高考数学大一轮总复习 第4篇 第2节 平面向量基本定理及其坐标表示课件 理 新人教A版
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高考数学一轮复习第4章第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件理
考点三 平面向量共线的坐标表示(高频考点) 平面向量共线的坐 标表示是高考的常考内容，多以选择题或 填空题的形式出现，难度较小，属容易题． 高 考对 平面 向量 共线 的坐 标表 示的 考查 主要有 以下 三个命 题角度： (1)利用 两向量共线求参数； (2)利用 两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点 共线问题．
的条件是( C )
A． k＝－ 2 C． k＝ 1
B． k＝1 2
D． k＝－ 1
(3)(2016·邯郸一模)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma
＋nb)∥(a－2b)，则mn 等于( C )
A．2
B．－2
C．－1
1 D.
2
2
解析：(1)由题意得 x2－1×4＝0，解得 x＝±2.当 x＝2 时，a ＝(2，1)，b＝(4，2)，此时 a，b 方向相同，不符合题意， 舍去；当 x＝－2 时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时 a，b 方向相反，符合题意． (2)若点 A、B、C 不能构成三角形，则向量A→B，A→C共线， 因为A→B＝O→B－O→A＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，A→C＝O→C －O→A＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以 1×(k＋ 1)－2k＝0，解得 k＝1.
(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝__(_x_2－___x_1，__y_2_－__y_1)__，
|A→B|＝___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1）__2____________．
解析：(1)B→C＝3P→C＝3(2P→Q－P→A)＝6P→Q－3P→A＝(6，30)－ (12，9)＝(－6，21)． (2)因为|O→C|＝2，所以|O→C|2＝1＋c2＝4， 因为 c＞0，所以 c＝ 3. 因为O→C＝λO→A＋μO→B， 所以(－1， 3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，
高三数学(文)一轮复习课件4-2 平面向量基本定理及坐标表示ppt版本
由于MG与GN共线，根据共线向量定理知 M→G＝λG→N⇒13－xA→B＋13A→C ＝λy－13A→C－13A→B，
→→ ∵AB，AC不共线，
13－x＝－31λ ∴13＝λy－13
⇒13－－13x＝y－13 13⇒x＋y－3xy＝0，
两边同除以 xy 得1x＋1y＝3。
解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)。 ∵向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2。
→→
→
解析：(2)方法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP
的坐标为( C )
A．(2,0)
B．(－3,6)
C．(6,2)
D．(－2,0)
(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示。若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则μλ＝___4_______。
→
→
解析：(1)MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设 N(x，y)，则MN＝(x－5，y
解析：∵M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－14a－b＋12a ＝14a－b， ∴m＝14，n＝－1。∴mn ＝－4。 答案：－4
微考点 大课堂
考点例析 对点微练
微考点
平面向量基本定理及其应用
【典例 1】已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交 于 M、N 两点，且A→M＝xA→B，A→N＝yA→C，则1x＋1y的值为__________。
＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：设 C(x，y)，∵A(0,1)，A→C＝(－4，－3)，∴xy＝ －－ 1＝4－，3， 解得
→→ ∵AB，AC不共线，
13－x＝－31λ ∴13＝λy－13
⇒13－－13x＝y－13 13⇒x＋y－3xy＝0，
两边同除以 xy 得1x＋1y＝3。
解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)。 ∵向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2。
→→
→
解析：(2)方法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP
的坐标为( C )
A．(2,0)
B．(－3,6)
C．(6,2)
D．(－2,0)
(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示。若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则μλ＝___4_______。
→
→
解析：(1)MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设 N(x，y)，则MN＝(x－5，y
解析：∵M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－14a－b＋12a ＝14a－b， ∴m＝14，n＝－1。∴mn ＝－4。 答案：－4
微考点 大课堂
考点例析 对点微练
微考点
平面向量基本定理及其应用
【典例 1】已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交 于 M、N 两点，且A→M＝xA→B，A→N＝yA→C，则1x＋1y的值为__________。
＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：设 C(x，y)，∵A(0,1)，A→C＝(－4，－3)，∴xy＝ －－ 1＝4－，3， 解得
高三理科数学一轮复习 第四章 平面向量 第二节 平面向量的基本定理与坐标表示课件
18
构建坐标系解决平面向量问题 向量融“数”、“形”于一体,具有几何、代数的“双重身份”,我们在研究向量问题时,巧妙 构造平面直角坐标系,可以将复杂问题简单化,抽象问题直观化.
