2018年志英杯数学试题
2018年数学竞赛试题卷附答案
2018年九年级学生学能抽测理科能力测试试题卷(2018.4)考生须知．．．．： 1.理科能力测试卷分数学和科学两部分，满分为180分（数学部分有三大题10小题, 共80分，科学部分有三大题16小题，共100分)，考试时间150分钟。
2.将学校、姓名、准考证号、座位号分别填写在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上。
3.请用蓝黑墨水的钢笔或圆珠笔答题，答案分别做在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效。
数学部分（满分80分）一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1．已知点(13)P a -+，则点P 所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．如果不等式组02100x a x -⎧⎨-⎩≥＜只有一个整数解，那么a 的范围是A ．3a ＜≤4B ．3a ≤＜4C ．a 4≤＜5D ．a 4＜≤53．如图，已知AB AE ==1BC DE ==，∠B =∠E =90°，∠A =120°，五边形ABCDE 的面积是 A ．4 B． C ．8 D．二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）4．若m ，n 是一元二次方程2120x x +-=的两根，则22m m n ++= ▲ ．5．已知一列数1x ，2x ，3x ，4x ，又312234x x x x x x ==，且81=x ，4216x =，那么3x 的值是 ▲ .ABE6．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P（不包括端点A），作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA CQ=时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为▲ .7. 在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数2(0)ky kx=>，若该反比例函数的图象与直线y x k=-+有交点，设交点为P，则OP的长度至少为▲．三、解答题(本题有3小题，共38分）8．（满分12分）已知x，y，z为实数，且满足257x y z+-=-，2x y z-+=，试比较22x y-与2z 的大小关系．9．（满分12分）半径为2的圆的圆心在坐标原点，两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M（1，若记AC、BD的弦心距分别为1d、2d．（1）求2212d d+的值；（2）求四边形ABCD面积的最大值和最小值．10．（满分14分）已知抛物线1C：2221y x mx m m=-+++（1m>）的顶点为A，抛物线2C的对称轴是直线1x=-，顶点为点B，且抛物线1C和2C关于Q（1，12）成中心对称．（1）求抛物线1C的顶点坐标（用m的代数式表示）；（2）求m的值和抛物线2C的解析式；（3）过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，点C、D为垂足，如果P是x轴上的点，且连结PA、PB后它们与AC、BD及x轴所围成的两个三角形（△PAC和△PBD）相似，求所有符合上述条件的点P的坐标．AB CDEPQ2018年九年级学生学能抽测理科能力测试参考答案及评分标准（2018.4）数学部分一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1.D 2.A 3.B 二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）4.115.726.27.三、解答题（本题有3小题，共38分） 8．（满分12分） 解：由2572x y z x y z +-=-⎧⎨-+=⎩ 解得：123x z y z =-⎧⎨=-⎩． ……（6分）则222222(1)(23)x y z z z z --=----=24108z z -+-=2574()044z ---<． ∴222x y z -<． ……（6分） 9．（满分12分）解：（1）22221213d d +=+=．（2）方法一：2221442d d S ABCD -⋅-=四边形． 记x d =21，则x AC -=42，BD =其中30≤≤x ，则142+⋅-=x x S ∴当30或=x 时，S 有最小值4； ……（2分） 当23=x 时，S 有最大值5． ……（2分） 方法二：2221442d d S ABCD -⋅-=四边形 ……（2分）)4()4(22221d d -⋅-=22212221)(4162d d d d ++-=．∴32221=+d d ，∴222142d d S +=． ……（2分） ∵02221≥d d ，∴4≥S ，即S 有最小值为4． ……（2分） ∵2122212d d d d ≥+，()5)(84)4(442222122212221=+-=-+-≤-⋅-=d d d d d d S ABCD 四边形．即S 有最大值5． ……（2分）10．（满分14分）解：（1）由于抛物线1C ：22221()1y x mx m m x m m =-+++=-++．故抛物线1C 的顶点(,1)A m m +． ……（2分） （2）分别过A 、B 作直线1x =的垂线段，设垂足为F 、E ．∵A 、B 关于点Q 中心对称，∴AF BE =；即11(1)m -=--，∴3m =． ……（2分） ∴点(3,4)A ，点(1,3)B --．抛物线2C ：22(1)324y x x x =-+-=---． ……（3分） （3）设)0,(x P ．①当点P 在CD 上时，则1)1(+=--=x x PD ，3PC x =-． ∴4331=-+x x ，解得75=x ．或x x -=+3341，即0922=+-x x ，此方程无实根． ∴P 1)0,75(． ……（3分） ②当点P 在点C 右侧时，34)1(3=---x x ，解得13-=x （舍去）．或)1(433--=-x x 即：22150x x --=，∴31-=x （舍去）52=x ． ∴)0,5(2P ． ……（2分） ③当点P 在点D 左侧时，xx---=1334，解得13-=x ． 或3314x x -=--， 即：01522=--x x ，解得5=x （舍去）或3x =-．∴P 3)0,13(-或P 4)0,3(-． ……（2分）。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版
5．对随意的整数x,y，定义x@yxyxy，则使得(x@y)@z(y@z)@x(z@x)@y
0的整数组(x,y,z)的个数为（）
A.1．B.2．C.3．D.4．
【答】D.
