历年自主招生考试数学试题大全-2001年上海复旦大学自主招生数学试题+Word版缺答案
复旦自主招生试题及答案
复旦自主招生试题及答案一、语文部分阅读理解：1. 阅读下面短文，回答问题。
（1）张謇（1854-1926）是中国现代教育家、政治家、社会活动家和思想家。
张謇曾于光绪十九年（1893年）中策划创办私立南洋公学，为中国留学生出国深造提供了机会，也为中国教育事业的发展做出了巨大贡献。
（2）南洋公学的创建者张謇，生于一般家庭，自小勤奋好学。
他上学时就常常帮助同学，与人为善，仗义疏财。
他在学习中总是能将分散的学习知识联系起来，形成系统地知识体系，且能应用灵活。
在上学期间，他还考取了举人资格。
（3）1875年，张謇考入了南洋公学，他将自己多年的积累展示了出来，并在广大师生的面前，发表了知名的《自力更生》演讲。
这个演讲使他备受赞誉，也为他未来的事业奠定了基础。
（4）张謇毕业后曾出任江西体育局局长，任内积极推行体育运动，提倡健身，改变了当时青年学生体育锻炼不足的状况。
后来，他还出任过官员、教育家等多个职位，努力改革中国教育制度，致力于提高教育的普及率和质量。
（5）张謇还通过创办南京高级工业学堂（复旦大学前身），来培养工科人才。
这一举措对中国的现代工业化进程起到了积极作用。
张謇还参与了辛亥革命，成为众多反清护国的活动家之一。
问题：（1）张謇是中国的哪位教育家和思想家？（2）张謇曾任职的机构有哪些？（3）南京高级工业学堂现在的名称是什么？答案：（1）张謇是中国现代教育家、政治家、社会活动家和思想家。
（2）张謇曾任江西体育局局长，官员和教育家等多个职位。
（3）南京高级工业学堂现在的名称是复旦大学。
二、数学部分选择题：1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。
A. 7B. 9C. 11D. 132. 若 a + b = 20，且 a:b = 2:3，则 a 的值为多少？A. 8B. 10C. 12D. 16填空题：1. C = πd 的公式中，若 d = 10cm，则 C = ______ cm。
复旦自主招生数学
一、选择题1．在(x 2−1x)10的展开式中系数最大的项是_____.A ．第4、6项B ．第5、6项C ．第5、7项D ．第6、7项 2．设函数y=ƒ (x)对一切实数x 均满足ƒ (5+x )=ƒ(5−x)，且方程ƒ (x )=0恰好有6个不同的实根，那么这6个实根的和为____.A ．10B ．12C ．18D ．30 3．假设非空集合X=｛x ｜a +1≤x≤3a−5｝，Y=｛x ｜1≤x≤16｝，那么使得X ⊆X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.A ．｛a ｜0≤a≤7｝B ．｛a ｜3≤a≤7｝C ．｛a ｜a≤7｝D ．空集 4．设z 为复数，E=｛z ｜(z−1)2=|z−1|2｝，那么以下_ 是正确的A ．E={纯虚数}B ．E={实数}C ．{实数}⊆E ⊆{复数}D ．E={复数}5．把圆x 2+(y−1)2=1与椭圆x 2+2(1)9y +=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____.A ．线段B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．四边形6．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，假设BB 1，那么AB 1与C 1B 所成的角的大小是___. A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°7．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如在最合理的安排下，获得的最大利润是______百元.A ．58B ．60C ．62D ．648．假设向量a +3b 垂直于向量7a −5b ，并且向量a −4b 垂直于向量7a −2b ，那么向量a 与b 的夹角为___ ___.A ．2π； B ．3π； C ．4π； D ．6π. 9．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其它班有五位.假设采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，那么一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.A ．120 B ．140 C ．160 D ．19010．sin α，cos α是关于x 的方程x 2−tx+t=0的两个根，这里t ∈3sin α+3cos α=___.A ．B ．；C ．−D ．11．设z 1，z 2为一对共轭复数，如果|z 1−z 2且122z z 为实数，那么|z 1|=|z 2|=____. AB ．2C ．3 D12．假设四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是V(x)，那么函数V(x)在其定义域上为____.A ．增函数但无最大值B ．增函数且有最大值C ．不是增函数且无最大值D ．不是增函数但有最大值 13．以下正确的不等式是____.A ．16<1201k =； B ．18<1201k =<19； C ．20<1201k =； D ．22<1201k =<23. 14．设{αn }是正数列，其前n 项和为S n ，满足：对一切n ∈Z +，αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项，那么limnn n→∞α=______.A ．0B ．4C ．12D ．10015．x 1，x 2是方程x 2−(α−2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根，那么x 12+x 22的最大值为______.A ．18B ．19C ．20D ．不存在 16=α.条件乙：sin2θ+cos 2θ=α.