湖南省长沙市雅礼实验中学2019-2020学年九年级中考数学模拟试卷(解析版)

湖南省长沙市雅礼实验中学2020年中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下列四个数−1，0，−√2，2中，最小的数是()A. −1B. 2C. −√2D. 02.2016猴年春晚在某网站取得了同时在线人数超16000000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，则16000000用科学记数法可表示为()A. 0.16×108B. 1.6×107C. 1.6×108D. 16×1063.下列运算正确的是()A. x3⋅x2=x5B. (x3)2=x5C. (x+1)2=x2+1D. (2x)2=2x24.如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，从上面看到的图形是()A. B.C. D.5.成绩/次160165170175180185190人数1235842则这些同学跳绳成绩的中位数，众数分别是()A. 175，180B. 175，190C. 180，180D. 180，1906.若等腰三角形的两边长分别为a和b，且满足|a−4|+√8−b=0，则该等腰三角形的周长是()A. 12B. 16C. 20D. 16 或 207.下列事件中，是随机事件的是()A. 任意画一个三角形，其内角和为180°B. 经过有交通信号的路口，遇到红灯C. 太阳从东方升起D. 任意一个五边形的外角和等于540°8.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O=63°，则∠O的度数是()A. 21°B. 27°C. 30°D. 42°9. 若直线y =kx +b 平行于直线y =3x −4，且过点(1,−2)，则该直线的表达式是( ) A. y =3x −2 B. y =−3x −6 C. y =3x −5 D. y =3x +5 10. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =32°.分别以A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D 和E ，连接DE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠AFC 的度数为( )A. 60°B. 62°C. 64°D. 65°11. 《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：”今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两，问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，则可列方程组为( )A. {5x +2y =102x +5y =8 B. {5x −2y =102x −5=8C. {5x +2y =102x −5y =8D. {5x +2y =82x +5y =1012. 如图，正方形ABCD 的边与正方形CGFE 的边CE 重合，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH 、FH ，EG 与FH 交于点M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE②HO //=12BG ；③GH 2=GM ⋅GE ；④△GBE ∽△GMF ，其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18分）13. 分解因式：3ax 2+6axy +3ay 2=______．14. 如果√x −2有意义，那么x 的取值范围是______．15. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为______．16. 已知x =2是关于x 的一元二次方程(m −2)x 2+4x −2m 2=0的一个根，则m 的值为______．17. 河堤横断面如图所示，坝高8米，迎水坡AC 的高坡比为1：√3，则AB 的长为______．18.如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y=1x(x>0)图象上，则点F的坐标是_______．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.计算：(−2)−1−4cos30°+|−12|+√12−(3−π)0四、解答题（本大题共7小题，共60分）20.解不等式组：{2x−7<3(x−1)43x+3<1−23x，并将解集表示在数轴上．21.某中学在全校学生中开展了“地球−我们的家园”为主题的环保征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖，根据奖项的情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)该校获奖的总人数为______ ，并把条形统计图补充完整；(2)求在扇形统计图中表示“二等奖”的扇形的圆心角的度数；(3)获得一等奖的4名学生中有3男1女，现打算从中随机选出2名学生参加颁奖活动，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．22.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF=60°，底端的仰角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．23.某文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元，B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元，B种羽毛球拍售价为每副12元，全部售完后共获利270元．(1)求这个文教店购进A、B两种羽毛球拍各多少副？(2)若该文教店以原进价再次购进A、B两种羽毛球拍，且购进A种羽毛球拍的数量不变，而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍，B种羽毛球拍按原售价销售，而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时，要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元？24.