考研数学一(线性代数)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．
A．kA*
B．knA*
C．kn－1A*
D．kn(n－1)A*
正确答案：C
解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n－1阶子式，所以(kA)*=kn－1A*，选
C． 知识模块：线性代数
2． 设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经初等行变换化为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则( )．
A．β4不能由β1，β2，β3线性表示
B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一
C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一
D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定
正确答案：C
解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一线性表示，选
C． 知识模块：线性代数
3． 设α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，则( )．
A．两个向量组等价
B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=r
C．若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价
D．两向量组构成的矩阵等价
正确答案：C
解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，
αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr线性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，…，αr线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组的秩不等，矛盾，选
C． 知识模块：线性代数
4． 设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是( )．
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(4)
D．(3)(4)
正确答案：B
解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n－r(A)≤n－r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选
B． 知识模块：线性代数
5． 设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．
A．A，B相似于同一个对角矩阵
B．存在正交阵Q，使得QTAQ=B
C．r(A)=r(B)
D．以上都不对
正确答案：D
解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选
D． 知识模块：线性代数
6． 设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=0，则( )．
A．｜A｜=0
B．｜A｜＞0
C．｜A｜＜0
D．以上都不对
正确答案：A
解析：设二次型f=XTAXλ1y12+λ2y22+λ3y32，其中Q为正交矩阵．取Y=，则f=XTAX=λ1=0．同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A． 知识模块：线性代数
填空题
7． 设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，则｜B－1+2E｜=_______。
正确答案：60
解析：因为｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B－1的特征值为1，2，3，则B－1+2E的特征值为3，4，5，故｜B－1+2E｜=60． 知识模块：线性代数
8． =_______。
正确答案：
解析：=E12，因为Eij－1=Eij，所以Eij2=E，于是 知识模块：线性代数
9． 设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_______。
正确答案：λ2λ3≠0
解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)=0，即(x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ22x3)α2+λ32x3α3=0，则有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ2x2+λ22x3=0，λ32x3=0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以λ2λ3≠0． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10． 设A=(aij)n×n是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．
正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=ak12+ak22+…+akn2＞0． 涉及知识点：线性代数
设A=E－ααT，其中α为n维非零列向量．证明：
11． A2=A的充分必要条件是α为单位向量．
正确答案：令αTα=k，则A2=(E－ααT)(E－ααT)=E－2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=‖α‖2，所以A2=A的充要条件是α为单位向量． 涉及知识点：线性代数
12． 当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
正确答案：当α是单位向量时，由A2=A得r(A)+r(E－A)=n，因为E－A=ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵． 涉及知识点：线性代数
13． 设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT．
正确答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令A=，于是A=(b1 b2 … bn)，令α=，β=，故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1． 涉及知识点：线性代数
14． 设A为n阶矩阵，若Ak－1α≠0，而Akα=0．证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
正确答案：令l0α+l1Aa+…+lk－1Ak－1α=0 (*)(*)两边同时左乘Ak－1得l0Ak－1α=0，因为Ak－1α≠0，所以l0=0；(*)两边同时左乘Ak－2得l1Ak－1α=0，因为Ak－1α≠0，所以l1=0，依次类推可得l2=…=lk－1=0，所以α，Aα，…，Ak－1α线性无关． 涉及知识点：线性代数
15． a，b取何值时，方程组有解?
正确答案：(1)a≠1时，r(A)==4，唯一解为x1=，x4=0；(2)a=1，b≠－1时，r(A)≠，此时方程组无解；(3)a=1，b=－1时，通解为X=k1(1，－2，1，0)T+k2(1，－2，0，1)T+(－1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)． 涉及知识点：线性代数
16． 设(Ⅰ)的一个基础解系为，写出(Ⅱ)的通解并说明理由．
正确答案：令A=，则(Ⅰ)可写为AX=0，则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，Aβ1=Aβ2=…=Aβn=0A(β1，β2，…，βn)=OBAT=O．α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．得通解为k1α1T+k2α2T+…+knαnT(k1，k1，…，kn为任意常数)． 涉及知识点：线性代数
17． 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．
正确答案：因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn－r．设η0为方程组AX=b
的一个特解，令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn－r=ξn－r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn－r为方程组AX=b的一组解．令k0β0+k1β1+…+kn－rβn－r=0，即(k0+k1+…+kn－r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0，上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn－r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn－r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1=k2=…=kn－r=0，故β0，β1，β2，…，βn－r线性无关，即方程组AX=b存在由n－r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn－r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2－β1，γ2=β3－β1，…，γn－r+1=βn－r+2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn－r－1线性无关，又γ1，γ2，…，γn－r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n－r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n－r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n－r+1个． 涉及知识点：线性代数
设A=相似于对角阵．求：
18． a及可逆阵P，使得P－1AP=Λ，其中Λ为对角阵.
