【精品】2015-2016年广西来宾市高一(上)期末数学试卷带解析
广西来宾市2016届高三数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年广西来宾市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z=（3﹣2i）i，则z﹣2=（）A．﹣2﹣9i B．﹣2+9i C．2﹣9i D．2+9i2．已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]3．某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91 5.5 B．91 5 C．92 5.5 D．92 54．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集为（）A．（0，1]∪（2，+∞）B．[0，+∞）C．[0，1] D．（0，+∞）6．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．407．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm38．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）A．y=3sin（x+）B．y=3sin（x+）C．y=3sin（x+）D．y=3sin（x+）9．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．810．已知P是直线；“3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的一条切线，A 是切点，那么△PAC的面积的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．211．已知A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是．则球O的表面积为（）A．π B．π C．πD．6π12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为．14．若数列a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有S n=2a n﹣1，则S6等于．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB=（2a+b）cos（π﹣C）．（1）求角C的大小；（2）若c=4，△ABC的面积为，求a+b的值．18．进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．19．如图，已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，M是BC 的中点．（1）求证：A1B∥平面AMC1；（2）求平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A，离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；（2）若对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥e x（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范围．请在22、23、24题中任选一题作答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年广西来宾市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z=（3﹣2i）i，则z﹣2=（）A．﹣2﹣9i B．﹣2+9i C．2﹣9i D．2+9i【考点】复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z=（3﹣2i）i=3i+2，则z﹣2=（2+3i）﹣2（2﹣3i）=2+3i﹣4+6i=﹣2+9i，故选：B．2．已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=x2≥0，得到A=[0，+∞），由B中y=lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴B=（﹣∞，1），则A∩B=[0，1），故选：B．3．某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A．91 5.5 B．91 5 C．92 5.5 D．92 5【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的平均数与方差即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5，S2= [（87﹣91.5）2+（88﹣91，5）2+（90﹣91.5）2+…+（97﹣91.5）2]=5，故选：A．4．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D5．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集为（）A．（0，1]∪（2，+∞）B．[0，+∞）C．[0，1] D．（0，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】分x≤1和x＞1两种情况列出不等式解出．【解答】解：（1）当x≤1时，21﹣x≤2，解得x≥0，∴0≤x≤1．（2）当x＞1时，1﹣log2x≤2，解得x≥，∴x＞1．综上，不等式f（x）≤2的解集是[0，1]∪（1，+∞）=[0，+∞）．故选B．6．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a 的值，然后再由规律求出常数项．【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．7．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．8．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）A．y=3sin（x+）B．y=3sin（x+）C．y=3sin（x+）D．y=3sin（x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先根据函数的图象确定函数的最值，进一步求出函数的周期及ω，再根据函数的最值确定φ，最后求出函数的解析式．【解答】解：根据函数的图象，得知：A=3，T=2（5﹣1）=8，所以：ω=当x=1时，f（1）=3，0＜φ＜π，解得：φ=，所以函数的解析式：f（x）=3sin（）故选：A9．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7．【解答】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．10．已知P是直线；“3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的一条切线，A 是切点，那么△PAC的面积的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，以及三角形的面积，将面积的最值问题转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，则圆心坐标为C（1，1），半径R=2，则△PAC的面积S==PA，∴要使△PAC的面积的最小，则PA最小，即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d==4，即PC=d=4，此时PA==2，即△PAC的面积的最小值为S=2，故选：D．11．已知A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是．则球O的表面积为（）A．π B．π C．πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】设△ABC的外接圆的半径为r，由已知求出r=1，由已知得D到平面ABC的最大距离为，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，=，∴2r==2，解得r=1，∵三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，A，B，C，D均在球O的球面上，∴D到平面ABC的最大距离为，设球O的半径为R，则，解得R=，∴球O的表面积为S=4πR2=．故选：C．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为﹣2 ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣，然后利用向量与共线，列出方程求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣1），﹣=（2﹣x，2），又﹣与共线，可得2x=﹣2+x，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．14．若数列a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有S n=2a n﹣1，则S6等于63 ．【考点】数列的求和．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n﹣1，∴当n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2．则S6==63．故答案为：63．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值5，即目标函数z=5x+y的最大值为5，故答案为5．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是y2=4x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把x=﹣代入，解得y，可得|AB|=，利用△AOB的面积为，可得=，再利用=2，解得．即可得出p．【解答】解：把x=﹣代入，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面积为，∴=，由=2，解得=．∴，解得p=2．∴该抛物线的标准方程是y2=4x．故答案为：y2=4x．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB=（2a+b）cos（π﹣C）．（1）求角C的大小；（2）若c=4，△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosC=﹣，由特殊角的三角函数值即可得解．