已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE//BC，过点C作CD//BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BC=5，AB=8，求OF的长．25.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y 满足：当m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”．(1)反比例函数y=k是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；x(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若函数y=x2是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx−2(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2,3)，B(−4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求△BMC面积的最大值；(3)在(2)中△BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵2>0>−1>−√2，∴最小的数为−√2，故选C．2.【答案】B【解析】解：16000000=1.6×107，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：A、x3⋅x2=x5，此选项正确；B、(x3)2=x6，此选项错误；C、(x+1)2=x2+2x+1，此选项错误；D、(2x)2=4x2，此选项错误；故选：A．把原式各项计算得到结果，即可做出判断．此题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：从上边看第一列是三个小正方形，第二列中间一个小正方形，故选：B．根据从上边看得到的图形是俯视图．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5.【答案】C【解析】【分析】此题考查众数与中位数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大排列，位于中间的那个数或者中间两位数的平均数．【解答】解：共25名学生，则13名的成绩为中位数，即180，180出现次数最多，所以众数为180，故选C．6.【答案】C【解析】解：∵|a−4|+√8−b=0，∴a−4=0，8−b=0，解得：a=4，b=8，当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当8为腰时，三边为4，8，8，符合三角形三边关系定理，周长为：4+8+8=20．故选：C．并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据8，4分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．7.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】A.任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B.经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C.太阳从东方升起是必然事件；D.任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件．故选B．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．直接根据圆周角定理得出方程即可得出结论．【解答】解：∵2∠C=∠O，∵∠C+∠O=63°，∴∠O=42°，故选：D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，掌握两直线平行的条件是解题的关键，属于基础题．【解答】解：直线y=kx+b平行于直线y=3x−4，则k=3，又直线y=3x+b过点(1,−2)，则3+b=−2，所以b=−5，则则该直线的表达式是y=3x−5．故选C.10.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半可得CF =FB ，再由等边对等角可得∠BCF 的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得答案． 【解答】解：由作图可得：DE 是AB 的垂直平分线， ∵∠ACB =90°， ∴CF =FB ， ∵∠B =32°， ∴∠BCF =32°，∴∠AFC =32°+32°=64°． 故选：C ．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两， 可得方程组{5x +2y =102x +5y =8故选A ．12.【答案】C【解析】解：①∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形， ∴BC =CD ，CE =CG ，∠BCE =∠DCG ， 在△BCE 和△DCG 中，{BC =DC ∠BCE =∠DCG CE =CG， ∴△BCE≌△DCG(SAS)， ∴∠BEC =∠BGH ，∵∠BGH +∠CDG =90°，∠CDG =∠HDE ， ∴∠BEC +∠HDE =90°， ∴GH ⊥BE ． 故①正确；②∵GH 是∠EGC 的平分线， ∴∠BGH =∠EGH ，在△BGH和△EGH中，{∠BGH=∠EGH GH=GH ∠GHB=∠GHE ，∴△BGH≌△EGH(ASA)，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线∴HO//BG，HO=12BG，故②正确；③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH2=GM⋅GE，但由题意得：∠FOE=90°，因此③错误；④连接CF，如图所示：由(1)得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH=OG=OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC=∠CGH，∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，∴∠FMG=∠GBE，又∵∠EGB=∠FGM=45°，∴△GBE∽△GMF．故④正确，故选：C．