2021年高中苏教版数学必修4名师导学：第2章 第11课时 向量的数量积(3)
苏教版高中数学必修4《向量的数量积(第3课时)》参考教案1
2.4 向量的数量积（3）教学目标：1．掌握数量积的坐标表达式， 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式；2．通过知识发生，发展过程的教学，使学生感受和领悟应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段．教学重点：数量积的坐标表达式及其简单应用．教学难点：用坐标法处理长度、角度、垂直问题．教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式．教学过程：一、问题情境1．两平面向量垂直条件；2．两向量共线的坐标表示3．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅=，1j j ⋅=，0i j j i ⋅=⋅=． 提出问题：向量数量积能否用坐标表示？二、学生活动提出问题：设1122(,),(,)a x y b x y == ，设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试用i ，j 表示a 和b ．（ 1122,a x i y j b x i y j =+=+）三、建构数学提出问题：能否用a 和b 的坐标表示a b ⋅？1．向量数量积的坐标表示：22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即a b ⋅2121y y x x += 2．长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设(,)a x y =，则222222y x a y x a a +=⇒+== （2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则212212)()(||y y x x AB -+-=−→−； （3）夹角：121222221122cos ||||a b a b x y x y θ⋅==⋅+⋅+；（πθ≤≤0）（4）设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a ⊥⇔02121=+y y x x（注意与向量共线的坐标表示的区别）四、数学运用1．例题．例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b ⋅；例2 已知1122(,),(,)a x y b x y ==，求（3a -b ）·（a -2b ）；例3 在△ABC 中，设AB →=(2, 3)，AC →=(1, k)，且△ABC 是直角三角形，求k 的值．变式：已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》3
平面向量数量积的再研究
教学目标
1.理解平面向量的数量积的含义及几何意义
2.掌握向量的数量积的坐标表示，会进行平面向量的数量积的运算。
3.培养学生的观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力。
【诊断练习】
1.，,，那么
2.菱形的边长为2，，那么
【探究1】
正方形的边长为6，是以为直径的圆上任一点，那么的取值范围是。
【变式1】
1.如图,在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB = 60︒，C为弧上的动点, AB与OC 交于点P ,那么的取值范围是．
【探究2】
2.圆是的外接圆，点是的中点，假设,那么
【变式2】
2.是锐角的外接圆的圆心，且,假设,
那么。
〔用表示〕
总结：
【当堂反应】
1.是圆的直径，长为，是圆上异于、的一点，是圆内一点〔含圆周〕，那么的最小值为。
2.点是的重心，且，，那么。
【课后检测】
1、直角中，，、是线段的动点，且，那么的取值范围为。
2、正边长为，点在其外接圆上运动，那么的取值范围是。
3、中，是的中点，，，，，那么。
4、假设点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点，那么的取值范围是。
5、中，，，。
假设是所在平面内任意一点，且，那么的最大值为。
6、在锐角中，，，那么的取值范围是。
7、在平面直角坐标系中，O为原点，,动点满足,那么的最大值是。
苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思
苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.理解向量数量积的概念和特点；2.掌握向量数量积的计算方法；3.运用向量数量积解决几何问题。
2. 教学难点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握；3.运用向量数量积解决几何问题的能力。
3. 教学重点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握。
4. 教学方法1.探究法；2.演示法；3.练习法；4.归纳法。
5. 教学内容1.向量数量积的概念；2.向量数量积的计算方法；3.向量数量积的性质；4.向量数量积在几何问题中的应用。
6. 教学过程(1) 导入新课教师将一张图片放在黑板上，上面画有一只猎人和一只飞禽。
请学生思考以下问题：1.猎人用什么手段来抓飞禽？2.飞禽飞行时用什么力量来行进？3.猎人与飞禽之间有什么关系？经过学生讨论，引出向量的概念，并简要介绍向量的加减和数量积。
(2) 学习新课1.向量数量积的定义：$ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $，其中 $\\mathbf{a}$ 和 $\\mathbf{b}$ 分别为向量$\\boldsymbol{OA}$ 和 $\\boldsymbol{OB}$，$\\theta$ 为 $\\boldsymbol{OA}$ 和$\\boldsymbol{OB}$ 的夹角。
2.向量数量积的性质：交换律、分配律、数量积为0的充要条件是 $\\boldsymbol{OA}$ 与$\\boldsymbol{OB}$ 垂直。
3.向量数量积的应用。
(3) 练习1.根据上述内容，让学生完成以下例题：例题：已知向量 $\\mathbf{a} = \\boldsymbol{OA}$，$\\mathbf{b} = \\boldsymbol{OB}$，$\\mathbf{c} =\\boldsymbol{OC}$，$\\boldsymbol{OA} = 2\\boldsymbol{i} + \\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OB} = \\boldsymbol{i} + 3\\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OC} =3\\boldsymbol{i} + 4\\boldsymbol{j}$，求$\\boldsymbol{OA} \\cdot \\boldsymbol{OB}$ 和$\\boldsymbol{AB}$ 的夹角。
【创新设计】数学苏教版必修4学案：2.4 向量的数量积(三)
2.4 向量的数量积(三)[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？ 答 若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？答 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.[预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于对应坐标乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.要点一 向量数量积的坐标运算例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b .解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充． 跟踪演练1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a ·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．要点二 两向量的夹角例2 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)． (1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →；(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )，则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )，∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )，CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)．(2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8.∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717. 