（2）利用三角形面积公式可求ab=4，由余弦定理即可解得a+B的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵ccosB=（2a+b）cos（π﹣C）．∴sinCcosB=（﹣2sinA﹣sinB）cosC，∴sin（B+C）=﹣2sinAcosC，∴cosC=﹣，∴C=…（2）∵S△ABC=absinC=，∴ab=4，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=16．∴解得：a+B=2…18．进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，由此能求出a．（2）由已知得X的取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，解得a=0.03．（2）利用样本估计总体，该年度空所质量指数在（5，15]内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则X的取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=，∴EX=0×+1×+2×+3×=．19．如图，已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，M是BC 的中点．（1）求证：A1B∥平面AMC1；（2）求平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1C，交AC1于点O，连结OM，则A1B∥OM，由此能证明A1B∥平面AMC1．（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C，交AC1于点O，连结OM，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又∵M为BC中点，∴OM为△A1BC中位线，∴A1B∥OM，∵OM⊂平面AMC1，A1B⊂平面AMC1，∴A1B∥平面AMC1．解：（2）∵三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，M是BC的中点，∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，2），A1（0，2，2），则=（1，﹣2，0），=（2，﹣2，2），=（0，﹣2，0），=（1，0，﹣2），=（0，﹣2，0），=（1，0，﹣2），设平面AMC1的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，﹣1），设平面A1B1M的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（2，0，1），cos＜＞===，∴平面A1B1M与平面AMC1所成角的锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A，离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由离心率，推出b=c，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a、b，即可得到椭圆C方程．（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1），当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程组，令P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合x1x2+y1y2=0．推出3b2=2k2+2，利用直线PQ与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．【解答】解：（1）由题意得：，得b=c，因为，得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．…（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，由得（1+2k2）x2+4bkx+2b2﹣2=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），，…∵，∴x1x2+y1y2=0．∴，∴3b2=2k2+2．…因为直线PQ与圆相切，∴=所以存在圆当直线PQ的斜率不存在时，也适合x2+y2=．综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足题意．…21．已知函数f（x）=e x﹣ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；（2）若对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥e x（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导函数，对a讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）存在极小值，且极小值为0，可求a的值；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥e x（1﹣sinx）恒成立，等价于对任意x∈[0，]，不等式e x sinx﹣ax≥0恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣ax，∴f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的极小值点，由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e；（2）不等式f（x）≥e x（1﹣sinx），即e x sinx﹣ax≥0，设g（x）=e x sinx﹣ax，则g′（x）=e x（sinx+cosx）﹣a，g″（x）=2e x cosx，x∈[0，]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0，]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1﹣a．①1﹣a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0，]时为增函数，∴g（x）min=g （0）=0，此时g（x）≥0恒成立；②1﹣a＜0，即a＞1时，存在x0∈[0，]，使得g′（x0）＜0，从而x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是减函数，∴x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．请在22、23、24题中任选一题作答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，（1）求证：BE=2AD；（2）求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．（1）连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以△BDE∽△BCA，由此能够证明BE=2AD．【分析】（2）由条件得AB=2AC=2，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．【解答】（1）证明：连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，∴，∵AB=2AC，∴BE=2DE．∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，从而BE=2AD．（2）解：由条件得AB=2AC=2，设AD=t，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，∴（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，∴（2﹣t）×2=2t•2，解得t=，即AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sin θ﹣cos θ）=，∴，∴x ﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）． 得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0）（1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m ＞0，由f （x ）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f （2）＞5，求得m 的范围，再把所得m 的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m ＞0，有f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|﹣（x ﹣）+x+m|=+m ≥4，当且仅当=m ，即m=2时取“=”，所以f （x ）≥4成立．（Ⅱ）f （2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m ＞2时，f （2）=m ﹣+4，由f （2）＞5，求得m ＞．当≥2，即0＜m ≤2时，f （2）=+m ，由f （2）＞5，求得0＜m ＜1．综上，m 的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
广西来宾市高一上学期期末数学模拟试卷(1)
