量子力学第八章
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
量子力学习题解答第八章
第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态（解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是：λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是：βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi ec 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi ec 212-=最后得x σˆ的本征函数：)(21βαδ+=i ex 对应本征值1)(22βαδ-=i ex 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ 因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi ex ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn是),(ϕθ方向的单位矢。
曾谨严量子力学习题第八章
中任意两个。 描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，
根据§8.4的理论，要使体系的波函数成为总自旋的本征态，只有三种形 式的归一化波函数：
（1） 计算2s+1种 （2） 这种波函数种数等于2s+1文字中选择不同文字的种数计有种。
以上二类对称自旋波函数的总数目 n=(2s+1)+(2s+1)s=(2s+1)(s+1) (3)
(1) 整个体系的哈氏算符是：
（此式中r是电子相对位矢） 将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：
(2)
原子的状态可以用（）的共同本征函数表示，将算符（2），运算于这 个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）
(3) 但当原子处在自旋的单重态时，
总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出
因此J=L，（3）式成为：
则 （证明）先设： 代入
即
得
因此A的矩阵是
再代入
即
即b=0
于是A只能是形式
再代入
即
即a=0
于是，满足三个对易关系的二维矩整，只能是，而定理得证。
另一方法，用矢量矩阵-
仍设 代入
作简化：
从任何两个元素都能得到一组解
a=b=c=d=0
[14]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或 （2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。 （证明）根据角动量定义： 又根据第八章问题（1）的结论
(1) (2) 根据矩阵乘法法则，可以根据每一个矩阵的元素，求得乘积的径迹 （对角元素总和）： （方法二）不展开矩阵乘积，但利用自旋分量的性质 根据径迹的定义知道：若一个矩阵能分解成若干个同阶矩阵的和， 则原矩阵的径迹，应等于诸分矩阵的径迹之和，根据（3）： 但因为 而 。命题得证。 （3）式在习题（15）中已论证过。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
量子力学第八章绝热近似与Berry相因子
|Ψptqy
“
|my
e´
i ℏ
; Emt
`t ě 0˘
2 / 32
绝热过程：
所以，在体系的 Hamilton 算符不依赖于时间的情形下，体系能量 本征态随时间的演化是绝热过程.
1 绝热过程：
假设体系的哈密顿算符在某个物理过程中从初值 Hˆ ptiq 逐 渐变化到终值 Hˆ ptfq. 倘若此过程是绝热过程、且体系在 初始时刻 ti 处于哈密顿算符 Hˆ ptiq 的本征态 |nptiqy，
ÿ | nptqy x nptq| “ 1
n
因此，含时薛定谔方程
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
Hˆ ptq
|Ψptqy
的通解可以写作 t| nptqyu 的线性叠加：
ÿ |Ψptqy “ ˜cnptq |
n
ÿ nptqy “ cnptq |
n
nptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
5 / 32
Enptq ´ Emptq
所以，cmptq 服从的微分方程表达为：
pm ‰ nq
c9mptq “ ´cmptq x mptq| 9mptqy
´ ÿ cnptq x
n‰m
mptq|Hˆ9 ptq| nptqy Enptq ´ Emptq
e´
i ℏ
şt
0
rEn
p
q´Emp
qsd
到此为止，cmptq 满足的方程是精确的.