(x@y)@z(xyxy)@z(xyxy)z(xyxy)zxyzxyyzzxxyz，
由已知条件可得abbcca
11
[(abc)2(a2b2c2)]
22
，a3b3c33abc，所以
a5b5c5(a2b2c2)(a3b3c3)[a2(b3c3)b2(a3c3)c2(a3b3)]
3abc[a2b2(ab)a2c2(ac)b2c2(bc)]3abc(a2b2ca2c2bb2c2a)
3abcabc(abbcca)3abc
数组(a,b,c)的个数为（）
A.4．B.5．C.6．D.7．
【答】B.
由已知得，a2017bc2018，b2017ac2018，c2017ab2018，两两作差，可
得(ab)(12017c)0，(bc)(12017a)0，(ca)(12017b)0.
2018年初中数学联赛试题参照答案及评分标准第5页（共10页）
A.0．B.1．C.2．D.3．
【答】B.
令y9x，则y0，且xy29，原方程变成3y3y29，解得y1或y6，从
而可得x8或x27.
查验可知：x8是增根，舍去；x27是原方程的实数根.
所以，原方程只有1个实数根.
5．设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其他两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元
所以，知足条件的素数对(p,q)的个数为2.
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(B卷)高考资料
.....................20分
4
吾将上下而求索
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1. 设集合A={2,0,1,8}, B={2aI aEA}, 则AUB的所有元素之和是
．
答案： 31. 解：易知B={4,0,2,16}, 故AUB={O,1,2,4,8,16}.AUB的所有元素之和
是0+1+ 2+ 4+8+16=31.
2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取一点Q , 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 °, 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积
为
答案： 31r.
解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知，
OP =tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ
3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概
率为 答案： — 1 · 10
量．已知数列{all } 满足：对任意正整数n, 点(an+I'an )均在l上．若a2=6, 则 研叩4 as的值为
答案： — 32.
解：易知直线l的方程是3x +y=O. 因此对任意正整数n, 有3an+I +an=0,
即
an
+I
=——1 3
化，故
{a,J是以
——13为公比的等比数列．千是a3
=——1 3
所以 0三/(x)三I{:} /(21r— 6)三/(x)三/(4 — 1r)'
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
an1 an 2, n 1, 2, 3, an
，2 求满足 an 42018 的
设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
3
r
而 abc = r.
点（句， f(Co ）） 作平行于·x 抽的直线l，则l与 f(x） 的图像另有两个交点仰 ， ！（α ））， (b, /(b)) c其中αε （0，匀， bε （3, 9) ），满足 ！（α ） = f(b)= f(c） ，并且 ab=9 ，从
四本题满分50分给定整数2018年全国高中数学联合竞赛一试b卷参考答案及评分标准说明评阅试卷时请依据评分标填空题只设分和分两档其他各题评请严格按照本准次结不得增加他中间次如果考生解答方法本解答同只要思路合理步骤正确评卷时参考本评分标准适当划分档次评分解答题中第9小题分个档次小题分aub的所0124863解
’叫
一1.