广西来宾市高一上学期期末数学模拟试卷（1）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合，，则=（）A . (1,2]B .C .D .2. （2分）如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x，将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f（x），则图像大致为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·晋中期末) 已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c 则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A . （﹣1，1）B . (-1,-)C . （﹣1，0）D . （）5. （2分） (2018高三上·南阳期末) 已知：，若方程有唯一的实数解，则（）A .B .C .D .6. （2分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A . 8cmB . 6cmC . 2(1＋ )cmD . 2(1＋ )cm7. （2分） (2017高二上·莆田月考) 已知点为椭圆上任意一点，则到直线的距离的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A . c＞b＞aB . b＞c＞aC . a＞c＞bD . a＞b＞c9. （2分） (2018高一上·庄河期末) 已知，，则直线通过（）A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第一、三、四象限D . 第二、三、四象限10. （2分）三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·大庆期中) 已知，，，则，，的大小关系为（）A .B .C .D .12. （2分）下列函数中，在区间（1，+∞）上为减函数的是（）A . y=B . y=2x﹣1C . y=D . y=ln（x﹣1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是________14. （1分） (2018高一下·长阳期末) 正数满足x＋2y＝2，则的最小值为________.15. （1分） (2020高二下·虹口期末) 在长方体中，，，则直线与所成的角的大小等于________.16. （1分） (2018高二上·南通月考) 下列关于直线和平面的四个命题中：⑴若，，则；（2）若，，，则；（3）若，，，则；（4）若，，则 .所有正确命题的序号为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2019高一上·鸡泽月考) 集合或，集合，且，求实数的取值范围．18. （10分） (2017高一上·深圳期末) 已知A（5，﹣1），B（m，m），C（2，3）三点．（1）若AB⊥BC，求m的值；（2）求线段AC的中垂线方程．19. （5分）如图是一个奖杯三视图，试根据奖杯三视图计算它的表面积与体积．（尺寸单位：cm，取，结果精确到整数）20. （15分） (2016高一上·上饶期中) 已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f （a）+f（b）﹣1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（2）=3，（1）求f（0）及f（1）的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并给予证明；（3）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21. （10分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 在某服装商场，当某一季节即将来临时，季节性服装的价格呈现上升趋势．设一种服装原定价为每件70元，并且每周(7天)每件涨价6元，5周后开始保持每件100元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周每件降价6元，直到16周末，该服装不再销售．（1）试建立每件的销售价格 (单位：元)与周次之间的函数解析式；（2）若此服装每件每周进价 (单位：元)与周次之间的关系为，，试问该服装第几周的每件销售利润最大？(每件销售利润＝每件销售价格－每件进价)22. （10分） (2019高二上·吉安月考) 如图，在五边形中，，，F 为的中点， .现把此五边形沿折成一个的二面角.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的平面角的余弦值参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2015-2016学年广西玉林市高一(上)数学期末试卷和 解析
2015-2016学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，3）2．（5.00分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．3．（5.00分）函数y=a x（a＞0，a≠1）与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．b a＞0 B．a+b＞0 C．a b＞1 D．log a2＞b4．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+45．（5.00分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m6．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）|x|在[2，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，4]C．[0，2]D．（﹣∞，2]7．（5.00分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l 1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交8．（5.00分）过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（）A．3条 B．2条 C．1条 D．0条9．（5.00分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m 的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣310．（5.00分）函数f（x）=3x﹣2x﹣3的零点的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．（5.00分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知直线y=2及y=4与函数y=3x图象的交点分别为A、B，与函数y=5x的交点分别为C、D，则直线AB与CD（）A．平行B．相交，且交点在第三象限C．相交，且交点在第四象限D．相交，且交点在原点二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（5.00分）已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=．14．（5.00分）若a=log43，则2a+2﹣a=．15．（5.00分）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是．16．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，给出以下命题：①直线A1B与AC所成的角的余弦值为；②动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为；③该长方体的外接球的表面积为6π；则上述命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）已知集合A={x|y=lg}，集合B={x|a＜x＜a+1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12.00分）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C 的坐标．19．（12.00分）已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．（1）函数是否属于集合M？说明理由；（2）设函数，求t的取值范围．20．（12.00分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．21．（12.00分）已知函数f（x）=lnx+2x．（1）用定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）设g（x）=ln，若对任意x1∈（0，1），x2∈（k，k+1）（k∈N），使f（x1）＜g（x2），求实数k的最大值．22．（12.00分）已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．2015-2016学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5.00分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，3）【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5.00分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：直线x+y﹣3=0的斜率为：﹣1，则直线的倾斜角为：．故选：C．3．（5.00分）函数y=a x（a＞0，a≠1）与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．b a＞0 B．a+b＞0 C．a b＞1 D．log a2＞b【解答】解：由图象可知，a＞1，b＜0；故log a2＞0，故log a2＞b；故选：D．4．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．5．（5.00分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．故选：A．6．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）|x|在[2，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，4]C．[0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：已知函数f（x）=（x﹣a）|x|=在[2，+∞）是增函数，则≤2，故a≤4，则实数a的取值范围是（﹣∞，4]，故选：B．7．（5.00分）若直线l 1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．8．（5.00分）过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（）A．3条 B．2条 C．1条 D．0条【解答】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则．即2a﹣2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l的方程为：，即x﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C．9．（5.00分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m 的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故选：C．10．