绝热近似：
›
›
ℏ
x
›
› ›
En
ptq
´
Em
ptq
量子力学课件第八章
第八章 WKB 近似WKB （Wenzel ，Kramers, Brillouin ）1方法是得到一维定态Schrödinger 方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其他形式的微分方程和三维Schrödinger 方程的径向部分）。
此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。
它的基本思想如下：假设能量为E 的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。
当E>V 时，则波函数的形式为()ikxx Ae ψ±=，其中k ≡正号表示粒子向右运动，而负号表示它向左运动（当然，通解是两项的线性组合）。
波函数为振荡函数，具有固定的波长（λ=2π/k ）和不变的振幅（A ）。
现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多全波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。
这样，除了波长和振幅随x 缓慢的变化外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。
这就是隐藏在WKB 近似后面的核心思想。
它将依赖x 的问题有效地分为两种不同层次：快速振荡和由振幅和波长逐渐变化的调制。
同理，当E<V （其中V 为常量）时，ψ的指数形式为：()xx Ae κψ=其中κ≡如果V(x)不是常量，但是相比1/κ变化很缓慢，除了A 和κ随x 缓慢的变化外，则解可以认为基本上仍然保持指数形式。
现在仍然有一处整个方法不适用的地方，这就是经典转折点的邻域，此处E ≈V 。
因为此处的λ（或者1/κ）趋于无穷大，从而，相比之下V(x)就很难说是“缓慢的”变化了。
我1在荷兰此为KWB ，在法国此为BWK ，在英国此为JWKB （J 为Jeffreys ）们将会看到，对于转折点的恰当地处理将是WKB 近似最难的一个部分，尽管最终的结果形式简洁并易于应用。
8.1经典区域定态Schrödinger 方程()2222d V x E m dx ψψψ-+=可以改写为下列形式：2222d p dx ψψ=- [8.1]其中()p x ≡ [8.2]这是具有总能量E 和势能V(x)的粒子的动量的经典表示式。
量子力学导论第8章答案
第八章 自旋8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。
解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：xσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a ，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a λ0110可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。
,1=λ 则;b a = ,1-=λ 则b a -=利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为,1=λ;1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,1-=λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1121 。
8.2) 在z σ表象中，求n ⋅σ的本征态，()ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin n是()ϕθ,方向的单位矢.解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为x σ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110， y σ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00i i ， zσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001（1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=-θθθθϕϕcos sin sin cos i i z y xy x z een inn in n n （2）设n σ的本征函数表示为Φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，本征值为λ，则本征方程为()0=-φλσn，即 0cos sin sin cos =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----b a e ei i λθθθλθϕϕ（3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。
对于1=λ，代回（3）式，可得xy x y x x i i n in n in n n e eb a--=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ϕϕθθθθ归一化本征函数用()ϕθ,表示，通常取为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ϕθθϕθφi e 2sin 2cos ,1或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-222sin 2cos ϕϕθθi i e e （4）后者形式上更加对称，它和前者相差因子2ϕi e-，并无实质差别。
量子力学讲义第八章
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。
1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出(1)、每个电子具有自旋角动量s（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mcμ=-，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=±=± 2B e mcμ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量（2） 2z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mcμ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。
如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。
§8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数ˆˆˆˆ(,)FF r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s它是角动量，满足同样的角动量对易关系ˆˆˆs s i s ⨯=轨道角动量ˆl 自旋角动量s ˆˆˆl l i l ⨯= ˆˆˆss i s ⨯= ˆˆˆ[,]x y zl l i l = ˆˆˆ[,]x y z s s i s = ˆˆˆ[,]y z x l l i l = ˆˆˆ[,]y z xs s i s = ˆˆˆ[,]z x y l l i l = ˆˆˆ[,]z x y s s i s = 2ˆˆ[,]0i l l = 2ˆˆ[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±ħ/2 两个值， 所以(1)ˆˆˆ,,x y z ss s 三个算符的本征值都是有两个2 ±； (2)它们的平方就都是22224x y z s s s === ； (3)2ˆs 的本征值为：222223ˆˆˆˆ4x y z s s s s =++= 依照22(1)l l l =+ ， ,2,1,0=l 2223(1)4s s s =+= 21=⇒s s 称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，l 为角量子数，可取各种各样的值 1,2z s s m =±= z l m = ， ,2,1,0±±=m 21±=⇒s m m s 自旋磁量子数±1/2 二、含自旋的状态波函数电子的含自旋的波函数需写(,)z r s ψψ=由于 s z 只取 ±ħ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量 12()(,)2()(,)2r r r r ψψψψ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 写成列矩阵 (,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭规定列矩阵第一行对应于s z = ħ /2， 第二行对应于s z = - ħ /2。
量子力学第八章
AB效应：假如粒子的运动区域，磁感强度为0，但矢 势力不为0，通过求解薛定谔方程发现粒子的运动仍 然受到磁场的影响，这说明电磁场具有非局域的全 空间性质。也就是说：电磁场的矢势和标势本身就 是有物理意义的量，可以产生可观测的物理效应， 而且具有规范不变性，并非想像的只有电场强度和 磁感强度才是可观测的物理量，势只是描述手段。 叫阿哈罗诺夫(Y. Aharonov)-波姆(Bohm)效应。
塞曼效应：在原子、分子物理学 和化学中的光谱分析里是指原子 的光谱线在外磁场中出现分裂的 现象。
荷兰物理学家塞曼于1896年发现了钠黄线在磁场中 变宽的现象,后来又观察到了镉蓝线在磁场中的分裂。
塞曼在洛仑兹的指点和洛仑兹经典电子论的指导下, 解释了正常塞曼效应和分裂后的谱线的偏振特性,并且 估算出的电子的荷质比与几个月后汤姆逊从阴极射线得 到的电子荷质比相同.