规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，|a ＋b |＝(4＋1)2＋(3－1)2＝25＋4＝29.(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210. 要点三 向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．跟踪演练3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .解 设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |，∴|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0. 解得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧ x ＝－32，y ＝－12. ∴b ＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________________________________________________________________________．★答案★ π4解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.∴a 与b 的夹角为π4.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________.★答案★ 2解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________．★答案★ 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)，AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．一、基础达标1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________. ★答案★ 3解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴m ＝ 3.2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.★答案★ 23解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2 3.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.★答案★ ⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73. 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角为________．★答案★ π4解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22， ∴α＝π4. 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.★答案★ 5解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________． ★答案★ x <85且x ≠－52解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85. ∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52， 当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， ∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.★答案★ －3解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．★答案★ 322解析 因为AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →·CD →＝(2,1)·(5,5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|C D →|＝1552＝322. 10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.★答案★ 2解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |， 所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小．解 (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12.∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3.∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4. 12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 又m ＝1为增根，舍去．∴m ＝35. 三、探究与创新13．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．解 在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. ∵a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， ∴2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形.。
高中新课程数学苏教版必修四2.4.1.1向量的数量积教案2
第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a ·b .解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0；③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×12＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.分析：要求a 与b 的夹角，只要求出a ·b 与｜a ｜，｜b ｜即可.解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b )⇔(a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇔7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①又(a －4b )⊥(7a －2b )⇔(a －4b )·(7a －2b )＝0⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②①－②得：46a ·b ＝23b 2即有a ·b ＝12 b 2＝12｜b ｜2， 将它代入①可得：7｜a ｜2＋8｜b ｜2－15｜b ｜2＝0即｜a ｜2＝｜b ｜2有｜a ｜＝｜b ｜∴若记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝12 ｜b ｜2｜b ｜｜b ｜ ＝12又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以a 与b 的夹角为60°.［例3］四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )，∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2即｜a ｜2＋2a ·b ＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋2c ·d ＋｜d ｜2由于a ·b ＝c ·d ，∴｜a ｜2＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋｜d ｜2 ①同理有｜a ｜2＋｜d ｜2＝｜c ｜2＋｜b ｜2 ②由①②可得｜a ｜＝｜c ｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由a ·b ＝b ·c ，有b ·(a －c )＝0，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c ，代入上式得b ·(2a )＝0即a ·b ＝0，∴a ⊥b 也即AB ⊥B C.综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB →，BC →，CD →，DA →是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.［例4］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解：∵｜a ＋b ｜2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a ＋b ｜＝23 ，∵(｜a －b ｜)2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×(－3)＋52＝35， ∴｜a －b ｜＝35 .