量子力学第八章微扰论

(0) (1) (0) (1 i ) | n k n akn | k O 2
(0) (1) (0) ei | n k n akn | k O 2


上式表明，展开式中，an
n
(1)|ψ (0)> n
方程：
( ( ( ˆ H ( 0) | n0) En0) | n0)
当H’= 0 时， |ψn> = |ψn(0)> , En = E
n
(0)
；
当 H’≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动， 由 E n(0) → En ，状态由 |ψn(0)> →|ψn>。
为了明显表示出次要项（微扰项）的微小 程度，令： ˆ ˆ H H (1)
(0) (1) (0) | n | n akn | k O 2
(0) (1) (0) (1) (0) | O 2
(0) (0) (1) (0) | n i | n k n akn | k O 2
（三）近似解问题分为两类 （1）体系 Hamilton 量不是时间 的显函数——定态问题 1.定态微扰论； 2.变分法。
（2）体系 Hamilton 量显含时间——状 态之间的跃迁问题 1.含时微扰理论； 2.常微扰。
§2 非简并定态微扰理论
（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
(1 (1 1 [akn) nk akn) * kn ] 2 k 1
(1 (1 1 [ann) ann) *]
(1) (1) (1) 0 [ann ann *] 0 Re[ann ] 0
an n(1) 的实部为 0。an n(1) 是一个纯虚数，故 可令 an n(1) = i （ 为实）。
( ( ˆ (1 ˆ H mn) m0 ) | H (1) | n0 ) (0) (0) ( ( En Em E n0 ) E m0 )
(1) mn
准确到一阶微扰的体系能量：
( 0) ( 0) ( ( ˆ ( 1) ( 0 ) En En0 ) En1) En n | H | n
ˆ H (0) | n(0)
(0) (1) (1) (0) [ En | n En | n ] [ En(0) | n(2) En(1) | n(1) En(2) | n(0) ] [] En(0) | n(0)

(1) (0) (0) (1) ˆ (1) akn [ Ek En ] mk H mn En mn
(1 ( ( ( ˆ (1 amn) [ Em0 ) En0 ) ] H mn) En1) mn
考虑两 种情况
1. m = n 2. m ≠ n
a
( ( ( ˆ (1 ˆ En1) H nn) n0 ) | H (1) | n0 )

左乘态矢 <ψm (0) |

k 1

[E
(0) k
E ]a
(0) n
( 2) kn

(0) m
|
(0) k
(1 ( ( ˆ akn) m0 ) | H (1) | k0 ) k 1
定义：Dirac符号
n n x n n† x ˆ ˆ H n En n H n x En n x = ， = * d
（二）近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精 确解（解析解）出发，来求较复杂问 题的近似（解析）解。
( ( ( ( ( ( ( ( n0 ) | n0 ) n0 ) | n1) n1) | n0 ) 2 n1) | n1)
(1 ( ( (1 ( ( 1 [akn) n0 ) | k0 ) akn) * k0 ) | n0 ) ] 2 k 1
E
近似，能量的一级修正和二 级修正等；
|ψ n(0)>,λ |ψ n(1)>, λ 2|ψ n(2)>, ... 分别是态矢量 (波函数)零级近似，一级修正和 二级修正等。
代入Schrodinger方程得：
( ( ( ˆ ˆ ( H ( 0 ) H (1) )(| n0 ) | n1) 2 | n2 ) )
( ( ( ( ( ( ( E n0 ) E n1) 2 E n2 ) )(| n0 ) | n1) 2 | n2 ) )
0 1 2 3
0 (0) (1) ˆ (1) | (0) ] 1 [ H | n H n 2 ˆ [ H (0) | n(2) H (1) | n(1) ] [] 3

(1) (1) (0) (2) (0) ˆ [ H (1) En ] akn | k En | n k 1
(0) (0) (2) (0) [ Ek En ]akn | k k 1

ˆ [ H
(1)
E
(1) n
(1) (0) (2) (0) ] akn | k En | n k 1
( ( ( ( ( ( ˆ ˆ En0) n0) | H (1) | n0) En0) n0) | H | n0)
( ˆ En0) H nn
( 0) n
ˆ ˆ H nn | H |
( 0) n

能量的一级修正等于微扰哈 密顿量在零级态矢中的平均值

整理后得：
( ( ˆ [ H ( 0 ) E n0 ) ] | n0 ) 0 (0) ( ( ( ( ˆ ˆ [ H E n0 ) ] | n1) [ H (1) E n1) ] | n0 ) (0) ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ [ H E n0 ) ] | n2 ) [ H (1) E n1) ] | n1) E n2 ) | n0 )
（一）微扰体系方程
可精确求解的体系叫做未微扰体系，待 求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为主 要项和次要项（微扰项）两部分之和：
ˆ ˆ ˆ H H (0) H
ˆ H | n En | n
（一）微扰体系方程
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其 本征值 E n (0) ，本征矢 |ψn(0)> 满足如下本征
等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得 到如下一系列方程式:
0 : 1 : 2 :
( ( ( ˆ H ( 0 ) | n0 ) E n0 ) | n0 )
( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H ( 0 ) | n1) H (1) | n0 ) E n0 ) | n1) E n1) | n0 ) ( ( ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ H ( 0 ) | n2 ) H (1) | n1) E n0 ) | n2 ) E n1) | n1) E n2 ) | n0 )
n
= 0。

|
(0) n

k n

H kn ( | k0 ) ( ( E n0 ) E k0 )
波函数的一级修正
（三）能量的二阶修正 关于 2 式
|
ˆ [H
(2) n (2) (0) akn | k k 1
(0)
E
(0) n
(2) (0) ] akn | k k 1
微扰论
§1 引言 §2 非简并定态微扰理论 §3 简并微扰理论
§1
精确解析解：
引
言
（一）近似方法的重要性
（1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）中心力场问题。
实际物理问题，通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的，薛定 谔方程能有精确解的情况很少。
因此，在处理复杂的实际问题 时，近似解方法就显得特别重要。
akn(1) = <ψk (0) |ψn (1) >
代回前面的第二式并计及第一式得：
ˆ [H
(0)
E
(0) n
(1 ( ( ( ˆ ] a kn) | k0 ) [ H (1) E n1) ] | n0 ) k 1


k 1

(1 ( ( ( ( ( ˆ a kn) [ E k0 ) E n0 ) ] | k0 ) [ H (1) E n1) ] | n0 )
项的存在只
(1)
不过是使态矢量|ψn > 增加了一个相因子，这是
无关紧要的。所以我们取 = 0，即an
(0) (1) | n | n akn | k(0) k n
( | n0 ) k n ( ( ˆ k0 ) | H (1) | n0 ) ( ( E n0 ) E k0 ) ( | k0 )
左乘 <ψm (0) |
考虑到本征基矢的正交 归一性：

k 1

(1 ( ( ( ( ( ( ( ˆ akn) [ Ek( 0) En0) ] m0) | k( 0) m0) | H (1) | n0) En1) m0) | n0)

k 1