量子霍尔效应
二维电子气在恒定磁场中的运动，其霍尔电阻是量 子化的，即
这里，n是正整数量子数。这种现象称为量子霍尔效应。
并在此基础上精确测定了精细结构常数，克利钦因此获 得1985年度诺贝尔奖。
量子霍尔效应可以通过前面的朗道能级解释。 1982年美国贝尔实验室的三个科学家崔琦、
斯托姆耳和劳林还发现了分数量子霍尔效应，即出现 在霍尔电阻平台上的量子数为分数，即
故原子中电子处于某能级的总能量可表示为
=0
E'n En m(n) g(n) B B
并在此基础上发展了量子流体理论，并获得了1998年 度的诺贝尔物理学奖。在霍尔电阻中有一常量，称为 克利钦常数
RK h / e2
该常数于1990年作为电阻的基准值。此外，量子霍尔效 应也可能并不需要外加磁场的存在，属于量子反常霍尔 效应，1988年由美国物理学家霍尔丹提出理论预言，由 中国物理学家于2013年实验发现。
第八章 量子力学的定理
如何把一个在 [0,l] 区域内的任意函数 f(x) 表示为下列 形式的级数：
2 1/ 2 nx f ( x) an n ( ) an sin( ), 0 x l l l n 1 n 1
把x=0和x=l代入上式，有f(0)=0=f(l)的限制，即f(x)必须 满足与n同样的边界条件。且假定f(x)是有限、单值和
令c=i，在除以i后，有：
ˆ fd f * A ˆ gd g ( A ˆ f )*d f ( A ˆ g )*d g*A
以上两式相加得：
ˆ gd g ( A ˆ f )*d f *A
即证。
ˆ 具有如下的性质： 所以，一个厄米算符 A
ˆ d ( A ˆ )* d A i j j i
f ( x) ii* ( x)
代入上式，整理得：
g ( x) j ( x)
i i
d j * dx
dx ii* j |
di* ( x) i j ( x) dx dx
由于i和 j是品优函数，则它们在 x 时为零。
(b b ) | i | d 0
*
2
由于被积函数 i 永远为正（ i 0），所以：
2
(b b* ) 0或b b*
用括号记法证明：
即证b为实数。
ˆ b A i i
ˆ | i i | A ˆ | i * i| A
i | b | i i | b | i * b i | i b* i | i * b* i | i (b b* ) i | i 0 bb
* * * F ( G cF ) d F G d c F F d 0
量子力学(第八章自旋)解读
(r , 2) (r , S z ) (r , 2)
(1)
称为旋量波函数。其物理意义如下： 2 (r , 2) ：是电子自旋向上（ S z 2 ）, 位置在 r 处的几率密度。 2 (r , 2) : 是电子自旋向下（ S z 2 ） 位置在 r 处的几率密度。 而 2 3 d r (r , 2) 表示电子自旋向上（ Sz 2 ） 的几率。 2 3 d r (r , 2) 表示电子自旋向下（Sz 2） 的几率。
到底片上，结果发现射线束方向发生偏转，
分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁 矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而 发生偏转。
z
N
B B
S
（Stern----Gerlach实验）
由于这是处于基态的氢原子，轨道角动量为 零，基态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量 产生。故是一 种新的磁矩。此外，由于实验 上发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场 中只有两种取向，是空间量子化的，而且只 取两个值。假定原子具有磁矩 ，它在 z 方 向上的外磁场B 中的势能为
所以归一化条件为 2 2 2 3 3 3 d r (r , S z ) d r d r[ (r , 2) (r , 2) ] sz 2 (2) 1
在很多情况下，波函数可以分离变量，即
(r , S z ) (r ) ( S z )
2.自旋态的描述
为了对电子的状态作出完全描述，如前 所述，还必须考虑其自旋状态。确切的说， 要考虑电子自旋在某给定方向（例如z轴方 向）的两个可能取值（投影）的波辐，即 波函数中还应包括自旋投影这个变量（习 (r , S z ) Sz 惯上取为 ），记为 ，与连续变量 2 不同， r 只能取Sz 两个分立值，因此， 使用二分量波函数是方便的
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§8.1 电子自旋态与自旋算符 8.1.1 电子自旋态的描述 电子自旋态的描述 1.旋量波函数 旋量波函数