19
典例 (2013·重庆高考)在平面上,������������1 ⊥ ������������2,|������������1|=|������������2|=1,������������ = ������������1 + ������������2.若|������������|<12,则|������������|的取值范围是 ( )
2
1 ������������, 又������为������������的中点, 所以������������ = 1 ������������, 因此������������ = 1 ������������ + 1 ������������, 又
2
2
4
4
������������ = ������������������ + ������������������, 故������ = 1 , ������ = 1 ⇒ ������ + ������ = 1.
1 ������������ = ������������ + ������������ + 1 (������������ − ������������) = 2 ������������ + 4 ������������,
3
3
3
3
即得������������ = 1 ������������ + 2 ������������, 所以������ = 2.
2.平面向量的坐标表示
构建坐标系解决平面向量问题 向量融“数”、“形”于一体,具有几何、代数的“双重身份”,我们在研究向量问题时,巧妙 构造平面直角坐标系,可以将复杂问题简单化,抽象问题直观化.
19
典例 (2013·重庆高考)在平面上,������������1 ⊥ ������������2,|������������1|=|������������2|=1,������������ = ������������1 + ������������2.若|������������|<12,则|������������|的取值范围是 ( )
2
1 ������������, 又������为������������的中点, 所以������������ = 1 ������������, 因此������������ = 1 ������������ + 1 ������������, 又
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������������ = ������������������ + ������������������, 故������ = 1 , ������ = 1 ⇒ ������ + ������ = 1.
1 ������������ = ������������ + ������������ + 1 (������������ − ������������) = 2 ������������ + 4 ������������,
3
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即得������������ = 1 ������������ + 2 ������������, 所以������ = 2.
2.平面向量的坐标表示
高考数学总复习 第4章 第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
17
核心要点研究
18
例1 [2013·南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分
别是边CD和BC的中点．若
→ AC
＝λ
→ AE
＋μ
→ AF
，其中λ，μ∈
R，则λ＋μ＝________.
19
[解析] A→C＝A→B＋A→D， A→E＝12A→B＋A→D， A→F＝A→B＋12A→D，
于是得λ12＋λ＋12μμ＝ ＝11， ，
2项不必须变防．范
1.
若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或
180°，忽视其中一种情形会出错．
2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示
为xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
4
3条必会结论
1. 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2.
已知
→ OA
＝λ
→ OB
＋μ
→ OC
(λ，μ为常数)，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA，B，C三点共
线的充要条件是λ＋μ＝1.
3. 平面的基底中一定不含零向量.
5
课前自主导学
6
• 1. 平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使________．其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
________．
3. 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝____________；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝____________；
高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能 表示成xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1 ＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1 －x2y2＝0等．
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11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
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11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
高三数学一轮复习 第4篇 第2节 平面向量基本定理及其坐标表示课件 理
第2节 平面向量基本定理及其坐标表示
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1
最新考纲 1.了解平面向量的基本定 理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分 解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加 法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共 线的条件.
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2
编写意图 本节在高考中多以选择、填空题的形式出现,有时将向量作 为工具与其他知识交汇在解答题中出现,本节重点突出向量坐标形式的 线性运算、平面向量共线的坐标表示以及待定系数法等,难点突破向量 作为工具与其他知识交汇的综合题(特别是与解析几何、三角函数、解 三角形交汇),主要体现在思想方法栏目和课时训练选题上;课时训练以 考查基础知识和基本方法为主,兼顾知识的综合.
(填上正确的命题序号).
①a=(1,2),b=(- 1 ,-1),则 a,b 能作为平面向量的一组基底. 2
②a,b 不共线,若λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ③向量 OA =(2,4),若将 OA 向上平移 1 个单位,则 OA =(2,5). ④若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1 = y1 .
解析:由于向量 a=(1,2),b=(3,1),根据向量的坐标运算的运算法
则,b-a=(3-1,1-2)=(2,-1).故选 C.
