【北师大版】2018-2019学年高中必修4数学：全一册学案第一章三角函数5.1正弦函数的图像
北师大版2019年高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案 必修4(含答案)
5.2 正弦函数的性质内容要求 1.理解正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．知识点1 正弦函数的性质函数正弦函数y ＝sin x ，x ∈R图像定义域 R 值域 [－1,1]最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 是周期函数，周期为2k π(k ∈Z ，k ≠0),2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称 单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上是增函数；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上是减函数对称轴x ＝π2＋k π，k ∈Z对称中心(k π，0)，k ∈Z(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin(－x )为奇函数(√). (2)函数y ＝sin x ，x ∈[－π6，5π6]的值域是[－12，12](×). (3)函数y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π](k ∈Z )上是单调递增的(√). (4)函数y ＝sin x 在第一象限内是递增的(×).题型一 与正弦函数有关的值域问题 【例1】 求下列函数的值域： (1)y ＝sin(2x －π3)，x ∈[0，π2]；(2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.解 (1)∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，－π3≤2x －π3≤2π3，令2x －π3＝t ，则原式转化为y＝sin t ，t ∈[－π3，2π3]．由y ＝sin t 的图像知－32≤y ≤1， ∴原函数的值域为[－32，1]． (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98.∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．规律方法 1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．2．求值域时，注意：(1)利用sin x 的有界性；(2)利用y ＝sin x 的单调性． 【训练1】 (1)函数y ＝2sin x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4的值域是( )A ．[1＋3，3]B ．[1＋2，3]C ．[1－2，1＋2]D ．[－1,3](2)设函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则以下四个结论正确的是________（填序号）．①b －a 的最小值为2π3；②b －a 的最大值为4π3；③a 不可能等于2k π－π6(k ∈Z )；④b 不可能等于2k π－π6(k ∈Z )．解析 (1)画出函数y ＝2sin x ＋1(π4≤x ≤3π4)的图像如图所示，当x ＝π4或x ＝3π4时，最小值为1＋2；当x ＝π2，最大值为3.(2)由图像知，b －a 的最大值为4π3(如a ＝－7π6，b ＝π6)；在b －a 取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a ，b ]内，所以b －a 的最小值为2π3，b 可能等于2k π－π6(k ∈Z )．若a ＝2k π－π6(k ∈Z )，则由图像可知函数的最大值为12的情况下，最小值不可能为－1.所以a 不可能等于2k π－π6(k ∈Z )．答案 (1)B (2)①②③题型二 正弦函数的周期性与奇偶性 【例2】 求下列函数的周期： (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝|sin x |. 解 (1)∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期是4π.(2)作出y ＝|sin x |的图像，如图．故周期为π.规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．【训练2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x sin x ； (2)f (x )＝|sin x |＋1.解 (1)∵x ∈R ，且关于原点对称， 又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵x ∈R ，且关于原点对称，又f (－x )＝|sin(－x )|＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．方向1 利用正弦函数的单调性比较大小【例3－1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)sin 1，sin 2，sin 3.解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°. 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 方向2 求函数的单调区间【例3－2】 求函数y ＝－sin x ＋3的单调区间． 解 ∵y ＝－sin x ＋3与y ＝sin x 的增减性相反．而y ＝sin x 的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k∈Z )．∴函数y ＝－sin x ＋3的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．方向3 求复合函数的单调区间【例3－3】 求函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间．解 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z ， ∵0<12＜1，∴函数y ＝log 12sin x 的递增区间即为u ＝sin x ＞0的递减区间．∴2k π＋π2≤x ＜2k π＋π，k ∈Z .故函数y ＝log 12sin x 的递增区间即为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．2．求正弦函数的单调区间有二种方法：一是利用y ＝sin x 的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.课堂达标1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.答案 D2．下列函数中是奇函数的是( ) A ．y ＝－|sin x | B ．y ＝sin(－|x |) C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x | 解析 利用定义，显然y ＝x sin |x |是奇函数． 答案 D3．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________. 解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )得a ＝1. 答案 14．函数y ＝|sin x |的值域是________．解析 作出函数y ＝|sin x |的图像(图像略)可知． 答案 [0,1]5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．课堂小结1．求正弦函数在给定区间[a ，b ]上的值域时，要注意结合图像判断在[a ，b ]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线和x 轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.基础过关1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(x ∈R )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法确定解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x . 答案 A2．函数f (x )＝|sin x |的一个递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π解析 画出函数f (x )＝|sin x |的图像如图所示，由图像可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2是函数f (x )＝ |sin x |的一个递增区间．答案 C3．设M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析 ∵M ＝13－1，m ＝－13－1，∴M ＋m ＝－2. 答案 D4．函数y ＝－2sin x 的定义域是________，单调递减区间是________． 