ℏ ℏ ψ(r, sz ,t) =ψ(r, sz = ,t) +ψ(r, sz = − ,t) 2 2 旋量的上分量 ψ(r, ℏ / 2,t) ——旋量的上分量 ψ(r, sz ,t) = ψ(r,−ℏ / 2,t) 旋量的下分量 ——旋量的下分量 2 3 ∫ψ(r,ℏ/ 2,t) d r : 自旋向上 s = ℏ/ 2的几率
8.1.2 电子自旋角动量算符 1.对易关系 对易关系
ˆ ˆ ˆ i. S ×S = iℏS ˆ ˆ ii. [S2, Si ] = 0
ˆ ˆ ˆ [S ,Sj ] = iℏεijkSk i
ˆ 2. S2的本征值 1 ˆ ∵Sz χms (sz ) = m ℏχms (sz ), ms =± s
ˆ2χ (s ) = ℏ χ (s ), ∴ z ms z S 4 ms z
2
2
∴j = j1 + j2, j1 + j2 −1 ⋯ j1 − j2 , ,
8.2.4 电子轨道角动量与自旋角动量的耦合
ˆ ˆ ˆ 总角动量 J = L+ S
ˆ ˆ ˆ ˆ J1 = L, J 2 = S
jm = ∑ jm j2m jm jm j2m 1 1 2 1 1 2
m 2
l s=
1 2
8.2.3 j与 j1、j2的关系 与 1. j1, j2取定值的态矢子空间维数 按无耦合表象基 矢 j1m1 j2m2 计算
jmax , jmin 待 求
m ax
按耦合表象基矢 j ∑(2 j +1) jmj1 j2 ≡ jm j2 +1 = == ( jm +1 − j )( ) = = ax ) =
1 1 s = ：电子自旋量子数 m =± : 自旋磁量子数 s 2 2
z
S
S
y x
自旋向上态
自旋向下态
ˆ ≡ ℏσ ˆ S 1. Pauli算符及其代数性质 σ σ −σ2 ˆ = 2iσ 算符及其代数性质 ˆ ˆ ˆ σ ˆz x y y x ˆ ˆ ˆ ˆ ×σ = 2iσ 或 σyσz −σzσy = 2iσx ˆ S ×S = iℏS ˆ σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ −σ σ = 2iσ ˆy ˆ z ˆ x ˆx ˆz
2
2 m in
2. S矩阵元 矩阵元
ˆ Jz jm =
jm j2m jm jm j2m 1 1 2 1 1 2 m ,m 1 2 ˆ ˆ (J1z +J2z ) m jm = ∑(m +m ) j1m j2m jm j1m j2m 1 2 1 2 1 2
∑
∑(m−m −m )
1 2 m ,m2 1
m ,m2 1
ˆ2 ˆ2 ˆ2 Sx = Sy = Sz =ℏ2 / 4
σxσy =−σyσx = iσz ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σyσz =−σzσy = iσx σ σ =−σ σ = iσ ˆx ˆz ˆy ˆz ˆx
ˆ ˆ ˆ σiσ j = iεijkσk +δij
2. Pauli矩阵 —Pauli算符在sz 表象中的矩阵 矩阵 算符在
∴ Tre
ˆ ˆ iσ⋅A
ˆ = 2cos A
§8.2总角动量的本征态 总角动量的本征态
ˆ ˆ ˆ 8.2.1 总角动量 J ≡ L+S
ˆ ˆ ˆ or J ≡ J1 +J2 ˆ ˆ ˆ ˆ [L ,Sβ ] = 0 or [J1a , J2β ] = 0 a
ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ J2 ≡ Jx +Jy +Jz2 ˆ ×J = iℏJ ie. [J , J ] = iℏε J , [J2, J ] = 0 ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J ˆ α β αβγ γ α ˆ ⋅ J , J ] ≠ 0, [J ⋅ J , J ] ≠ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∵[J
8.2.2 无耦合表象与耦合表象 1.无耦合表象 无耦合表象 ˆ 2, J2, J , J 两两对易 ∵J1 ˆ2 ˆ1z ˆ2z ∴有共同本征矢 j1m j2m2 ≡ j1m j2m2 有共同本征矢 1 1
ˆ2 J1 j1m j2m2 = j1( j1 +1 ℏ2 j1m j2m2 ) 1 1 ˆ J1z j1m j2m = mℏ j1m j2m2 1 2 1 1 ˆ2 J2 j1m j2m2 = j2 ( j2 +1 ℏ2 j1m j2m2 ) 1 1 ˆ J2z j1m j2m2 = m2ℏ j1m j2m2 1 1