（5.00分）函数f（x）=3x﹣2x﹣3的零点的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：令f（x）=3x﹣2x﹣3=0，则3x=2x+3，作函数y=3x与y=2x+3的图象如下，，∵两个函数图象有两个交点，∴函数f（x）=3x﹣2x﹣3的零点的个数是2，故选：C．11．（5.00分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k==，即为的最大值．故选：C．12．（5.00分）已知直线y=2及y=4与函数y=3x图象的交点分别为A、B，与函数y=5x的交点分别为C、D，则直线AB与CD（）A．平行B．相交，且交点在第三象限C．相交，且交点在第四象限D．相交，且交点在原点【解答】解：∵直线y=2及y=4与函数y=3x图象的交点分别为A、B，与函数y=5x的交点分别为C、D，∴A（log 32，2），B（log34，4），直线AB：，即y=2log23x．C（log52，2），D（log54，4），直线CD：，即y=2log25x，∴直线AB与CD相交，且交点在原点．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（5.00分）已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=2．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则2α=，∴α=，故函数的解析式为y f（x）=，∴f（4）==2，故答案为2．14．（5.00分）若a=log43，则2a+2﹣a=．【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．15．（5.00分）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．【解答】解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入可得：=1，解得a=5．∴直线方程为x﹣y﹣5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．故答案为：3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．16．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，给出以下命题：①直线A1B与AC所成的角的余弦值为；②动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为；③该长方体的外接球的表面积为6π；则上述命题中正确的有①③（填写所有正确命题的序号）【解答】解：①直线A1B与AC所成的角为∠C1A1B，故cos∠C1A1B=，故正确；②动点M在表面上从点A到点C1经过的最短路程为平面展开图中AC1=2，故错误；③该长方体的外接球的直径为对角线AC1=，故表面积为6π，故正确．故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）已知集合A={x|y=lg}，集合B={x|a＜x＜a+1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：对于集合A：＞0，化为（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1．∴A=（﹣1，1）．∵B⊆A，∴，解得﹣1≤a≤0．∴实数a的取值范围是[﹣1，0]．18．（12.00分）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C 的坐标．【解答】解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）19．（12.00分）已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．（1）函数是否属于集合M？说明理由；（2）设函数，求t的取值范围．【解答】解：（1）在定义域内，∵，f（x+1）=f（x）+f（1）∴，∵方程x2+x+1=0无实数解，∴∉M．（6分）（2）∵函数，∴lg=lg+lg，∴（t﹣2）x2+2tx+2（t﹣1）=0有实数解，t=2时，；t≠2时，由△=4t2﹣4（t﹣2）×2（t﹣1）≥0，得．∴．（12分）20．（12.00分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B 1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．21．（12.00分）已知函数f（x）=lnx+2x．（1）用定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）设g（x）=ln，若对任意x1∈（0，1），x2∈（k，k+1）（k∈N），使f（x1）＜g（x2），求实数k的最大值．【解答】解：（1）因为函数的定义域为（0，+∞），设x1＞x2＞0…（2分）则f（x1）﹣f（x2）=lnx1﹣lnx2+2（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函数∴f（x1）＜f（1）=2…（6分）令g（x 2）≥2即ln ≥2即x2+2≥e2（x2﹣2）得x2≤=2+，∵2+∈（2，3）…（8分）∴k max=2…（10分）22．（12.00分）已知圆C：x2+y2=9，点A（﹣5，0），直线l：x﹣2y=0．（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．【解答】解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为，（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，；当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，，依题意，，解得，t=﹣5（舍去），或．下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数．设P（x，y），则y2=9﹣x2，∴，从而为常数．方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2=λ2PA2，∴（x﹣t）2+y2=λ2[（x+5）2+y2]，将y2=9﹣x2代入得，x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2（x2+10x+25+9﹣x2），即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3，3]恒成立，∴，解得或（舍去），所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．。
2015-2016学年广西来宾市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年广西来宾市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)2015-2016学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，则a5的值是（）A．9 B．13 C．17 D．21 2．下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＜b D．若，则a＜b3．若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知命题P：∀x＞2，x3﹣8＞0，那么￢P是（）A．∀x≤2，x3﹣8≤0 B．∃x＞2，x3﹣8≤0C．∀x＞2，x3﹣8≤0 D．∃x≤2，x3﹣8≤05．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（﹣）﹣=（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297 7．在△ABC中，a 2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]9．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．10．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x 上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2 C．D．11．若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小值为4B．f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增C．f（x）的最大值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式＞0的解集是．14．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC 的形状一定是三角形．15．公差非0的等差数列{a n}满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的公差d=．16．设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．18．等差数列{a n}中，a3=3，a1+a4=5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．20．已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE 与平面PDB所成的角的大小．22．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．2015-2016学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，则a5的值是（）A．9 B．13 C．17 D．21【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】由题目给出的数列的通项公式直接代入n的值求a5的值．【解答】解：由数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，得a5=4×5﹣3=17．故选C．【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由数列的通项求某一项的值，是基础的计算题．2．下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．3．若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，【解答】解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．4．已知命题P：∀x＞2，x3﹣8＞0，那么￢P是（）A．