［例5］已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ.解：∵(｜a ＋b ｜)2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝｜a ｜2＋2｜a ｜｜b ｜cos θ＋｜b ｜2∴162＝82＋2×8×10cos θ＋102， ∴cos θ＝2340，∴θ≈55° ［例6］在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos B ＜0得cos B ＜0，进而得B 为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念，a 与b 的夹角应是180°－B∵a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos(180°－B )＝－｜a ｜｜b ｜cos B ＜0∴cos B ＞0又因为B ∈(0°，180°)所以B 为锐角.又由于角B 不一定最大，故三角形形状无法判定. 所以应选D.［例7］设e 1、e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋e 2，试求：｜a ＋b ｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.解：∵a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(2e 1＋e 2)＝3(e 1＋e 2)，∴｜a ＋b ｜＝｜3(e 1＋e 2)｜＝3｜(e 1＋e 2)｜＝3（e 1＋e 2）2＝3e 12＋2 e 1·e 2＋e 22 ＝3222121||45cos ||||2||e e e e ︒++＝322+.［例8］设｜m ｜＝2，｜n ｜＝1，向量m 与n 的夹角为π2，若a ＝4m －n ，b ＝m ＋2n ，c ＝2m －3n ，求a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1的值.解：∵｜m ｜＝2，｜n ｜＝1且m ⊥n ，∴m 2＝｜m ｜2＝4，n 2＝｜n ｜＝1，m ·n ＝0.∴a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1＝(4m －n )2＋3(4m －n )·(m ＋2n )－2(m ＋2n )·(2m －3n )＋1＝16m 2－8m ·n ＋n 2＋12m 2＋24m ·n －3n ·m －6n 2－4m 2－6m ·n －8n ·m ＋12n 2＋1＝24m 2＋7n 2＋1＝104.Ⅲ. 课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.Ⅳ. 课后作业课本P 83习题 4，7平面向量的数量积及运算律1．设a ，b ，c 为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ）（1）（a ·b ）·c －(c ·a )·b ＝0 （2）|a |－|b |＜|a －b |（3）(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 （4）（3a +2b )(3a －2b )=9|a |2－4|b |2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 （ ）A.30°B.60°C.120°D.150°3．△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于 （ ）A.－32B. 32C.0D. 945．已知|a |2＝1，|b |2＝2，（a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 （ ）A.60°B.90°C.45°D.30°6．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e 1－e 2）（3e 1＋2e 2）＝ .7．已知| i |＝| j |＝1，i ·j ＝0，且a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝8i ＋16j ，求a ·b ＝ .8．已知|a |＝3，|b |＝5，如果a ∥b ，则a ·b ＝ .9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦.10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a ＋3b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求向量a 与b 夹角的余弦值.平面向量的数量积及运算律答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±15 9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦. 解：|r |＝|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2＝1＋4＋9＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝14设a ＋b ＋c 与a 、b 、c 的夹角分别为θ1，θ2，θ3 则cos θ1＝ a ·（a ＋b ＋c ）|a |·|a ＋b ＋c | ＝114同理cos θ2＝214＝147，cos θ3＝31414. 10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.解：∵|a |＝|b |＝1，又a ·b ＝0m ·n ＝(k a ＋b )·(a ＋k b )＝2k ，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。
高中数学 2.4 向量的数量积第三课时互动课堂学案 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 2。
5 向量的应用第二课时互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导1。
向量内积的坐标运算建立正交基底｛e 1，e 2}，已知a =（a 1，a 2)，b =(b 1,b 2),则a ·b =（a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2）=a 1b 1e 12+（a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0，故a ·b =a 1b 1+a 2b 2。
疑难疏引 （1）两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和，并且此式是正交基底｛e 1，e 2｝下实现的。
(2）引入坐标后，实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化。
2。
用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设a =（a 1,a 2)，b =(b 1,b 2），如果a ⊥b ，则a 1b 1+a 2b 2=0；反之，若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b ；当a ⊥b 时，若b 1b 2≠0,则向量（a 1,a 2)与（-b 2,b 1）平行，这是因为a ⊥b ，a 1b 1+a 2b 2=0.即a 1b 1=-a 2b 1,1221b a b a =-，两向量平行的条件是相应坐标成比例，所以(a 1,a 2)与（-b 2,b 1）平行，特别的向量k （-b 2，b 1)与向量（b 1,b 2）垂直，k 为任意实数，例如向量（3，4)与向量（—4，3），（-8，6），（12，—9)……都垂直。
高中新课程数学(苏教版必修四)《2.4.1.1 向量的数量积》课件
名师点睛 1．平面向量的数量积 (1)两个向量的数量积 a· b 是两个向量之间的一种规定的运算， 其结果不再是向量，而是数量，它的符号与两向量夹角的余弦值 的符号相同． (2)两个向量 a，b 的数量积 a· b 与代数中两个数 a，b 的乘积 ab(或 a· b)不同，但又类似，书写时一定要严格区分．a· b 中的“· ” 不能省略，也不能写成“×”形式．
题型一
向量数量积的运算
【例 1】 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ， 求(2a＋3b)· (3a－2b)； (2)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝5，AC＝4， →· →. 求AB BC
[思路探索] 运用向量数量积的定义及运算律展开求解．
解
(1)(2a ＋ 3b)· (3a － 2b) ＝ 6a2 － 4a· b ＋ 9a· b － 6b2 ＝ 6×42 ＋
【核心扫描】 1．平面向量的数量积及其运算律．(重点) 2．向量数量积的应用．(难点)
自学导引 1．向量的夹角
→ ＝ a ， OB → ＝ b ，则∠ AOB ＝ 已知两个非零向量 a ， b ，作 OA θ(0≤θ≤π)叫做 a 与 b 的夹角．当 θ＝0 时，a 与 b同向；当 θ ＝ π π 反向 时，a 与 b ．如果 a 与 b 的夹角是2，则称 a 与 b 垂直，记 作 a⊥b.
