系统的哈密顿算符分为两个部分：无微扰哈密顿算符0ˆH 和微扰项H 'ˆ，其中无微扰哈密顿算符可以精确求解，微扰项相对很小。
这样就可以在无微扰时精确解的基础上，通过逐级近似的方法来求出加上微扰项后引起的修正，从而得到系统的近似解。
准经典近似方法是利用大量子数条件下量子力学与经典力学的对应原理为基础，求出量子理论对经典结果的修正。
变分法是利用能量本征方程中，基态能量的极小值特性，从一类试探函数中选择出使得能量最小的状态，作为基态波函数的近似。
虽然变分法的应用范围比较窄，但可以处理一些无法用微扰近似方法解决的问题。
本章的主要知识点有 1．定态微扰论 1）基本方法体系的哈密顿0ˆˆˆH H H λ'=+，其中0ˆH ,H 'ˆ均不含时间t ，λ为表示数量级的小量，0ˆH 的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以精确求解。
将ˆH 的本征值与本征函数用小量λ展开为(0)(1)2(2)n n n n E E E E λλ=+++和(0)(1)n n n ψψλψ=++，代入本征方程ˆn n nH E ψψ=后得到(0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)0ˆˆ)()()()n n n n n n nH H E E E λψλψλλψλψ'+++=+++++( (5-1) 比较两边同阶量，立即得到本征方程的各级近似，进而可以求出本征值n E 与本征函数n ψ的各级修正。
量子力学中的微扰理论与能量逐级分析
量子力学中的微扰理论与能量逐级分析量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，而微扰理论是量子力学中一种重要的计算方法。
本文将介绍微扰理论的基本原理，并探讨如何利用微扰理论进行能量逐级分析。
1. 微扰理论的基本原理微扰理论是一种近似计算方法，它基于一个重要的假设：系统的哈密顿量可以分解为一个已知的部分和一个微小的扰动。
这个假设在实际问题中通常是成立的，因为真实系统往往会受到各种扰动的影响。
根据微扰理论，我们可以将系统的波函数表示为一个级数的形式：ψ = ψ⁰ + λψ¹ + λ²ψ² + ...其中，ψ⁰是系统的基态波函数，λ是一个无量纲的参数，表示扰动的大小，ψ¹、ψ²等是一阶、二阶等微扰的修正项。
2. 一阶微扰理论在微扰理论中，我们首先考虑一阶微扰的修正。
一阶微扰的修正项可以通过一阶微扰哈密顿量和基态波函数的内积来计算：E¹ = ⟨ψ⁰|H'ψ⁰⟩其中，E¹表示一阶微扰的能量修正，H'表示一阶微扰哈密顿量。
一阶微扰的修正项还可以用来计算基态波函数的修正：ψ¹ = Σ |n⟩⟨n|H'|ψ⁰⟩ / (E⁰ - En)其中，|n⟩表示系统的第n个能量本征态，E⁰是基态的能量。
3. 二阶微扰理论如果一阶微扰的修正项不足以描述系统的行为，我们可以进一步考虑二阶微扰的修正。
二阶微扰的能量修正可以通过二阶微扰哈密顿量和一阶微扰波函数的内积来计算：E² = Σ |n⟩⟨n|H'|ψ¹⟩ / (E⁰ - En)二阶微扰的修正项还可以用来计算一阶微扰波函数的修正：ψ² = Σ |n⟩⟨n|H'|ψ¹⟩ / (E⁰ - En)通过逐级计算，我们可以得到更高阶微扰的修正项，从而逐步逼近真实系统的行为。
4. 能量逐级分析利用微扰理论进行能量逐级分析是研究量子系统行为的重要手段。
第四章 微扰理论
…………………………… 假定 n ( ) 已经归一化，则
* n ( ) n ( )d 1
(0) (1) (2) (0) (1) (2) ( n n 2 n )* ( n n 2 n ) d 1
一、一级近似解
(0) E2
... H12
... H11 ... H 21 ... ... ... ... ...
H12 ... H 22 ... ... ...
