量子力学(第八章自旋)
量子力学中的自旋
量子力学中的自旋自旋是量子力学中的重要概念之一，它描述了粒子的内禀角动量性质。
本文将介绍自旋的基本原理、量子力学中的自旋算符以及自旋的应用。
一、自旋的概念和基本原理自旋是描述粒子的旋转性质的量子数，与经典物理中的角动量不同，自旋不涉及物体的实际旋转。
自旋可以是整数或半整数，用量子数s表示，对于电子来说，其自旋量子数为1/2。
自旋在物理学中具有很多重要性质，例如自旋角动量守恒以及自旋与磁矩的关系等。
二、自旋算符在量子力学中，自旋算符用来描述自旋的性质和运动规律。
自旋算符有两个分量，即Sz和Sx。
其中，Sz表示自旋在z方向（沿磁场方向）的投影，Sx表示自旋在x方向的投影。
这两个算符的本征值即为自旋的量子数。
三、自旋的应用1.自旋磁矩根据量子力学的理论，自旋与磁矩之间存在固有的关系。
自旋磁矩可用于解释原子和分子的磁性行为，例如顺磁性和抗磁性。
2.自旋共振自旋共振是一种重要的实验技术，广泛应用于核磁共振(NMR)和电子顺磁共振(ESR)等领域。
通过外加磁场和射频脉冲的作用，可以使带有自旋的粒子发生能级跃迁，从而实现信号的产生和检测。
3.自旋量子计算自旋也被用于量子计算领域。
通过调控带有自旋的粒子之间的相互作用，可以实现量子比特的存储和操作，为量子计算提供了一种新的实现方案。
四、总结自旋作为量子力学中的重要概念，描述了粒子的内禀角动量性质。
自旋算符用于描述自旋的性质和运动规律，自旋在物理学中有着广泛的应用，例如自旋磁矩、自旋共振和自旋量子计算等。
深入了解自旋的原理和应用对于理解和研究量子力学具有重要意义。
以上是关于量子力学中的自旋的文章，介绍了自旋的概念和基本原理、自旋算符以及自旋在物理学中的应用。
希望对您有所帮助。
量子力学习题解答第八章
第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态（解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是：λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是：βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi ec 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi ec 212-=最后得x σˆ的本征函数：)(21βαδ+=i ex 对应本征值1)(22βαδ-=i ex 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ 因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi ex ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn是),(ϕθ方向的单位矢。
第八章自旋
结论：（1）氢原子有磁矩 ，因在非均匀磁场中发生偏转 （2）氢原子磁矩只有两种取向 ，即空间量子化的
二、电子自旋的假设
针对以上难以解释的实验现象，1925年乌仑贝克和高德 施密特提出假设： (1)每个电子具有自旋角动量s，它在空间任何方向上的投 影只能取两个数值：
sz ; 2
(8.1 1)
(2)每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量s的关系是
e M s s ,(SI );
e M s s ,(CGS ) c
(8.1 2)
Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
e , ( SI ) M sz M B 2 e M sz M B , (CGS ) 2 c M B玻尔磁子。
2. 电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经 典力学来解释。
0 0 L z m mvr ( r p ) z ，而 S z 2
0
所以自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无关。 它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志了电 子还有一个新自由度。