显然｛a.｝单调递增．由于 a11 = 23012 1 < 24036 = 420 ,s, a = 26144 12 故满足题目条件的n的最小值是12.
..................... 8分 1 > 2喃36 = 420 1&' …………......... 16分
10. （本题满分20分）己知定义在R ＋ 上的函数 f(x） 为 [ pog 3 x-11，。＜λ三9, ) = ( /x { 卢 x>9. 14-..Jx,
f (9)=l ，故结合图像可知
cε （9, +oo),
..................... 5分
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
11)13=A知，A⊆B。
⎨，解得0<a≤1。
1+a≤4141πB．πC．πD．π【解答】设圆锥底面半径为R，母线长为l，则⨯2πl=2πR，l=2R。
福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合A={x值范围为（）x-1<a}，B={y y=2x，x≤2}，若A⋂B=A，则实数a的取A．(-∞，]B．(-∞，【答案】A【解答】a≤0时，A=φ，符合要求。
C．(0，]D．(-∞，]a>0时，A=(1-a，+a)，B=(0，]。
由A⋂B⎧1-a≥0⎩∴a的取值范围为(-∞，]。
2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（）A．43323416272733= π l 2 = 2π 。
因此， l = 2 ， R = 1 。
圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形。
所以，其内切球半径 r = ⨯，其体积 V = π ⨯ ( )3 =π 。
2⎦ ⎣2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦2⎦2又 S圆锥测1 21 3 3 ⨯2 = 32 34 3 4 3 3 3 273．函数 y = x + 4 - x 2 的值域为（）A ． ⎡⎣-2 2 ， 2 ⎤B ． ⎡-2 ， 2 ⎤C ． ⎡-1， 2 ⎤D ． ⎡- 2 ， 2 ⎤【答案】 B【解答】由 y - x = 4 - x 2 ，知 y 2 - 2 x y + x 2 = 4 - x 2 ， 2 x 2 - 2 y x + y 2 - 4 = 0 。
∴= 4 y 2 - 8( y 2 - 4) ≥ 0 ， -2 2 ≤ y ≤ 2 2 。
又 y ≥ x ≥ -2 ，因此， -2 ≤ y ≤ 2 2 。
值域为 ⎡⎣-2 ， 2 ⎤ 。
1设 AB = BC = a ，则 CO = ⨯ a = a ， cos ∠ACO = 5．已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x ∈ R ，均有 f ( x + 3) = f ( x ) ，当 x ∈ (0 ，)∴f ( x ) 在区间 (0 ， ) 内有唯一零点 1。
2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B卷)(附答案详解)
2018年全国高中数学联合竞赛试卷（一试）（B 卷）一、单空题（本大题共8小题，共64.0分）1. 设集合A ={2,0,1,8}，B ={2a|a ∈A}，则A ∪B 的所有元素之和是______．2. 已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1，在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为______． 3. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc +def 是奇数的概率为______．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，n⃗ =(3,1)是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点(a n+1,a n )均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．5. 设α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，则tan(α−β)的值为______． 6. 设抛物线C ：y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ，过点B(−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M ，N ，则△KMN 的面积为______． 7. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=0，则不等式组{0≤x ≤10≤f(x)≤1 的解集为______．8. 已知复数z 1，z 2，z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1，|z 1+z 2+z 3|=r ，其中r 是给定实数，则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是______(用含有r 的式子表示)． 二、解答题（本大题共3小题，共56.0分） 9. 已知数列{a n }，a 1=7，a n+1a n=a n +2，n =1，2，3，⋯.求满足a n >42018的最小正整数n ．10. 已知定义在R +上的函数f(x)={|log 3x −1|,0<x ≤94−√x,x >9，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，且满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc 的取值范围．11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形．答案和解析1.【答案】31【解析】解：因为集合A={2,0,1,8}，B={2a|a∈A}={0,2,4,16}，所以A∪B={0,1,2,4,8,16}，所以A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．故答案为：31．先求出集合B，然后由集合并集的定义求出A∪B，即可得到答案．本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的定义，属于基础题．