(0H (0)表象中， H 的对角元素就是各能级的一级修正， 矩阵 H 的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。
(0) (1) n
k
k
( ( ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H (0) ck1) k0) H (1) n0) En0) ck1) k0) En1) n0) k
c
k
(1) k
( ( ( ( ( ( ( ˆ Ek( 0) k0) H (1) n0) En0) ck1) k0) En1) n0) k
例如：库仑场
(0) En
1 n2
(0) (0) En Em 0
n
故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。 注意：以上公式只适用于能量本征值非简并且分立的情 况。
ˆ 2． H 在 H (0) 表象中的矩阵形式
E1(0) (0) 0 H H H ... E1(0) H11 H 21 ... 0
H n1,n E
(0) n
2 (0) n 1
E
H n1,n
2
(0) (0) En En1
第五章微扰理论
2
|
(2 n
)
)
乘开得：
Байду номын сангаас
2
Hˆ
(0)
|
(0) n
[Hˆ
(0)
|
(1) n
Hˆ
(1)
|
(0) n
]
[Hˆ (0)
|
(2) n
Hˆ (1)
|
(1) n
]
2
E
(0) n
|
(0 n
)
[
E
(0) n
|
(1) n
E
(1) n
|
(0) n
]
[ E n( 0 )
|
(2) n
E
(1) n
|
(1) n
]
(0) m
|
(0) k
(0) m
|
Hˆ
(1)
|
(0) n
E
(1) n
(0) m
|
(0) n
k 1
考虑到本征基矢的正交归一性：
ak(1n)[
E
(0) k
E
(0 n
)
]
mk
k 1
Hˆ
(1) mn
E
(1)
n
mn
a
(1) mn
[
E
(0 m
)
E
(0 n
)
]
Hˆ
(1) mn
E
(1)
n
mn
考虑两种情况 1. m = n
2. m ≠ n
E
(1) n
Hˆ
(1) nn
(0) n
|
Hˆ
(1)
量子力学微扰理论
量子力学微扰理论
汇报人：
目录
PRT One
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PRT Three
量子力学微扰理论 的数学基础
PRT Five
量子力学微扰理论 的近似方法
PRT Two
量子力学微扰理论 的基本概念
PRT Four
量子力学微扰理论 的具体应用
PRT Six
量子力学微扰理论 的扩展和展望
单击添加章节标题
微扰项的应用：微扰项在量子力学中有广泛的应用例如在量子力学中微扰项可以用来描 述系统的能量、波函数等物理量的变化也可以用来描述系统的微小变化。
量子力学中的微扰计算方法
微扰理论：量子力学中处理微小扰动的理论 微扰计算方法：通过计算微扰项来求解量子力学问题 微扰项：量子力学中微小扰动的表示 微扰计算步骤：确定微扰项、求解微扰方程、计算微扰结果 微扰计算应用：在量子力学、量子场论、量子光学等领域有广泛应用
微扰理论在量子力学中的具体应用实例
量子力学中的微扰理论可以用于求解量子系统的 能量和波函数
微扰理论在量子力学中的具体应用实例包括：求 解氢原子的能级和波函数、求解电子在磁场中的 运动、求解光子的散射等
微扰理论在量子力学中的具体应用实例还 包括：求解量子系统的能量和波函数、求 解电子在磁场中的运动、求解光子的散射 等
添加标题
微扰理论在量子力学中广泛应用于 求解量子系统的能量和波函数
微扰理论在量子光学中也有应用用 于求解量子光学中的各种物理量
量子力学微扰理论 的数学基础
线性代数和矩阵运算
线性代数：研究线性方程组、向量空间、线性变换等 矩阵运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置等 矩阵的特征值和特征向量：求解矩阵的特征值和特征向量 矩阵的逆矩阵：求解矩阵的逆矩阵用于求解线性方程组
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
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ˆ ”后， ˆ H ˆ H ˆ' 加上“微扰H H 0 0
( 0) En En ( 0) n n
ˆ 的本征方程（ 1 ）式变为： H
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n (4)
将待求的 n 写成 k
k n
( 0)
的线性迭加：
k k n n c ( 0) ( 0)
ˆ ( 0 ) dx e ( 0 )* x ( 0 ) dx k( 0 )* H H kn n k n
可利用
( 0) n
n 1 (0) n (0) n 1 n 1 2 2
解2 精确解
ˆ H ˆ Const. H
ˆ E H
(12 )
k k n n c ( 0) ( 0) k n
( 0) ck H nk En En H nn
(5)
(8)
(12 )
cm
H mn (0) ( 0) En Em
k n
将(12)式 m k ，并代 入(8)式，即得 En 的二级近似
( 0) En ~ En ,
cm ~ mn