解析 ∵－2sin x ≥0，sin x ≤0， ∴2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z ，即函数的定义域是[2k π－π，2k π](k ∈Z )． ∵y ＝－2sin x 与y ＝sin x 的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )．答案 [2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )5．设a ＝cos 29°，b ＝sin 144°，c ＝sin 50°，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析 a ＝cos 29°＝sin 61°，b ＝sin 144°＝sin 36°，c ＝sin 50°，由正弦函数的单调性可知sin 36°＜sin 50°＜sin 61°，即b ＜c ＜a . 答案 b ＜c ＜a6．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)sin 25π18与sin 13π9；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－547π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－638π.解 (1)因为π<25π18<13π9<3π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上是减少的， 所以sin 25π18＞sin 13π9.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－547π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－567π＋27π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π＋27π＝sin 27π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－638π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－8π＋π8＝sin π8，因为π2＞27π＞π8＞0，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增加的，所以sin 27π＞sin π8，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－547π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－638π.7．设|x |≤π4，求函数f (x )＝1－sin 2x ＋sin x 的最小值．解 f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 能力提升8．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－215π＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π C ．sin 3＞sin 2 D ．sin 75π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π 解析 y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上为增函数，而－π8＜－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10，故选A. 答案 A9．设函数f (x )＝sin |x |，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，76π上是减函数B ．是周期为2π的周期函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数 D ．对称中心为(k π，0)，k ∈Z解析 由图易知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，76π上是减函数．答案 A10．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个不同的实根，则a 的取值范围是________．解析 在同一坐标系中作出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图像(图略)，易知，当32≤1－a2＜1，即－1＜a ≤1－3时，两图像有两个不同的交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个不同的实根．答案 (－1,1－3]11．函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，56π]的值域是________．解析 令t ＝sin x ，y ＝f (t )， ∵x ∈[π6，5π6]，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为[1，72]．答案 [1，72]12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0.当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.13．(选做题)已知函数f (x )＝|sin x －a |，a ∈R . (1)试讨论函数f (x )的奇偶性．(2)求当f (x )取得最大值时，自变量x 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )是偶函数； 当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数．(2)当a ＞0且sin x ＝－1时，f (x )取得最大值，这时x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z； 当a ＜0且sin x ＝1时，f (x )取得最大值，这时x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；当a ＝0且sin x ＝±1时，f (x )取得最大值，这时x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π2，k ∈Z .。
【北师大版】2018-2019学年高中必修4数学：全一册学案第一章三角函数5.2正弦函数的性质
课堂达标 π x＋ 6 的一个递减区间是( 1．函数 f(x)＝sin π π － ， 2 2 A. 2 2 － π， π 3 C. 3 解析 解得 答案 由 π π 3 ≤x＋ ≤ π， 2 6 2 )
B．[－π，0] π 2 ， π D. 2 3
π 4 ≤x≤ π.故选 D. 3 3 D ) B．y＝sin(－|x|) D．y＝xsin |x|
题型一 【例 1】
与正弦函数有关的值域问题 求下列函数的值域：
π π (1)y＝sin(2x－ )，x∈[0， ]； 3 2 (2)y＝－2sin x＋5sin x－2.
2
解
(1)∵0≤x≤
π π π 2π π π ，∴0≤2x≤π，－ ≤2x－ ≤ ，令 2x－ ＝t，则原式转化为 y＝sin t，t∈[－ ， 2 3 3 3 3 3
(1)f(x)＝xsin x； (2)f(x)＝|sin x|＋1. 解 (1)∵x∈R，且关于原点对称，
又 f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，且关于原点对称，又 f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
方向 1
5．求函数 y＝3－2sin 解 ∵－1≤sin
1 x≤1， 2
∴当 sin
1 1 π x＝－1， x＝2kπ－ ，k∈Z， 2 2 2
即 x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5， 此时自变量 x 的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当 sin
1 1 π x＝1， x＝2kπ＋ ，k∈Z， 2 2 2
所以 sin
54 56 2 － π － π＋ π 7 7 7 (2)sin ＝sin 2 －8π＋ π 2 7 ＝sin π， ＝sin 7 sin － 63 π π －8π＋ π 8 8 ＝sin ＝sin ， 8
2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课件北师大版必修4ppt
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定义域
___x|_x_∈__R__，__x_≠__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z___
值域 周期性 奇偶性
单调性
__R__
周期为 kπ(k∈Z，k≠0)
期为_π__
__奇__函__数___
，最小正周
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cos α
一
三
二
四
AT
【预习评价】
•
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1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan
α＝15，则 x 的值为(
)
A．7
B．8
C．15
4 D.5
解析 由正切函数的定义 tan α＝2x－3 1＝15，解之得 x＝8.