ˆ 所满足的对易关系： 将（8.2-2）式代入（8.2-1）式，得到
ˆ x , ˆ y ] 2i ˆz [ ˆ ˆ ˆ ˆ y , ˆ z ] 2i ˆx 2i [ [ ˆ ˆ ˆ , ] 2 i z x y
(8.2 3)
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
写成列矩阵
2 1 (r , t ) 2
1 (r , t )
若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态，则波函数可分 别写为：
第8章 自旋
(10)
ˆ 2 的本征态，设 最后要求 是 J
2 aYl , m ( , ) 2 aYl , m ( , ) ˆ J bY ( , ) bY ( , ) l ,m1 l ,m1
(11)
22
λ(无量纲)待定，在Pauli表象中，
11
3 自旋算符和泡利矩阵
一方面，自旋既是角动量就应当满足角动量的对 易规则，即 ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S i j ijk k
i, j , k 1, 2, 3
ˆ ˆ S 2
(8)
(9 )
ˆ (无量纲) 引进Pauli算符
则有
ˆ i , ˆ j ] 2iijk ˆk [
21
ˆ 的本征态，但相应的本征 可见 1和 2 虽都是L z
值相差 。因此波函数可取为
aYl ,m (, ) (, , sz ) bY ( , ) l ,m1
( 9)
显然
ˆ2 l (l 1)2 L ˆ J z (m 1 / 2)
0 x b *
b 0
0 1 b e i 2 b
进而得
0 1 x 1 0
(14)
16
0 i y i z x i 0
(15)
综上就有
1 0 z 0 1 (16)
2 2
量子力学中的自旋概念
量子力学中的自旋概念量子力学是现代物理学的重要分支，它试图解释原子和分子这些微小的粒子在各种情况下的行为。
大部分人都知道的是量子力学的不确定性原理，但是在量子力学中还有一个重要概念，那就是自旋。
自旋是描述离子、原子、分子、晶体等微观粒子微小旋转运动的概念。
它是量子力学中重要的量子数之一，与电子的质量、电荷、角动量和能量等性质密切相关。
量子力学中的自旋概念来源自旋概念最早是由物理学家斯特恩和格尔曼在1922年发现的。
当时他们进行了一项实验，将银原子放在磁场中，并用电子束照射。
结果发现，银原子的光谱发生了非常微小的改变，这表明电子具有“自旋”。
斯特恩和格尔曼的实验是量子力学研究中的里程碑，它对解释原子和分子的行为提供了重要的线索。
自旋的概念也由此被引入到量子力学中，并成为了研究原子核、电子、光子等微观粒子的重要工具。
什么是自旋？自旋可以理解为微观粒子围绕自身旋转的角动量。
与传统的角动量不同的是，自旋只能取离散的几个数值，而不能取所有的数值。
例如，电子的自旋只能取+1/2或-1/2两个数值，不能取其他任何数值。
自旋与电子的性质密切相关，因为电子是微观粒子中非常重要的一种。
它在分子化学、半导体物理、量子计算等领域中都有广泛的应用。
自旋与角动量自旋与角动量密切相关。
在量子力学中，角动量可以分为轨道角动量和自旋角动量两部分。
轨道角动量可以理解为电子围绕原子核旋转所带来的角动量，而自旋角动量则是电子自身旋转带来的角动量。
虽然轨道角动量和自旋角动量在概念上存在区别，但它们在某些方面也有相似之处。
例如，轨道角动量和自旋角动量都可以取离散的几个数值，且各自的取值范围是一定的。
自旋的应用自旋的应用非常广泛，尤其是在半导体物理和量子计算领域中。
由于自旋可以取离散的几个数值，因此它对于存储和传输信息具有独特的优势。
在半导体物理中，自旋可以用来构造“自旋场效应晶体管”（spinFET），这种晶体管可以比传统的晶体管更快地传输数据。
量子力学中的自旋
量子力学中的自旋量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中粒子的运动和相互作用。
其中一个重要的概念是自旋，自旋是粒子固有的属性之一，它在量子力学中起着至关重要的作用。
首先，让我们来了解一下什么是自旋。
自旋可以看作是粒子固有角动量的一种展现形式，类似于粒子的轨道角动量，但却具有一些独特的特性。
