《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)【精选推荐下载】
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式解实际应用题
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨， 每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管费及其他费用为平均 每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多少 天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？ 【解】 设该厂每 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨． 由题意可知，面粉的保管费等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)． 设平均每天所支付的总费用为 y 元，
又 9x＋ax2≥6a，当且仅当 9x＝ax2， 即 x＝a3时，等号成立． 故必有 6a≥a＋1，解得 a≥15. 所以 a 的取值范围为 a≥15.
(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值． [注]f(x)表示有关 x 的代数值
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
基本不等式的综合问题 若不等式 9x＋ax2≥a＋1(常数 a＞0)对一切正实数 x 成 立，求 a 的取值范围． 【解】 常数 a＞0，若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a＋1≤9x＋ax2的最小值，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
已知不等式(x＋y)4x＋ay≥16 对任意正实数 x，
y 恒成立，则正实数 a 的最小值为(解析：选 C.(x＋y)(4x＋ay)＝4＋a＋4xy＋ayx，因为 x＞0，y＞0， a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
则 y＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋90x0＋10 809 ≥2 9x·90x0＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时，等号成立． 故该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 所以 2a＋b≥2 2ab＝4，当且仅当 a＝1，b＝2 时，等号成立． 所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9. 即(1＋2a)(1＋b)≥9.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式证明不等式的思路 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式 的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数 式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形 式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另 外，解题时要时刻注意等号能否取到．
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1.求证：1a－1 1b－11c－1≥8.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知 a，b，c＞0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 证明：因为 a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得ab2＋b≥2a， bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，所以ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， 故ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为 x m、宽为 y m， 则 2(x＋y)＝36，x＋y＝18， 矩形菜园的面积为 xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9， 可得 xy≤81， 当且仅当 x＝y， 即 x＝y＝9 时，等号成立． 因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大 面积为 81 m2.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式解实际应用题
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨， 每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管费及其他费用为平均 每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多少 天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？ 【解】 设该厂每 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨． 由题意可知，面粉的保管费等其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)． 设平均每天所支付的总费用为 y 元，
又 9x＋ax2≥6a，当且仅当 9x＝ax2， 即 x＝a3时，等号成立． 故必有 6a≥a＋1，解得 a≥15. 所以 a 的取值范围为 a≥15.
(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值． [注]f(x)表示有关 x 的代数值
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
基本不等式的综合问题 若不等式 9x＋ax2≥a＋1(常数 a＞0)对一切正实数 x 成 立，求 a 的取值范围． 【解】 常数 a＞0，若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a＋1≤9x＋ax2的最小值，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
已知不等式(x＋y)4x＋ay≥16 对任意正实数 x，
y 恒成立，则正实数 a 的最小值为(解析：选 C.(x＋y)(4x＋ay)＝4＋a＋4xy＋ayx，因为 x＞0，y＞0， a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
则 y＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋90x0＋10 809 ≥2 9x·90x0＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时，等号成立． 故该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 所以 2a＋b≥2 2ab＝4，当且仅当 a＝1，b＝2 时，等号成立． 所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9. 即(1＋2a)(1＋b)≥9.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式证明不等式的思路 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式 的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数 式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形 式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另 外，解题时要时刻注意等号能否取到．
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
同理1b－1≥2
bac，1c－1≥2
ab c.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用基本不等式证明不等式 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1.求证：1a－1 1b－11c－1≥8.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知 a，b，c＞0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 证明：因为 a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得ab2＋b≥2a， bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，所以ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， 故ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的长为 x m、宽为 y m， 则 2(x＋y)＝36，x＋y＝18， 矩形菜园的面积为 xy m2. 由 xy≤x＋2 y＝128＝9， 可得 xy≤81， 当且仅当 x＝y， 即 x＝y＝9 时，等号成立． 因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积最大，最大 面积为 81 m2.
