2018年九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例导学案(新版)新人教版

27.2.3 相似三角形的应用举例
一、学习目标：
1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；
2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.
二、学习重难点：
重难点：运用三角形相似的知识解决实际问题.
探究案
三、教学过程
课堂导入
埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的高度．你知道他是怎样测量的吗？今天我们就利用这些知识测量一些不能直接测量的物体的高度吧.
课堂探究
知识点一：用相似三角形测量高度
对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的．但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度．结合右面的图形，大家思考如何求出高度.
归纳总结
例题解析
例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
归纳总结
小试牛刀
1.如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．
2.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．
课堂探究
问题小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，又测得地面部分的影长2.7 m，他求得的树高是多少?
归纳总结
例题解析
例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和CD = 12 m，两树底部的
距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了？
归纳总结
小试牛刀
1.如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．
2.星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
随堂检测
1．如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________m.
2．在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一根旗杆的影长为25 m，那么这根旗杆的高度为________m.
3．已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为________．
4．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为________米．
5．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙洲古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是________米(平面镜的厚度忽略不计)．
6．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高 1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是多少？
课堂小结
1．利用相似三角形测量物体的高度；
2．利用相似三角形测量河的宽度；
3．设计方案测量物体高度．
我的收获
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参考答案
课堂探究
利用阳光下的影子测高：
(1)构造相似三角形，如图.
(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE (旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)．
(3)计算理由：
因为AC∥DB(平行光)，
所以∠ACB＝∠DBE.
因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)，
所以△ABC∽△DEB，有
，则
例题解析
例1解：太阳光是平行光线，因此∠B AO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF.
∴
∴
因此金字塔的高度为134 m.
小试牛刀
1.解析：先利用△BDC∽△F GE得到BC
3.6＝
2
1.2
，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利
用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC
CD
＝
EF
GE
，即
BC
3.6
＝
2
1.2
，∴BC＝6m.在Rt△
ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.
方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．
2.解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽
△DCE ，∴AB DC ＝AE EC .∵CE ＝2.5m ，DC ＝1.6m ，∴AB 1.6＝20
2.5，∴AB ＝12.8，∴大楼AB 的高度为
12.8m.
课堂探究
解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 因此BE=CD=1.2 m ，CE=BD=2.7 m ，
AE
可得AE=3 m ，
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m). 答：这棵树的高为4.2 m ． 例题解析
例2解：如图，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位置点E 与两棵树的顶端
A ，C 恰在一条直线上.
∵AB ⊥l ，CD ⊥l ， ∴AB ∥CD . ∴△AEH ∽△CEK . ∴
即
解得EH =8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C .
小试牛刀
1.解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
解：如图，过点D 作DE∥BC，交AB 于E ，∴DE ＝CB ＝9.6m ，BE ＝C D ＝2m ，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA ∶ED ＝ ∶ . ，∴AE ＝8m ，∴AB ＝AE ＋EB ＝8＋2＝10m ，∴学校旗杆的高度为10m.
方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
2.解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．
解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、D E 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．
理由：测量出CD 、DE 、BE 的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D ＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根据CD AB ＝DE
BE
，即可算出AB 的高．
方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．
随堂检测
1．9 2.15 3.7.5米 4.3 5.8
6．解：∵EB ∥CD ， ∴△ABE ∽△ACD ， ∴
， 即
∴CD =10.5（米）．。