高等数学讲义(三)
高等数学常微分方程讲义,试题,答案
高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
高等数学精简讲义(pdf版)
f ''(0) + 1 6
f '''(η2 )
两式相减： f '''(η1 ) + f '''(η2 ) = 6
∃ξ
∈[η1，η2 ]，∋
f
'''(ξ )
=
1[ 2
f
'''(η1) +
f
'''(η2 )] =
3
13. e < a < b < e2 ，求证： ln 2 b − ln 2 a > 4 (b − a) e2
三、补充习题（作业）
1. lim e x −1 − x = −3 （洛必达） x−>0 1 − x − cos x
2. lim ctgx( 1 − 1 )
x−>0
sin x x
∫x x e−t2 dt
3. lim x−>0
0
1− e−x2
=1
（洛必达或 Taylor） （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
二、题型与解法 A.极限的求法
（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1. lim x−>0
证： f (x) = f (0) + f '(0)x + 1 f ''(0)x2 + 1 f '''(η)x3
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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
高等数学讲义
高等数学讲义 第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2． 函数的三种表示方法(1) 图像法(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3． 函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f4． 基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin22+=x y ， （2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
专升本高等数学讲义
a
（2）几何意义：曲边梯形的面积 • 定积分的性质 （1）
b
a
f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx
a c
c
b
（2）若 f (x) 0,x [a,b] ，则
b
a
f (x)dx 0
2、定积分
•
变限积分
（1）变上限积分的概念： （2）变限积分求导定理：
x
a
f (t )dt 是关于上限 x 的函数。
x =x0
=f (x0 )x
（2） dy =ydx
3、应用
• 中值定理 (a,b)可导；f (a)=f (b) （1）罗尔定理：若 y f (x) 满足：在 [a,b] 连续； 则至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( )=0 。 （2）拉格朗日中值定理： f ( )= • 洛必达法则
4、典型例题
• • • • • • •
x arcsin - 1 的定义域。 2 3 - x2 x,1< x 4 例2：设 f (x) ，求 f (x2 ) 的定义域。 sin x, x 1 1 ,g (x)=1+x 2 ，求 f g (x) ,g f (x) 。 例3：设 f (x) 1+x
x f (t )dt =f (x) a (x ) f (t )dt =f (x) (x) a b f (t )dt =-f g (x) g(x) g (x ) (x ) f (t )dt = c f (t )dt + (x ) f (t )dt =f (x) (x)-f g(x) g(x) c g (x ) g (x )
高等数学讲义教材
高等数学讲义教材第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中最基本的概念之一，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
函数可以用公式、图表或者图形来表示。
在这一章中，我们将介绍函数的定义、分类以及常见的函数性质。
1.2 极限的概念与性质极限是数学分析的重要概念之一。
它描述了随着自变量趋近某个值时，函数的变化趋势。
在这一节中，我们将介绍极限的定义、性质以及常见的求解方法。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与求导法则导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
它可以用于求解函数的最大值、最小值以及函数的图像特征。
在这一节中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及常见的导数计算方法。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种应用形式，它可以用于求解函数在某一点上的近似变化量。
在这一节中，我们将介绍微分的概念、微分的计算方法以及微分在实际问题中的应用。
第三章积分与定积分3.1 积分的定义与性质积分是导数的反向运算，它可以用于计算曲线下面的面积、求解定积分以及求解函数的原函数。
在这一章中，我们将介绍积分的定义、性质以及常见的积分计算方法。
3.2 定积分的定义与应用定积分是积分的一种特殊形式，它可以用于求解曲线下面的面积、计算曲线的长度以及求解函数的平均值。