∀x≤2，x3﹣8≤0 B．∃x＞2，x3﹣8≤0C．∀x＞2，x3﹣8≤0 D．∃x≤2，x3﹣8≤0【考点】命题的否定；全称命题．【专题】规律型．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题P为全称命题，其否定为特称命题，则￢P：∃x＞2，x3﹣8≤0，故选B．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（﹣）﹣=（）A．B．C．D．【考点】向量的减法及其几何意义．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则即可得出．【解答】解：（﹣）﹣=﹣=，故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297 【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．7．在△ABC中，a 2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A是三角形的内角，可得A的大小．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc，∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x﹣z 截距最大，z最小．此时z max=2．z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．9．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF 2的周长为4a，即可求解．【解答】解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF 1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．10．已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x 上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+d的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得|PA|+d的最小值为|AF|=故答案为：2【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．11．若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小值为4B．f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增C．f（x）的最大值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减【考点】对勾函数．【专题】作图题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接画出对勾函数f（x）=x+的图象的大致形状，由图象得答案．【解答】解：函数f（x）=x+的定义域为{x|x≠0}，函数的图象如图，由图可知，函数在定义域上无最小值，故A错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故B正确；函数在定义域上无最大值，故C错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故D错误．故选：B．【点评】本题考查对勾函数的图象和性质，熟记的图象是关键，是基础题．12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线﹣=1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，即有≥，由e2===1+≥，∴e≥，故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，考查离心率的范围的求法，解题时要注意渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式＞0的解集是{x|﹣1＜x＜，x∈R}．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】不等式＞0说明：1﹣2x 和x+1是同号的，可等价于（1﹣2x）（x+1）＞0，然后解二次不等式即可．【解答】解：不等式＞0等价于（1﹣2x）（x+1）＞0，不等式对应方程（1﹣2x）（x+1）=0的两个根是x=﹣1 和x=．由于方程对应的不等式是开口向下的抛物线，所以＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}故答案为：{x|﹣1＜x＜，x∈R}【点评】本题考查分式不等式的解法，考查转化思想，计算能力，是基础题．14．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC 的形状一定是等腰三角形．【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】等式即2cosBsinA=sin（A+B），展开化简可得sin（A﹣B）=0，由﹣π＜A﹣B＜π，得A﹣B=0，故三角形ABC是等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，即2cosBsinA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，即sin（A﹣B）=0，∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰．【点评】本题考查两角和正弦公式，诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin（A﹣B）=0，是解题的关键．15．公差非0的等差数列{a n}满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的公差d=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式即可得到结论．【解答】解：∵a1，a2，a4成等比数列，a3=6，∴a1=6﹣2d，a2=6﹣d，a4=6+d，则（6﹣d）2=（6﹣2d）（6+d），即3d2=6d，解得d=2或d=0（舍），故答案为：2．【点评】本题主要考查等差数列的公差的计算，根据条件建立方程组是解决本题的关键．16．设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为9．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先把转化成=（）（x+y）展开后利用均值不等式进行求解，注意等号成立的条件．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，∴的最小值是9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得：sinAcosC﹣sinCsinA=0，即可解得tanC=，从而求得C的值；（Ⅱ）由面积公式可得S △ABC==6，从而求得得a的值，由余弦定理即可求c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosC﹣sinCsinA=0．…因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而cosC=sinC，又cosC≠0，…所以tanC=，所以C=．…（Ⅱ）在△ABC中，S △ABC==6，得a=6，…由余弦定理得：c2=62+42﹣2×=28，所以c=2．…【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．18．等差数列{a n}中，a3=3，a1+a4=5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由解得a1与d，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用a n=n，a n+1=n+1，可得，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）1=n．（Ⅱ）∵a n=n，∴a n+1=n+1，∴，∴=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于中档题．19．（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程；（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），∵抛物线的准线方程为x=﹣，∴=，解得p=，故所求抛物线的标准方程为y2=x．（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=，∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1．【点评】本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考查双曲线方程，属于基础题．20．已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx﹣a+2=0的两根分别为﹣1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax﹣a+2）＞0，由此讨论﹣1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE 与平面PDB所成的角的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．22．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A （x1，y1），B（x2，y2），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合，得到A，B的横坐标的乘积再由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）求得A，B 的纵坐标的乘积，最后把△OAB的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF 1|+|AF2|=，∴a=，c=2，∴b2=4，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，∵，∴，∴，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∴，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则====，∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，S△OAB=．即△OAB的面积为定值2．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。