那么以下________是正确的. A ．甲是乙的充分必要条件 B ．甲是乙的必要条件C ．甲是乙的充分条件D ．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 17．函数ƒ(x)的定义域为(0，1)，那么函数g(x)= ƒ(x+c)+ƒ(x−c)在0<c<12时的定义域为____. A ．(−c,1+c); B ．(1−c,c); C ．(1+c,−c); D ．(c,1−c); 18．函数____.A ．y min =54-，y max =54； B ．无最小值，y max =54； C ．y min =54-，无最大值 D ．既无最小值也无最大值19．等差数列{αn }中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，S n 是前n 项之和，那么以下___是正确的.A ．S 1，S 2，S 3均小于0，而S 4，S 5，…均大于0B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，而S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…，S 9均小于0，而S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 10均小于0，而S 11，S 12，…均大于0 20．角θ的顶点在原点，始边为x 轴正半轴，而终边经过点Q(，y)，(y≠0)，那么角θ的终边所在的象限为___.A ．第一象限或第二象限B ．第二象限或第三象限C ．第三象限或第四象限D ．第四象限或第一象限21．在平面直角坐标系中，三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(−5,−2),那么∠A 的平分线所在直线的方程为_____.A ．7x−y−17=0;B ．2x+y+3=0;C ．5x+y−6=0;D ．x−6y=0. 22．对所有满足1≤n≤m≤5的m ，n ，极坐标方程11cos nm C θρ=-表示的不同双曲线条数为_____.A ．6B ．9C ．12D ．1523．设有三个函数，第一个是y=ƒ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是______.A ．y=−ƒ(x)；B ．y=−ƒ(−x)；C ．y=−ƒ−1(x)；D ．y=−ƒ−1(−x)；24∈[2，3]时，ƒ(x)=x ，那么当x ∈[−2,0]时，ƒ(x)的解析式为_____.A ．x+4;B ．2−x;C ．3−|x+1|;D ．2+|x+1|. 25．α,b 为实数，满足(α+b)59=−1,( α−b)60=1,那么α59+α60+b 59+b 60=_____.A ．−2B ．−1C ．0D ．1 26．设αn 是)n 的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…)，那么极限2323222lim()nn n →∞+++ααα…=________. A ．15 B ．6 C ．17 D ．8 27．设x 1,x 2∈(0，2π)，且x 1≠x 2，不等式成立的有 (1)12(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 12(tanx 1+tanx 2)<tan 122x x +; (3)12(sinx 1+sinx 2)>sin 122x x +; (4) 12(sinx 1+sinx 2)<sin 122x x + A ．(1),(3) B ．(1),(4) C ．(2),(3) D ．(2),(4)28．如下图，半径为r 的四分之一的圆ABC 上，分别以AB 和AC 为直径作两个半圆，分别标有α的阴影局部面积和标有b 的阴影局部面积，那么这两局部面积α和b 有_____.A ．α>bB ．α<bC ．α=bD ．无法确定CBAba29．设a ,b PQ =2a +k b ，QR =a +b ，RS =2a −3b .假设P ，Q ，S 三点共线，那么k 的值为_____.A ．−1；B ．−3；C ．43-；D ．35-； ##Answer## 1.C 2.D 3.C 4.B 5.B6. 【简解】设BB 1=1,那么取AC 、BC 1的中点D 、O,DOC 1B 1A 1CBAOD ∥AB 1，∠BOD 即为所求；在△BOD 中，OD=OB 1=2,BD=2,∠BOD=90°。
复旦大学自主招生试题数学
复旦大学自主招生数学1、当a和b取遍所有实数时，函数f a，b=a+5−3cos+a−2sin所能取到的最小值（）2、记2012！=1×2×3×⋯×2012从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是（）3、已知数列a n满足：3a n+1+a n=4n≥1，且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式S n−n−6<1125的最小整数n是（）4、在如果所示三棱柱中，点A、BB1的中点M以及B1C1的中点N所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（）5、方程x−=1有（）解6、方程3x2−e x=0的实根是（）7、设f x=x8−x5+x2−x+1，则f x有性质（）8、证明2是一个无理数9、若对一切实数x都有x−5+x−7>a，则实数a的取值范围是（）10、设某个多边形Σ的顶点在复平面中均是形式为1+z+z2+⋯+z k−1的点，其中z≤1，则点z=0有性质（）多边形Σ上的点。
11、如图，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有a的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积a和b的大小关系是？12、设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则log4x+log2y+log2z的最大值为（）13、设实数r>1，如果复平面上的动点z满足z=r，则动点ω=z+1z的轨迹是（）焦距的椭圆。