自旋可以用一个半整数或整数来描述，包括0、1/2、1、3/2等。
自旋也可以用量子数来表示，如一般用符号s表示，s=0时对应自旋为0，s=1/2时对应自旋为1/2，以此类推。
自旋在量子力学中的应用非常广泛。
例如，自旋可以解释原子中的电子排布及其行为。
在原子结构中，每个电子都有自己的自旋状态。
泡利不相容原理规定每个电子的自旋状态不能相同，这导致了电子在原子中的排布规则。
由于自旋的存在，电子在磁场中的行为也会受到影响。
根据自旋和磁场之间的相互作用，可以解释磁性物质的特性。
另外一个重要的应用领域是核物理。
核子是构成原子核的重要组成部分，它们包括质子和中子。
质子和中子都有自旋，自旋的方向和自旋量子数可以影响核子之间的相互作用，从而影响原子核的性质。
例如，质子和中子的相互作用能够控制原子核的稳定性，也是核反应和核聚变等核能相关技术的基础。
除了在原子和核物理中的应用外，自旋还在现代科技中扮演着重要的角色。
量子比特（qubit）是量子计算中的基本单位，它可以表示0和1同时存在的叠加态，这种奇特的性质和自旋密切相关。
利用自旋的叠加态可以构建量子比特，从而实现更强大的计算能力和信息处理。
自旋在量子通信中也发挥着重要作用。
量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，它可以实现信息的加密和传输。
自旋的纠缠态可以用于量子密钥分发和量子隐形传态等量子通信协议，提供了更加安全的通信方式。
总的来说，自旋作为量子力学中的一个基本概念在物理学和科技领域中有着广泛的应用。
它不仅解释了微观世界中粒子的行为，还为我们提供了探索量子力学奥秘的工具。
曾谨严量子力学习题第八章
中任意两个。 描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，
根据§8.4的理论，要使体系的波函数成为总自旋的本征态，只有三种形 式的归一化波函数：
（1） 计算2s+1种 （2） 这种波函数种数等于2s+1文字中选择不同文字的种数计有种。
以上二类对称自旋波函数的总数目 n=(2s+1)+(2s+1)s=(2s+1)(s+1) (3)
(1) 整个体系的哈氏算符是：
（此式中r是电子相对位矢） 将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：
(2)
原子的状态可以用（）的共同本征函数表示，将算符（2），运算于这 个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）
(3) 但当原子处在自旋的单重态时，
总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出
因此J=L，（3）式成为：
则 （证明）先设： 代入
即
得
因此A的矩阵是
再代入
即
即b=0
于是A只能是形式
再代入
即
即a=0
于是，满足三个对易关系的二维矩整，只能是，而定理得证。
另一方法，用矢量矩阵-
仍设 代入
作简化：
从任何两个元素都能得到一组解
a=b=c=d=0
[14]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或 （2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。 （证明）根据角动量定义： 又根据第八章问题（1）的结论
(1) (2) 根据矩阵乘法法则，可以根据每一个矩阵的元素，求得乘积的径迹 （对角元素总和）： （方法二）不展开矩阵乘积，但利用自旋分量的性质 根据径迹的定义知道：若一个矩阵能分解成若干个同阶矩阵的和， 则原矩阵的径迹，应等于诸分矩阵的径迹之和，根据（3）： 但因为 而 。命题得证。 （3）式在习题（15）中已论证过。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
量子力学 08自旋
其中a,b,c,d为复数
可得 1 0
a c 0 a 1 c
即
0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z
b a d c b d
b 1 d 0
b a d c
所以，
ˆ ˆ x
y
ˆ ˆ y
x
ˆ i z
