功动能定理
动能定理动能与功的关系
动能定理动能与功的关系动能定理是物理学中一个重要的原理，它描述了动能与功之间的关系。
在本文中，我们将探讨动能定理的概念以及它与功的关系。
一、动能的定义和计算方法动能是一个物体由于运动而具有的能量，是物体运动能量的量度。
根据经典力学，动能可以通过以下公式计算得出：动能（K）= 1/2 ×质量（m）×速度的平方（v²）其中，质量（m）是物体的质量，速度（v）是物体的速度。
二、功的定义和计算方法功是由力对物体所做的功效，是描述力对物体转移能量的物理量。
根据经典力学，功可以通过以下公式计算得出：功（W）= 力（F）×距离（d）× cosθ其中，力（F）是施加在物体上的力，距离（d）是力在物体运动方向上的位移，θ是力和位移之间的夹角。
三、动能定理的概念动能定理是描述动能与功之间关系的定理。
它表明，物体的动能的变化等于施加在物体上的净合外力所做的功。
即：ΔK = Wnet其中，ΔK表示动能的变化量，Wnet表示净合外力所做的功。
四、动能定理的示例应用为了更好地理解动能定理与功的关系，我们可以通过一个示例来说明。
假设有一个质量为2kg的物体以速度5m/s向前运动，受到一个由正方向施加的10N的恒力作用，并且恒力和物体的运动方向相同。
求物体在2s内的动能的变化量。
首先，根据动能的定义和计算方法，可以计算出物体在初始时刻（t=0）和终止时刻（t=2）的动能分别为：K1 = 1/2 × 2kg × (5m/s)² = 25JK2 = 1/2 × 2kg × (5m/s)² = 25J然后，计算净合外力所做的功。
根据功的计算方法，可以得到：Wnet = 力 ×距离× cosθ = 10N × 2m × 1 = 20J最后，根据动能定理，可以得到动能的变化量：ΔK = K2 - K1 = 25J - 25J = 0 J这说明在2s内，物体的动能没有发生变化。
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
§2-6功 动能 动能定理
F (3 2t )i (SI) 的作用，从静止出发沿x轴运
动，求：当t=1s时物体的速度 解：由质点的动能定理
例2 一物体质量M=2kg的质点，受合外力
1 A Fdx mv 2 0 0 2
t
A (3 2t )dx ?
由牛顿定律求出a，转化为运动学第二类问题
动能定理: 合外力对质点所作的功等于质点动 能的增量. 功是一个过程量，而动能是一个状态量，动能定 理是过程量和状态量增量的关系。
讨论 1）合力做正功时，质点动能增大；反之，质点 动能减小。 2）动能的量值与参考系有关。 3）动能定理由牛顿第二定理推出，所以只适用于 质点,只适用于惯性系。 4）质点速度接近光速，则动能定理的叙述不变， 但动能表达式改变!
3.功率
力在单位时间内做的功，用P 表示
F v
功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做 同样的功花费的时间就越少。
例1 设作用在质量为2kg物体上的力F= 6t.如果物体 由静止出发沿直线运动，求头2秒内该力所作的功？ 解： 这是变力作功的问题。以物体的起始位置为原
点，向右为正取坐标如图：
A Fi ri
从a→b变力 Fi 作的总功为：
当 ri 0 时求和变为积分，沿曲线L
A
b
0
a
b F dr F cos dr
a
2
,
dA 0
dA < 0 dA = 0
= 2,
2 < <,
A是标量， 反映了能量的变化，功的正负取决于 力与位移的夹角。 在具体计算时，由于
2-6 功 动能 动能定理
一 功 功是表示力对空间累积效应的物理量。 1. 恒力作用 直线运动 若F是恒力且物体沿直线运动发生位移 a→b ,
功 功率和动能定理
功 功率和动能定理一、基础知识要记牢1、恒力．．做功的公式：W ＝Fl cos α 若力的方向时刻变化，但力的方向始终与运动方向相同或相反，则可用W ＝Fl 求此变力的功，其中l 为物体运动的路程。
2、功率(1)平均功率：P ＝W t＝F v cos α (2)瞬时功率：P ＝F v cos α3、输出功率：P ＝F v ，其中F 为机车牵引力。
4、的两种启动方式：(1)恒定功率启动（包含两个过程：变加速→匀速）。
(2)匀加速启动（包含三个过程：匀加速→变加速→匀速）5、定理表达式：W 合＝E k 2－E k 1说明：(1)W 合为物体在运动过程中外力的总功。
(2)动能增量E k 2－E k 1一定是物体在末初．．两状态动能之差。
二、方法技巧要用好1、功率启动(1)机车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速直线运动，速度图像如图2－1－5所示，当F ＝F 阻时，v m ＝P F ＝P F 阻。
(2)功能关系：Pt －F 阻x ＝12m v 2－0。
图2－1－5 2、加速度启动(1)速度图像如图2－1－6所示。
机车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后获得匀加速的最大速度v 1。
若再加速，应保持功率不变做变加速运动，直至达到最大速度v m 后做匀速运动。