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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第一课时基本不等式)
26
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费 总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a. y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a ＝0.2a(1.25－x)， 当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙； 当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙． 因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲 旅行社较优惠．
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
11
合作探究 提素养
12
用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的本步骤：
20
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
18
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
[解] 由题意知，500x＋400y≤20 000， 即5x＋4y≤200.
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT
2
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1
1
-1
1
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,
1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.
∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1
1
-1
1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.
1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1
1
-1
1
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,
1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.
∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1
1
-1
1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.
1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
2.2 基本不等式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A
基本不等式(第二课时)课件 高一上学期数学 必修第一册
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
解析 由m2＋n2≥2mn， ∴mn≤m2＋2 n2＝50. 当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立.
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2 y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当 xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
索 引
例题分析：
例2: 某工厂要建造一个长方 体无盖贮水池 ,其容积
为4800m3 , 深为3m, 如果池底每1m2的造价为150元,
池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总 造价最低, 最低总造价是多少?
解: 设矩形长为x m，宽为y m 总造价为W 元
4800 3xy
xy 1600
(1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
和 定 积
xy有最大值___1_S__2 _；
4
最 大
(2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， ，
x+y有最小值__2___P__。
积 定
用最值定理求最值的三个条件:
和
①各项皆为正数；
基本不等式(共43张)ppt课件
函数单调性问题
利用基本不等式判断函数的单调性
通过基本不等式，可以判断函数在某个区间上的单调性，从而了解函数的增减性。
单调性的应用
函数的单调性在解决不等式、方程和函数图像等问题中有着广泛的应用。
函数最值问题
利用基本不等式求函数的最值
通过基本不等式，可以求出函数在某个区间上的最大值或最 小值，从而了解函数的极值情况。
最值的应用
函数的最值在解决实际问题中有着广泛的应用，如求最大利 润、最小成本等。
典型例题分析
01
02
03
04
例题一
通过基本不等式判断函数的单 调性，并求出函数的最大值和
最小值。
例题二
利用基本不等式解决不等式问 题，通过构造函数并利用函数
的单调性求解。
例题三
结合基本不等式和函数图像， 解决方程根的存在性和根的个
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
当 $a>0$ 时，抛物线开口 向上，解集为两根之外； 当 $a<0$ 时，抛物线开口 向下，解集为两根之间。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式 图文
2
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
最新湘教版高中数学《基本不等式的应用》教学课件
2
创设情景
思考：我们如何利用已经学习的知识来解决这个问题呢？
3 思辨探索
3
思辨探索
思辨：从以上的两个小问题的解决过程中，我们能总结归纳出什么有用的结论呢？
4 例题讲解
4
例题讲解
问题二：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为 12 m2 的背景靠墙的小屋，房屋正面的造价为 1200 元/ m2 ，侧面的造价为 800 元/ m2 ，屋顶的造价为 5200 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面和底面 的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？
一元二次函数、方程和不等式
——2.1.3 基本不等式的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
课前任务
CONTENTS
2
创设情景
目
3
思辨探索
录
4
例题讲解
5
归纳总结
1 课前任务
1
课堂任务
我们已经学习了基本不等式及其变形，接下来，我们将要研究一下如何运用基本不等式来 解决一些实际问题．在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省，利润最高，成本 最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决．
2
创设情景
思考：我们如何利用已经学习的知识来解决这个问题呢？
2
创设情景
问题一：（2）把 25 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
2
创设情景
讨论：和刚才的第1个小问题类似，我们如何将第2个小问题转化为我们熟悉的问题？
2
创设情景
问题一：（2）转化为：设两个正数为 x, y ，则 x 0, y 0 ，且 x y 25，求 xy 的最大值．
首先，我们来复习一下基本不等式的相关知识：
人教版高中数学必修一《基本不等式》PPT课件
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化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为(
)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab 均成立．( √ )
(2)若 a>0，b>0 且 a≠b，则 a＋b>2 ab.( √ )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.( √ ) (4)a，b 同号时，ba＋ab≥2.( √ )
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