14、对函数f：0，1→0，1，定义f1x=f x，L，f n x=f f n−1x，n=1，2，3，⋯，满足f n x=x的点x∈0，1称为f的一个n周期点，现设f x=2x，0≤x≤122−2x，12≤x≤1，问f的一个n周期点的个数是（）15、已知数列a n 满足：a 1=22的等比数列，则k=1na k =（）16、设集合X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在，使得0<x −x 0<ax 0为集合X 的聚点，则下列集合：①∈Z ，n ≥0，②R \0,∈Z ，n ≠0,④Z 中，以0为聚点的集合有（）17、在一个底面半径为12，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、圆柱侧面及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是（）18、经过坐标变换x ‘=x cos θ+y sin θy ’=−x sin θ+y cos θ将二次曲线3x 2−23xy +5y 2−6=0转化为形如x ‘2a 2±y ’2b 2=1的标准方程，求θ并判断二次曲线的类型（）19、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1与C 2分别是以y =±k 1x −1+1和y =±k 2x −1+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C 1与C 2的离心率之比等于（）20、设非零向量a=a1，a2，a3，b =b1，b2，b3，c=c1，c2，c3为共面向量，x=x1，x2，x3是未知向量，则满足a∙x=0，b ∙x=0，c∙x=0的向量x的个数为（）21、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0k>0的点x，y组成的集合D称为可行域，将函数y+1x称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点x，y使目标函数达到在可行域上的最小值。
复旦大学自主招生(千分考)数学复习资料
复旦大学千分考数学复习资料
一、复旦“千分考”数学学科考试概述：
自 2008 年以来，复旦“千分考”数学部分稳定地有 32 道题的份额。数学部分考察的知识点相当全面，涵盖了初等 数学（包括简单数论）的绝大部分和部分微积分的知识。尽管如此，千分考对考生数学知识的掌握并没有做出许多超纲 的要求。以“数列的极限”部分为例，千分考的题型主要有两类，一类是考察数列通项的求法，而对于极限过程并不做 过多要求，仅作为形式；另一类是考察极限过程中，{
练习 2：【2013】过
x 2 y 2 1 上的点 P 作 x+y-2=0 的垂线，垂足为 Q，求 PQ 中点 M 的轨迹。
例题精讲二
【2011】在半径为 1 的圆周上随机取 3 点，它们构成一个锐角三角形的概率为。
1 A. 2 1 B. 3
4/7
1 C. 4 1 D. 5
6/7
2、过早地接触真题没有坏处，但也可能会打击到自信心或者兴趣，在新高二的第一学期不用有意识地操练真题，这 时候应该广泛地了解一些有意思的数学知识甚至数学故事，培养一下几何直观的能力。 3、试着掌握一些有用的小结论。不是去死记硬背公式，在理解公式的基础上，可以把公式的核心提炼出来（比如旋 转公式可以用图形记忆，在理解公式的基础上，可以知道：假设圆锥曲线的一般方程为
【解析】解析几何问题中有一大类问题是求解动点的轨迹方程的问题。这类问题作为选择题出现，自 然有一些可以从选项出发的特殊方法。比如我们可以考虑一些特殊情况，在这题中我们可以让 P 运动到 （-1,0），这时候 AOP 就成了一个平角，角平分线与 AP 的交点就是坐标原点 O.所以给出的方程应该过 原点。 不过我们先撇开选项来求解这个轨迹方程。求动点轨迹，我们经常就将动点的坐标设出来，然后根据 条件列方程进行消参等工作寻找坐标满足的关系式，也就是说“求啥设啥”。在此题中，由于涉及到角度 的平分，因此像往常一样设直角坐标求解问题稍嫌麻烦，我们可以利用极坐标来求解。不妨设 Q 的坐标
【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题
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2011 年华师二附自主招生数学试题及答案
一、 填空题（每题 4 分） 1. 已知关于 x 的多项式 ax7 bx5 x2 x 12 （ a 、 b 为常数），且当 x 2 时，该多项 式的值为 8 ，则当 x 2 时，该多项式的值为__________．
2. 已知关于 x 的方程 x2 a 2 x a 1 0 的两实根 x1 、 x2 满足 x12 x22 4 ，则实
15. 某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出 100 条鱼，做上标记后全部放回
鱼塘，过些时候捕捞出 90 条鱼，发现其中有 4 条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼
约有_________条．
16. 如图，四边形 ABCD 中， ADC 和 ABC 都是直角，
D
DE 垂直于 AB ， AD 边与 CD 边长度相等．已知四边
C 形 ABCD 的 面 积 为 16 ， 那 么 线 段 DE 的 长 度 是
_________． A
17. 在 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，如
果延长 BE 交 AC 于 F ，那么 AF : FC ________．
E
B
第 16 题
18. 如图， ABC 中，已知 AB AC ， DEF 是 ABC 的内接正三角形， BDF ，
圆括号内），一律得零分．
1
1.
