2017-2018学年高中数学 考点39 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用(含2017年高考试题)新人

考点39 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、 选择题1.(2017·全国丙卷·文科·T2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【命题意图】本题考查复数的运算. 【解析】选C.由题意知:z=-1-2i. 二、 填空题2.(2017·天津高考文科·T12)设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 .【命题意图】综合考查抛物线性质与圆的方程.考查转化的思想和通过坐标法利用向量工具解题的能力.【解析】方法一:设圆心坐标为C(-1,m), 则A(0,m),焦点F(1,0),AC =(-1,0),AF =(1,-m),cos ∠CAF=AC AF AC AF∙∙=1-+,由于圆C 与y轴的正半轴相切,则取m=,所求圆得圆心为所求圆的方程为(x+1)2)2=1.答案:(x+1)2)2=1此抛物线的准线方程为x=-1,图象如图所示.故FAC=120°,∠CAO=90°,所以∠FAO=120°-90°y==的圆心坐标为(-1, ),故此圆的方程为)2=1.答案:(x+1)2)2=1二、简答题3.(2017·全国乙卷文科·T20)设A,B 为曲线C:y=24x 上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率.(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程. 【命题意图】本题以抛物线为命题载体,考查直线与圆锥曲线位置关系的解题策略. 【解析】(1)设A ()11,y x ,B ()22,y x ,则k AB =2121y y x x --=22212144x x x x --=214x x +=1.(2)设M 200,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则C 在M 处的切线斜率k=k AB =y'x x ==12x 0=1, 所以x 0=2,则M ()2,1,又AM ⊥BM,k AM ·k BM =1112y x --·2212y x --=211142x x --·222142x x -- =()()122216x x ++=()12122416x x x x +++=-1,即x 1x 2+2()12x x ++20=0,又设AB:y=x+m 代入x 2=4y, 得x 2-4x-4m=0,所以x 1+x 2=4,x 1x 2=-4m, -4m+8+20=0,所以m=7,所以直线AB 的方程为y=x+7.4.(2017·全国丙卷·理科·T20)(12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上.(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程.【解析】(1)a 1当直线l ⊥x 轴时,将x=2代入y 2=2x 得y=±2, 故|AB|=4,圆的半径为2,故原点O 在圆M 上,b.当直线l 不垂直于x 轴时,设AB 的方程为y=k(x-2)①,因为抛物线C 的方程为y 2=2x ②,联立①②得,k 2x 2-(4k 2+2)x+4k 2=0,设A,B 坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k +③,x 1x 2=4④,则OA ·OB =x 1·x 2+y 1·y 2=x 1·x 2+k 2(x 1-2)(x 2-2)=(1+k 2)x 1·x 2-2k 2(x 1+x 2)+4k 2⑤将③④代入⑤得OA ·OB =4(1+k 2)-2(4k 2+2)+4k 2=0,故OA ⊥OB,又因为AB 为直径,所以原点O 在圆M 上.(2)若斜率k 不存在时,则圆M 不经过P(4,-2),故斜率k 存在.因为圆M 过点P(4,-2),所以PA ⊥PB,即PA ·PB =0.将点P,A,B 的坐标代入得(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0,即x 2x 2+y 1y 2-4(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)+20=0⑥,由于y 1+y 2=k(x 1-2)+k(x 2-2)=k(x 1+x 2)-4k,利用(1)中的结论及式③化简⑥式得k 2+k-2=0, 解得k=-2或k=1.所以当k=-2时,直线l 的方程为y=-2(x-2),x 1+x 2=92, 所以点M 的横坐标为x 0=94,将x 0=94代入直线l 的方程y=-2(x-2)得纵坐标y 0=-12,所以点M 91,42⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以,所以圆M 的方程为229142x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8516.当k=1时,直线l 的方程为y=x-2,x 1+x 2=6,所以点M 的横坐标为x 0=3,将x 0=3代入直线l 的方程得纵坐标y 0=1, 所以点M(3,1),所以所以圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.所以当k=-2时,直线l 的方程为y=-2(x-2),圆M 的方程为229142x y ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8516;当k=1,直线l 的方程为y=x-2,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.5.