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课堂小结 1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线 x＝
－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，(π4，1)，(－π4，－1)，用光 滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质
时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无
①若角 α 是第一象限角，则由 tan α＝12，角 α 的终边上必有一 点 P(2,1)，
∴r＝|OP|＝ 22＋12＝ 5.
∴sin
α＝yr＝
1＝ 5
55，cos
α＝xr＝
2 ＝2 5
5
5 .
②若角 α 是第三象限角，则由 tan α＝12知，角 α 的终边上必有一点
2018-2019学年新设计高中数学(北师大版)必修四讲义：第一章 三角函数-章末复习课Word版含答案
章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．解(1)当m＝0时，θ＝2kπ±π2，k∈Z；当θ＝2kπ＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2kπ－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.(3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m2，tan θ＝1－m2 m.(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m2，tan θ＝－1－m2 m.【训练1】已知角θ的终边经过点P(－3，m) (m≠0)且sin θ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解由题意，得r＝3＋m2，所以sin θ＝m3＋m2＝24m.因为m≠0，所以m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”． 注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若 f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________． 解析 (1)1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α ＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54. 要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．。
北师大版高中数学必修四第一章 三角函数.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章三角函数§1 周期现象课时目标1．理解周期现象的定义．2．把握周期现象的规律特征并能应用周期规律解释实际问题．从周期现象到周期概念：(1)观察钟表，分针指向12的位置表明是整点时间，经过一个小时，分针回到了原来的位置，我们说，分针的运动是周期现象，以________为一个周期；时针的运动周期当然是________．(2)地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转____圈的时间，即________．在日常生活、生产实践中，许多事物或现象每间隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象．这个相同的时间间隔就是________．一、选择题1．下列现象是周期现象的是()①日出日落②潮汐③海啸④地震A．①②B．①②③C．①②④D．③④2．如图所示是一个简谐振动的图像，下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0．7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0．1 s和0．5 s时的振动速度最大D．该质点在0．3 s和0．7 s时的速度为零3．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在________处．()A．8点B．10点C．11点D．12点4．今天是星期一，再过167天是( )A ．星期天B ．星期一C ．星期二D ．星期三5．设钟摆每经过1．8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A 点时开始计时，经过1分后，钟摆的大致位置是( )A ．点A 处B ．点B 处C ．O 、A 之间D ．O 、B 之间6．若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2二、填空题7．月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是________．8．游乐场中的摩天轮有8个座舱，每个座舱最多乘4人，每20 min 转一圈，估算一下8 h 内最多有____人乘坐过摩天轮．9．已知f (x )是周期为3的偶函数，且f (1)＝2，则f (－10)＝________．10．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过34周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．三、解答题11．一个质点在平衡位置O 点附近振动．如果不计阻力，可将这个振动看作周期运动．它离开O 点向左运动，4秒后第1次经过M 点，再过2秒第2次经过M 点．该质点再过多少时间第4次经过M 点？12．2012年5月1日是星期二，问2012年10月1日是星期几？能力提升13．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 012的值为( )x 1 2 3 4 5f (x ) 4 1 3 5 2A ．1B ．2C ．4D ．514．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________________________________________________________________________．第一章 三角函数§1 周期现象答案知识梳理(1)1小时 12小时 (2)一 一年 周期作业设计1．A 2．B 3．B4．A [∵167＝24×7－1，∴再过167天是星期一的前一天，即星期天．]5．D [经过0．45秒，钟摆到达O 点，经过0．9秒钟摆到达B 点，而1分＝59．4秒＋0．6秒＝33×1．8秒＋0．6秒，∵0．6秒介于0．45秒和0．9秒之间，∴钟摆的位置介于O 、B 之间．]6．A [∵函数f(x)的周期为5，∴f(x ＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．又∵f(x)为奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1．]7．一月 8．768解析 4×8×24＝768．9．2解析 f(－10)＝f(－7)＝f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝2．10．丁 戊11．解 设由O 到A 所需时间为x ，则第一次经过M 点的时间2x ＋(x －1)＝4，得x ＝53，要使质点第4次经过M 点，经过的路程正好为一个周期，所以再过T ＝203秒第4次经过M 点．12．解 按照公历记法，2012年5、7、8这几个月份都是31天，6、9月份各30天，从5月1日到10月1日过153天．