2.第二单元 方程(组)与不等式(组)

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第二单元
方程（组）与不等式（组）
考点3
一元二次方程的应用
１．列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方 程（组）解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、 答六步． ２．列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问 题是常考内容． （１）增长率等量关系：
增长量 A.增长率 = 基础量
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方程（组）与不等式（组）
解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，省外境 内投资合作项目为y个， x y 80 ， 根据题意得 8x6 y 360 解得
x133 . y 215
（2）133×6＋215×7.5＝2410.5（亿元）． 答：（1）境外投资合作项目为133个，省外境内投 资合作项目为215个．（2）东道主湖南省共引进资 金2410.5亿元．
x1 x2 x12 x22 = x2 x1 x1 x2
9 3 ( x1 x2 ) 2 2 x1x2 4 7 . 3 x1x2 2 2 返回考点

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方程（组）与不等式（组）
【归纳总结】解决关于一元二次方程的代数式 求值问题时，常用到根与系数的关系．常见的 变形形式有：
4x 3 y 1 2 y 4 x 1
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方程（组）与不等式（组）
考点３ 一次方程（组）的实际应用（高频考点）
１．列方程（组）解实际问题的步骤： （１）审：即审清题意，分清题中的已知量、未 知量； （２）设：即设关键未知数； （３）列：即找出适当等量关系，列方程（组）； （４）解：即解方程（组）； （５）验：即检验所解答案是否正确或是否符合 题意； （６）答：即规范作答，注意单位名称．
(4) x1 x2 ( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 .
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方程（组）与不等式（组）
变式题2（’13荆州）已知关于
x的方程
kx (3k 1) x 2(k 1) 0.
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（１）求证：无论ｋ为何实数，方程总有实数根； （２）若此方程有两个实数根且 x1 x2 2,求k 的值． 【思路分析】（１）确定判别式的范围即可得出 结论；（２）根据根与系数的关系表示出 x1 x2 , x1 x2 , 继而根据题意可得出方程，解出即可．
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方程（组）与不等式（组）
变式题１（’12岳阳）若关于ｘ的一元二次方 程有实数根，则 kx2 (2k 1) x (k 1) 0 1 k 且k 0 8 k的取值范围是_____________ ．
【解析】根据一元二次方程有实根，则需满足 k 0 ,由此可 两个条件，即 2 (2k 1)
a( x m)( x n) 0 的方程，用因式分解法求 x1 m, x2 n
(b2 4ac 0)
公式法
b b2 4ac x 2a 求根公式：x ③
若
配方法
ax2 bx c 0 不易于分解因式，可考虑配方为 2 a( x h) k , 再直接开方求解，配方法的关键是先将二
两个不相等的实数根． 2 （２）b 4ac ⑤ 两个相等的实数根． 2 b （３） 4ac ⑥ 有实数根．
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一元二次方程有 一元二次方程没
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方程（组）与不等式（组）
２．一元二次方程根与系数关系
设方程 ax bx c 0(a 0) 的两根分别为 x1 , x2 , 则 c b x1 x2 _______, x1 x2 ________. a a 如若 x1 , x2 , 是一元二次方程的 x2 x 2 0 两根，则 1 2 x1 x2 1, x1 x2 2. 1 1
类型一 类型二 类型三 类型四 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的实际应用

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方程（组）与不等式（组）
考点１
一元二次方程及其解法
１．一元二次方程及相关概念 （１）如果一个方程通过移项可以使右边为０， 而左边是只含有① 1 个未知数的② 2 次多 项式，这样的方程叫做一元二次方程． 2 （２）一元二次方程的一般形式是 ax bx c 0 （a，b，c是常数且a ≠０），其中a，b，c分别叫 作二次项系数，一次项系数，常数项．
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方程（组）与不等式（组）
（１）证明：①当 k 0 时，方程是一元一次 方程，有实数根； ②当 k 0 时，方程是一元二次方程，
b 4ac (3k 1) 4k (2k 1) (k 1) 0,
2 2 2
∴无论ｋ为何实数，方程总有实数根． （２）解：∵此方程有两个实数根 x1 , x2 ,