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8
2.(2014 高考福建卷)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的 是( B ) (A)e1=(0,0),e2=(1,2) (B)e1=(-1,2),e2=(5,-2) (C)e1=(3,5),e2=(6,10) (D)e1=(2,-3),e2=(-2,3)
(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1).
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1
最新考纲 1.了解平面向量的基本定 理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分 解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加 法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共 线的条件.
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2
编写意图 本节在高考中多以选择、填空题的形式出现,有时将向量作 为工具与其他知识交汇在解答题中出现,本节重点突出向量坐标形式的 线性运算、平面向量共线的坐标表示以及待定系数法等,难点突破向量 作为工具与其他知识交汇的综合题(特别是与解析几何、三角函数、解 三角形交汇),主要体现在思想方法栏目和课时训练选题上;课时训练以 考查基础知识和基本方法为主,兼顾知识的综合.
(填上正确的命题序号).
①a=(1,2),b=(- 1 ,-1),则 a,b 能作为平面向量的一组基底. 2
②a,b 不共线,若λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ③向量 OA =(2,4),若将 OA 向上平移 1 个单位,则 OA =(2,5). ④若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1 = y1 .
解析:由于向量 a=(1,2),b=(3,1),根据向量的坐标运算的运算法
则,b-a=(3-1,1-2)=(2,-1).故选 C.
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8
2.(2014 高考福建卷)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的 是( B ) (A)e1=(0,0),e2=(1,2) (B)e1=(-1,2),e2=(5,-2) (C)e1=(3,5),e2=(6,10) (D)e1=(2,-3),e2=(-2,3)
(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1).
高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理
n＝t1. 由①②，得 m＝17，n＝37.∴O→M＝17a＋37b.
第二十五页，共二十九页。
【失误与防范】(1)学生的易错点是：找不到问题的切入口，
亦即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、
减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此 在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、
答案(dá àn)：－3
第十五页，共二十九页。
考点(kǎo di向ǎn)量3共线的坐标(zuòbiāo)表示
例 3：(1)(2017 年河南郑州模拟)已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝
(4,5)，O→C＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是( )
A.－23
4 B.3
1 C.2
答案(dá àn)：B
第十四页，共二十九页。
(3)(2015 年江苏)已知向量(xiàngliàng) a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为__________.
解析：由题意，得 2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5. ∴m－n＝－3.
(1)向量加法(jiāfǎ)、减法、数乘向量及向量的模：
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝_____(λ_x_1，__λ_y1_)______(λ∈R)，|a|＝
x21＋y21. (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，|A→B|
求解，这是研究平面向量最重要的方法(fāngfǎ)与技巧.如本题很多学生
第二十五页，共二十九页。
【失误与防范】(1)学生的易错点是：找不到问题的切入口，
亦即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、
减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此 在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、
答案(dá àn)：－3
第十五页，共二十九页。
考点(kǎo di向ǎn)量3共线的坐标(zuòbiāo)表示
例 3：(1)(2017 年河南郑州模拟)已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝
(4,5)，O→C＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是( )
A.－23
4 B.3
1 C.2
答案(dá àn)：B
第十四页，共二十九页。
(3)(2015 年江苏)已知向量(xiàngliàng) a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为__________.
解析：由题意，得 2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5. ∴m－n＝－3.
(1)向量加法(jiāfǎ)、减法、数乘向量及向量的模：
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝_____(λ_x_1，__λ_y1_)______(λ∈R)，|a|＝
x21＋y21. (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，|A→B|
求解，这是研究平面向量最重要的方法(fāngfǎ)与技巧.如本题很多学生
高考数学大一轮复习 第四章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示课件
精品
11
上述命题中的向量 b，c 和 a 在同一平面内且两两不共线，
则真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】 B
精品
12
6．(2013·北京高考)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置
如图 4－2－1 所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝
.
【答案】 4
图 4－2－1
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精品
19
(2)由 a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴－ －63mm＋ ＋n8＝ n＝5－，5， 解得mn＝＝－－11.，
精品
20
(3)∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴M→N＝(9，－18)．
13
考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用
(1)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD
和 BC 的中点．若A→C＝λA→E＋μA→F，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ
＝
.