从2012年5月1日到2012年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2012年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期二，这一天是公历2012年10月2日，故2012年10月1日是星期一．13．D [x 0＝5，x 1＝f(5)＝2，x 2＝f(2)＝1，x 3＝f(1)＝4，x 4＝f(4)＝5，x 5＝f(5)＝2，…，∴{x n }为周期数列，且T ＝4，x 2 012＝x 0＝5．]14．12解析 ∵f(1)＝14，令y ＝1得 f(x)＝f(x ＋1)＋f(x －1)，即f(x ＋1)＝f(x)－f(x －1)， ① ∴f(x ＋2)＝f(x ＋1)－f(x)， ② 由①②得f(x ＋2)＝－f(x －1)，即f(x ＋3)＝－f(x)，则f(x ＋6)＝f(x)． ∴该函数周期为6．∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)．令x ＝1，y ＝0得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，∴f(0)＝12． ∴f(2 010)＝12．。
【北师大版】2018-2019学年高中必修4数学：全一册学案第一章三角函数7.3正切函数的诱导公式
7.3正切函数的诱导公式内容要求1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式π2±α，π±α数的诱导公式(难点)．知识点1正切函数的诱导公式函数角y ＝tan x 记忆口诀k π＋αtan α函数名不变，符号看象限2π＋αtan α－α－tan απ－α－tan απ＋αtan απ2＋α－cot α函数名改变，符号看象限π2－αcot α【预习评价】1．下列诱导公式中错误的是()A．tan(π－α)＝－tan αB．cos π2＋α＝sin αC．sin(π＋α)＝－sin αD．cos(π－α)＝－cos α答案B2．tan 3π2＋α)A．－cot αB．cot αC．tan αD．－tan α答案A题型一三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求sinπ－α＋2cosπ＋αsin 3π2－α－cos 3π2＋α的值．解(1)因为tan α＝y 3＝－43，所以y ＝－4，则r ＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.规律方法三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．【训练1】已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α的值．解由tan α－1tan α＝154，得4tan 2α－15tan α－4＝0，得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角，所以tan α＝－14.故sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35.题型二利用诱导公式求值【例2】求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；(2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°.解(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan180°＋45°＋tan 2×360°＋30°－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.规律方法(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【训练2】(1)tan 476π＋tan －316π)A．－33B．0C.233D．－233(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析(1)tan 476π＋tan－31π6＝tan7π＋56π＋tan －5π－π6＝tan 5π6－tanπ6＝－33－33＝－233，故选D.(2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3.答案(1)D(2)C方向1化简【例3－1】(1)化简：tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°；(2)若a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan 4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．解(1)tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°＝tan －αtan α－90°tan αtan αtan 90°＋αtan－α＝－tan α－cot αtan αtan α－cot α－tan α＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1(2)a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π＝－cos αsin 2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.方向2证明【例3－2】tan2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α.证明左边＝tan －α·－sin α·cos －αsin 2π－π2－α·cos 2π－π2－α＝－sin α·－sin αsin －π2－αcos －π2－α＝sin 2α－sin π2－αcos π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α－cos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．方向3化简并求值【例3－3】已知α是第三象限角，且f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π.(1)化简f (α);(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解(1)f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π＝sin α－cos α－tan αsin α－tan α＝－cos α.(2)因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，所以(2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－55，所以f (α)＝55.(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－12，所以f (α)＝－cos α＝12.规律方法1.三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.答案B2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是()A．α为锐角B．α为不等于π2的任意角C．α为任意角D．α≠k π＋π2(k ∈Z )解析由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z )．答案D3．