(2)经常用到的公式： 图2－1－6 ⎩⎪⎨⎪⎧ F －F 阻＝ma P ＝F v P 额＝F 阻v m v 1＝at 其中t 为匀加速运动的时间3、动能定理解题的基本步骤巩固练习[以选择题的形式考查，常涉及功的正负判断、功的计算、平均功率与瞬时功率的分析与计算等]1、一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时速率为1 m/s。
从此刻开始在与速度平行的方向上施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2－1－1甲和乙所示，两图中F、v取同一正方向。
则()图2－1－1A．滑块的加速度为1 m/s2B．滑块与水平地面间的滑动摩擦力为2 NC．第1 s内摩擦力对滑块做功为－0.5 JD．第2 s内力F的平均功率为3 W2(2012·江苏高考)如图2－1－2所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。
动能定理动能与功的转化
动能定理动能与功的转化动能定理：动能与功的转化动能定理是研究物体运动中动能与功的转化关系的重要原理。
根据这一定理，我们可以更深入地理解物体的运动状态以及力的影响。
本文将详细介绍动能定理的概念和具体应用。
一、动能的概念与计算方法动能是物体运动所具有的能量，它与物体的质量和速度相关。
根据经典力学理论，动能K可以用下式计算：K = (1/2)mv²其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
二、功的概念与计算方法功是力对物体产生的作用量，它描述了力的大小和方向与物体位移的关系。
在力沿着物体运动方向的情况下，功可以通过以下公式计算：W = F·s·cosθ其中，F表示力的大小，s表示物体的位移，θ表示力与位移之间的夹角。
三、动能定理的表述与意义动能定理给出了动能与功之间的重要关系。
它的数学表述如下：ΔK = W即动能的变化量等于力对物体所做的功。
动能由于速度的不同而具有变化，而这种变化与外力对物体所做的功恰好相等。
动能定理的意义在于揭示了动能与物体运动状态的密切联系。
当物体受到外力作用时，动能的变化可以通过外力对物体所做的功来表示。
四、动能定理的实际应用1. 运动物体的动能转化当一个物体在运动过程中，受到外力作用导致其速度发生变化时，动能也会相应地发生变化。
根据动能定理，我们可以通过计算作用力对物体所做的功，来了解动能的变化情况。
例如，当一个小球从一定高度自由落下时，它的动能会随着下落的高度增加而增加。
重力对小球所做的功将转化为小球的动能，使得小球在下落过程中速度逐渐增大。
2. 动能与速度的关系动能与物体的速度成正比，即动能随速度的增加而增加。
这也表明，速度越大的物体具有更大的动能。
例如，当一个投掷物以较高的速度运动时，由于其速度较大，其动能也会相应增加。
这在日常生活中可以应用到诸如击球运动、射箭等活动中，通过增加物体的速度，从而增加其动能，提高运动的效果。
3. 动能定理在能量守恒定律中的应用动能定理与能量守恒定律存在紧密联系。
第4章1 功 动能定理
mg
T v dr
l
v 2 gl(cos cos 0 )
1.53 m s
1
8
例2. 如图， 长为 L ，质量为 m 的匀质链条，置于水平桌面上，链条与桌 面之间的摩擦系数为μ， 下垂部分的长度为 a 。链条由静止开始运动，求在 链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功和链条离开桌面时的速率。 解: （1）重力所作的功： 链条下端在y时，重力所作元功
x y z
3
A Ax Ay Az
功的单位 1J 1N m 做功的三个要素：力、物体、过程 3. 功率 平均功率 瞬时功率
A P t
A dA P lim F v t 0 t dt
P Fv cos
功率的单位：瓦特（W） 1W 1J s 1
vB
2
2
定义：动能（状态函数）—— E 1 mv 2 E p k k
2
2
5 2m
动能定理 ——合力对质点所作的功数值上等于该质点动能的增量。
A EkB E kA
注意： 功和动能都与 参考系有关；动能定理仅适用于惯性系 。
6
例 1 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳的上端
18
1 引力势能
rB Gm1m2 AAB f dr rA r 3 r dr ( L) A ( L) rB Gm1m2 Gm1m2 Gm1m2 dr 2 ( L ) rA r rB rA AAB E p EPA E pB 选 rB= 为零势点,EpB=0 m1m2 m1 , m2 两质点引力势能 E p r G r 重力势能:
固定在天花板上。起初把绳子放在与竖直线成 30 角处, 然后放
功动能定理
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
G O
x
M2
y
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
9
二.弹性力的功
弹簧弹性力
F kxi
F
O x1
15