2.【答案】3π【解析】解：圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，所以∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，因为直线PQ与底面所成角不大于45°，则tan∠OQP=OPOQ≤1，即OQ≥1，所以所求的区域面积为π⋅22−π⋅12=3π．故答案为：3π．圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心，设为O，由线面角的定义可知，∠OQP即为直线PQ与底面所成的角，由题意求出OQ≥1，由圆的面积公式求解即可．本题考查了动点轨迹的求解，直线与平面所成角的理解与应用，圆的面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．3.【答案】110【解析】解：将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知满足条件的情况有：36×2=72种，∴abc+def是奇数的概率为P=726!=110．故答案为：110．基本事件总数n=6!，当abc+def为奇数时，abc，def必为一奇一偶，求出满足条件的情况有72种，由此能求出abc+def是奇数的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】−32【解析】【分析】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【解答】解：直线经过坐标原点，n⃗=(3,1)是l的一个法向量，可得直线l的斜率为−3，即有直线l的方程为y=−3x，点(a n+1,a n)均在l上，可得a n=−3a n+1，即有a n+1=−13a n，则数列{a n}为公比q为−13的等比数列，可得a3=a2q=6×(−13)=−2．所以a1a2a3a4a5=(−2)5=−32．故答案为：−32．5.【答案】−74【解析】解：因为α，β满足tan(α+π3)=−3，tan(β−π6)=5，所以由两角差的正切公式可知tan[(α+π3)−(β−π6)]=tan(α+π3)−tan(β−π6)1+tan(α+π3)tan(β−π6)=−3−51+(−3)×5=47，所以tan(α−β+π2)=47，即cot(α−β)=−47，所以tan(α−β)=−74故答案为：−74．由已知利用两角差的正切公式，诱导公式即可计算得解．本题主要考查了两角差的正切公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】12【解析】解：设直线l与MN的斜率为k，则l：x=1k y−1，MN：x=1ky−12，将l于C联立，得方程y2−2ky+2=0，由△=4k2−8=0可得k=±√22，将MN于C联立，得方程y2−2ky+1=0，于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2，结合l与MN平行，可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12故答案为：12．设出直线l与，MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、面积公式即可求解．本题考查了直线与抛物线位置关系，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】[2π−6,4−π]【解析】解：由f(x)为偶函数且在区间[1,2]上严格递减，可得f(x)在[−2,−1]上严格递增，又因为f(x)是以2为周期的函数，所以f(x)在[0,1]上严格递增， f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1，f(2π−6)=f(2π)=0， 所以0≤f(x)≤1⇔f(2π−6)≤f(x)≤f(4−π)，而0<2π−6<4−π<1，所以原不等式组∈[2π−6,4−π]． 故答案为：[2π−6,4−π]．根据函数的奇偶性、单调性和周期性可得f(x)在[0,1]上严格递增，由f(π)=1，f(2π)=0得出f(4−π)=1，f(2π−6)=0，从而由0≤f(x)≤1得出f(4−π)≤f(x)≤f(2π−6)，从而可得原不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性、奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】r 2−32【解析】解：记w =z 1z 2+z 2z 3+z3z 1，由复数模的性质可知，z 1−=1z 1，z 2−=1z 2，z 3−=1z 3，故w =z 1z 2− +z 2z 3−+z 3z 1−，r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1−+z 2−+z 3−)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w −=3+2Rew ， 解得Rew =r 2−32，故z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是r 2−32．故答案为：r 2−32．根据已知条件，结合复数模公式，以及复数实部的概念，即可求解． 本题主要考查复数模公式，以及复数实部的概念，属于难题．9.【答案】解：由a n+1a n=a n +2知a n+1+1=(a n +1)2， 故a n +1=(a 1+1)2n−1=82n−1=23×2n−1，故a n =23×2n−1−1，显然{a n }单调递增，由于a 11=23072−1<24036=42018， a 12=26144−1>24036=42018，故满足a n >42018的最小正整数n 为12．【解析】略 略10.【答案】解：不妨设a <b <c ，由于f(x)在(0,3]上严格单调递减，在[3,9]上严格单调递增，在[9,+∞)上严格打电脑递减，又f(3)=0，f(9)=1，结合图象可知a ∈(0,3)，b ∈(3,9)，c ∈(9,+∞)，所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1)， 由f(a)=f(b)得，1−log 3a =log 3b −1， 取log 3a +log 3b =2， 所以ab =32=9， 所以abc =9c ，又0<f(x)=4−√c <1， 所以c ∈(9,16)，所以abc =9c ∈(81,144)， 所以abc 的取值范围为(81,144)．