已知tan π4＋α＝32，则tan 3π4－α解析3π4－α＝tan π－π4＋α＝tan －π4＋α＝－tan π4＋α＝－32.答案－324．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5的值为________．解析原式＝tan π5＋tan 2π5＋tanπ－2π5＋tan π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0.答案5．已知角α的终边经过点P (4，－3)，(1)求sin α，cos α，tan α的值;(2)求sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π的值．解(1)因为r ＝42＋－32＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54.课堂小结(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.基础过关1．tan 31π3的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析tan 31π3＝tan10π＋π3＝tan π3＝ 3.答案C2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是()A．－45B．－35C．±35D．±45解析∵角α终边上有一点P (5n,4n )，∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.答案A3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是()A．－kB．kC.k1－k2D.－k 1－k2解析tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k .tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k .答案B4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．解析∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5，∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3.∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1.答案－15．已知tan 2π3－α＝33，则tan 4π3＋α解析4π3＋α＝tan 2π－2π3－α＝－tan 2π3－α＝－33.答案－336．求下列各式的值：(1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1200°)tan 19π6－cos 585°tan－37π4解(1)原式＝sin π4cos2π＋7π6tan 5π＋π4＝22cos 7π6tan π4＝22cosπ＋π6＝22－cosπ6＝－22×32＝－64.(2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan 3π＋π6－cos(360°＋225°)－tan37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22.7．已知角α的终边与单位圆交于点32，－12试求sin 2π－αtanπ＋αtan π2＋αtan －αtan π2－α－αtan3π－α的值．解原式＝－sin α·tan α·－cot α·－tan αcot α·－cos α·－tan α＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13.能力提升8．已知tan(π－α)＝－12，则cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是()A.15 B.13C.35D．1解析由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.答案B9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为()A．1B．－1C．2D．－2解析原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.答案B10．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.解析由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13，故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )＝tan x ＝－13.答案－1311．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.解析由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.答案－212．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin －α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)＝sin π2－α·cos π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·－sin αsin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.13．(选做题)设tan α＋8π7a ，求sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7的值．解原式＝sin π＋α＋8π7＋3cos －3π＋α＋8π7sin 4π－α＋8π7－cos 2π＋α＋8π7＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝tan α＋8π7＋3tan α＋8π7＋1＝a ＋3a ＋1.。
2018-2019学年高一数学北师大版必修4课件：第一章 三角函数
3．证明三角恒等式或条件等式，是三角变换中的一个基本题 型，证明时要充分观察要证等式的特点，利用同角三角函数关系或 诱导公式，通过切化弦化异次为同次．对三角恒等式进行恒等变形 是证明三角恒等式的关键，证明三角恒等式常用“由左向右”“由 右向左”以及分析法、综合法等．
[例 1] 已知 f(α)＝sin2sπi－n－α·πc＋osα2π·t－anα－·tαan＋－3ππ＋α. (1)化简 f(α)； (2)若 f(α)＝18，且π4<α<π2，求 cosα－sinα 的值．
专题二 三角函数式的值域与最值 三角函数式的值域与最值一般有以下两种形式： 1．将所给三角函数式转化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) 的形式，然后结合角 x 的范围求解． 2．形如 y＝asin2x＋bcosx＋c 或 y＝acos2x＋bsinx＋c 的函数， 可以先转化成同名函数，然后结合二次函数的性质求解，在转化过 程中要注意 sin x 或 cos x 的有界性，若自变量 x 有特定范围，则 sin x 或 cos x 应在其取值范围内讨论． 注：换元法、数形结合法是解决此类问题的常用方法．
“五点”即为图象的最高点、最低点及与 x 轴的交点，描点作 图并向左向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．
(3)依据 y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以确定周期和振幅，依据图象 上的特殊点可确定 A，ω，φ，可得对应的函数解析式.