计算
3
4
3
9 2
32
1 9
2
，得（）
A． 11 9
B． 1
C． 5 9
D． 1 9
2. 如果 a b ，那么下列结论正确的是（）
重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)
6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ A.2 B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ） A.0 B.3 C.33 D.9 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . （第6题图） （正视图） （俯视图） （第7题图）（第16题图）19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.(第21题图)N22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？ 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论．(第22题图) Q ABC EFPO（第23题图）．1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样2、半径为10的圆0内有一点P ，OP=8,过点P 所有的弦中长是整数的弦有 条。
自主招生 2001复旦基地班数学试题
自主招生 2001复旦基地班数学试题1. 设函数x y x a=+的反函数是它自身，则常数a =_______________。
2. 不等式()2222log log x x -≥⎡⎤⎣⎦的解集是_______________。
3. 直线2780x y -+=与2760x y --=间的距离是_______________。
4. 如果()3n x +的展开式的系数和是()1my +的展开式的系数和的512倍，那么自然数n 与m 的关系为_______________。
5. 椭圆342cos ρθ=-的焦距是_______________。
6. 己知4350x y --=，那么()()2213x y -+-的最小值为_______________。
7. 与正实轴夹角为()arcsin sin 3的直线的斜率记为k ，则arctan k =_______________。
（结果用数值表示）8. 从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有_______________种选法()m n <。
9. 正方体1111ABCD A B C D -中，1BC 与截面11BB D D 所成的角为_______________。
10. 1sec50cot10+= _______________。
（结果用数值表示） 11. 函数()3cos cos 2g x x x πππ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2 D ．112. 设函数()f x =()1f x -，则对于[]0,1内的所有x 值，一定成立的是（ ）A ．()()1f x f x -≥B ．()()1f x f x -≤C ．()()1f x f x -=D ．()()1f x f x -≠ 13. 138除以9所得的余数是（ ）A ．6B ．1-C ．8D ．114. 抛物线()241y x =--的准线方程为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =15. 由参数方程11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所表示的曲线是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16. 己知抛物线252y x x =-+与2y ax bx c =++关于点()3,2对称，则a b c ++的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417. 作坐标平移，使原坐标下的点(),0a ，在新坐标下为()0,b ，则()y f x =在新坐标下的方程为（ ）A ．()''y f x a b =++B ．()''y f x a b =+-C ．()''y f x a b =++D ．()''y f x a b =++18. 设有四个命题：①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件； ③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。
复旦大学自主招生考试数学试题及答案
1、设函数y=f（x）=e x+1，则反函数OyxOyxO x答案：A2、设f（x）是区间[a，b]f（x）是[a，b]上的递增函数，那么，f（xA．存在满足x<y的x，y∈[a，b]B．不存在x，y∈[a，b]满足x<y且fC．对任意满足x<y的x，y∈[a，b]D．存在满足x<y的x，y∈[a，b]答案：A3、设]2,2[,ππβα-∈，且满足sinαA． [−2，2] B． [答案：D4、设实数0,≥yx，且满足2=+yxA．97/8 B．答案：C5则该多面体的体积为______________。
A．2/3 B．3/4答案：D6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________。
A ．32个；B ．30个；C ．28个；D ．26个答案：B7、给定平面向量（1，1），那么，平面向量（231-，231+）是将向量（1，1）经过________． A ．顺时针旋转60°所得； B ．顺时针旋转120°所得； C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；答案：C8、在直角坐标系O xy 中已知点A 1（1，0），A 2（1/2，3/2），A 4（−1，0），A 5（−1/2，−3/2）和A6（1/2， −3/2）．问在向量−−→−ji A A （i ，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）中，不同向量的个数有_____． A ．9个； B ．15个； C ．18个； D ．30个答案：C9、对函数f:[0，1]→[0，1]，定义f 1（x ）=f （x ），……，f n（x ） =f （f n −1（x ）），n=1，2，3，……．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的一个n −周期点．现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n −周期点的个数是___________．A ．2n 个；B ．2n 2个；C ．2n个；D ．2（2n−1）个．答案：C10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________． A ．13π/12 B ．11π/12 C ．−π/4 D ．−7π/12答案：A11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin （β−α）=______． A ．±3/2B ．3/2，−1/2C ．±1/2D ．1/2，−3/2答案：D12、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1．设C 1和C 2分别是以y =±k 1（x −1）+1和y =±k 2（x −1）+1为渐近线且通过原点的双曲线．则C 1和C 2的离心率之比e 1/e 等于_______．A ．222111k k ++ B ．212211k k ++ C ．1 D ．k 1/k 2答案：C13、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f （x ）是____________．A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x =π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数．