2015-2016年广西来宾市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，则a5的值是（）A．9B．13C．17D．212．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b3．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知命题P：∀x＞2，x3﹣8＞0，那么￢P是（）A．∀x≤2，x3﹣8≤0B．∃x＞2，x3﹣8≤0C．∀x＞2，x3﹣8≤0D．∃x≤2，x3﹣8≤05．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（﹣）﹣=（）A．B．C．D．6．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=（）A．66B．99C．144D．2977．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°8．（5分）已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2] 9．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB 过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．410．（5分）已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2C．D．11．（5分）若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小值为4B．f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增C．f（x）的最大值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）不等式＞0的解集是．14．（5分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．15．（5分）公差非0的等差数列{a n}满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的公差d=．16．（5分）设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC ﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．18．（12分）等差数列{a n}中，a3=3，a1+a4=5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．20．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．22．（12分）已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O 为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．2015-2016学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，则a5的值是（）A．9B．13C．17D．21【解答】解：由数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，得a5=4×5﹣3=17．故选：C．2．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．3．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．4．（5分）已知命题P：∀x＞2，x3﹣8＞0，那么￢P是（）A．∀x≤2，x3﹣8≤0B．∃x＞2，x3﹣8≤0C．∀x＞2，x3﹣8≤0D．∃x≤2，x3﹣8≤0【解答】解：命题P为全称命题，其否定为特称命题，则￢P：∃x＞2，x3﹣8≤0，故选：B．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（﹣）﹣=（）A．B．C．D．【解答】解：（﹣）﹣=﹣=，故选：C．6．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则S9=（）A．66B．99C．144D．297【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选：B．7．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc，∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选：D．8．（5分）已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z max=2．z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，故选：C．9．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．10．（5分）已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2C．D．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得|PA|+d的最小值为|AF|=故选：A．11．（5分）若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小值为4B．f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增C．f（x）的最大值为4D．f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减【解答】解：函数f（x）=x+的定义域为{x|x≠0}，函数的图象如图，由图可知，函数在定义域上无最小值，故A错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故B正确；函数在定义域上无最大值，故C错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故D错误．故选：B．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）【解答】解：已知双曲线﹣=1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，即有≥，由e2===1+≥，∴e≥，故选：D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）不等式＞0的解集是{x|﹣1＜x＜，x∈R} ．【解答】解：不等式＞0等价于（1﹣2x）（x+1）＞0，不等式对应方程（1﹣2x）（x+1）=0的两个根是x=﹣1 和x=．由于方程对应的不等式是开口向下的抛物线，所以＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜}故答案为：{x|﹣1＜x＜，x∈R}14．（5分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．【解答】解：在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，即2cosBsinA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，即sin（A﹣B）=0，∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰．15．（5分）公差非0的等差数列{a n}满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的公差d=2．【解答】解：∵a1，a2，a4成等比数列，a3=6，∴a1=6﹣2d，a2=6﹣d，a4=6+d，则（6﹣d）2=（6﹣2d）（6+d），即3d2=6d，解得d=2或d=0（舍），故答案为：2．16．（5分）设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为9．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）•（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，∴的最小值是9．故答案为：9．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC ﹣csinA=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosC﹣sinCsinA=0．…（2分）因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而cosC=sinC，又cosC≠0，…（4分）所以tanC=，所以C=．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，S==6，得a=6，…（9分）△ABC由余弦定理得：c2=62+42﹣2×=28，所以c=2．…（12分）18．（12分）等差数列{a n}中，a3=3，a1+a4=5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•1=n．（Ⅱ）∵a n=n，∴a n+1=n+1，∴，∴=．19．（12分）（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），∵抛物线的准线方程为x=﹣，∴=，解得p=，故所求抛物线的标准方程为y2=x．（2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=，∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1．20．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．22．（12分）已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O 为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，∴a=，c=2，∴b2=4，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，∵，∴，∴，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∴，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则====，∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，S△OAB=．即△OAB的面积为定值2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
