高数上册第三章
高等数学第三章
10 ( x 1 ) 3x
1 3
.
令
y 0 ，得 x 1 .
当 x 0 时， y 不存在 .
0
( 0 , 1)
x y
y
( , 0)
1
0
(1 , )
↗
↘
↗
( , 0 ] 、 [1 , ) [ 0 , 1]
是函数的单调增加区间； 是函数的单调减少区间 .
f ( 2 ) f ( 1 ) f ( ) [ 2 ( 1 ) ]
2 3 ( 1 )3 3 2 3 , 2 1
1 ( 1 , 2),
1（舍去）
练习：
下列函数中在给定区间上满足拉格朗日定理条件的是（ C ） A . f ( x)
所以
y x3 x 1
在其定义域上单调增加.
y
注 有些可导函数虽在 其定义区间上可导，但却不 是单调的，而在其各个部分 区间上就具有单调性 .
y x2
. o
x
增减区间 的可能分 界点
函数 f (x) 单调增加与单调减少区间的分界点 具有什么性质？
y
f ( x 0 ) 0
y
f ( x ) 0
0
y
↘
↘；
↗
↗
↗.
↗
( , 1]
[ 1 , 0), ( 0 , )
例5：求 y ( 2 x 5 ) x 的单调区间 . 解：定义域 ( , ) .
3 2
例5
y
5 ( 2 x3
2 5 x3
高等数学上册第三章
例2
求
lim
x1
x3 3x 2 x3x2 x1
解
lim
x1
x3 3x 2 x3 x2 x1
lim
x1
(x3 3x 2) (x3x2 x1)
lxim13x32x22x31
lxim1(3(x32x22x3)1)
lim 6x x1 6x
在(1 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x)0的一
个实根
在(2 3)内至少存在一点2 使f (2)0 2也是f (x)0的一
个实根 f (x)是二次多项式 f (x)0只能有两个实根 分别在区间
(1 2)及(2 3)内
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二、曲线的凹凸性与拐点
一、函数单调性的判定法
函数yf(x)的图象有时上升 有时下降 如何判断函数的 图象在什么范围内是上升的 在什么范围内是下降的呢？ 观察与思考
函数的单调性与导数的符 号有什么关系？
动画演示
观察结果 函数单调增加时导数大于
f (x)0
nn!!
nneexx
00
下页
其它类型未定式的定值法 未定式0、、00、1、0都可以转化为 “零比零”
型或 “无穷比无穷” 型未定式
例 7 求 lim xnln x (n0)
x0
1
解
lim
x0
xn
ln
x
lim
x0
ln x xn
lim
x0
x nxn1
下页
三、柯西中值定理
柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a b]上连续 (2)在
高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案
《高等数学教程》第三章 习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹 （3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年 （3）一周期为18.31天 （4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。
高数上册第3章
中值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理 推广 泰勒中值定理
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及ห้องสมุดไป่ตู้线性态 应用
利用导数解决实际问题
第一节
第三章
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F(t)
y
f (t)
d y f (t) d x F (t)
y
f (b)
f (a)
oF (a) F ( )
F(b) x
例6. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设F ( x) x2 , 则f ( x), F ( x)在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
分析: F (b) F (a) F()(b a) 0 a b
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
M 和最小值 m . 若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
高等数学(上册)第三章教案
第三章：一元函数积分学及其应用教学目的与要求 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。
2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。
3．会求简单的有理函数的积分。
4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。
5．了解广义积分的概念。
6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。
7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法 所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）第一节：不定积分的概念与性质1、原函数概念引例 在下列括号中填入适当的函数： （1）(cos =x c x +sin )' （2） (2=x c x +331)' 上例中的问题是：已知)()(x f x F =' 求 )(x F定义1 若在区间I 上，对任意x 有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 是)(x f 在I 上的原函数。
例如：x x sin )(cos -='，则x cos 是x sin -的一个原函数；又x x e e =')(，则x e 是xe 的一个原函数。
原函数存在定理： 若)(x f 是连续函数，则)(x f 必有原函数。
由x x e e =')(有x x e e ='+)2(，x x e c e ='+)(，因此可知xe 的原函数不止一个，而是无穷多个。