①由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；②由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得出②正确；③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH2=GM⋅GE，但∠FOE=90°，得出③错误④连接CF，证明点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，得出△GBE∽△GMF，④正确．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、射影定理、圆周角定理等知识；熟练掌握正方形的性质，本题有一定难度，证明三角形全等和相似是解决问题的关键．13.【答案】3a(x+y)2【解析】解：3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2．故答案为：3a(x+y)2．先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.【答案】x≥2【解析】解：由题意得，x−2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15.【答案】4πcm2【解析】解：此几何体为圆锥；∵直径为2cm，母线长为4cm，∴侧面积=2π×4÷2=4π(cm2).故答案为4πcm2．俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．16.【答案】0【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．由x=2为方程的解，将x=2代入方程即可求出m的值．【解答】解：根据题意将x=2代入方程得：4(m−2)+8−2m2=0，整理得：2m2−4m=0，即2m(m−2)=0，解得：m=0或2，当m=2时，方程为4x−8=0，不合题意，舍去；则m=0，故答案为：0．17.【答案】16m【解析】解：∵坝高8米，迎水坡AC的高坡比为1：√3，∴AC=8√3m，故在Rt△BCA中，AB=√82+(8√3)2=16(m)．故答案为：16m．直接利用坡比得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AC的长是解题关键．)18.【答案】(2,12【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可以求得点P的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】)，解：设点P的坐标为(a,1a∵四边形OAPB是正方形，∴a=1a，解得a=1或a=−1(舍去)，∴点P的坐标为(1,1)，∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE=DF=12，当y=12时，12=1x，得x=2，∴点F的坐标为(2,12).故答案为(2,12).19.【答案】解：(−2)−1−4cos30°+|−12|+√12−(3−π)0=−0.5−4×√32+0.5+2√3−1=−2√3+2√3−1=−1【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：解不等式2x−7<3(x−1)，得：x>−4，解不等式43x+3<1−23x，得：x<−1，则不等式组的解集为−4<x<−1，将解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】40【解析】解：(1)总人数是：12÷30%=40，则二等奖的人数是：40−4−12−16=8．(2)扇形统计图中表示“二等奖”的扇形的圆心角的度数为840×360°=72°；(3)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有6种情况，∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是：612=12．(1)根据优秀奖的有12人，占30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数，即可求得二等奖的人数；(2)利用360°乘以对应的百分比，即可求得圆心角的度数；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生恰好是1男1女的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：先过点B作BG⊥DE于点G．∵DE⊥CE，EC⊥CF，DF⊥AC，∴四边形DECF是矩形，∵BC=1m，DE=2m，∴EG=BC=1m，DG=BF=1m，在Rt△DBF中，∵∠BDF=30°，BF=1m，∴DF=BFtan30∘=1√33=√3，同理，在Rt△ADF中，∵∠ADF=60°，DF=√3，∴AF=DF⋅tan60°=√3×√3=3(m)．∴AB=AF+BF=3+1=4m．答：壁画AB的高度是4米．【解析】先过点B 作BG ⊥DE 于点G ，由于DE ⊥CE ，EC ⊥CE ，DF ⊥AC ，故四边形DECF 是矩形，BC =1m ，DE =2m ，所以EG =BC =1m ，故DG =BF =1m ，在Rt △DBF 中，由锐角三角函数的定义可求出DF 的长，同理在Rt △ADF 中由锐角三角函数的定义可求出AF 的长，根据AB =AF +BF 即可得出结论．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键． 23.【答案】解：(1)设文具店购进A 种羽毛球排x 副，B 种羽毛球排y 副，由题意，得{12x +10y =1200(15−12)x +(12−10)y =270， 解得：{x =50y =60， 即这个文具店购进A 种羽毛球排50副，B 种羽毛球排60副；(2)设A 种羽毛球排每副的最低售价为m 元，由题意，得50(m −12)+2×60(12−10)≥340，解得：m ≥14，故A 种羽毛球排每副的最低售价为14元．【解析】(1)利用文具店用1200元购进了A 、B 两种羽毛球拍，全部售完后共获利270元，分别得出等式，组成方程组求出答案；(2)利用再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，得出不等式求出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等式是解题关键．24.