【教育资料】第三章 3.1.1学习精品

§3.1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点 两角和与差的余弦公式思考1 如何用角α，β的正、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗？试举出两例加以说明．答案 不正确．例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos π4＝22， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22， 故cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32， 故cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？答案 A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)．OA →与OB →的夹角是α－β.思考3 请根据上述条件推导两角差的余弦公式．答案 ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.思考4 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．梳理 两角和与差的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.C α－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ )提示 如α＝π4，β＝π2，cos(α－β)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22，满足cos(α－β)＝cos α－cos β. 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( × )提示 由两角差的余弦公式可知不正确．3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( √ )类型一 利用两角和与差的余弦公式求值例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°.解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°＋105°)＝cos 120°＝－12. 反思与感悟 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差或和，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差或和的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 105°；(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.解 (1)原式＝cos(150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° ＝－32×22＋12×22＝2－64. (2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝32. 类型二 给值求值例2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值． 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6. 又因为cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6. 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517， sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292 ＝－2029. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思与感悟 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等． 跟踪训练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． 解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.类型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． 解 由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，即cos β＝17×1314＋437×3314＝12. 又∵0<β<π2， ∴β＝π3. 反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1.又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.∴2β＝π，则β＝π2.1．计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12 C.22 D.32答案 C解析 cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝cos π4＝22.2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b 等于() A.22 B.12 C.32 D ．－12答案 A解析 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75 D ．－15答案 B解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，cos α＝45， ∴2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4 ＝cos α－sin α＝45－35＝15. 4．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值． 解 ∵(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452，以上两式展开，两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 5．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α＋β)的值． 解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35. 因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213－⎝⎛⎭⎫－45×513＝3665＋2065＝5665. 1．公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如： cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等. 一、选择题1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12. 2．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226B.12－5313C.5＋12326D.5＋5313答案 A解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∴θ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1213， ∴cos θ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且α<β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，2α∈(0，π)，∴sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋⎝⎛⎭⎫31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.4．若cos(α＋β)＝35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝513，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为() A.22 B.32C.5665 D.3665答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝513，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45， cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35×1213＋45×513＝5665，故选C.5．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－32答案 B解析 sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12，故选B. 6．化简sin(x ＋y )sin(y －x )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( )A ．sin 2yB ．cos 2yC ．－cos 2yD ．－sin 2y 答案 C解析 原式＝－cos[(x ＋y )－(x －y )]＝－cos 2y ，故选C.二、填空题7．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. 答案 3－66解析 由题意可得sin α＝63，cos α＝33， cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α ＝32×33－12×63＝3－66. 8.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________． 答案3 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 9．已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则sin β＝________. 答案 －1－m 2解析 cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝cos[(α－β)－α]＝m ，即cos β＝m .又∵β为第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－m 2.10．设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )．若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________. 答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )．又－π2＜A －B ＜π2， ∴A －B ＝±π3. 三、解答题11．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010. ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4. 12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，求cos(α－β)的值． 解 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＋sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β ＝2－2cos (α－β)＝255， ∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35. 13．已知cos α－2cos β＝－32，sin α－2sin β＝13，求cos(α－β)的值． 解 由⎩⎨⎧ (cos α－2cos β)2＝⎝⎛⎭⎫－322(sin α－2sin β)2＝⎝⎛⎭⎫132，得⎩⎨⎧ cos 2α－4cos αcos β＋4cos 2β＝94，sin 2α－4sin αsin β＋4sin 2β＝19.两式相加，得5－4cos(α－β)＝8536，所以cos(α－β)＝95144. 四、探究与拓展14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 15．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213.∴cos α＝35.(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513， ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－513×35＋1213×45＝3365.。