精品
14
(2)如图 4－2－2，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于
点 O，设A→D＝a，A→B＝b，若A→B＝2D→C，则A→O＝
．
【答案】
1 2
精品
17
考向二 [075] 平面向量的坐标运算 已知 O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标．
高考数学第一轮复习 第四篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
3．平面向量(xiàngliàng)共线的坐 标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a≠b 则 a∥b⇔ _x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0___.
第三页，共18页。
1．对平面向量基本(jīběn)定理的理 解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)(2013·广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析 因为A→B＝A→N＋N→B ＝A→N＋C→N (x＝jiīě)A→N＋(C→A＋A→N)＝2A→N＋C→M＋M→A
＝所2A以→NA→－B＝14A→85BA→－NA－→M45A，→M， 所以 λ＋μ＝45. 答案 D
第十页，共18页。
平面(píngmiàn)向量的
考
坐标运算
点
【例 2】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，
B→C＝b， C→A＝c，且C→M＝3c， C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
(3)求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
解析 由已知得 a=(5,-5), b=(-6,-3), c=(1,8)
点
【例 3】平面内给定三个向量 a＝(3,2)，
审题路线
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
（1）分别求出(a＋kc)
(2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5， 与(2b－a)的坐标
求 d 的坐标．
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a≠b 则 a∥b⇔ _x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0___.
第三页，共18页。
1．对平面向量基本(jīběn)定理的理 解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)(2013·广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析 因为A→B＝A→N＋N→B ＝A→N＋C→N (x＝jiīě)A→N＋(C→A＋A→N)＝2A→N＋C→M＋M→A
＝所2A以→NA→－B＝14A→85BA→－NA－→M45A，→M， 所以 λ＋μ＝45. 答案 D
第十页，共18页。
平面(píngmiàn)向量的
考
坐标运算
点
【例 2】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，
B→C＝b， C→A＝c，且C→M＝3c， C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
(3)求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
解析 由已知得 a=(5,-5), b=(-6,-3), c=(1,8)
点
【例 3】平面内给定三个向量 a＝(3,2)，
审题路线
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
（1）分别求出(a＋kc)
(2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5， 与(2b－a)的坐标
求 d 的坐标．
高考数学一轮总复习 4.2平面向量基本定理及其坐标运算课件
即(m－1)A→B＋121A→C＝λ－mA→B＋434A→C，
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22
m－1＝－λm， 所以121＝434λ，
得λm＝＝831，31.
故m＝131.
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23
【规律方法】 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算， 共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一 向量的表示都是唯一的．
相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不
同．如A(3,5)，B(6,8)，则
→ AB
＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2,6)，则
→ CD
＝(3,3)，显然A→B＝C→D，但A，B，C，D四点坐标均不相同．
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问题3 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表
C．(6,10)
D．(－6，－10)
解析 B→C＝B→A＋A→C＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
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4．设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相
反，那么m的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析 设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜ 0，∴m＝－1.
5
知识梳理
知识点一
平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理： 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么 对于这一平面内的任意向量a， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e1＋λ2e2 .
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组 基底 ．
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即时突破 2 已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．
(1)求 ；
(2)若
，求 m、n.
解：(1)由题意 A(2,3)、B(5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4)，
所以 ＝(3,1)．
(2)由于 ＝(3,1)， ＝(5,7)， ＝(2,6)， 所以(3,1)＝m(5,7)＋n(2,6)， 得57mm＋＋26nn＝＝31，， 解得mn＝＝－1，1.
• 质疑探究1：已知两个不共线的向量e1，e2为平面内所有 向量的一组基底，可以表示出平面向量a，b，那么一定 能用a，b作为平面内所有向量的一组基底吗？为什么？
提示：不一定，用不共线向量 e1，e2 表示的向量 a，b 可能 共线，也可能不共线，当 a 与 b 共线时不能，如 a＝e1＋32e2，b ＝2e1＋3e2.
• 2．平面向量的正交分解
• 把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把向量 正交分解．
• 3．平面向量的坐标表示
• (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的
两个
i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a
＝xi＋y单j，位这向样量，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确
∴CAOO＝CADB ＝2，
∴
.
又∵
，
∴
＝23a＋13b.
