量子力学第八章

8.1.3 Pauli矩阵 矩阵
(1a) (1 ) b (1 ) c
2 ˆx =σy =σz =1 ˆ2 ˆ2 σ ˆ σy ⋅ (1b) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σz −σyσzσy = 2iσyσx ˆ ˆ ˆ ˆ σxσy +σyσx = 0 (1 ) ⋅σy b ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σyσzσy −σz = 2iσxσy σ σ +σ σ = 0 (2) ˆ y ˆz ˆz ˆ y 综合(1),(2) 综合 ˆ ˆ ˆ ˆ σzσx +σxσz = 0
′ 1 ′ ′ 且有 j1m j2m2 j1m′ j2m2 =δ j j′δ j j′ δm m′δm m′ 1
1 1 2 2 1 1 2 2
m :2j1 +1 个 1 m :2j2 +1 个 2
j1m j2m2 为基矢的表象——无耦合表象 为基矢的表象—— ——无耦合表象 1
2. 耦合表象 ˆ 2, J , J2, J2 两两对易 ∵J ˆz ˆ1 ˆ2 ∴有共同本征矢 jmj1 j2 有共同本征矢 ˆ J 2 jmj1 j2 = j( j +1 ℏ2 jmj1 j2 ) ˆ J jmj j = mℏ jmj j
2
2
可见，自旋向上、向下态 (进而所有自旋态) 2 ˆ2的本征态，本征值都是 sz = ℏ2 / 4 都是 Sz
ˆ2 ˆ2 ˆ 于是 Sz2 =ℏ2 / 4, 同理， x = Sy = ℏ2 / 4 S
ˆ2 = S2 = S2 + S2 + S2 = 3ℏ ˆ ˆ ˆ S x y z 4
2
3.自旋量子数
8.1.2 电子自旋角动量算符 1.对易关系 对易关系
ˆ ˆ ˆ i. S ×S = iℏS ˆ ˆ ii. [S2, Si ] = 0
ˆ ˆ ˆ [S ,Sj ] = iℏεijkSk i
ˆ 2. S2的本征值 1 ˆ ∵Sz χms (sz ) = m ℏχms (sz ), ms =± s
ˆ2χ (s ) = ℏ χ (s ), ∴ z ms z S 4 ms z
z
ψ(r,−ℏ/ 2,t) d3r : 自旋向下sz = −ℏ/ 2的几率 ∫
2
2.旋量波函数的归一化 旋量波函数的归一化 2 3 + 3 ∫ψ ψd r = ∑∫ψ(r, sz,t) d r
= ∫[ψ(r, ℏ/ 2,t) +ψ(r,−ℏ/ 2,t) ]d3r =1
2 2
Sz =±ℏ/ 2
3.自旋态波函数 自旋态波函数
2
2
∴j = j1 + j2, j1 + j2 −1 ⋯ j1 − j2 , ,
8.2.4 电子轨道角动量与自旋角动量的耦合
ˆ ˆ ˆ 总角动量 J = L+ S
ˆ ˆ ˆ ˆ J1 = L, J 2 = S
jm = ∑ jm j2m jm jm j2m 1 1 2 1 1 2
m 2
l s=
1 2
8.2.2 无耦合表象与耦合表象 1.无耦合表象 无耦合表象 ˆ 2, J2, J , J 两两对易 ∵J1 ˆ2 ˆ1z ˆ2z ∴有共同本征矢 j1m j2m2 ≡ j1m j2m2 有共同本征矢 1 1
ˆ2 J1 j1m j2m2 = j1( j1 +1 ℏ2 j1m j2m2 ) 1 1 ˆ J1z j1m j2m = mℏ j1m j2m2 1 2 1 1 ˆ2 J2 j1m j2m2 = j2 ( j2 +1 ℏ2 j1m j2m2 ) 1 1 ˆ J2z j1m j2m2 = m2ℏ j1m j2m2 1 1
ˆ ˆ σ = σx
+ x
c = b , σ =1
b =e
iα
又 σy = −iσzσx 取 α =0
0 −ieiα σy = −iα ie 0
0 1 0 −i 1 0 σx = 1 0, σy = i 0 , σz = 0 −1
j1m j2m jm j1m j2m = 0 1 2 1 2
(m−m −m2 ) 1
j1m j2m jm = 0 1 2
克莱布希-高登系数 高登系数
m≠ m +m 时 j1m j2m jm = 0 1 2 1 2 m= m +m 时 j1m j2m jm 未 定 1 2 1 2