说明：（1）若)(x f 有一个原函数)(x F ，则)(x f 就有无穷多个原函数c x F +)(（c 为任意常数），即c x F +)(是)(x f 的全部原函数；（2）)(x f 的任意两个原函数之差是一个常数。
设)()(x f x F ='，)()(x f x =Φ'，则有[]0)()()()()()(=-='-Φ'='-Φx f x f x F x x F x 由前面所学定理知 c x F x =-Φ)()(2、不定积分 定义 2 在区间I上，函数()f x 的全体原函数的集合，称为()f x 在I上的不定积分，记为()f x dx ⎰,其中“⎰”称为积分号，)(x f 称为被积函数 ，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义可知：求()f x 的不定积分就是求()f x 的所有原函数.若()F x 为()f x 的一个原函数，则()=()f x dx F x C +⎰.其中C 为任意常数，称之为积分常数.简言之，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C 即可. 例1 求下列不定积分.（1）2x dx ⎰ （2）sin xdx ⎰ （3）x e dx ⎰解 （1）因为321()3x x '=，所以313x 是2x 的一个原函数，于是 2313x dx x C =+⎰. （2）因为(cos )sin x x '-=，所以cos x -是sin x 的一个原函数，于是sin cos xdx x C =-+⎰.（3）因为()xx ee '=，所以xe是xe 的一个原函数，于是x x e dx e C =+⎰. 例2 已知某曲线上任意点),(y x 处切线斜率为2x ，并且曲线过点)1,0(，求曲线方程。
同济版 高等数学(上册) 第三章课件1
f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3
9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
大一上学期同济版高数第三章曲率
y
D( , )
CR
T
M (x, y)
(注意o y 与 y异号 ) x
当点 M (x , y) 沿曲线
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).
点击图中任意点动画开始或暂停
14
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
y
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 ,
或有的地方磨不到的问题.
对应切线转角为 ,
定义 弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
4
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
5
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
高数上册 第三单元第一节 中值定理
n f ( ) f ( ) 0
0
思考：若要证 f ( ) 2 f ( ) 0. ( x ) f ( x )e
2x
二、拉格朗日中值定理
y
y f ( x)
1、定理：设函数 y f ( x ) 满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 o a b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f ( a ) . 至少存在一点 ( a, b) , 使 f ( ) ba f (b) f (a ) 0 证: 问题转化为证 f ( ) a b f ( b ) f ( a ) ( ) ( x ) 作辅助函数 x f ( x) ba 显然 , ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a ) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路 ( a:, 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 b) , 使 ( ) 0 , 即定理结论成立 .
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f ( a ) , 则至少存在一点 ( a, b) , 使
f ( ) M , 则由费马引理得 f ( ) 0 .
注意: 1) 定理条件不全具备时, 结论不一定成立. 例如,
x , 0 x 1 f ( x) 0, x 1 f ( x) x x [ 1,1]
a
b x
例2. 证明方程 x 5 5 x 1 0 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x ) x 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
高等数学(上)第3章.第6节 曲线的渐近线与函数图形的描绘
x
x (x 1)
所以曲线还有斜渐近线 y x 5 .
（5）绘画函数图像,如右图所示.
例 3 描绘函数 y
1
x2
e2
的图形．
2
解 （1）所给函数 f (x)
1
x2
e2
的定义域为 (, )
.
2
由于 f (x) 是偶函数,它的图形关于 y 轴对称,因此可以只讨论 0, 上
(5) 计算特殊点 M1(0,
1
2
)
和
M
2
(1,
1
2e
)
,
M
3
(2,
1 ) .结合（3）和（4） 2 e2
的结论以及偶函数的对称性,便可得到函数的图形．
三、内容小结
1. 曲线的渐近线 （1）水平渐近线 （2）铅直渐近线 （3）斜渐近线
2. 函数图形的描绘（主要步骤）
思考与练习
1.求函数 f ( x) x2 的斜渐近线. 1 x
斜渐近线 y kx b 的求法：
由 lim[ f (x) (kx b)] 0 ,得 x
lim f (x) (kx b) 0
x
x
所以
k lim f (x) , b lim[ f (x) kx]
x x
x
例1
求曲线 y
x3 的渐近线. x2 2x 3
f (x)
0
—
—
—
f (x)
—
—
0
+
f (x)
极大
拐点
由上表可知,曲线弧在 0,1上是下降而且凸的,曲线弧在 1, 上是下降而且凹的.