即：一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但这对力作功 的总和不一定为0。
例：恒力F 作用在箱子上从左端到右端，一次小车固定，另一
次没固定，以地面为参照系，
F
A.两次 F 作功相等；
B.两次摩擦力对箱子作功相同；
C.两次箱子获得动能相同，F 作功相同；
D.两次由于摩擦力生热相同。
[ D]
16
任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位 移，而与参考系的选择无关。
dr
x
cos
b
dA
F
dr
2
F 在ab一段上的功
A
b
aL
F
dr
在直角坐标系中
在自然坐标系中 说明
A
b
a
L（ Fxdx
Fydy
Fzdz）
dr ds
b
A F cosds aL
(1) 功是标量，且有正负
(2) 合力的功等于各分力的功的代数和
A
b
a
L
F
dr
b
a
L
(
F1
F2
Fn )
dr
§3.1 功
空间积累：功
F
动能定理物体的动能与力的做功
动能定理物体的动能与力的做功动能定理：物体的动能与力的做功动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与力的做功之间的关系。
在本文中，我们将探讨动能定理的定义、原理以及应用。
一、动能定理的定义动能定理是指在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
简而言之，物体的动能增加或减少的大小，正好等于作用于物体的力所作的功。
二、动能定理的原理物体的动能可以通过它的质量和速度来定义，即动能 = 1/2 ×质量 ×速度的平方。
力的功可以用力的大小、物体的位移和力与位移之间的夹角来定义，即做功 = 力 ×位移× cosθ。
根据动能定理，在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
表示为：物体的动能的增量 = 力的做功。
三、动能定理的应用1. 物体的动能和速度关系：根据动能定理，物体的动能正比于其速度的平方。
当速度增加时，动能增加；当速度减小时，动能减小。
2. 动能与重力势能的转换：在重力场中，当物体从较高位置下降到较低位置时，重力对物体做功，并将其势能转化为动能。
反之，当物体由较低位置上升到较高位置时，动能将转化为重力势能。
3. 动能与弹性势能的转换：在弹性体系中，物体由于受到压缩或伸展而具有弹性势能。
当物体释放出弹性势能时，它将转化为动能。
4. 动能定理的应用于机械工作：在机械运动中，动能定理可应用于机器的工作原理和能量转换的分析。
比如，在运输系统中，我们可以通过应用动能定理来计算物体在传送过程中所需的能量和功率。
总结：动能定理是物体的动能与力的做功之间的关系。
它可以帮助我们理解物体运动时的能量转化过程，并应用于各种实际情况的分析和计算。
通过深入研究动能定理，我们可以更好地理解物体运动的本质和力学规律。
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x
b
F在
dr一段上的功：
dA
F
drcos
dA
F
dr
2
F 在ab一段上的功
A
b
aL
F
dr
在直角坐标系中
在自然坐标系中 说明A Nhomakorabeab
a
L（ Fxdx
Fydy
Fzdz）
dr ds
b
A F cosds aL
(1) 功是标量，且有正负
(2) 合力的功等于各分力的功的代数和
A
b
a
L
F
dr
b
a
L
(
F1 F2
第3章 功和能
图为秦山核电站全景
1
§3.1 功
空间积累：功
F
F
时间积累：冲量
θ
M
M
研究力在空间的积累效应 功、 a
动能、势能、动能定理、机械能
s
b
守恒定律。
z
一.恒力的功 A Fs cosθ
A FS
aM
r
F
θ
dr
二.变力的功
求质点M 在变力作用下，沿曲线
O r dr
y
轨迹由a 运动到b，变力作的功
10
三.万有引力的功
F 在位移元
dr上的元功为
dA dr
F cos
drcos(
dr
)
F
drGcmorsM2
dA
G
mM r2
dr
万有引力 F 在全部路程中的功为
b
r2
dr
F
m
dr
M
r1
a
A
r2 r1 (
L
)
G
mM r2
dr
GmM ( 1 r2
1) r1
结论
(1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所
解：
vy
dy dt
16
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
vx
dx dt
4t 2
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2320t3dt 1200 J
1
6
例
已知用力 F 缓慢拉质量为m
的小球，F 保持方向不变
求 由 0 增大到 0 的过程中，F作的功。
x2
x
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
A
x2 kxdx
x1
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变
量平方之差的一半。