答案：C14、将同时满足不等式x −k y −2≤0，2x +3y −6≥0，x +6y −10≤0 （k>0）的点（x ，y ）组成集合D 称为可行域，将函数（y +1）/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点（x ，y ）使目标函数达到在可行域上的最小值．如果这个规划问题有无穷多个解（x ，y ），则k 的取值为_____．A ．k≥1;B ．k≤2C ．k=2D ．k=1．答案：C15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是________．A ．y 是x 的函数；B ．z 是y 的函数；C ．w 是z 的函数；D ．w 是x 的函数．答案：B16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________． A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”； B ．否命题为“单调函数是周期函数”； C ．逆否命题为“周期函数是单调函数”； D ．以上三者都不正确 答案：D17、设集合A={（x ，y ）|log a x +log a y >0}，B={（x ，y ）|y +x <a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______ A ．∅ B ．a>0，a≠1 C ．0<a≤2， a≠1 D ．1<a≤2答案：D18、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x −x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合（1）{n/（n+1）|n ∈Z ， n≥0}， （2） R\{0}， （3）{1/n|n ∈Z ， n≠0}， （4）整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____． A ．（2），（3）B ．（1），（4）C ．（1），（3）D ．（1），（2），（4）答案：A19、已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k =______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32-答案：A20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 答案：A21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2lD ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行 答案：D22、设ABC −A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB’A’的中心，则P 到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21B ．43C ．814D ．823答案：C23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系．那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 答案：A24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 答案：B25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量OC OB OA ,,分别变换成向量,,，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 答案：B26、设集合A ，B ，C ，D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅．则下列选项中正确的是______． A ．如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅； B ．如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅； C ．如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅； D ．上述各项都不正确．27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n nB ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P （x ，y ）关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是（A ）2244x y x y -=+（B ）()22222x y x y-=+（C ）()22442x y x y-=+（D ）()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±b y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k ， m ， n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A ．m ，n 都整除kB ．m ，n 的最大公因子整除kC ．m ，n ，k 两两互素D ．m ，n ，k 除1外没有其它共因子。
二零二一年复旦大学自主招生数学试题-教师版
2022年复旦大学自主招生数学试题2022年的高校自主招生已经落下帷幕，笔者对2022年复旦大学自主招生数学试题作出解析，以餐读者.第1题 抛物线22y px =, 过焦点F 作直线交抛物线于A B 、两点, 满足3AFFB =, 过A 作抛物线准线的垂线, 垂足记为A ', O 为顶点, 若四边形'CFAA 的面积为123, 求p .解法1:由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为()02p x my m =+>，()(),,,AABBA x yB x y联立222y pxpx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=由韦达定理可得：22,ABABy y pm y y p +==-因为3AF FB=,所以3ABy y=-易得22223B B y pm y p -=⎧⎨-=-⎩，所以2133A m y p ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以32A x p =所以2'3333123222A AA CF S y p p p +=⋅=⋅==，解得22p =.解法2:设直线AB 的倾斜角为θ，易得,1cos 1cos p pAF BF θθ==-+因为3AFFB =，则1cos 31cos θθ+=-，解得1cos 2θ=，所以3πθ= 因为3'2,'232AF AA p CA p p ===⨯=所以()1231232S p p p =+⋅=，解得22p =. 第2题 已知实数xy , 满足221x xy +=, 求22x y +最小值.解法1:（消元法）因为0x ≠ ，则112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2222111515422x y x x -⎛⎫+=+-≥⎪⎝⎭ 当且仅当2215x x =，即255x =时，等号成立. 解法2:（三角换元法）设222x y r +=，则cos ,sin x r y r θθ==因为221x xy +=，所以222cos 2sin cos 1r r θθθ+⋅=即()221cos 215151cos sin 2sin 2sin 222222r θθθθθϕ+=+=++=++≤ 因此2512r -≥，所以22x y +的最小值为512-. 