∑
1/2
1 1 l,m−m , ,m jm l,m−m , ,m s s 2 s 2 s
l +m+
1 l + ,m = 2 1 l − ,m = − 2
1 1 l −m+ 2 l,m+ 1 1 , − 1 2 l,m− 1 1 , 1 + 2l +1 2 2 2 2l +1 2 2 2
m 1
3. j 的可能取值 ∵ , m , m 的最大值依次是 jmax , j1, j2 m 1 2 而 m = m + m2 ∴ jm = j1 + j2 jm = j1 − j2 1 ax in
j
2 m in
= ( jmax +1 −(2j1 +1)(2j2 +1) = ( j1 − j2 ) )
若旋量波函数可分离变量
ψ(r, sz , t) =ψ(r, t)φ(sz )
χ (sz ) χ− (sz )
1 2 1 2
a 1 0 φ(sz ) = = a +b ≡ aα +bβ b 0 1
ˆ Sz χms (sz ) = m ℏχms (sz ) s
j1m j2m jm j1m j2m = 0 1 2 1 2
(m−m −m2 ) 1
j1m j2m jm = 0 1 2
克莱布希-高登系数 高登系数
m≠ m +m 时 j1m j2m jm = 0 1 2 1 2 m= m +m 时 j1m j2m jm 未 定 1 2 1 2
于是 jm = ∑ j1m j2m−m jm j1m j2m−m 1 1 1 1
第8章 自旋 章
电子自旋假设
钠黄线 5893 A 1.光谱线的偶数分裂 D2 : 5890 A i.碱金属原子光谱的双线结构 D1 → 4条 D2 → 6条 ii.反常Zeeman效应(1912年) 弱磁场中原子光谱线的偶数条分裂
D1 : 5896 A
2.史特恩—盖拉赫实验(1922年)
银原子束穿过非均匀磁场观测到分立的磁矩
ˆ Tr ˆ ˆ A 的各分量算符对易，证明 (σ ⋅ A) = 0, 例. 设 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iσ⋅A ˆ ⋅ A)2 = A⋅ A。 A (σ 若 是常矢量，证明Tre = 2cos A。
ˆ ˆ ˆ A −iAy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x 证明： σ ⋅ A=σ A +σ A +σ A = Az ˆ ˆz ˆz x x y y ˆ ˆ ˆ A +iA −A y z x ˆ ˆ ˆ ˆ ⋅ A) = A − A = 0 ∴Tr(σ z z ˆ ˆ)2 = A z ˆ (σ ⋅ A ˆ ˆ A +iA x y ˆ ˆ ˆ A −iAy A x z ˆ ˆ ˆ − A A +iAy z x ˆ ˆ A −iAy x ˆ −A z
1 0 σz = , 0 −1 a b 设 σx = c d
b − a b a − c − d = −c d
*
2 x
ˆ ˆ ˆ ˆ σzσx = −σxσz
a = 0 d = 0
0 eiα , σx = −iα 0 e
z
ψ(r,−ℏ/ 2,t) d3r : 自旋向下sz = −ℏ/ 2的几率 ∫
2
2.旋量波函数的归一化 旋量波函数的归一化 2 3 + 3 ∫ψ ψd r = ∑∫ψ(r, sz,t) d r
= ∫[ψ(r, ℏ/ 2,t) +ψ(r,−ℏ/ 2,t) ]d3r =1
2 2
Sz =±ℏ/ 2
3.自旋态波函数 自旋态波函数
z 1 2 1 2
ˆ2 J1 jmj1 j2 = j1( j1 +1 ℏ2 jmj1 j2 ) ˆ2 J2 jmj1 j2 = j2( j2 +1 ℏ2 jmj1 j2 )
m:2j+1 个
′′ jmj1 j2 j′m′j1 j2 =δ j j′ δmm′δ j1 j1δ j2 j2 ′ ′
jmj1 j2 为基矢的表象——耦合表象 为基矢的表象——耦合表象 ——
ˆ ˆ σ = σx
+ x
c = b , σ =1
b =e
iα
又 σy = −iσzσx 取 α =0
0 −ieiα σy = −iα ie 0
0 1 0 −i 1 0 σx = 1 0, σy = i 0 , σz = 0 −1
ˆ ˆ ˆ2 A2 + A2 + Ay x = z 0
ˆ ˆ 0 = A⋅ A ˆ ˆ ˆ2 A2 + A2 + Ay z x
e
ˆ ˆ iσ⋅A
i ˆ ˆn = ∑ (σ ⋅ A ) n! n=0
∞
∞
n
A
2n
ˆ ˆ) A (σ ⋅ A
2n
∞ (−1 n ˆ ˆ 2n ) (−1 n ˆ ˆ 2n+1 ) =∑ (σ ⋅ A +i∑ ) (σ ⋅ A ) (2n)! (2n +1 )! n=0 n=0