→ → 性质：(1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ，但由向量夹角的 → → 定义可知OA与OB的夹角不是 θ，而是 π－θ . (2)向量夹角是针对非零向量定义的． (3)两个非零平面向量夹角范围是 [0，π] ．
2．平面向量数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|· cos θ 叫 做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|· cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 试一试：由向量数量积的定义，判断两向量夹角与数量积的 关系．
苏教版必修4-2.4.1-向量的数量积-课件(18张)
（4） a ∥ b .
性质：
若 a b ，则 a b 0
若 a ， b 同向，则 a b | a || b | ；
若 a ， b 反向，则 a b | a || b | .
数学
例2
典型例题
必修四 第2章 平面向量
判断下列语句的对错，并简要说明理由。
① 0a 0 ； ×
数学
必修四 第2章 平面向量
数学
必修四 第2章 平面向量
数学
情境引入
必修四 第2章 平面向量
初中:一个物体在拉力F的作用下产生了位移s，
且
，那么力F所做的功是多少？
数学
情境引入
必修四 第2章 平面向量
初中:一个物体在拉力F的作用下产生了位移s，
且
，那么力F所做的功是多少？
F
S
数学
情境引入
必修四 第2章 平面向量
一个物体向前前进s，那么地球引力G所做的功
已知两个非零向量 a与 b，我们把数量
| a || b | cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，
记作 a b ，即
a b | a || b | cos
，
其中是 a与 b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
1.“
”是数量积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
②0a 0 ； ×
③ a b |a||b | ； √
④ a b =０，则 a 与 b 至少有一个为 0 ； ×
⑤若 a 0 ， a b a c，
则b c ； ×
⑥对任意向量 a , b , c 都有 (a b )c a(b c ) ； ×
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第11课时向量的数量积(3)
教学过程
一、问题情境
问题1已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?
二、数学建构
设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则
i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0.
∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,
∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.
问题2已知a=(x,y),如何将|a|用其坐标表示?
∵a·a=a2=|a|2=x2+y2,
∴|a |==.
问题3设A(x1,y1),B(x2,y2),如何将||用A,B的坐标表示?
设表示向量a的有向线段的起点是A(x1,y1),终点是B(x2,y2),则
=a=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),
∴||=|a |=.
这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.
问题4前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?
(1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得
cos θ==.
(2)a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(3)a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]
三、数学运用
【例1】已知向量a=(2, 1),b=(3,-1),求:(1)(3a-b)·(a-2b);(2)a与b的夹角θ.[4](见同学用书P55)
[处理建议](1)第(1)问是向量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先开放再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.
[规范板书]解(1)方法1:由于a·b=2×3+1×(-1)=5,a2=22+12=5,b2=32+(-1)2=10,
所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×5+2×10=0.
方法2:由于3a-b=(3, 4),a-2b=(-4, 3),则(3a-b)·(a-2b)=-12+12=0.
(2)由于a·b=5,|a |=,|b |=,
所以cos θ===.
由于θ∈,所以θ=.
[题后反思](1)第(1)问的两种解法都是比较好的解法,都要求同学娴熟把握向量数量积的坐标运算.(2)求两个向量的夹角一般步骤:先算数量积,接着算每个向量的模,代入公式求余弦值,最终由角的范围写出角度.
【例2】已知向量a=(1, 1),b=(0,-2),当k为何值时:
(1)k a-b与a+b共线;
(2)k a-b与a+b的夹角为120°.(见同学用书P55)
[处理建议]先由向量a,b的坐标得到向量k a-b,a+b的坐标,再分别由向量共线的坐标表示及两向量夹角公式建立关于参数k的方程,解方程即可.
[规范板书]解∵a=(1, 1),b=(0,-2),
∴k a-b=k(1, 1)-(0,-2)=(k,k+2),
a+b=(1, 1)+(0,-2)=(1,-1).
(1)由k a-b与a+b共线,得k+2-(-k)=0,解得k=-1.
(2)|k a-b |=,|a+b |==.
又∵(k a-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而k a-b与a+b的夹角为120°,∴ cos120°=,即
-=,化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±.。