第3题已知()sin(2π)cos(2π)sin(4π)cos(4π)f x a x b x c x d x =+++, 若()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 则在,,,a b c d 中能确定的参数是________. 解：因为()()122f x f x f x⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以令0x =，则102f d b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以b d =令14x =，则3110442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得20d -=，则0b d ==易得()sin(2π)sin(4π)f x a x c x =+因为()()122f x f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以2sin 4sin 4sin8c x a x c x πππ=+恒成立即()sin 422cos40x c a c x ππ--=，惟独0a c ==恒成立，所以0a b c d ====. 第4题 若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数, 则a =________.解：设纯虚数根为bi ，则32450b i ab bi --++=，所以3245b b b a⎧=⎨=⎩，解得54a =5.展开式102311x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭中, 常数项为________.解法1：101010101023233410101010i=0i=0001111i i i i i i k k i j j i i i k j x y C x y C C x C y x y x y ---+--==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫+++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑则有304100k i j i -=⎧⎨+-=⎩，即3104i k ij ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，易得0,3,6,9i =当0i =时，52j Z =∉；当3i =时，74j Z =∉；当9i =时，14j Z =∉；当6i =时，2j k ==符合题意，则常数项为622106412600C C C ⋅⋅=解法2:只有一种情况出现常数，即()()3422311x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的系数为24131084312600C C C C ⋅⋅⋅=.6. ()111lim ++14253n n n →∞⎡⎤+=⎢⎥⨯⨯+⎣⎦________. 解：因为()1111333n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以()1111111111111++14253314253123n n n n n n ⎛⎫+=-+-++⋅⋅⋅+-+- ⎪⨯⨯+-++⎝⎭1111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭， 所以()11111111111lim ++lim 11425332312318n n n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+=++---= ⎪⎢⎥⨯⨯++++⎝⎭⎣⎦ 第7题 点()4,5绕点()1,1顺时针旋转60度, 所得的点的坐标为________. 解法1:设点()()()1,1,3,4,,A B C x y ，则直线AB 的斜率为514413ABk-==- 由夹角公式可得43tan 6034113AC ABAC ABACACkk kk kk --︒===+⋅+,所以2534839AC k -=由()()221253481391125y x x y ⎧--=⎪-⎨⎪-+-=⎩可解得54326332x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以所得的点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解法2: 设点()()()1,1,3,4,,A B C x y ，则()3,4AB =,()1,1AC x y =-- 因为5AB AC ==,所以()()221125x y -+-=因为3471cos 252AB ACx y BAC AB AC⋅+-∠===⋅，所以41332y x =-+ 由()()22413321125y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+-=⎩可解得：54326332x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 易得点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 解法3: 设点()()1,1,3,4A B ，则()3,4AB =,在复平面对应的复数为()345cos sin z i i θθ=+=+（其中34cos ,sin 55θθ==）则顺时针旋转60︒，则15cos sin 33z AC i ππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即343433,22AC ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭,易得点的坐标为54363322⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 第8题 方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是________.解法1：因为()25cos 43cos2432cos 1θθθ=+=+-，所以26cos 5cos 10θθ-+=所以1cos 2θ=或者1cos3θ=，所以曲线形状是从原点出发的左半平面的四条射线.解法2:原方程可化为2225cos 43cos2ρθρρθ=+，即()()222222543x x y x y x y +=++- 所以222257x x y x y +=+，即222424110x x y y -+=， 故()()()22223800x y xy x --=≥，所以()3,220y x y x x =±=±≥，所以曲线形状是从原点出发的左半平面的四条射线.第9题 设ππ,,,44x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若333πcos 20,24sin cos 0x x a y y y a ⎧⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪++=⎩则()cos 2x y += . 解：由333πcos 20,24sin cos 0x x a y y y a ⎧⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪++=⎩可得()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩构造函数()3sin f x x x=+，易得()f x 是奇函数.所以()()20f x f y +=所以20x y +=，则()cos 21x y +=第10题 实数,x y 满足221,x y +=若262x y a a x y +-++--的值与,x y 无关,则a 的范围是 .解法1:()262262x y a a x y x y a x y a +-++--=+-+-+-的值与,x y 无关，所以2x y a +-与()62x y a -+-同号，即026x y a ≤+-≤，所以26a x y a ≤+≤+因为221x y +=，令cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，则()2cos 2sin 5sin 5,5x y αααϕ⎡⎤+=+=+∈-⎣⎦所以565a a ⎧≤-⎪⎨+≥⎪⎩，所以565a -≤≤-.