三、泡利算符在 z 表象中的具体形式 上面我们引入了自旋算符，并讨论了它的代数，在适当表象中，可以
ˆ ˆ ˆ 将它们表示成矩阵。 现在来找特定表象下， x , y , z 算符的矩阵形式。
z 表象：指在 的本征矢作为基矢构成的空间中态矢量和力学量 ˆ
凡满足上式（5）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那
么它自然满足作为角动量定义的对易关系：
ˆ s is ˆ ˆ s
其分量形式：
（9）
ˆ ˆ ˆ [ s x , s y ] isz
ˆ ˆ ˆ [s y , sz ] is x
ˆ ˆ ˆ [sz , s x ] is y
第8章
自旋
一、提出电子自旋的实验根据：
1.钠黄线的精细结构
3p
D1
58 93 Å 58 96 Å
3p3/2 3p1/2
D2
58 90 Å
钠原子光谱中的一条亮黄线 = 5893Å，用高分辨率的光谱仪观 测，可以看到该谱线其实是由靠 的很近的两条谱线组成。
3s 2.反常塞曼效应
3s1/2
在弱磁场中，一条原子光谱线分裂成偶数条谱线的现象。 1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ， 无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释 ，因为这只能分裂谱 线为 （2n+1）重，即奇数重。
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乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
r B)
r A
r B
ir
(
r A
r B)
上式右边第一项即式(36)，它包含有电子轨道
磁矩与外磁场的相互作用，第二项可化为
ie
r
(
pr
r A
r A
pr )
ie
r
(ih
r A)
2c
2c
eh
2c
r
r B
r s
r B
(42)
b*
a
b
1
特例：在Sz 表象中，根据表象理论，Sz 的矩
阵表示应该是对角矩阵，本征值为对角元，
即
h 2
Sz
0
0 h
2
h 2
1 0
0 1
(5)
设其本征值为 msh
ms
1 2
ms (sz ) 为其本征态，则
ms
1 2
1
1 2
(Sz
)
0
(6)
1 2
(Sz
)
0 1
(7)
有时将他们简记为
3 4
h2
若将任何角动量平方算符的本征值记为
J 2 j( j 1)h2
(15)
j 称角动量量子数，则自旋角动量量子数 满足S
S 2 s(s 1)h2 3 h2, s 1 (16)
4
为方便起见，引入Pauli算符
uµv
2
（无量纲），
则式（11）化为
^r S
h
^r
(17)
2
^^
^ ^^
^ ^^
sz h 2
1
(2)
在很多情况下，波函数可以分离变量，即
(rr , Sz ) (rr ) (Sz ) (3)
其中 (Sz )是描述自旋态的波函数，其一般形式 为
(Sz
)
a b
(4)
式中 a 2与 b 2分别代表电子 Sz h 2 的几
率，所以归一化条件表示为
a 2 b 2 a*
uµvL gL Lµr , µLz gLLˆz ,
gL
e
2c
(1)
其中 gL 为电子的轨道回转磁比率。由于
轨道角动量的模量（大小）是量子化的
因L此2 相l(应l 的1)轨h2道, 且磁具矩有也空具间有量模子量化r LLz以及mh,
空间的量子化，即
L rL gL l(l 1)h,l 0,1,2,..., n 1 (2)
0
(34)
我们知道，量子力学中力学量在任何表象中
的矩阵表示，都有一个相位不确定性。习惯
上取 0 (Pauli表象)，得
ˆ x
0
1
1 0
ˆ y
0
i
i
0
ˆ z
1
0
0 1 (35)
这就是著名的Pauli矩阵。
4.电子的内禀磁矩
电子自旋和内禀磁矩的系统理论在相对
论性量子力学中将做介绍。下面给出一个简 单的非相对论性理论说明。
向上的外磁场B 中的势能为
为外U磁场Br与r 原Br子磁矩Br 之z c间o的s夹角。(3)
而原子因磁矩r 的存在，在Z方向上受到的力
为
Fz
U z
Bz z
cos
(4)
实验表明，这时分裂出来的两条谱线分别对
应于cos 1 和 cos 1 两个值。实验还进一