热点考点例析 专题一 三角函数的化简、求值与证明 1.本章的所讲三角函数的求值与化简问题，主要是利用同角的 三角函数关系以及诱导公式来进行，一般解法灵活、技巧性较强， 对三角函数的恒等变形能力要求较高．要注意公式的逆用、正用及 变形应用，化简的结果一般要求次数尽可能的低，函数名称尽量少， 能求值的一定要求出值． 2．对三角函数变形时，需特别注意角的范围、角的终边所在 的象限，求值时一定要先确定符号．
高中数学第一章三角函数1.3弧度制学案北师大版必修4(2021年整理)
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§3弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数（重点)。
2。
掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题（难点)．知识点1 弧度制（1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的错误!弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制（2如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝错误!.【预习评价】（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位（√）(2)1°的角是周角的错误!,1 rad的角是周角的错误!（√)(3）1°的角比1 rad的角要大（×）(4）1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关（×）知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝错误!rad≈0。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
【教育专用】2018_2019学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用学案北师大版必修4
§9 三角函数的简单应用内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．知识点1 利用三角函数模型解决实际问题在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析． 【预习评价】 求下列函数的周期(1)y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；(2)y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；(3)y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.知识点2 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．【预习评价】在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中，A ，b 与函数的最值有何关系？ 提示 A ，b 与函数的最大值y max ，最小值y min 关系如下： (1)y max ＝A ＋b ，y min ＝－A ＋b ； (2)A ＝y max －y min2，b ＝y max ＋y min2.题型一 已知解析式求周期最值【例1】 交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)． 即开始时的电压为110 3 V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V.当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键． 【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6.(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)图略． (2)当t ＝0时，s ＝6sin π6＝6×12＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (4)s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 题型二 已知模型求解析式【例2】 如图所示，表示电流I 与时间t 的关系式：I ＝A sin(ωt ＋π)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式．解 由图像可知A ＝300，又T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π. 又∵t ＝－1300时，ωt ＋φ＝0，∴100π(－1300)＋φ＝0即φ＝π3， ∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ”中A ，ω，φ，B 的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．解析 设该振子振动的函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t 轴，振幅A 为2，周期T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝5π2，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2x ＋φ.将点(0.1,2)代入，得φ＝π4. 故该振子振动的函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x ＋π4.答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2x ＋π4【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋7⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2来表示(x 为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( ) A ．4.2万元 B ．5.6万元 C ．7万元D ．8.4万元解析 由题知A ＝2，T ＝2×(7－3)＝8， ∴ω＝π4，φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7，把x ＝10代入得y ＝7＋2≈8.4万元． 答案 D【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？ 解 由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？解 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7＜7得5＜x ＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图课堂达标1．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( ) A.g π B.g 2π C.g π2 D.g4π2解析 T ＝2πgl，所以，g l ＝2πT ＝2π，则l ＝g 4π2. 答案 D2.函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·⎝⎛⎭⎪⎫x －π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D ；又函数在x ＝0处有定义，排除B ；令x ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，A 不合适，故选C. 答案 C3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．解析 t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式知单摆周期T ＝2π2＝π，频率为1π.答案1π4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5. 答案 20.55．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)．(2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课堂小结1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.基础过关1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C. 答案 C2．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 答案 A3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T 为( )A ．24.5天B ．29.5天C ．28.5天D ．24天解析 由题图知，地球从E 1到E 2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期． 答案 B4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________．解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ， ∴m ＝26,27,28. 答案 26,27,285．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标有12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.答案 10sin πt606.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图像可知从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8.所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．能力提升8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(其中0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A ．[0,5] B ．[5,10] C ．[10,15]D ．[15,20]解析 由－π2＋2k π≤t 2≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π＋4k π≤t ≤π＋4k π，k ∈Z ，当k ＝1时，3π≤t ≤5π. 答案 C9.如图所示，某风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 距离地面0.5 m ．风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m)．则h 与t 满足的函数关系为()A ．h ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋3π2＋2.5B ．h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋1.5 C ．h ＝－2cos π6t ＋2.5D ．h ＝2cos π6t ＋2.5解析 最大值M ＝4.5 m ，最小值m ＝0.5 m ，所以A ＝M －m2＝2，b ＝M ＋m2＝2.5，因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，又风车从最低点开始运动，所以π6×0＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，不妨设φ＝3π2，所以h 与t 满足的函数关系为h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋3π2＋2.5＝－2cos π6t ＋2.5.答案 C10．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间做简谐振动，B 、C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次达到C 点，则振子在5秒内通过的路程及5 s 末相对平衡位置的位移大小分别为________cm ，________cm.解析 振幅A ＝10，T ＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过 200 cm ；经过5个周期仍回到初始位置B ，位移为10 cm. 答案 200,1011．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin(π4·ω＋π3)＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 答案14312．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s ．。