解法2: ()2622625+55x y a x y a x y a a x y ⎡⎤+-++-+-++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值与,x y 无关，说明直线()20,260x y a x y a +-=+-+=在单位圆的两侧，所以565a -≤≤-. 第11题 在△ABC 中,1cos ,3BAC ∠=若O为内心,且满足,AO xAB y AC =+则x y +的最大值为 .解:设ADAO xAB y AC λλλ==+,因为,,B C D 三点共线，所以1x y λλ+=即11111sin 2AO AO AO x y OE AAD AO OD AO OE AO λ+===≤==++++因为21cos 1sin 23A A =-=,所以3sin 23A =.所以332x y -+≤第12题 已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=, 则( ) A.m 和n 可能重合 B. m 和n 不可能垂直C. 存在直线m 上一点,P 以P 为中心旋转后与m 重合D. 以上都不对解：直线m 的斜率为[]cos 1,1α∈-，所以m 和n 不可能重合，故A 错；当1cos 3α=时，两直线垂直，故B 错；直线m 和n 必相交，当点P 位于交点处时，以点P 为中心旋转后与m 重合，故选C.第13题 抛物线23y x =的焦点为,F A 在抛物线上,A 点处的切线与AF 夹角为30°,则A 点的横坐标为 .解：设()23,A y y ，对隐函数23yx =求导可得6'1y y ⋅=，即1'6y y=，所以切线的斜率为016k y =，因为0201312AF y k y =-，由夹角公式tan 301AF AF k k kk -︒=+,解得133AF k k k +=-即002003161133126y y y y+=--，解得0123y =,所以200134x y ==第14题 已知P 为直线6014x y -=-上一点,且P 点到()2,5A 和()4,3B 的距离相同,则P 点坐标为.解：直线方程为460x y +-=，线段AB 的中点为()34，，所以直线AB 的中垂线方程为1y x =+，点P 为直线460x y +-=与直线AB 的中垂线的交点.则146y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()12， 第15题 已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9x y ∈且,y x ≠联结原点O 和()(),,,A x y B y x 两点,则12arctan 3AOB ∠=的概率为 .解法1：如图，设线段AB 的中点为C ,即1arctan 3AOC ∠=，易得,22x y x y C ++⎛⎫⎪⎝⎭在Rt ADC 中，,22x y x yCD AC --==, 所以在Rt ACO 中，2212sin 10x yACAOC AOx y -∠=⇒=+，解得12y x =在1~9中任取两个数,x y 满足12y x =的有()()()()21426384，，，，，，，，所以29419P C ==. 解法2:如图，设1arctan 3α=，线段OA 与x 轴正半轴所成的角为β，所以1113tan tan 14213πβα-⎛⎫=-== ⎪⎝⎭+，所以12y x = 在1~9中任取两个数,x y 满足12y x =的有()()()()21426384，，，，，，，，所以29419P C ==. 第16题 14323arcsin arcsin 84++=. 解：设14323arcsin,arcsin 84αβ+==，则14323sin ,sin 84αβ+== 易得32147cos ,cos 84αβ-==，所以()2cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=-，故34παβ+= 第17题 已知三棱锥-P ABC 的体积为10.5, 且6,4,10,AB AC BC AP BP =====则CP 长度为 .解：如图，取AB 的中点D ,连接,PD CD ,易得AB ⊥平面PCD ,91,7PD CD ==,所以三棱锥-P ABC 的体积为12132PCD SAB⋅=,即1121917sin 6322PDC ⨯⨯⨯⨯∠⨯=所以3sin 213PDC ∠=，所以43cos 213PDC ∠=±由余弦定理可得291+743cos 2917213PC PDC -∠==±⨯⨯,解得98743PC =± 第18题 在△ABC 中,9,6,7,AB BC CA ===则BC 边上中线长度为 .解法1:取BC 的中点D ，由中线长公式可得：222222AB AC AD BD +=+,解得214AD =.解法2:由余弦定理可知22296717cos 29627B +-==⨯⨯, 所以2279329321427AD =+-⨯⨯⨯= 第19题 若()21,f x x =-则()()f f x 的图象大致为 . 解：()()()2242112f f x x x x =--=-，图象大致为W 形.第20题 定义{}1,(),|()()11,M M Nx M f x M N x f x f x x M ∈⎧⎪=⊗==-⎨-∉⎪⎩, 已知{}|2A x x x =<-, {}|(3)(3)0B x x x x =+->, 则A B ⊗= .解：易知()()(),1,3,03,A B =-∞=-+∞当3x ≤-时，()()1AB fx f x =-满足题意；当30x -<<时，()()1AB fx f x =不满足题意；当01x ≤<时，()()1ABf x f x =-满足题意；当13x <≤时，()()1ABf x f x =不满足题意；当3x >时，()()1ABfx f x =-满足题意.综上所述，(][)(),30,13,A B ⊗=-∞-+∞第21题 方程34122022x y z ++=的非负整数解的组数为 .解：因为34122022x y z ++=，,,0x y z ≥，易得4|x ，设4x m =，则124122022m y z ++= 即33505m y z ++=，则3|505y -，因此()505mod3y ≡，则()1mod3y ≡，设31y n =+所以168,,,0m n z m n z ++=≥，设111p m q n r z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则171,,1p q r p q r ++=≥，，用隔板法可得2170C 种.第22题 已知,,m n ∈且011,n ≤≤若满足202220222312,m n +=+则n = . 解：因为()()2022202220222022231mod3233mod 4+=+=，，所以7n =.第23题 凸四边形,ABCD 则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 条件. 解：充要条件第24题 设函数()33x x f x -=-的反函数为()1,y f x -=则()()111g x f x -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值的和为 .解：()()111g x f x -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值等价于求()11f x -+在[]44-,上的最大值和最小值，即()44f x -≤≤,解得52325x -≤≤+，所以()()22log 52,log 25x ⎡⎤∈-+⎣⎦，所以()()111g x fx -=-+在[]3,5-上的最大值和最小值的和为()()32log52522⎡⎤+-+=⎣⎦. 第25题 若4,k >直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 .