在这一节中，我们将介绍定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程4.1 微分方程的基本概念微分方程是描述自变量、函数及其导数之间关系的方程。
它在物理学、工程学以及经济学中有着广泛的应用。
在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念、分类以及常见的解法方法。
4.2 常微分方程的解法常微分方程是一类特殊形式的微分方程，它可以用一些常见的解法方法进行求解。
在这一节中，我们将介绍常微分方程的解法思路、常微分方程的解法技巧以及常微分方程在实际问题中的应用。
结语高等数学是大学数学学科中的重要课程之一。
通过学习这门课程，我们可以深入理解函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程等概念与方法，为今后的学习与研究打下坚实的数学基础。
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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
高数学习资料含讲义及全部内容
第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i ΛΛΛΛΛΛ 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
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第5讲 不定积分这一讲开始了积分学部分，它由不定积分和定积分两部分组成，本讲介绍不定积分。
5.1 原函数与不定积分概念在微分学部分，我们研究的问题是求已知函数的导函数，例如已知2)(x x f =，那么它的导函数x x f 2)(='。
不定积分研究的问题与之相反，已知2)(x x f =，那么它是哪个函数的导函数？或者说哪个函数求导后等于)(x f 。
当然我们不难发现3)(3x x F =的导函数正是)(x f ，也就是说)(x f 是)(x F 的导函数。
这里)(x F 和)(x f 又是什么关系呢？一、原函数与不定积分定义5.1 已知函数)(x f 在某区间上有定义，如果存在函数)(x F ，使得在该区间的任一点处，都有关系式)()(x f x F ='或x x f x F d )()(d =成立，则称函数)(x F 是函数)(x f 在该区间上的一个原函数。
由定义5.1我们知道3)(3x x F =就是2)(x x f =的一个原函数。
不过我们可以发现由定义5.1，13)(3+=x x G 也是)(x f 的一个原函数，也就是说原函数是不唯一的，其实不仅不唯一，而且无穷多，事实上C x +33都是)(x f 的原函数。
定理5.1如果函数)(x F 是函数)(x f 在某区间上的一个原函数，则)(x f 的全体原函数可以表示为C x F +)(（C 是任意常数）。
定义5.2 设函数)(x f 在某区间上有原函数，则)(x f 的全体原函数称为)(x f 在该某区间上的不定积分。
记为⎰x x f d )(其中x 称为积分变量，)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，“⎰”称为积分号。
由定理5.1可知，如果)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F x x f +=⎰)(d )(由前面所提，有C x x x +=⎰3d 32例1 求)1(d ⎰-≠ααxx 。
解 本例的关键是找出αx 的原函数，由导数运算得αααx x )1()(1+='+可以整理为αααx x ='++)(111 再根据导数运算的性质)1()(1111'+='+++ααααx x 即αααx x ='++)1(1由定义可知)1(1d 1⎰-≠++=+ααααC x x x上例要求1-≠α，也就是说x1的不定积分不含在该例的结果中。
例2 求⎰x x d 1。
解 当0>x 时，由导数运算得xx 1)(ln =' 当0<x 时，由复合函数求导法则得)(1))(ln()(ln '--='-='x xx x xx 11=--=由定义可知⎰+=C x x x ln d 1例3 求⎰x a x d 。
解 由导数运算得a a a x x ln )(='可以整理为x x a a a=')(ln 1再根据导数运算的性质)ln ()(ln 1'='aa a a x x即x xa aa =')ln ( 由定义可知⎰+=C a a x a xxln d求不定积分与求导（或微分）互为逆运算，这点从下面的等式可以看出)()d )((x f x x f ='⎰ x x f x x f d )()d )((d =⎰C x f x x f +='⎰)(d )( C x f x f +=⎰)()(d二、基本积分公式在讨论不定积分运算的开始，我们也试图先给出基本初等函数的积分公式，出乎意料，我们只得到如下公式 ⎰=C x d 0)1(1d 1⎰-≠++=+ααααC x x x⎰+=C x x x ln d 1⎰+=C aa x a xxln d ⎰+=C x x x e d e⎰+-=C x x x cos d sin ⎰+=C x x x sin d cos⎰+=C x x x tan d cos 12⎰+-=C x x xcot d sin 12⎰+=-C x x xarcsin d 112⎰+=+C x x x arctan d 112在以上基本积分公式中，我们并没有发现对数函数、正切函数和余切函数的不定积分公式，原因是我们没有发现哪些函数求导后是这几个函数。
三、不定积分的运算法则我们也试图寻找类似于导数四则运算法则的相应结论，我们得到若)(x f 与)(x g 都存在原函数，c 为常数，则 ⎰⎰=x x f c x x f c d )(d )( ⎰⎰⎰±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([例4 求⎰-+x x x xd )22(cos 。