于是 jm = ∑ j1m j2m−m jm j1m j2m−m 1 1 1 1
∴ Tre
ˆ ˆ iσ⋅A
ˆ = 2cos A
§8.2总角动量的本征态 总角动量的本征态
ˆ ˆ ˆ 8.2.1 总角动量 J ≡ L+S
ˆ ˆ ˆ or J ≡ J1 +J2 ˆ ˆ ˆ ˆ [L ,Sβ ] = 0 or [J1a , J2β ] = 0 a
ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ J2 ≡ Jx +Jy +Jz2 ˆ ×J = iℏJ ie. [J , J ] = iℏε J , [J2, J ] = 0 ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J ˆ α β αβγ γ α ˆ ⋅ J , J ] ≠ 0, [J ⋅ J , J ] ≠ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∵[J
1 1 s = ：电子自旋量子数 m =± : 自旋磁量子数 s 2 2
z
S
SBaidu Nhomakorabea
y x
自旋向上态
自旋向下态
ˆ ≡ ℏσ ˆ S 1. Pauli算符及其代数性质 σ σ −σ2 ˆ = 2iσ 算符及其代数性质 ˆ ˆ ˆ σ ˆz x y y x ˆ ˆ ˆ ˆ ×σ = 2iσ 或 σyσz −σzσy = 2iσx ˆ S ×S = iℏS ˆ σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ −σ σ = 2iσ ˆy ˆ z ˆ x ˆx ˆz
ˆ Tr ˆ ˆ A 的各分量算符对易，证明 (σ ⋅ A) = 0, 例. 设 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iσ⋅A ˆ ⋅ A)2 = A⋅ A。 A (σ 若 是常矢量，证明Tre = 2cos A。
ˆ ˆ ˆ A −iAy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x 证明： σ ⋅ A=σ A +σ A +σ A = Az ˆ ˆz ˆz x x y y ˆ ˆ ˆ A +iA −A y z x ˆ ˆ ˆ ˆ ⋅ A) = A − A = 0 ∴Tr(σ z z ˆ ˆ)2 = A z ˆ (σ ⋅ A ˆ ˆ A +iA x y ˆ ˆ ˆ A −iAy A x z ˆ ˆ ˆ − A A +iAy z x ˆ ˆ A −iAy x ˆ −A z
第8章 自旋 章
电子自旋假设
钠黄线 5893 A 1.光谱线的偶数分裂 D2 : 5890 A i.碱金属原子光谱的双线结构 D1 → 4条 D2 → 6条 ii.反常Zeeman效应(1912年) 弱磁场中原子光谱线的偶数条分裂
D1 : 5896 A
2.史特恩—盖拉赫实验(1922年)
银原子束穿过非均匀磁场观测到分立的磁矩
1 0 σz = , 0 −1 a b 设 σx = c d
b − a b a − c − d = −c d
*
2 x
ˆ ˆ ˆ ˆ σzσx = −σxσz
a = 0 d = 0
0 eiα , σx = −iα 0 e
z 1 2 1 2
ˆ2 J1 jmj1 j2 = j1( j1 +1 ℏ2 jmj1 j2 ) ˆ2 J2 jmj1 j2 = j2( j2 +1 ℏ2 jmj1 j2 )
m:2j+1 个
′′ jmj1 j2 j′m′j1 j2 =δ j j′ δmm′δ j1 j1δ j2 j2 ′ ′
jmj1 j2 为基矢的表象——耦合表象 为基矢的表象——耦合表象 ——
m 1
3. j 的可能取值 ∵ , m , m 的最大值依次是 jmax , j1, j2 m 1 2 而 m = m + m2 ∴ jm = j1 + j2 jm = j1 − j2 1 ax in
j
2 m in
= ( jmax +1 −(2j1 +1)(2j2 +1) = ( j1 − j2 ) )