正确答案：｜λE－A｜=0λ1=λ2=1，λ3=－1．因为A相似于对角阵，所以r(E－A)=1(E－A)X=0的基础解系为ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(－E－A)X=0的基础解系为ξ3=(1，2，－1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P－1AP=diag(1，1，－1)． 涉及知识点：线性代数
19． A100．
正确答案：P－1A100P=EA100=PP－1=E． 涉及知识点：线性代数
设A为三阶矩阵ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=－ξ1+2ξ2+2ξ3， Aξ2=2ξ1－ξ2－2ξ3， Aξ3=2ξ1－2ξ2－ξ3．
考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1．
正确答案：2
解析：当x→0时，有1－cosax～a／2x2，则1－～1／4(2x)2=x2，1－cos～1／2， 知识模块：高等数学
2． 对事件A，B，已知，则P(A)=_______，P(B)=_______，=_______。
正确答案：
解析： 知识模块：概率论与数理统计
3． 函数在[-π，π]上展开傅里叶级数则an=_________，bn=________，和函数S(x)=_________．
正确答案：
解析：f(x)在[一π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈[-π，π]．由收敛定理可知： 知识模块：无穷级数
4． (sinx+cosx)=___________。
正确答案：0
解析：根据洛必达法则， 对任意x∈(一∞，+∞)，有｜sinx+cosx｜≤，即sinx+cosx在(一∞，+∞)内有界，因为有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，所以原极限为零。 知识模块：函数、极限、连续
5． 在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于”的概率为________．
正确答案：
解析：记(0，i)中任取的两个数为X，Y，则(X，Y)∈Ω={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}，Ω为基本事件全体，并且取Ω中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，事件A=“两数之积小 知识模块：概率与数理统计
6． 平行于平面5x一14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_____________．
正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学
7． 已知=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
8． 设f(x)=max｛1，x2｝，则∫1xf(t)dt= _______。
考研数学一(线性代数)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷16 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 设A是三阶实矩阵λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关
正确答案：因 涉及知识点：线性代数
2． 设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η，正交．
正确答案：Aξ=λξ，两边转置得ξTAT=λξT，两边右乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ—μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，ξ，η相互正交． 涉及知识点：线性代数
3． 设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P，使得P-1AP=A，求出P及相应的对角阵．
正确答案：λ=一1是二重特征值，为使A相似于对角阵，要求 涉及知识点：线性代数
4． 已知求A的特征值和特征向量，a为何值时，A相似于A，a为何值时，A不能相似于A．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
5． 已知α=[1，k，1]T是A-1的特征向量，其中求k及a所对应的特征值．
正确答案：由题设A一1α=λα，λ是A一1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A一1可逆， 涉及知识点：线性代数
6． 设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P使得P-1AP=A，A是对角阵．
正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E一A的秩应为1． 涉及知识点：线性代数
7． 已知考ξ=[1，1，一1]T是矩阵的一个特征向量．(1)确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；(2)A是否相似于对角阵，说明理由．
正确答案：(1)设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即解得λ=一1，a=一3，b=0．(2)当a=一3，b=0时，由知λ=一1是A的三重特征值，但当λ=－1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵． 涉及知识点：线性代数
考研数学一(填空题)模拟试卷119(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷119 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 函数展开成的(x一1)的幂级数为________．
正确答案：
解析： 知识模块：无穷级数
2． =___________。
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