广西壮族自治区来宾市合山高级中学高一数学文上学期期末试卷含解析
广西壮族自治区来宾市合山高级中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为．2 ．4 ．6 ．8参考答案：D2. 以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C－AD－B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形．( )A．30° B．60° C．90° D．45°参考答案：A3. 若，则的值为_________.参考答案：1略4. 求值：tan42°+tan78°﹣tan42°?tan78°=（）A．B．C．D．参考答案：C考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：观察发现：78°+42°=120°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（78°+42°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°?tan42°=﹣．故选：C．点评：此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为120°，联想到利用120°角的正切函数公式是解本题的关键，属于基础题．5. 在△ABC中，a=2，b=，c=1，则最小角为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】HR：余弦定理．【分析】由题意，C最小，根据余弦定理cosC=，可得结论．【解答】解：由题意，C最小，根据余弦定理可得cosC===，∵0＜C＜π，∴C=．故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．6. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是A B CD参考答案：C7. 若,当时，则的值为（）A．50 B．52 C．104 D．106参考答案：D8. 当x1≠x2时，有f（），则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（）A．y=x B．y=|x| C．y=x2 D．y=log2x参考答案：C【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．【专题】计算题；新定义．【分析】先求出f（）的解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断f（）和的大小关系，再根据“严格下凸函数”的定义域，得出结论．【解答】解：A、对于函数y=f（x）=x，当x1≠x2时，有f（）=，=，f（）=，故不是严格下凸函数．B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1≠x2 ＞0时，f（）=||=，==，f（）=，故不是严格下凸函数．C、对于函数 y=f（x）=x2，当x1≠x2时，有f（）==，=，显然满足f（），故是严格下凸函数．D、对于函数y=f（x）=log2x，f（）=，==，f（）＞，故不是严格下凸函数．故选C．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，“严格下凸函数”的定义，属于中档题．9. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A． B． C．D．参考答案：C略10. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合是单元素集，则▲。
广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学高一数学文上学期期末试题含解析
广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若A、B是△ABC的内角，且，则A与B的关系正确的是( )A. B. C. D. 无法确定参考答案：B【分析】运用正弦定理实现边角转换，再利用大边对大角，就可以选出正确答案.【详解】由正弦定理可知：,，因此本题选B.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形大边对大角的性质.2. 如果角的终边过点，则的值等于A．B． C． D．参考答案：D3. 设,其中,如果，求实数的取值范围.参考答案：A={0，-4}，又A B=B，所以B A．(i）B=时，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1；………………4分(ii)B={0}或B={-4}时，0 得a=-1；………………8分(iii）B={0，-4}，解得a=1．………………12分综上所述实数a=1 或a-1．………………13分4. 正方体中，异面直线与所在的角是（）A． B. C. D.参考答案：B略5. 若，则A. B. C. D.参考答案：D6. 平面截球的截面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4π C．4π D．6π参考答案：B略7. 设函数，集合，设，则（）A． B． C． D．参考答案： D 略8. 已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（ ）项A ．B ．C ．D ． 参考答案： B9. 已知满足，且，，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B10. 已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（ ）A ．和均为的最大值 B ．C ．公差D ．参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且，则c= 。
参考答案：略12. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．参考答案：【考点】弧长公式． 【专题】计算题．【分析】解直角三角形AOC ，求出半径AO ，代入弧长公式求出弧长的值． 【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C 为垂足，并延长OC 交于D ，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC 中，r=AO==，从而弧长为 αr=2×=，故答案为．【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO 的值，是解决问题的关键，属于基础题．13. 设是偶函数，是奇函数，那么的值为 *** ．参考答案：14. 若函数y=log a （ax 2+3ax+2）的值域为R ，则a 的取值范围是__________．参考答案：[，1）∪（1，+∞） 考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，从而解a 的取值范围．解答：解：∵y=log a （ax 2+3ax+2）的值域为R ，∴，解得，≤a＜1或a ＞1，故答案为：[，1）∪（1，+∞）．点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择 15. 计算：= ．参考答案：4【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】利用指数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=2﹣+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是 ． 参考答案：17. 已知函数f （x ）是奇函数，且f （2）=3，则f （﹣2）= ．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用． 【分析】直接利用奇函数的性质求解即可．【解答】解：函数f （x ）是奇函数，且f （2）=3，则f （﹣2）=﹣f （2）=﹣3． 故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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2015-2016学年广西来宾市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5.00分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，8}B．{3，7，8}C．{1，3，7，8}D．{1，3，6，7，8}2．（5.00分）下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（）A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=03．（5.00分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.44．（5.00分）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象为（）A．B．C．D．5．（5.00分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+（y+2）2=1 D．（x+1）2+（y﹣2）2=16．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①④C．②④D．①③7．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．8．（5.00分）函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5.00分）如果函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥310．（5.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5.00分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）12．（5.00分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5.00分）函数y=的定义域为．14．（5.00分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=．