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5．1正弦函数的图像内容要求 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．知识点1正弦线如图所示，设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 相交于点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线，垂足为M .我们称MP 为角α的正弦线，P 叫正弦线的终点．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在正弦线的定义中MP 也可以写成PM 的形式．(×)(2)正弦线是一条有方向的有向线段．(√)知识点2正弦函数图像的画法(1)几何法利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像．(2)“五点法”在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．事实上，找出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“五点法”．【预习评价】1．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．答案[π2，3π2]12．利用五点法作函数y ＝A sin x (A ＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？提示依次是(0,0)，(π2，A )，(π，0)，(3π2，－A )，(2π，0)．题型一“五点法”作函数的图像【例1】利用“五点法”作出y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．解按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010－10－1＋sin x －10－1－2－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．规律方法“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x 轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．【训练1】(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像．(2)用“五点法”画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．解(1)列表：x0π2π3π22πsin x010－102sin x020－20描点作图：(2)列表：x0π4π23π4π2x 0π2π3π22πsin 2x 010－10描点得y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的简图，如图：方向1解不等式【例2－1】利用y ＝sin x 的图像，在[0,2π]内求满足sin x ≥－12的x 的范围．解列表：x0π2π3π22πsin x 010－10描点，连线如图，同时作出直线y ＝－12的图像．由图像可得sin x ≥－12的范围0，7π6∪11π6，2π.方向2判断方程解的个数【例2－2】(1)方程|sin x |＝12的根中，在[0,2]内的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析如图所示，在区间[0，π]内|sin x |＝12的两个根为π6和5π6，又因为2＜5π6，所以在区间[0,2]内|sinx |＝12只有一个根π6.答案A(2)求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数．解作出y ＝lg x ，y ＝sin x 在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．方向3求参数的取值范围【例2－3】函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．解y 3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π＜x ≤2π.作出图像分析(右图)，∵f (x )图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点．∴1＜k ＜3.故实数k 的取值范围是(1,3)．规律方法 1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．2．一般地，函数y ＝|f (x )|的图像可将函数y ＝f (x )的图像作如下变换得到：在x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的部分保持不变.课堂达标1．函数y ＝sin x (x ∈R )图像的一条对称轴是()A．x 轴B．y 轴C．直线y ＝xD．直线x ＝π2答案D2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点()A．(π6，12)B．(π2，1)C．(π，0)D．(2π，0)解析易知(π6，12)不是关键点．答案A 3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析画出y ＝sin x 的图像（图像略）可得．答案[π4，3π4]4．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.解析如图所示，x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.答案3π5．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．解(1)列表：x 0π2π3π22πsin x 010－102sin x －1－11－1－3－1(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，(π2，1)，(π，－1)，(3π2，－3)，(2π，－1)．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0,2π]的简图，如图所示．课堂小结1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.基础过关1．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()答案D2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图像()A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y 轴对称D．形状不同，位置不同解析根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．答案B3．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2的交点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析由1＋sin x ＝2，得sin x ＝1，∵x ∈[0,2π]，只有当x ＝π2时，sin x ＝1.答案B4．函数y ＝sin x ，x ∈－π2，π2的图像与函数y ＝x 的图像交点个数是________．解析在同一坐标系内画出图像．答案15．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析所描五个点为(0,0)，(π2，1)，(π，0)，3π2，－10＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案5π6．用五点法作函数y ＝2＋12sin x ，x ∈[0,2π]的图像．解列表如下：x0π2π3π22πsin x010－102＋12sin x 2522322描点作图，如图所示：7．求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解由题意，x sin x >0，16－x 2≥0，－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．能力提升8．方程sin x ＝x 10的根的个数是()A．7B．8C．9D．10解析在同一坐标系内画出y ＝x 10和y ＝sin x 的图像如图所示：根据图像可知方程有7个根．答案A9．已知函数y ＝2sin x π2≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为()A．4B．8C．4πD．2π解析数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈π2，5π2y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝5π2－π2×2＝4π.答案C10．函数y ＝log 12sin x 的定义域是__________________．解析由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图像知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .答案(2k π，2k π＋π)，k ∈Z11．如果直线y ＝a 与函数y ＝sin x ，x ∈0，32π的图像有且只有一个交点，则a 的取值范围是________．答案[－1,0)∪{1}12．函数f (x )＝2sin x ＋|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝m ＋1有且仅有两个交点，求m 的范围．解∵f (x )＝2sin x ＋|sin x |3sin x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈[π，2π].作出图像分析，由有且仅有两个交点，可得0＜m＋1＜3或－1＜m＋1＜0，即－1＜m＜2或－2＜m＜－1，即m的范围为{m|－2＜m＜2且m≠－1}．13．(选做题)判断方程x2－sin x＝0的根的个数．解设f(x)＝x2，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图像有两个交点，即方程x2－sin x＝0有两个根.。