【解析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a <b <c ，由图象得ab 是个定值，利用数形结合思想去解决即可．本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．11.【答案】证明：设点P 坐标为(x 0,y 0)，由于OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OR ⃗⃗⃗⃗⃗ //OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 此时点Q ，R 的坐标可分别表示为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)， 由于Q ，R 都在椭圆上，于是λ2[(x 0+a)2a 2+y 02b 2]=μ2[(x 0−a)2a 2+y 02b 2]=1，结合x 02a 2+y 02b2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a)=μ2(2−2x 0a)=1，解得λ2=a2(a+x 0),μ2=a2(a−x 0)，因此|OQ|2+|OR|2=λ2[(x 0+a)2+y 02]+μ2[(x 0−a)2+y 02]， =a 2(a+x 0)[(x 0+a)2+y 02]+a2(a−x 0)[(x 0−a)2+y 02]=a(a+x 0)2+ay 022(a+x 0)+a(a−x 0)2+ay 022(a−x 0)=a 2+ay 022(1a+x 0+1a−x 0)=a 2+ay 022⋅2aa 2−x 02=a 2+a 2b 2(1−x 02a 2)a 2−x 02=a 2+b 2=|BC|2，∴线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形．【解析】设点P 坐标为(x 0,y 0)，依题意，存在实数λ，μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点Q ，R 的坐标分别为(λ(x 0+a),λy 0)，(μ(x 0−a),μy 0)，然后再验证|OQ|2+|OR|2=|BC|2即可得证．本题考查椭圆性质以及平面向量在解析几何中的运用，对运算能力要求较高，属于较难题目．。
2018-2019学年七年级学科竞赛数学试题(含答案) (4)
2018-2019学年七年级学科竞赛数学试题(含答案)一．选择题（共6小题）1．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A．11点10分B．11点9分C．11点8分D．11点7分2．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=（）A．30 B．40 C．45 D．503．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（）A．15号B．16号C．17号D．18号5．若k为整数，则使得方程（k﹣1999）x=2001﹣2000x的解也是整数的k的值有（）A．4个 B．8个 C．12个D．16个6．四点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．A．30 B．33 C．38 D．40二．填空题（共5小题）7．关于x的方程：≠0，则x=．8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款元．9．一轮船从甲地到乙地顺流匀速行驶需4小时，从乙地到甲地逆流匀速行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需小时．10．如图是在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形的边长为1，则正方形A的面积是．11．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为．三．解答题（共5小题）12．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？13．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．14．一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离．15．小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值，并正确求出方程的解．2018年08月19日136****0321的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．某块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则当天上午该手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是（）A．11点10分B．11点9分C．11点8分D．11点7分【分析】根据题意假设该手表从4时30分走到10时50分所用的实际时间为x 小时，该手表的速度为57分/小时，再进行计算．【解答】解：慢表走：57分钟，则正常表走：60分钟，即如果慢表走：6小时20分（即380分），求正常表走了x分钟，则57：60=380：x，解得x=400，400分钟=6小时40分，所以准时时间为11时10分．故选：A．【点评】本题要注意手表的实际时间和准确时间的关系，然后找出其中关联的等量关系，得出方程求解．2．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a=（）A．30 B．40 C．45 D．50【分析】根据题中所给的关系，找到等量关系，由于共交电费56元，可列出方程求出a．【解答】解：∵0.50×100=50＜56，∴100＞a，由题意，得0.5a+（100﹣a）×0.5×120%=56，解得a=40．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．此题的关键是要知道每月用电量超过a度时，电费的计算方法为0.5×（1+20%）．3．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的那个最小的正数求出．【解答】解：∵最后输出的数为656，∴5x+1=656，得：x=131＞0，∴5x+1=131，得：x=26＞0，∴5x+1=26，得：x=5＞0，∴5x+1=5，得：x=0.8＞0；∴5x+1=0.8，得：x=﹣0.04＜0，不符合题意，故x的值可取131，26，5，0.8共4个．