结合 f (0) 0 以及图形关于 y 轴对称可知,极大值 f (0) 1 ,函数无极小值. 2
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河北科技大学《高等数学》（上册）第三章
一. 单项选择题
1. 函数()sin f x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内 【 D 】 A.有最大值 B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
2. 函数()y f x =在0x 处取得极大值，则必有 【
D 】 A.0()0f x '= B.0()0f x ''<
C.0()0f x '=且0()0f x ''<
D.0()0f x '=或0()f x '不存在
3.对函数38y x =+在区间[0,1]上应用拉格朗日中值定理时，所得中间值ξ为【 B
】 A.3
C.1
3 D.1
3-
4. 曲线233y x x =-的拐点为 【 C
】 A.(2,1) B.(2,1)- C.(1,2) D.(1,2)-
5. 已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则 【 B
】 A.3a =-，0b =，且1x =为函数()f x 的极小值点
B.0a =，3b =-，且1x =为函数()f x 的极小值点
C.3a =-，0b =，且1x =为函数()f x 的极大值点
D.0a =，3b =-，且1x =为函数()f x 的极大值点
6. 曲线324
x y x +=的图形应为 【 D
】 A.在(,0)-∞和(0,)+∞内凸 B.在(,0)-∞内凹，在(0,)+∞内凸
C.在(,0)-∞内凸，在(0,)+∞内凹
D.在(,0)-∞和(0,)+∞内凹
7. 函数32()23f x x x =-的极小值为 【 A 】
A.1-
B.1
C.0
D.不存在
8.
使函数()=f x 【 A 】
A.[0,1]
B. [1,2]
C. [1,1]-
D. [2,2]-
9. 设函数()f x 的导函数()(1)(21)f x x x '=-+，则在区间1(,1)2
内，()f x 单调【 B 】 A.增加，曲线()y f x =为凹的 B.减少，曲线()y f x =为凹的
C.减少，曲线()y f x =为凸的
D.增加，曲线()y f x =为凸的
二、填空题
1. 设()f x 在[,]a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()f b f a e e -= _.
2.2x y =的麦克劳林公式中n x 项的系数为 .
3.
曲线y =的拐点坐标为 .
三. 计算下列各题
1. 求43()21f x x x =-+的凹凸区间与拐点.
2. 求.函数23()(5)f x x x =-的极值.
3. 求函数3210496y x x x
=-+的单调区间和极值. 4.求极限10lim (,,3→⎛⎫++ ⎪⎝⎭
x x x x x a b c a b c 均大于零且不为1). 5.确定,,a b c 的值，使得32y x ax bx c =+++有拐点(1,1)-，且在0x =处有极值.
四. 证明题
1. 证明，当0x ≥时，(1)ln(1)arctan x x x ++≥.
2.证明：当0x >时，2
ln(1)2
x x x -<+. 3. 证明：当02x π<<时，31tan 3
x x x >+.
4.证明：当0>x 时，ln(1).1<+<+x x x x
5.设(),()f x g x 二阶可导且0()(),(0)(0),(0)(0).x f x g x f g f g ''''''>>==时 证明：0()().x f x g x >>时恒有
五.证明题
1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =.证明：
（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；
（2）存在不同的两点,(0,1)ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=.
2. 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且在不同的点处存在相等的最 大值，且()()f a g a =，()()f b g b =，证明：
（1）存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη=； （2）存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.
3. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))A f 与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<.证明：（1）在(0,1)内至少存在两点1ξ，2ξ，使得12()()f f ξξ''=；（2）在(0,1)内至少存在一点η，使得()0f η''=.
4.设函数()f x 处处可导，1x 和2x 是函数的两个零点，且12x x <。
证明：至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()0f f 'ξ+ξ=.。