解 由不定积分运算法则和基本积分公式得⎰⎰⎰⎰-+=-+x x x x x x x x xx d 2d 2d cos d )22(cos⎰-+=x x x xd 22ln 2sin 21C x x x ++-+=+12112122ln 2sin C x x x +-+=23342ln 2sin 例5 求⎰x xx d e 3。
解 函数乘积的积分公式并不存在，但经适当变换可得⎰⎰=x x x x x d (3e)d e 3C x+=(3e)ln (3e)C xx ++=13ln e 3例6 求⎰-x xx d )1(22。
解 函数相除的积分公式也不存在，但经适当变换可得⎰⎰+-=-x x x x x x x d 12d )1(2222⎰+-=x x x )d 121(2C xx x +--=1ln 25.2 换元积分法如果被积函数中含有复合函数，符合以下定理条件的，可以按照定理的结论求出不定积分。
定理5.2 若已知C x F x x f +=⎰)(d )(且)(x ϕ是可导函数，则有C x F x x x f +='⎰))((d )())((ϕϕϕ 定理5.2的方法称为第一换元积分法（也称凑微分法），它的具体步骤是⎰⎰=')(d ))((d )())((x x f x x x f ϕϕϕϕ⎰==u u f ux d )()(ϕC u F +=)( C x F +=))((ϕ例7 求⎰x x x d e 2。
解 在本例中，2)(x x =ϕ，所以x x 2)(='ϕ，由凑微分法得⎰⎰⋅=x x x x x x d e 221d e 22⎰'=x x x d )(e 2122⎰=)d(e 2122x x⎰==u uux d e 212 C u+=e 21 C x +=2e 21例8 求⎰x x d tan 。
解 由凑微分法得⎰⎰⎰--==x x xx x x x x d cos sin d cos sin d tan ⎰'-=x x x d cos )(cos⎰-=)(cos d cos 1x x⎰-==u uu x d 1cosC u +-=ln C x +-=cos ln 例9 求⎰x x d cot 。
解 由凑微分法得⎰⎰=x x xx x d sin cos d tan ⎰'=x x x d sin )(sin⎰=)(sin d sin 1x x⎰==u uu x d 1sinC u +=ln C x +=sin ln例10 求⎰x xx d 1sin2。
解 在本例中，x x 1)(=ϕ，所以21)(xx -='ϕ，由凑微分法得 ⎰⎰--=x x x x x x )d 1(1sin d 1sin22 ⎰'-=x x x d )1(1sin⎰-=)1(d 1sin x x⎰-==u u u xd sin 1 C u +=cos C x+=1cos例11 求⎰x xxd e。
解 在本例中，x x =)(ϕ，所以xx 21)(='ϕ，由凑微分法得⎰⎰=x xx xx x)d 21(e 2d e⎰'=x x xd )(e 2 ⎰=)(d e2x x⎰==u u ux d e 2C u+=e 2 C x+=e 2例12 求⎰x x xd ln 。
解 在本例中，x x ln )(=ϕ，所以xx 1)(='ϕ，由凑微分法得 ⎰⎰⋅=x xx x x x )d 1(ln d ln ⎰'=x x x d )(ln ln ⎰=)(ln d ln x x⎰==u u ux d lnC u +=22C x+=2ln 25.3 分部积分法如果被积函数中没有复合函数，而且是乘积的形式，怎样求不定积分呢？我们给出下面的公式⎰⎰'-='x x v x u x v x u x x v x u d )()()()(d )()(我们称这个公式为分部积分公式。
验证它是很容易的，由乘积的求导法则)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='上式两端积分得⎰⎰'+'=x x v x u x x v x u x v x u d )()(d )()()()(上式右端第2项移到等式左端就得到分部积分公式。
分部积分公式也可以写成另一种形式⎰⎰-=u v v u v u d d利用分部积分公式的关键，是确定公式中的u 和v ，而且这里的v 还是以导数的形式出现，所以需要凑微分。
例13 求⎰x x xd e 。
解 由分部积分法得⎰⎰'=x x x x x x d )e (d e⎰=)e (d xx ⎰-=x x xxd e eC x x x +-=e e例14 求⎰x x x d cos 。
解 由分部积分法得⎰⎰'=x x x x x x d )(sin d cos⎰=)(sin d x x ⎰-=x x x x d sin sinC x x x ++=cos sin在上两个例子中，在凑微分时，我们都没有使用幂函数，大家可以思考一下为什么？例15 求⎰x x d ln 。
解 由分部积分法得⎰⎰-=)(ln d ln d ln x x x x x x⎰⋅-=x xx x x d 1ln ⎰-=x x x d lnC x x x +-=ln由此还可得到⎰⎰⎰==x x a x a x x x a d ln ln 1d ln ln d log C axa x x +-=ln ln ln例16 求⎰x x d arcsin 。
解 由分部积分法得⎰⎰-=)(arcsin d arcsin d arcsin x x x x x x⎰--=x x x x x d 1arcsin 2⎰--=x x x x x d 122arcsin 2⎰--+=)1(d 121arcsin 22x x x xC x x x +-+=21arcsin由本例看出，有些问题的求解，不能只依靠分部积分法，还需要和换元积分法结合起来。