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方程（组）与不等式（组）
变式题2（’12长沙）以“开放崛起，绿色发展” 为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日 在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共 签订了境外与省外境内投资合作项目共348个， 其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投 资合作项目个数多51个． （１）求湖南省签订的境外．省外境内的投资合 作项目分别有多少个？ （２）若境外、省外境内投资合作项目平均每个 项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次 “中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿 元？
图①
图②
图③
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方程（组）与不等式（组）
类型一
一元二次方程的解法
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x 4 x 5 0. 例１ 解方程： 解：x2 4x 5 0, ( x 1)( x 5) 0, 则 x 1 0, 或 x 5 0, 所以 x1 1, x2 5. 【点评与拓展】解一元二次方程有四种方法，一般 地，当方程左边是一个完全平方形式，右边是零时， 考虑直接开平方法；当方程左边多项式可因式分解， 右边为零，或等号两边含有未知数的公共因式时， 可考虑用因式分解法；当方程既不易用直接开方法， 又不易用因式分解时，可选用公式法，配方法一般 不选取，除非有特殊说明时再应用．
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方程（组）与不等式（组）
常考类型剖析
类型一 类型二 二元一次方程组的解法 一次方程（组）的实际应用

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方程（组）与不等式（组）
考点２
二元一次方程（组）及其解法
１．二元一次方程 含有⑨ 两 个未知数，并且含未知数 的每一项都是⑩ 一次 的方程． ２．二元一次方程组 把两个含有相同未知数的二元一次方 程（或者一个二元一次方程，一个一 元一次方程）联立起来组成的方程 组．
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方程（组）与不等式（组）
类型一
二元一次方程组的解法
例１（’13成都）解方程组：
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方程（组）与不等式（组）
变式题１（’11永州）解方程组：
x y 3 5 x 3( x y) 1

• 23.(2011年长沙)某工程队承包了某标段全长1755 米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从 东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天 多掘进0．6米，经过5天施工，两组共掘进了45 米． • （1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米? • （2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩 余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0．2 米，乙组平均每天能比原来多掘进0．3米．按此 旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务?
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方程（组）与不等式（组）
类型三
一元二次方程根与系数的关系
2 2 x 3x 3 0 x 、 x 例3（’13攀枝花） 设 1 2 是方程
7 x1 x2 的值为_____. 的两个实数根，则 2 x2 x1
2 x 、 x 【解析】由 1 2 是方程 2 x 3x 3 0 的两个实数 3 3 根，由根与系数的关系知： x1 x2 = , x1 x2 = , 2 2
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次项系数化为１，再给方程两边加上一次项系数一半的平方
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方程（组）与不等式（组）
考点２ 一元二次方程根的判别 式及根与系数关系
1.一元二次方程根的判别式
2 ax bx c （ 0 a 0） 关于 x 的一元二次方程 2 b 的根的判别式为 4ac. （１）b 2 4ac ④ 0 一元二次方程有
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方程（组）与不等式（组）
２．一元二次方程的解法
直接开 平方法 因式分 解法 形如 ( x m) n(n 0) 的方程，可直接开方求解．则
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一般形式 ax 2 bx c （ 0 a 0）
x1,2 n m
可化为 解．则
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例：某服装店用6000元购进A，B两种新式服 装，按标价售出后可获得毛利润3800元（ 毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价 、标价如表所示： 价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）这两种服装各购进的件数； （2）如果A中服装按标价的8折出售，B中 服装按标价的7折出售，那么这批服装全部 售完后，服装店比按标价出售少收入多少 元？
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方程（组）与不等式（组）
第2课时
一元次二次方程及其应用
中考考点清单
考点１
一元二次方程及其解法
考点２ 一元二次方程根的判别式及根 与系数关系 考点３ 一元二次方程的应用
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