k n
(8)式中略去最小的第三项即 项,即得 En 的一级近似
(0) En E n H nn
(11)
(0) (9)式中略去最小的项，即 项，并在右端用 En 作为 En k n
的近似，就得到 Cm的一级近似
H mn cm ( 0 ) ( 0) En Em
(14 )
(13)式右端各项通常称为 En 的零级近似，一级修正
和二级修正:
E
(1) n
, H nn
E
(2) n
| H nk |2 ( 0) ( 0) k n 一级修正 k
(1) n
H kn ( 0) ( 0) k ( 0) E E k n n k
(6)
( 0) ˆ ) (0) c ( E (0) H ˆ ) (0) E (0) E c (0) ( En H n k k k n n n k k k n k n
(6)
(0)* 用 n 左乘（6）式并积分就得到
( 0) ck H nk En En H nn k n
解1
2 1 d 1 2 2 ˆ H0 m x 的本征值和本征函数是 2 2m dx 2
E
( 0) n
1 (n ), 2
N n H n ( ) e
2
n 0,1,2
2
(0) n
, x
x x0 , 0 m
/
2 | H | (0) ( 0) nk ( 0 ) En En H nn k n En Ek
(2)
ˆ 的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就 H 0
可以通过逐步近似的方法求解。
二、微扰论的基本方程
ˆ 的本征值和本征函数已经全部求出： 设H 0
ˆ ( 0) E ( 0) ( 0) , H 0 k k k k 1,2,n (3)
(0) (0) 是非简并的，只有一个 设某一个能级 En 与它对应， n
(8)
(0)* 用某一个 m 左乘（6）式并积分得到
( 0) cm Em En cm H mn ck H mk k n
(9)
ˆ (8)、(9)式中 H mk ˆ 表象”中 是“ H H 0
( 0 )* ˆ m H mk H k( 0 ) d
的矩阵元
(14 ' )
En E
(0) n
|2 | H nk ( 0) H nn ( 0) k n En Ek
(13)
( 0) n n
H kn ( 0) ( 0) ( 0) k k n En Ek
(14 )
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
(10 )
(8) 和 (9) 式是严格的，它们和（ 6 ）式等价。
( 0) ck H nk En En H nn
(8)
Cm E H mn
k n ( 0) m
Encm ck H mk
k n
(9)
ˆ 有关的项，就得到零级近似： 在(8)、(9)式中略去所有与 H
(5)
(0) ˆ H ˆ ， 由于 H 的主要成分显然就是 n ，因此（5） n 0
k 式中 c 1 。这个判断是使用逐步近似法的基础。
将（5）式代入（4）式，得到
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n
(4)
( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E c ( 0) ( En H n k k k n n n k k k n k n
| ck | 1,
即
( 0) || En | H kn Ek( 0) |
(15)
(0) 如果紧靠着 En 存在别的 Ek(0) ，即使 H H 0 ，
微扰论也不适用。
例
带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场 的微扰 作用 H ex 试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。
(14 )
（13)、(14)式就是非简并态微扰论的主要结果。
En E
(0) n
|2 | H nk ( 0) H nn ( 0) E E k n n k
(13)
n
( 0) n
H kn ( 0) ( 0) ( 0) k E E k n n k
2 | H | (0) ( 0 ) nk ( 0 ) En En H nn k n En Ek
(13)
将(12)式 m k ，并代入(5)式，即得 n 的一级近似
n
( 0) n
H kn ( 0) ( 0) ( 0) k E E k n n k
本征值和本征函数如何变化？
原子光谱在电场中的分裂现象，称为斯塔克 效应，显然光谱线分裂的原因是能级的分裂。
将氢原子置于电场
作为 轴，则电场对原子中电子的作用势为
z
中，如以
的方向
H (er ) e z e r cos
第五章 微扰理论
近似方法：微扰与变分 微扰方法：与时间无关（定态微扰） 与时间有关（量子跃迁）
定态微扰：简并、非简并
§5.1 非简并的定态微扰
一、适用条件
求解定态薛定谔方程
ˆ E H
(1)
ˆ 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分 H
ˆ H ˆ H ˆ , H 0
H 0 H
(13)
n
( 0) n
H kn ( 0) ( 0) ( 0) k E E k n n k
(14 )
(0) ˆ 的平均值 ˆ H 能级的一级修正 nn 就是在 n 中 H
(1) exnn 0 En H nn
为求能级的二级修正和波函数的一级修正，需要计算 H kn