步表明，即使所使用的氢原子束不是纯基态，
Lz gLmh, m 0, 1, 2, 3,..., l,
对同一l ，m 可取fl 2l 1个值，即对同
一个L ，它在空间可有 2l 1种取向，而由
于l 只能为零及正整数， fl 总是奇数。可以
通过与轨道磁矩有关的实验现象来检验轨道 角动量的量子化性质。例如对氢原子基
态 (n 1,l m 0) ，其 L 0, L 0 ，
^^
xyy x 0
^^
^^
yzz y 0
^^
^^
z xxz 0
把式(18)和(23)联合起来，得
^^
^^
^
x y y x i z
^^
^^
^
y z z y i x
^^
^^
^
z x x z i y
即
µ µ i µ
(23) (24)
式(21)和(24)和 µr µr 概括了Pauli算符的全代
波 惯 不函 上 同数取，中为rr 只还）能应，取包记S括Szz为自旋两投个影h分，这2(r立与个r , S值连变z )，续量因变（此量习，
使用二分量波函数是方便的
(rr
,
Sz
)
(rr (rr,
, h 2) h 2)
(1)
称为旋量波函数。其物理意义如下：
(rr, h 2) 2：是电子自r 旋向上（ Sz h 2 ）, 位置在r 处的几率密度。
(rr, h 2) 2: 是电子自r旋向下（ Sz h 2 ） 位置在 r 处的几率密度。
而
d 3r (rr, h 2) 2 表示电子自旋向上（Sz h 2 ） 的几率。
d3r (rr, h 2) 2表示电子自旋向下（Sz h 2）
的几率。
所以归一化条件为
d3r (rr, Sz ) 2 d3r d3r[ (rr, h 2) 2 (rr, h 2) 2]
数性质。
特以例rˆ:算在符量表子示力。学rˆ 中在凡任与意自方旋向有nr 的关分的量力算学符量常ˆn
为
n r nr nx x ny y nz z
其中
nr nxi ny j nzk
是方向
nr
r x xi y j 的单位矢量。
z
k
(25) (26)
以上是Pauli算符满足的抽象代数关系。以 下我们选一个表象表示成矩阵形式。习惯上 选 ˆ z 表象，即ˆ z对角化表象。 由于 ˆ z 只能
1 0
,
0
1
与 构成电子自旋态空间的一组正交完备基，
任何一个自旋态式（4），均可用它们来展开，
而表计示及为空间坐(S标z 的) 波函ba数 式a（1）b，可以表示(为8) (rr , Sz ) (rr, h 2) (rr, h 2) (9)
特例 ： 中心力场中的电子，若忽略自旋轨道
其中
r s
eh r 2c
e
c
r S
r (S
h
r
)
2
(43)
r
即与自旋 S 相应的磁矩，称为r 内禀磁矩。式 表示电子内禀磁矩与外磁场 B 的相应作用能
值皆为 h2 4 ，即有
S
2 x
S
2 y
S
2 z
h2 4
, Sz
ms h
(ms
1) 2
(12)
ms 称为自旋磁量子数。由
^2
^
^
^
且
S
Sx2
S
2 y
Sz2
(13)
[S$2, S$z ] [S$2, S$y ] [S$2, S$x ] 0 (14)
故 S$2 的本征值是
S2
S
2 x
S
2 y
Sz2
混有激发态(l 0) 的成分，则由轨道磁矩贡献
而引起的射线束分裂也只能是奇数条 2l 1，
决不会有轨道磁矩导致偶数条的射束分裂偏转。
原子具有这一新磁矩也在其他实验里呈现。 特别是在原子光谱的精细结构研究中表现。 应用分辨率较高的光谱分析装置，可观测到 碱金属光谱的的精细结构，如Na原子光谱中 的主线系的每条谱线（例如3p—3s能级跃迁 的D线）是由两条靠的很近的谱线组成的, 在 其他原子光谱中也存在这种精细结构。它必 须在考虑原子中电子的这一新的磁矩才能予 以解释。
即无轨道角动量与轨道磁矩，但著名的施 特恩-----盖拉赫实验表明，原子具有不同于 轨道磁矩的一个新的磁矩。
S—G实验如下图所示，由K源射出的处于S态 (基态)的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场照射 到底片上，结果发现射线束方向发生偏转， 分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁 矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而 发生偏转。