若旋量波函数可分离变量
ψ(r, sz , t) =ψ(r, t)φ(sz )
χ (sz ) χ− (sz )
1 2 1 2
a 1 0 φ(sz ) = = a +b ≡ aα +bβ b 0 1
ˆ Sz χms (sz ) = m ℏχms (sz ) s
ˆ ˆ ˆ2 A2 + A2 + Ay x = z 0
ˆ ˆ 0 = A⋅ A ˆ ˆ ˆ2 A2 + A2 + Ay z x
e
ˆ ˆ iσ⋅A
i ˆ ˆn = ∑ (σ ⋅ A ) n! n=0
∞
∞
n
A
2n
ˆ ˆ) A (σ ⋅ A
2n
∞ (−1 n ˆ ˆ 2n ) (−1 n ˆ ˆ 2n+1 ) =∑ (σ ⋅ A +i∑ ) (σ ⋅ A ) (2n)! (2n +1 )! n=0 n=0
1 2 1 α 1 2 2α
ˆ 2, J ] ≠ 0, [J2, J ] ≠ 0 ˆ ˆ ∴ J ˆ1α [ 2α ˆ2 ˆ2 若 J1 , J2 分别具有确定值 j1( j1 +1)ℏ2, j2 ( j2 +1)ℏ2 ˆ J 那末， ˆ 是否有确定测值？测值如何？ 那末， 2, Jz 是否有确定测值？测值如何？
2
2 m in
2. S矩阵元 矩阵元
ˆ Jz jm =
jm j2m jm jm j2m 1 1 2 1 1 2 m ,m 1 2 ˆ ˆ (J1z +J2z ) m jm = ∑(m +m ) j1m j2m jm j1m j2m 1 2 1 2 1 2
∑
∑(m−m −m )
1 2 m ,m2 1
m ,m2 1
§8.1 电子自旋态与自旋算符 8.1.1 电子自旋态的描述 电子自旋态的描述 1.旋量波函数 旋量波函数
ℏ ℏ ψ(r, sz ,t) =ψ(r, sz = ,t) +ψ(r, sz = − ,t) 2 2 旋量的上分量 ψ(r, ℏ / 2,t) ——旋量的上分量 ψ(r, sz ,t) = ψ(r,−ℏ / 2,t) 旋量的下分量 ——旋量的下分量 2 3 ∫ψ(r,ℏ/ 2,t) d r : 自旋向上 s = ℏ/ 2的几率
∑
1/2
1 1 l,m−m , ,m jm l,m−m , ,m s s 2 s 2 s
l +m+
1 l + ,m = 2 1 l − ,m = − 2
1 1 l −m+ 2 l,m+ 1 1 , − 1 2 l,m− 1 1 , 1 + 2l +1 2 2 2 2l +1 2 2 2
3. Uhlenbeck和Goudsmit的假设
e M=− L 2mc
ℏ S i.电子具有自旋角动量 S， z = m ℏ =± s 2 Ms M =− e S ii.电子具有自旋磁矩 s m c 4.对自旋(spin)的讨论
i.不是机械自转 ii.是电子的内禀性质
第四个自由度
iii.其它粒子(如质子、中子)也具有自旋 iv.自旋无经典对应量 v.自旋假定不作为QM的基本原理
8.2.3 j与 j1、j2的关系 与 1. j1, j2取定值的态矢子空间维数 按无耦合表象基 矢 j1m1 j2m2 计算
jmax , jmin 待 求
m ax
按耦合表象基矢 j ∑(2 j +1) jmj1 j2 ≡ jm 计算 j
m in
(2 j1 +1 2 j2 +1 = == ( jm +1 − j )( ) = = ax ) =
1 m =± s 2
1 1 j =l+ ,l− 2 2
jm =
m =−1/2 s
∑
1/2
1 1 l,m−m , ,m jm l,m−m , ,m s s 2 s 2 s
1 1 CG系数有专门表， 系数有专门表， 系数有专门表 本题 j2 = s = ,m2 = ms =± 2 2
jm =
m =−1/2 s
ˆ2 ˆ2 ˆ2 Sx = Sy = Sz =ℏ2 / 4
σxσy =−σyσx = iσz ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σyσz =−σzσy = iσx σ σ =−σ σ = iσ ˆx ˆz ˆy ˆz ˆx
ˆ ˆ ˆ σiσ j = iεijkσk +δij
2. Pauli矩阵 —Pauli算符在sz 表象中的矩阵 矩阵 算符在