3． 设(X，Y)的分布函数为 F(x，y)=则P{X＞1，Y＞1}=__________。
正确答案：
解析：利用联合分布函数来表示区域上的概率，并结合分布函数的定义可得
P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)= 知识模块：多维随机变量及其分布
4． 设y=y(x)是由方程确定的隐函数，则y’’=_________。
正确答案：
解析：在方程两边对x求导得 知识模块：高等数学
5． 设y=f(x)满足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_______．
正确答案：π／4
解析：由题设可知dy／dx=，从而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定积分几何意义得∫01f(x)dx=∫01dx=π／4 知识模块：高等数学
6． 若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。
正确答案：2．
解析：由于αTβ=2，故β≠0，且有 (βαT)β=β(αTβ)=2β，于是由特征值与特征向量的定义，知2为方阵βαT的一个特征值且β为对应的一个特征向量．下面还可证明方阵βαT只有一个非零特征值．首先可证方阵βαT的秩为1；由βαT≠O知r(βαT)≥1，又由r(βαT)≤r(β)=1，知r(βαT)=1，故0为βαT的特征值．其次可证0为βαT的2重特征值：由于齐次线性方程组(0一βαT)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βαT的属于特征值0
的线性无关特征向量的个数=3一r(βαT)=3—1=2，所以0至少是βαT的2重特征值，但不会是3重特征值(否则βαT=0)．既然3阶方阵βαT有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一个． 知识模块：线性代数
考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷40 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．
正确答案：
解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数
3． 设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
4．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
5． 经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．
正确答案：
解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上． ∏1： 4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0， ∏2： 7(x+1)+8(y一2)+9(z一3)=0，故所求直线方程为 知识模块：向量代数和空间解析几何
6． 已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．
正确答案：0
解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0． 由于r((A*)*)＝ 可见r((A*)*)＝0． 知识模块：线性代数
7． 若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行
四边形的面积S=________。
正确答案：
解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为 S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。因此，所求平行四边形的面积 知识模块：高等数学
考研数学一(线性代数)模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷113 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．
A．24
B．一24
C．48
D．一48
正确答案：D
解析：×24×6=一48，选(D)． 知识模块：线性代数
2． n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．
A．｜A｜=｜B｜
B．｜A｜≠｜B｜
C．若｜A｜=0则｜B｜=0
D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0
正确答案：C
解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，PS，Q1，…，QT，使得B=PS…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)． 知识模块：线性代数
3． 设，则( )．
A．B=P1AP2
B．B=P2AP1
C．B=P2－1AP1
D．B=P1－1AP2－1
正确答案：D
解析：显然B==P1AP2－1，因为P1－1=P1，所以应选(D)． 知识模块：线性代数
4． 设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．
A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关
D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关
正确答案：A
解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)． 知识模块：线性代数
5． 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) ．
考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =________．
正确答案：x4．
解析：将第2、3、4列都加至第1列，并提出第1列的公因子z，再将第1列的1倍、(一1)倍、1倍分别加至第2、3、4列，然后按第4行展开． 知识模块：线性代数
2． 微分方程xy”+3y’=0的通解为__________.