15．（5.00分）一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为、、3，则球的体积为．16．（5.00分）已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（10.00分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且平行于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．18．（12.00分）已知集合A={x|y=lg，B={x|23x﹣1＞2x}，C={x|log0.7（2x）＜log0.7（x﹣1）}，求A∩B，B∪C．19．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．20．（12.00分）圆心在直线5x﹣3y﹣8=0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．21．（12.00分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．22．（12.00分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年广西来宾市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5.00分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，8}B．{3，7，8}C．{1，3，7，8}D．{1，3，6，7，8}【解答】解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选：C．2．（5.00分）下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（）A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=0【解答】解：选项A，1×（﹣1）﹣2×（﹣2）=3≠0，故不与已知直线平行；选项B，方程可化为x﹣2y+1=0，以已知直线重合，故不正确；选项C，1×4﹣2×（﹣2）=8≠0，故不与已知直线平行；选项D，1×（﹣4）﹣2×（﹣2）=0，且1×1﹣1×2≠0，与已知直线平行．故选：D．3．（5.00分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B 正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选：C．4．（5.00分）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞1时，根据函数y=a﹣x在R上是减函数，故排除A、B；而y=log a x的在（0，+∞）上是增函数，故排除D，故选：C．5．（5.00分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+（y+2）2=1 D．（x+1）2+（y﹣2）2=1【解答】解：由于圆（x+2）2+（y﹣1）2=1的圆心C′（﹣2，1），半径为1，圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，故C（2，﹣1）、半径为1，故圆C的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1，故选：A．6．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①④C．②④D．①③【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交，如图所示，所以错误，故选：A．7．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，而且圆锥和圆柱的底面积相等，故此几何体的直观图是：故选：D．8．（5.00分）函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题知，解得b=4，c=2故，当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解．又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解．故选：C．9．（5.00分）如果函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴x=，∵函数在区间（，1）上是减函数，∴（，1）在对称轴的左侧，∴≥1，得a≥3．故选：D．10．（5.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图：连接B1G，EG∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°故选：D．11．（5.00分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故选：B．12．（5.00分）奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选：A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5.00分）函数y=的定义域为（﹣1，2）．【解答】解：求函数y=的定义域，∴⇒﹣1＜x＜2，∴函数的定义域为{x|﹣1＜x＜2}故答案为（﹣1，2）．14．（5.00分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=．【解答】解：点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离d==1，化简得：|a+1|=，解得a=﹣1或a=﹣﹣1，又a＞0，所以a=﹣﹣1不合题意，舍去，则a=﹣1．故答案为：﹣115．（5.00分）一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为、、3，则球的体积为．【解答】解：∵一个长方体的顶点在球面上，它的长、宽、高分别为、、3，∴该球的半径R==2，∴球的体积V===．故答案为：．16．（5.00分）已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为2．【解答】解：∵圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（1，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小．∵圆心到直线的距离为d==3，∴PA=PB=2．故四边形PACB面积的最小值为2S=2××PA×r=2．△PAC故答案为：2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．（10.00分）已知直线l经过两条直线2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交点，且平行于直线4x﹣3y﹣7=0，求直线l的方程．【解答】解：联立，解得P（3，2），设与直线4x﹣3y﹣7=0平行的直线方程为：4x﹣3y+m=0，把P（3，2）代入可得：4×3﹣3×2+m=0，m=﹣6．∴直线l的方程为：4x﹣3y﹣6=0．18．（12.00分）已知集合A={x|y=lg，B={x|23x﹣1＞2x}，C={x|log0.7（2x）＜log0.7（x﹣1）}，求A∩B，B∪C．【解答】解：由A中y=lg，得到4﹣x＞0，即x＜4，∴A={x|x＜4}，由B中不等式变形得：3x﹣1＞x，即x＞，∴B={x|x＞}，由C中不等式变形得：，即x＞1，∴C={x|x＞1}，则A∩B={x|＜x＜4}，B∪C={x|x＞}．19．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．【解答】解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG=PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP=AB=，EG=．∴S=AB•BC=××2=，△ABC=S△ABC•EG=××=．∴V E﹣ABC20．（12.00分）圆心在直线5x﹣3y﹣8=0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．【解答】解：与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x=y或x=﹣y又圆心在5x﹣3y﹣8=0上若x=y，则x=y=4；若x=﹣y，则x=1，y=﹣1所以圆心是（4，4）或（1，﹣1）因为半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离所以圆心是（4，4），则r=4；圆心是（1，﹣1），则r=1所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=16和（x﹣1）2+（y+1）2=1．21．（12.00分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E为PC的中点．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求二面角E﹣AB﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AC⊥AB，又∵∠BCA=90°，∴AC⊥CB，∵CB⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，PB∩CB=B，AC⊥平面PBC，又BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE，∵E为PC中点，且PB=PC，∴BE⊥PC，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PBC，PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．（2）过E作EF⊥BC，F为垂足，则EF∥PB，∵PB⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∵AB⊂面ABC，∴EF⊥AB，过F作FM⊥AB，M为垂足，连结EM，∵EF∩FM=F，∴AB⊥面EFM，∵EM⊂面EFM，∴AB⊥EM，∴∠EMF为二面角E﹣AB﹣C的平面角，在Rt△EFM中，EF=，FM=FBsin∠B=，EM==，sin==，∴二面角E﹣AB﹣C的正弦值为．22．（12.00分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．经检验a=2，b=1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。