故选：C．【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．4．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（）A．15号B．16号C．17号D．18号【分析】因为12月份有31天，故他们最多相差28天．又小明和小莉的出生日期都是星期五，故他们的出生日期相差7的整数倍．故他们的出生日期可能相差7、14、21、28天．【解答】解：设小明的出生日期为x号．（1）若他们相差7天，则小莉的出生日期为x+7，应有x+7+x=22，解得x=7.5，不符合题意，舍去．（2）若他们相差14天，则小莉的出生日期为x+14，应有x+14+x=22，解得x=4，符合题意；所以小莉的出生日期是14+4=18号；（3）若相差21天、28天显然不合题意．故选：D．【点评】本题用到的知识点为：都在周五出生，他们的出生日期可能相差7、14、21、28．应分情况讨论．5．若k为整数，则使得方程（k﹣1999）x=2001﹣2000x的解也是整数的k的值有（）A．4个 B．8个 C．12个D．16个【分析】先把原方程变形为（k﹣1999）x+2000x=2001，得出x=，然后求出2001的因数有16个．【解答】解：原方程变形得：（k﹣1999）x+2000x=2001，∴x=，∵k为整数，∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，﹣1，﹣3，﹣23，﹣29，﹣69，﹣87，﹣667，﹣2001．∴共有16个．故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是排除法．6．四点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）．A．30 B．33 C．38 D．40【分析】此题可以用淘汰的方法，把度数设为未知数X，从4点到五点这段时间时针走的为30×（），分针走的为360×（）．【解答】解：设走了X分钟则得到方程：360×（）﹣120﹣30×（）=90解得：X=38答：共经过38分钟．故选：C．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．二．填空题（共5小题）7．关于x的方程：≠0，则x=a+b+c．【分析】观察等式发现x所处的位置相同，因而要将x 从分式中分解出来，并且、、因而将3分解为这三个形式，因而原等式转化为．再提取公因式，化简为．最后判断出x与a、b、c的关系．【解答】解：∵⇒∵是一元一次方程的系数∴必然是∴只能是x=a+b+c故答案为a+b+c【点评】本题考查因式分解的应用、解一元二次方程．本题同学们需注意“1”的妙用，有时为了解题的需要将1写成分式的形式，如本题中的、、．8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款204元．【分析】先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解即可．【解答】解：第一次购书付款72元，享受了九折优惠，实际定价为72÷0.9=80元，省去了8元钱．依题意，第二次节省了26元．设第二次所购书的定价为x元．（x﹣200）×0.8+200×0.9=x﹣26，解得x=230．故第二次购书实际付款为230﹣26=204元．【点评】解答本题需注意第二次所购的书有九折的部分，有八折的部分，需清楚找到这两部分实际出的钱．9．一轮船从甲地到乙地顺流匀速行驶需4小时，从乙地到甲地逆流匀速行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需24小时．【分析】根据顺流时：行驶速度+水流速度=总路程÷总时间，逆流时：行驶速度﹣水流速度=总路程÷总时间，可得到两个关于行驶速度和水流速度的方程组，解得水流速度，即可得漂流所需时间．【解答】解：设总路程为1，轮船行驶速度为x，水流速度为y，根据题意得：，解得y=，木阀漂流所需时间=1÷=24（小时）．故答案填：24．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．10．如图是在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形的边长为1，则正方形A的面积是49．【分析】设右下方两个相等的正方形的边长为x，则根据题意知，正方形A的边长为x+3，此色块图为一个长方形，可根据长=长列方程．【解答】解：设右下方两个相等的正方形的边长为x，则根据题意知，正方形A 的边长为x+3，此色块图为一个长方形，则（x+2）+（x+3）=（x+1）+x+x，2x+5=3x+1，x=4，正方形A的边长为x+3=4+3=7，故正方形A的面积为7×7=49．【点评】本题考查理解题意和识别图形的能力，关键是设出左上角正方形的边长，然后表示出其他正方形的边长，根据正方形的性质，列出方程，最后求出面积．11．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为．【分析】根据不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，即可求得分式的定值，进而把x=1代入求得a，b的关系，从而求解．【解答】解：设=k，则ax+3=k（bx+5），∵x不论取何值该等式都成立，∴a=bk，5k=3，∴=．故答案是：【点评】本题主要考查了分式的求值，根据条件求得a，b之间的关系是解决本题的关键．三．解答题（共5小题）12．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？【分析】首先用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，进而表示出y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，利用函数最值求出即可．【解答】解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B 调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，依题意有：7+x1﹣x2=11+x2﹣x3=3+x3﹣x4=14+x4﹣x5=15+x5﹣x1=50÷5=10，所以，x2=x1﹣3，x3=x1﹣2，x4=x1﹣9，x5=x1﹣5，设调动的电脑的总台数为y，则y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，并由上面所得结论知：当x1==3时，y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|=12，即调动的总台数为12．