正确答案：y=C1+C2/x2 涉及知识点：常微分方程
3． 设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=_________．
正确答案：一2sinx
解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫f(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，从而f(x)=一2cosx，于是 F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2cost=一2sinx． 知识模块：高等数学
4． 设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(-2，44)，x=-2为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d分别为_____
正确答案：1，-3，-24，16
解析：由条件解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16． 知识模块：一元函数微分学
5． 平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_______．
正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学
6． 设y=ln(1+3-x)，则dy=__________．
正确答案：
解析：复合函数求导 知识模块：一元函数微分学
7． =__________．
正确答案：sinx2
解析： 知识模块：一元函数微分学
8． =_________．
考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编16 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有
A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．
B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．
D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
正确答案：A
解析：若x满足Ax=0，两端左乘AT，得ATAx=0，故Ax=0的解都是ATAx=0的解；若x满足ATAx=0，两端左乘xT，得(xTAT)(Ax)=0，即(Ax)T(Ax)=0，或‖Ax‖2=0，得Ax=0，所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，只有选项A正确． 知识模块：线性方程组
2． 4个平面aix+biy+ciz=di(i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵=
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：B
解析：记4个平面方程联立所得方程组为Ax=b，则4个平面交于一条直线→Ax=b的通解为x=(x0，y0，z0)…+c(l，m，n)’→r(A)=r(A┆b)且Ax=0的基础解系所含解向量个数为3一r(A)=1→r(A)=r(A)=2，只有选项B正确． 知识模块：线性方程组
3． 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且则线性方程组
A．Ax=α必有无穷多解．
B．Ax=α必有唯一解．
C．=0仅有零解．
D．=0必有非零解．
正确答案：D
解析：因为方程组=0是n+1元齐次线性方程组，而它的系数矩阵的秩为：秩=秩(A)≤n＜n+1，故该齐次线性方程组必有非零解，即(D)正确．注意，在题设条件下，有秩(A)=秩[A┊α]．故方程组AX=α必有解，但不能肯定它是有无穷多解还是有唯一解，故(A)、(B)都不对． 知识模块：线性方程组
考研数学一(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷99 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 极限
正确答案：2
解析： 知识模块：函数、极限、连续
2． 若f(x)=在x=0处连续，则a=________．
正确答案：2
解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2． 知识模块：高等数学
3． 若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．
正确答案：9f’(1)
解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)． 知识模块：高等数学
4． 设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．
正确答案：0
解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0． 知识模块：高等数学
5． 由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=__________．
正确答案：3πa2
解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
6． 函数y=x+2cosx在区间上的最大值为__________。
正确答案：
解析：令y’=1－2sinx=0，解得把x=0，分别代入函数解析式中得， 因此函数在区间上的最大值为 知识模块：一元函数微分学
7． 设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。
正确答案：
解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)． 知识模块：概率论与数理统计
8． 方程组有非零解，则k＝_______．
正确答案：－1
解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1． 知识模块：线性方程组
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷35.doc
答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷35
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是 ( )
（A）m=n且｜A｜≠0
（B）AX=0有唯一零解
（C）A的列向量组α1，α2，…，αn和α1，α2，…，αn，b是等价向量组
（D）r(A)=n，b可由A的列向量线性表出
2 设A是4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )
（A）ATX=0只有零解
（B）ATAX=0必有无穷多解
（C）对任意的b，ATX=b有唯一解
（D）对任意的b，AX=b有无穷多解
3 设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则齐次线性方程组BX=0和ABX=0是同解方程组的一个充分条件是 ( )
（A）r(A)=m
（B）r(A)=s
（C）r(B)=s
（D）r(B)=n
答案见麦多课文库 4 设A，B是n阶方阵，X，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是 ( )
（A）r(A)=r(A｜b)，r
（B）任意(B)AX=b有解，BY=0有非零解
（C）｜A｜≠0，b可由B的列向量线性表出
（D）｜B｜≠0，b可由A的列向量线性表出
5 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是
( )
6 设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则 ( )
（A）当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例
（B）当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例
（C）当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例
（D）当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例
7 已知α1=[-1，1，a，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为 ( )
考研数学一(线性代数)模拟试卷96(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷96 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．
A．24
B．一24
C．48
D．－48
正确答案：D
解析：=－48，选(D)． 知识模块：线性代数
2． 设n维行向量α=，A=E－αTα，B=E＋2αTα，则AB为( )．
A．O
B．－E
C．E
D．E+αTα
正确答案：C
解析：由ααT=，得AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E，选(C)． 知识模块：线性代数
3． 设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )．
A．必有一列元素全为零
B．必有两行元素对应成比例
C．必有一列是其余列向量的线性组合
D．任一列都是其余列向量的线性组合
正确答案：C
解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)． 知识模块：线性代数
4． 设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( )
A．α1，α3
B．α2，α3，α4
C．α1，α2，α4
D．α3，α4
正确答案：C
解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，因为A*A=｜A｜E=O，所以，α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)． 知识模块：线性代数
5． 设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．
A．矩阵A不可逆