(2017·全国丙卷·文科·T20)(12分)在直角坐标系xOy 中,曲线y=x 2+mx-2与x 轴交于A,B 两点,点C 的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由.(2)证明过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【解析】(1)设A(x 1,0),B(x 2,0),则x 1,x 2是方程x 2+mx-2=0的根, 所以x 1+x 2=-m,x 1x 2=-2,则AC ·BC =(-x 1,1)·(-x 2,1)=x 1x 2+1=-2+1=-1≠0,所以不会出现AC ⊥BC 的情况.(2)方法一:过A,B,C 三点的圆的圆心必在线段AB 的垂直平分线上,设圆心E(x 0,y 0),则x 0=122x x +=-2m,由|EA|=|EC|得21212x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭+20y =2122x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+()201y -,化简得y 0=1212x x +=-12,所以圆E 的方程为22m x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+2112⎛⎫-- ⎪⎝⎭,令x=0得y 1=1,y 2=-2,所以过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1-(-2)=3, 所以过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 方法二:设过A,B,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D, 由x 1x 2=-2可知原点O 在圆内,由相交弦定理可得|OD||OC|=|OA||OB|=|x 1||x 2|=2, 又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值. 6.(2017·山东高考文科·T21)(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:22x a +22y b=1(a>b>0)y=1所得线段的长度为(1)求椭圆C 的方程.(2)动直线l:y=kx+m(m ≠0)交椭圆C 于A,B 两点,交y 轴于点M.点N 是M 关于O 的对称点,☉N 的半径为|NO|.设D 为AB 的中点,DE,DF与☉N 分别相切于点E,F,求∠EDF 的最小值.,直线与圆的位置关系以及直线与椭圆的综合应用,. a 2=2(a 2-b 2), 所以a 2=4,b 2=2,因此椭圆方程为24x +22y=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立方程2224y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-4=0,由Δ>0得m 2<4k 2+2.(*) 且x 1+x 2=-2421km k +,因此y 1+y 2=2221mk +,所以D 222,2121km m kk ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,又N(0,-m),所以|ND|2=22221km k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+2221m m k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭,整理得|ND|2=()()2242241321m k k k +++,因为|NF|=|m|,22ND NF=()()422243121k k k+++=1+()2228321k k++,令t=8k 2+3,t ≥3,2k 2+1=14t +, 所以22ND NF=1+()2161tt +=1+1612t t++, 令y=t+1t,所以y'=1-21t.当t ≥3时,y'>0,从而y=t+1t在[3,+∞)上单调递增, 因此t+1t ≥103, 等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以22ND NF≤1+3=4,由(*)得且m ≠0.故NF ND≥12. 设∠EDF=2θ,则sin θ=NF ND≥12,所以θ的最小值为6π, 从而∠EDF 的最小值为3π,此时直线l 的斜率是0.综上所述:当k=0,m ∈∪)时,∠EDF 取到最小值3π. 7.(2017·江苏高考·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E: 22x a 的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1)求椭圆E 的标准方程.(2)若直线l 1,l 2的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.,直线与椭圆位置关系的解决策略,突出考查考生的运,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲8,所以c a =12,22a c=8,解得a=2,c=1,于是,因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. (2)由(1)知,F 1(-1,0),F 2(1,0).设P(x 0,y 0),因为点P 为第一象限的点,故x 0>0,y 0>0. 当x 0=1时,l 2与l 1相交于F 1,与题设不符.当x 0≠1时,直线PF 1的斜率为001y x +,直线PF 2的斜率为001y x -.