因为x1=3时，x2=0，x3=1，x4=﹣6，x5=﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．【点评】此题主要考查了函数的最值问题，根据已知得出y=|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，进而利用绝对值性质求出是解题关键．13．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【分析】（1）从出故障地到把人都送到考场需要时间是×3；（2）汽车送第一批人的同时，第二批人先步行，可节省一些时间．【解答】解：（1）（分钟），∵45＞42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）．0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25=13.75（km），设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t=13.75，解得．汽车由相遇点再去考场所需时间也是．所以用这一方案送这8人到考场共需．所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，由A处步行前考场需，汽车从出发点到A处需先步行的4人走了，设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有，解得，所以相遇点与考场的距离为：．由相遇点坐车到考场需：．所以先步行的4人到考场的总时间为：，先坐车的4人到考场的总时间为：，他们同时到达则有：，解得x=13．将x=13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：（分钟）．∵37＜42，∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】此题在设计方案的基础上，这样设计方案会更节省时间，汽车送第一批人的同时，第二批人先以5千米/时速度步行，汽车把第一批人送到距考场S千米的A处后，回来接第二批人．同时，第一批人也以5千米/时的速度继续赶往考场，使两批人同时到达考场，在汽车来回接人的过程中，多了第一批人在步行，显然所用时间比设计方案少，故此方案这8人都能赶到考场，且最省时间．14．一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离．【分析】设甲、乙两地的距离为x，汽车以每小时60千米的速度行驶了4小时30分钟，共行驶了60×4.5=270千米；车行驶了4小时30分钟后速度变为每小时40千米，则实际行驶的时间=（x﹣270）÷40+4.5小时；若按每小时60千米的速度由甲地驶往乙地需要的时间=甲、乙两地的距离÷60；由题意得：实际行驶的时间﹣按每小时60千米的速度由甲地驶往乙地需要的时间=小时．【解答】解：设甲、乙两地的距离为x千米，4小时30分钟=小时，45分钟=小时，依题可列方程：，解得：x=360．答：甲、乙两地的距离为360千米．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．15．小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值，并正确求出方程的解．【分析】把x=4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4），2（2x﹣1）+1=5（x+a），把x=4代入得：a=﹣1，将a=﹣1代入原方程得：+1=，去分母得：4x﹣2+10=5x﹣5，移项合并得：﹣x=﹣13，解得：x=13．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．。
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1327x A x =≤≤，{}22log ()1B x x x =-<，则A B = （）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞- ，，【答案】A【解答】由1327x ≤≤，得03x ≤≤。
因此，[]03A =，。
由22log ()1x x -<，得2202x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，解得，10x -<<或12x <<。
因此，(10)(12)B =- ，，。
所以，A B = (12)，。
2．若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：133110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解答】由点A 在直线1l ：70x y --=上，设(7)A t t -，。
由AB 中点为(12)P ，，知(211)B t t --，。
∵点B 在直线2l ：133110x y +-=上，∴13(2)3(11)110t t -+--=。
解得，3t =。
∴(34)A -，，2(4)313l PA k k --===--。
3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心。
l 为1A MN 平面与1D BE 平面的交线，则直线l 与正方体ABCD 底面所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MN ABCD ⊥面，BE ABCD ⊥面。
∴1A MN ABCD ⊥面面，1D BE ABCD ⊥面面。
∴l ABCD ⊥面，l 与ABCD 面所成角的大小为90︒。
高三数学-2018年全国高中数学联赛(加试word文档)(一) 精品
2018年全国高中数学联赛加试试题
2018．10．12
一、（本题满分50分）
过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠
二、（本题满分50分）
设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭
其中
{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.