解：直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=恒过定点()2,4C ，则2480,4,2,0A B k k ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214181411422448,0,224S k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+-⨯=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以17,82S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.第26题 已知A B C D 、、、四点共圆,且1,2,4,5,AB CD AD BC ====则PA 的长度为 . 解：易得PABPCD ,则12PA PB AB PC PD CD ===,设,PA X PB Y ==,则25124254Y X X Y Y X Y X =-⎧==⇒⎨=+++⎩,解得143X = 第27题 给定5个函数,其中3个奇函数,2个偶函数,则在这5个函数中任意取3个,其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 .解：33359110C P C =-= 第28题 下列不等式恒成立的是( )A. 2211x x x x+≥+ B. 12x y x y -+≥- C. x y x z y z -≥-+- 解：()()()()()222322221111111110x x x x x x x x x x x x x x x x -++-⎛⎫⎡⎤+-+=-+=---=≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，A 选项正确；当0,2x y ==时，B 选项不成立；当1,2,0x y z ===时，C 选项不成立. 第29题 向量数列{}n a 满足1,n n a a d +=+且满足1133,,2a a d =⋅=-令11,n n ii S a a =⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑则当nS 取最大时,n 的值为 . 解：()()()211111313913244n n i i n n n n S a a a na d n n n =--⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，当6n =或者7n =时，nS 取得最大值. 第30题 某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务,每人负责一天.已知甲不安排在第一天,乙不安排在第二天,甲和丙在相邻两天,则不同的安排方式有 种.解：当甲丙在第一二天时，则有55120A =种；当甲丙在第二三天时，则有2525240A A =种； 当甲丙连续在第三四五六七天时，则有242444768A A =种；所以共有120+240+768=1128种.第31题 直线12,l l 交于O 点,M 为平面上任意一点,若,p q 分别为M 点到直线12,l l 的距离,则称(),p q 为点M 的距离坐标.已知非负常数,,p q 下列三个命题正确的个数是 .(1) 若0,p q ==则距离坐标为()0,0的点有且仅有1个;(2) 若0,pq =且0,p q +≠则距离坐标为(),p q 的点有且仅有2个;(3) 若0,pq ≠则距离坐标为(),p q 的点有且仅有4个.解：(1)正确，当0,p q ==则距离坐标为()0,0的点有且仅有1个为O 点;(2)正确，若0p =时，该点分别为关于交点O 对称的点,A B ；若0q =类似.(3)正确，作12,l l 的平行线交于,,,A B C D ,,AC BD 距离2l 为q ，,AB CD 距离1l 为p 故答案为3个.。
历年上海复旦大学自主招生试题汇总
⽆忧考为⼤家整理的历年上海复旦⼤学⾃主招⽣试题汇总，供⼤家参考。
2012年复旦⼤学⾃主招⽣千分考试题 据复旦招办预计，2012年通过千分考进⼊⾃主招⽣⾯试的学⽣⽐例将与2011年基本持平，成绩和⾯试⽅案将于⼀周内公布。
以下是中国教育在线为您整理的2012年复旦“千分考”部分考题。
选摘考题如下： 1.冷战以后，我国规模的⼀次撤侨是从哪个国家撤离的？ 2.中国的13个船员是在哪条河遇难的？ 3.在欧债危机中，有哪些国家的政权发⽣了更迭？ 4.请从东到西排出“iPhone4S”第⼀批上市的⼏个国家。
5.“《社戏》、《藤野先⽣》、《从百草园到三味书屋》等是否都出⾃《朝花⼣拾》？ 6.按照时间顺序排列鲁迅的四⼤名著《药》、《狂⼈⽇记》、《阿Q正传》、《祝福》。
7."五⽉渡泸，深⼊不⽑"出⾃哪⾥？” 8.清朝哪位⽂⼈将⽂体分为阴柔派和阳刚派？ 9.以下哪个地⽅对柑橘的⽣长危险因素？ 10.中国的四个卫星发射中⼼哪个耗能？ 11.上海出租车在3公⾥以内收费14元，超过3公⾥10公⾥以内，是每公⾥2.4元，请计算要付的钱和公⾥数的函数关系。
12.伊丽莎⽩⼥王的权⼒受限是因为哪个法案？ 13.根据⽔稻育种、播种的时间，请判断这是什么地区？ 14.根据某地茶叶上市的时节来判断当地⽓候。
15.⼀个磁铁矿完全变成氯化铁矿，会有多少四氧化三铁的含量？ 16.1M字节等于多少K字节？ 17.如果⾦属钠失⽕，要⽤什么来扑灭？ 18.中国有4个卫星发射中⼼，哪个发射中⼼的能耗？ 19.把⼗元钱换成1元、5⾓、1⾓零钱，有⼏种不同的组合⽅法？ 20.⼆进制1101011转化成⼗进制是多少？ 21. 1M字节等于多少K字节？2011年复旦⼤学千分考试题选摘： 辨别莎⼠⽐亚作品台词； ⼼绞痛可以⽤何种药物治疗； 列举陀思妥耶夫斯基的代表作； 朝韩炮击事件是在哪⾥发⽣的； 去年联合国⽓候⼤会在哪⾥举⾏； 世界杯半决赛对阵的是哪四⽀球队； 《达·芬奇密码》是什么类型的⼩说； 《六书》中哪些是造字⽅法、哪些是⽤字⽅法； 辨别“⼲涸、征伐、蜡烛、多余”等繁体字正误； 说是⼀辆辆车⼦进站出站，考汽车进出站的顺序； 给出了⾜球世界杯中对阵的⼏组国家的名字，问哪组国家⽂化背景相似； 世博园中⼀位游客的⼿表显⽰6点，当时北京时间是7点，这位游客来⾃哪个时区2010年复旦⼤学⾃主招⽣试题 复旦⼤学⾃主招⽣笔试全是选择题，考查内容囊括语⽂、数学、外语、物理、化学、⽣物、政治、历史、地理和计算机⼗门学科。
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复旦大学2001年选拔生考试数学试题
一、填空（每小题5分，共45分）
1．sin x y ，则cos 2x 2y ． 2．平面1, 2成的二面角，平面1中的椭圆在平面2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．
3．（x 2+2x +2）（y 2-2y +2）＝1，则x +y ．
4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加__________．
5．
3a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0． 6．15(x
的常数项为_________________．
7．n ＝__________________． 8．空间两平面,，是否一定存在一个平面均与平面,垂直？____________________．
9．在△ABC 中，cos （2A C ）＝cos （2C B ），则此三角形的形状是__________________________．
二、解答题（共87分）
1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．
2．数列3，，…（n ）lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？
3．求证：x ∈R 时，|x
x 3．
4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2
x a x a -+=-有解？只有一解？
5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？
6．x3-2y3＝1的所有整数解（x,y），试证明：
1
3
3
4
|2|
||
x
y y
-<．。