因为l 1⊥PF 1,l 2⊥PF 2,所以直线l 1的斜率为-001x y +,直线l 2的斜率为-001x y -,从而直线l 1的方程为:y=-001x y +(x+1),① 直线l 2的方程为:y=-001x y -(x-1).② 由①②,解得x=-x 0,y=201x y -,所以Q 20001,x x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上,由对称性,得2001x y -=±y 0,即2200x y -=1或2200x y +=1.又P 在椭圆E 上,故2200143x y +=. 由220022001431x y x y ⎧-⎪⎨+==⎪⎩解得x 0=7,y 0=7;220022001431x y x y ⎧+⎪⎨+==⎪⎩无解.因此点P的坐标为⎝⎭.8.(2017·北京高考文科·T19)已知椭圆C 的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x 轴上,(1)求椭圆C 的方程.(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M,N,过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,意在培养学生运算能力与分析问题解决问题的能力. 【解析】(1)因为焦点在x 轴上,所以a=2,e=c a,所以,所以b 2=a 2-c 2=1,所以24x+y 2=1.(2)设D(x 0,0),(-2<x 0<2),M(x 0,y 0),N(x 0,-y 0),y 0>0,直线AM 的方程是y=02yx +(x+2),所以DE ⊥AM,所以k DE =-2xy+,直线DE 的方程是y=-2x y +(x-x 0),直线BN 的方程是y=02yx--(x-2),直线BN 与DE 直线联立()()00000222y x y x x x y y x +⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪-⎩整理为:2xy+(x-x 0)=2y x-(x-2),即(2x -4)(x-x 0)=20y(x-2),即(2x-4)(x-x 0)=2044x -(x-2),解得N Ey=4,又因为BDE BDNS S ∆∆=E Nyy=45,所以△BDE 和△设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C: 22x +y 2=1上,过点M. =1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【命题意图】椭圆的几何性质、曲线与方程,向量的坐标运算以及直线方程.意在考查学生的数形结合能力和逻辑推理及运算能力.【解析】(1)设P(x,y),M(x',y'),N(x',0),已知NP,即(0,y'),所以0x x y '-=⎧⎪⎨'=⎪⎩所以x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩因为M 在椭圆上,所以代入椭圆方程得到x 2+y 2=2,所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)设P(x 1,y 1),Q(-3,y 2),椭圆的左焦点为F(-1,0),OP =(x 1,y 1),PQ =(-3-x 1,y 2-y 1),OP ·PQ =x 1·(-3-x 1)+y 1(y 2-y 1)=1,即-3x 1-21x + y 1·y 2-21y =1,-3x 1+ y 1·y 2-(21x +21y)=1,即-3x 1+y 1·y 2=3,①,故l OQ :y=-23y ·x. 所以过点P 与直线OQ 垂直的直线l 为:y-y 1=23y·(x-x 1),当x=-1时,y=y 1+23y (-1-x 1)=y 1+23y --123x y =y 1-123x y -23y =12123y y x y ∙--23y ,将①代入得y=0,所以过P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.10.(2017·山东高考理科·T21)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E:22221x y a b+= ()0a b >>的离心率为2,焦距为2. (1)求椭圆E 的方程. (2)如图,动直线l:y=k 1x-2交椭圆E 于A,B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为k 2,且k 1k 2=4,M 是线段OC 延长线上一点,且MC ∶AB =2∶3,圆M 的半径为MC ,OS,OT 是圆M 的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率.【命题意图】本题考查椭圆方程的求解,直线与圆的位置关系以及直线与椭圆相结合的综合应用,意在考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)由题意知: 22221x y a b+=,c=1;所以;所以22x +y 2=1.(2)联立:12212y k x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:(1+221k )x 21x-12=0,所以x 1+x 21,x 1·x 2=211212k -+; 所以1; 因为|CM|∶|AB|=2∶3,所以|CM|=23|AB|=231; 联立:22212y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩所以22k =2118k , 所以;11 设θ=∠SOM,所以sin θ=MC MC OC +=11OC MC +1=()213121k ++;所以sin θ.令t=,所以原式=, 所以t=12时取最大值,此时k 1=±2;此时sin θ最大值为12,即θ=30°,∠SOT=60°.。