【答案】(1)证明：∵OC ⊥AB ，CD//BA ，∴∠DCF =∠AHF =90°，∴CD 为⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥AB ，AB =8，∴AH =BH =AB 2=4，在Rt △BCH 中，∵BH =4，BC =5，由勾股定理得：CH =3，∵AE//BC ，∴∠B =∠HAF ，∵∠BHC =∠AHF ，BH =AH ，∴△HAF≌△HBC ，∴FH =CH =3，CF =6，连接BO ，设BO =x ，则OC =x ，OH =x −3．在Rt △BHO 中，由勾股定理得：42+(x −3)2=x 2，解得x =256，∴OF =CF −OC =116， 答：OF 的长是116．【解析】(1)根据平行线的性质和垂直的定义推出∠DCF =90°，根据切线的判定即可判断；(2)根据垂径定理得到AH =BH =3，根据勾股定理求出CH ，证△HAF≌△HBC ，得出FH =CH =3，CF =6，连接BO ，设BO =x ，则OC =x ，OH =x −3，由勾股定理得到42+(x −3)2=x 2，求出方程的解，就能求出答案． 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，平行线的性质，切线的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．25.【答案】(1)反比例函数y =2013x 是闭区间[1,2013]上的“闭函数”.理由如下： 反比例函数y =2013x 在第一象限，y 随x 的增大而减小，当x =1时，y =2013；当x =2013时，y =1，所以，当1≤x ≤2013时，有1≤y ≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y =2013x是闭区间[1,2013]上的“闭函数”；(2)分两种情况：k >0或k <0．①当k >0时，一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象是y 随x 的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，{km +b =m kn +b =n， 解得：{k =1b =0． ∴此函数的解析式是y =x ；②当k <0时，一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象是y 随x 的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，{km +b =n kn +b =m， 解得：{k =−1b =m +n． ∴此函数的解析式是y =−x +m +n ；(3)∵该二次函数y =x 2的图象开口方向向上，最小值是0，且当x <0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大；∴分以下三种情况讨论：①当0≤a <b 时，根据闭函数定义知：{a 2=a b 2=b， 解得：{a =0b =1或{a =0b =0(舍)或{a =1b =0(舍)或{a =1b =1(舍)； ②当a <0<b 时，此时二次函数的最小值为0，由闭函数定义知a 2=0，b 2=a 或b 2=b ， 解得：{a =0b =0(舍)或{a =0b =1(舍)； ③当a <b ≤0时，根据闭函数定义知：{a 2=b b 2=a， 解得：{a =0(舍)或{a =1(舍)；综上，a =0，b =1．【解析】(1)根据反比例函数y =2013x 的单调区间进行判断；(2)根据新定义运算法则列出关于系数k 、b 的方程组{km +b =m kn +b =n 或{km +b =n kn +b =m ，通过解该方程组即可求得系数k 、b 的值；(3)二次函数y =x 2的图象开口方向向上，最小值是0，且当x <0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大；分以下三种情况：0≤a <b 、a <0<b 、a <b ≤0，分别根据闭函数定义列出关于a 、b 的方程组，求解后依据a 、b 的范围取舍即可得． 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．26.【答案】解：(1)将D(2,3)、B(−4,0)的坐标代入抛物线表达式得：{4a +2b −2=316a −4b −2=0，解得：{a =12b =32， 则抛物线的解析式为：y =12x 2+32x −2；(2)过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =k′x +b′得：{0=−4k′+b′b′=−2，解得：{k′=−12b′=−2， 则直线BC 的表达式为：y =−12x −2，设点M 的坐标为(x,12x 2+32x −2)，则点K(x,−12x −2)，S △BMC =12⋅MK ⋅OB =2(−12x −2−12x 2−32x +2)=−x 2−4x ，∵a =−1<0，∴S △BMC 有最大值，当x =−b 2a =−2时，S △BMC 最大值为4，点M 的坐标为(−2,−3)；(3)如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ， 过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为(−2,−3)，设：点Q 坐标为(−2,m)，点A 、C 的坐标为(1,0)、(0,−2)，tan∠OCA =OA OC =12，∵QH//y 轴，∴∠QHN =∠OCA ，∴tan∠QHN =12，则sin∠QHN =√5， 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =mx +n 得：{m +n =0n =−2， 则直线AC 的表达式为：y =2x −2，则点H(−2,−6)，在Rt △QNH 中，QH =m +6，QN =OQ =√(−2)2+m 2=√m 2+4，sin∠QHN =√5=QN QH =√m 2+4m+6，解得：m =4或−1，即点Q 的坐标为(−2,4)或(−2,−1)．【解析】(1)将D(2,3)、B(−4,0)的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)设点M 的坐标为(x,12x 2+32x −2)，则点K(x,−12x −2)，S △BMC =12⋅MK ⋅OB ，即可求解；(3)如图所示，tan∠QHN =12，在Rt △QNH 中，QH =m +6，QN =OQ =√(−2)2+m 2=√m 2+4，sin∠QHN =√5=QNQH =√m 2+4m+6，即可求解．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是(3)，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．。