结论
(1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径
无关。
(2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，
弹性力作负功。
13
二. 质点系动能定理
把质点动能定理应用于质点系内所有质点
并把所得方程相加有:
i
Ai
i
1 2
mivi22
i
1 2
miv
2 i1
Ai Ai外 Ai内
i
i
i
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
讨论
(1) 内力和为零,内力功的和是否为零？
14
例如：子弹穿过木块过程中，
子弹对木块的作用力为f，木
解 F T sinθ 0
T cosθ mg 0
F mg tanθ
A
F
dr
F
cosθ
ds
mg tanθ cosθ ds
θ0 mg sin θLdθ 0
Lθ T
F
G
y
mgL(1 cos θ0 )
x
7
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动
求 t = 02s 内F 作的功及 t = 2s 时的功率。
块对子弹的反作用力为f′，
f'
木块的位移为s，子弹的位移
f
为（s+l）。
f 对木块作功： f s 0
s
l
f ' 对子弹作功： f '(s l) 0
对系统的合功为： f s f '(s l) f 'l
子弹减少的能量转变成木块的动能和热能，摩擦生热，为 一对作用力和反作用力作功之和。不为零。
任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位 移，而与参考系的选择无关。
(2) 内力的功也能改变系统的动能 例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转
化为弹片的动能。
17
例 一轻弹簧的劲度系数为 k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动距离x2=0.1m而停止。
行经的路径无关。
11
(2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O 时，万有引力作负功。
四.摩擦力的功
摩擦力 F 在这个过程中所作的功为
A M2 F cosds M1 L
F mg
F
M1
v
M2
摩擦力方向始终与质点速度方向相反 cos 1
A mgs
结论
摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经 的路径有关。
Fn )
dr
b
aL
F1
dr
b
a
L
F2
dr
b
aL
Fn
dr
A1 A2 An
3
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关 (4) 作功与参照系有关。
f静
例如：传送带将箱子从低处 运到高处，地面上的人看摩 擦力作功了，而站在传送带 上的人看摩擦力没有作功。
4
三. 功率
力在单位时间内所作的功，称为功率。
平均功率
P A t
当 t 0 时的瞬时功率 P lim A dA t0 t dt
P
F
dr
Fv
Fv
cosθ
dt
5
例 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质
点的速度为
v
4t
2i
16
j
,开始时质点位于坐标原点。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
G O
x
M2
y
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
9
二.弹性力的功
弹簧弹性力
F kxi
F
O x1
15
即：一对作用力和反作用力大小相等方向相反，但这对力作功 的总和不一定为0。
例：恒力F 作用在箱子上从左端到右端，一次小车固定，另一
次没固定，以地面为参照系，
r F
A.两次 F 作功相等；
B.两次摩擦力对箱子作功相同；
C.两次箱子获得动能相同，F 作功相同；
D.两次由于摩擦力生热相同。
[ D]
16
解 F 6t dv
m
dt
v 3t2 dx dt
dx 3t2dt
A
x
Fdx
t F 3t2dt
236t3dt 144J
0
0
0
P Fv 12t 3t2 288W
8
§3.2 几种常见力的功
一.重力的功
z M1
②
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
m①
A
M2
M1 1
12
§3.3
一.质点动能定理
dA
F
dr
m
动能定理
dv
dr
vr drr
mv dvdt
mvdv
dt
A
dA
v2
v1
mvdv
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质 点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。
说明
(1) Ek 是一个状态量, A 是过程量。 (2) 动能定律只适用于惯性系。