三、（本题满分50分）
由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中
21,n q q =++()2111,2,.2
l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）。
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2018年九年级数学竞赛（复赛）试题
温馨提示：（1）本试卷共4页，24小题，全卷满分120分。
考试时间120分钟。
（2）各题的答案都做在答题卡上。
一、选择题（每小题4分，共20分）
1、已知a 、b 、c 为ABC 的三边，且关于x 的一元二次方程()()()0b -a x a -b 2x b -c 2=++有两个相等的实根，则这个三角形是（
）A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、不等边三角形
2、已知321,,x x x 的平均数为5，321,,y y y 的平均数为7，则1132y x +，2232y x +，3332y x +的平均数为（）
A、31
B、331
C、593
D、17
3、如图所示，二次函数c bx ax y ++=2（a≠0）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为21,x x 其中121--<<x ，102<<x ，下列结论正确：①0>abc ；②024<c b a +-；③02<b a -；④ac a b 482>+。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个4、如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC 的值为（
）A、43B、34C、53D、54
5、如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S△PAB=3
1S 矩形ABCD，则点P 到A、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（
）A、29B、34C、2D、41
二、填空题（每小题4分，共40分）
6、已知二次函数12++=bx ax
y 的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)，当a-b 为整数时，ab=。
7、已知0222=--x x ，则代数式()()()()()13331-x 2--+-++x x x x =。
8、已知有如下一组x 和y 的单项式：
0,3z ，y xz ，z 9y ，xyz 51- ,zy zy,9x ，z 3xy - ，yz x 21 ，y 8x ，73232422323 z x 我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x 的次幂，规定x 幂次高的单项式排在x 幂次低的单项式的前面；再先看y 的次幂，规定y
第3题图
第4题图
第5题图
幂次高的单项式排在y 幂次低的单项式的前面；再先看z 的次幂，规定z 幂次高的单项式排在z 幂次低的单项式的前面。
将这组单项式按上述法则排序，那么，z 9y 3应排在第位。
9、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB ⊥BD ；③OB=OC ，且OB ⊥OC ；④AB=AD ，且AC=BD.其中正确的序号是。
10、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为。
11、已知：0<a<1,则a a a a +⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷-+11112122=。
12、已知|x+1|≤6时，函数y=x|x|﹣2x+1的最大值是。
13、设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一个根是
32-4，则ab b a 2
2+=。
14、如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD =1500m，小敏行走的路线为B →A →G →E ，小聪行走的路线为B →A →D →E →F ．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为。
15、在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm，将
该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，
折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），
再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为
cm。
三、解答题（共60分）
16、(6分)若数a 使关于x 的分式方程4112=-+-x a x 的解为正数，且使关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≤--+0
21232a y y y >的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和是多少。
第14题
第15题
17、(6分)已知直角△ABC的最大边AB上的高CD和中线CE恰好把∠ACB 三等分，若AB=20，求AD的值。
18、(6分)如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD=1，求a的值。
19、(6分)已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程(x﹣a1)(x﹣a2)(x﹣a3)(x﹣a4)(x﹣a5)=2009的整数根，求b的值。
20、（6分）如图，△ABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1，AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。
21、(6分)点A（4，0），B（0，3）与点C构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C在反比例函数的图象上，求k可能取的一切值。
22、（8分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记F(n)，例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123)=6。
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值。
23、（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过
上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3，
求EM的值．
24、(8分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。