[答案]
4 (1)3
(2)23a＋13b
•
用平面向量基本定理解决问题的一般思
路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质
就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减
运算和数乘运算．
即 时 突 破 1 (2014 昆 明 模 拟 ) 如 图 所 示 ， 向 量
• [解析] 建立如图所示的坐标系．
则 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，
c＝(－1，－3)．
由 c＝λa＋μb
＝λ(－1,1)＋μ(6,2)
＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)．
∴－ λ＋λ＋ 2μ6＝μ－ ＝3－，1，
λ＝－2， 解得：μ＝－12
∴μλ＝4.
[答案] 4
两向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)相等的充要 条件是它们的对应坐标分别相等，即xy11＝＝xy22 ，利用向量相等 可列出方程组，求其中的未知量，从而解决求参数、求点的坐 标及向量的坐标等问题．
＝c，A，B，C 在一条直线上，且
，
则( )
A．c＝－12a＋32b
B．c＝32a－12b
C．c＝－a＋2b
D．c＝a＋2b
解析：
即 c＝－12a＋32b. 故选 A.
平面向量的坐标运算
[例 2] (2013 年高考北京卷)向量 a，b，c 在正方形网格中 的位置如图所示．若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则μλ＝________.
定，因此把
叫做向量a的坐标，记作___________，
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
(x，y)
a＝(x，y)
• (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 • 4．平面向量的坐标运算
＝(x2－x1，y2－y1)．
• (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝ _______________________；
• ((x21±)若xa2，＝y(x1±，y2))，则λa＝(λx，λy)．
• 质疑探究2：相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点 和终点坐标可以不同吗？
提示：相等向量的坐标一定相同．相等向量的起点和终点
坐标可以不同．例如 A(3,5)，B(6,8)， ＝(3,3)；C(－5，3)，
D(－2，6)， ＝(3,3)，显然 标各不相同．
∴xy＝ ＝－ －14333. ， ∴c＝－133，－43. 故选 D. • 答案：D
• 4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝ __________(用a，b表示)．
解析：设 c＝ma＋nb， 则(4,2)＝m(1,1)＋n(－1,1) 得mm－＋nn＝＝42，， • 解答得案：mn＝＝3a－3－，1b， 所以 c＝3a－b.
考点突破
平面向量基本定理及其应用
[例 1] (1)(2014 哈师大附中模拟)在平行四边形 ABCD 中，
E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 m，n∈R，则 m＋n＝________.
＋ ，其中
(2)如图所示，在四边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，
设 ， ＝b，若 表示)．
，但 A、B、C、D 四点坐
• 5．向量共线的充要条件的坐标表示 • 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a∥b⇔____________________. x1y2－x2y1＝0
• 1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－
b等于( )
• A．(4,0)
B．(0,4)
解析：
．故选 A.
答案：A
3．已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若 a－2b＋3c＝0，
则 c 等于( )
A．(1，83)
B．(－133，83)
C. (133，43)
D．(－133，－43)
解析：设 c＝(x，y)， 则由题意得(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝0， 即(3x＋13,3y＋4)＝0， ∴33xy＋＋143＝＝00，，
，则 ＝________(用向量 a 和 b
[思维导引] (1)用 较，可得 m，n.
表示 ，与 ＝ ＋ 比
(2)由△COD∽△AOB 得 AO 与 OC 的关系，先将 用
表示，再用
表示．
[解析] (1)因为
―→＋12
，
所以
，
所以
，
所以 m＋n＝43.
(2)∵
，∴AB∥DC，
∴△COD∽△AOB，
• C．(4，－8)
D．(－4,8)
• 解析：由a∥b，得－2m－4＝0，
• ∴m＝－2，∴b＝(－2,4)，
• ∴2a－b＝2(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．故选C.
• 答案：C
2．若向量 ＝(2,3)， ＝(4,7)，则 等于( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10)
D．(－6，－10)
第2节 平面向量基本定理及其坐标表示
基础梳理
• 1．平面向量基本定理
• 如平果面内e1，任e意2是向一量平a，面有内且的只两有个一对不实共向数线量λ1，、那λ2，么使对a于＝这个 ______________.
• 其量λ1中的e1＋，一λ不组2e共基2 线底的．向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向