北师大版高中数学选择性必修第二册 第一章 2.1 第2课时 等差数列的性质及应用
2017-2018年高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质练习新人教A版必修5课件
1 2.2 第2课时 等差数列的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项值为( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.
答案：C
2．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a1＋a8＜a4＋a5 B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.
答案：B
3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1＋an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
答案：C
4．在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列1an＋1是等差数列，那么a11等于( )
A.13 B.12 C.23 D．1
解析：依题意得1a3＋1＋1a11＋1＝2·1a7＋1，
所以1a11＋1＝21＋1－12＋1＝23，
所以a11＝12.
答案：B 2 5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )
A．－2 B．－3 C．－4 D．－5
解析：设该数列的公差为d，则由题设条件知：a6＝a1＋5d>0，a7＝a1＋6d<0.
北师版高中数学选择性必修第二册课后习题 第一章 1.1 数列的概念
第1页 共4页 §1 数列的概念及其函数特性
1.1 数列的概念
课后训练巩固提升
1.已知数列{an},an=f(n)是一个函数,则它的定义域为( ).
A.非负整数集
B.正整数集
C.整数集或其子集
D.正整数集或{1,2,3,4,…,n}
答案:D
2.在数列a1,a2,…,an,…的每相邻两项中插入3个数,使它们与原数构成一个新数列,则新数列的第49项( ).
A.不是原数列的项 B.是原数列的第12项
C.是原数列的第13项
D.是原数列的第14项
解析:由49-14=12,知新数列的第49项是原数列的第13项.
答案:C
3.(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”,如图所示. 第2页 共4页
(第3题)
观察该图可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
下列等式中,符合这一规律的表达式为( ).
A.25=9+16 B.36=15+21
C.49=18+31 D.64=28+36
解析:这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…,且正方形数是这列数中相邻两数之和,很容易看到:恰有15+21=36,28+36=64.只有BD正确.
答案:BD
4.已知数列{an}的通项公式为an={3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2a3等于( ).
A.70 B.28 C.20 D.8
解析:由an={3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,得a2=2,a3=10,所以a2a3=20.
答案:C 第3页 共4页 5.在数列√2,2,x,2√2,√10,2√3,…中,x= ,该数列的一个通项公式是 ;此数列是 穷数列.
解析:该数列实际是√2,√4,√6,√8,√10,√12,…,故x=√6,通项公式为an=√2n,是无穷数列.
北师大版高中数学选择性必修第二册课后习题 第一章 1.1 数列的概念
第1页 共8页 第一章数列
§1 数列的概念及其函数特性
1.1 数列的概念
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.已知数列{an}的通项公式为an=1+(-1)n+12,n∈N+,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.12,0,12,0 D.2,0,2,0
答案A
解析当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1 B.an=n(n-1)2
C.an=n(n+1)2 D.an=n2+1
答案C
解析令n=1,2,3,4,代入A,B,C,D检验,即可排除A,B,D,故选C.
3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N+,则-8是该数列的( ) 第2页 共8页 A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.非任何一项
答案C
解析解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
4.数列23,45,67,89,…的第10项是( )
A.1617 B.1819 C.2021 D.2223
答案C
解析由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an=2n2n+1,n∈N+,当n=10时,a10=2×102×10+1=2021.
5.(浙江湖州期中)在数列0,14,…,n-12n,…中,第3项是 ;37是它的第
项.
答案13 7
解析根据题意,设该数列为{an},则数列的通项公式为an=n-12n,则其第3项a3=3-12×3=13,若an=n-12n=37,可解得n=7.
6.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式是
.
答案an=2n+1,n∈N+
7.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. 第3页 共8页 (1)-1,7,-13,19,…;
(2)0.8,0.88,0.888,….
高中数学选择性必修二 4 2 1 等差数列的概念(精讲)(含答案)
4.2.1 等差数列的概念
思维导图
常见考法
考点一 判断是否为等差数列
【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．lg2,lg4,lg8,lg16
C．54322,2,2,2 D．10，8，6，4，2
【答案】C
【解析】根据等差数列的定义，可得：
A中，满足13nnaa（常数），所以是等差数列；
B中，lg4lg2lg8lg4lg16lg8lg2（常数），所以是等差数列；
C中，因为453423222222，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足12nnaa（常数），所以是等差数列.故选：C.
【一隅三反】
1．（2019·山西应县一中期末（理））若na是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A．2na B．1na C．3na D．na
【答案】C
【解析】A: 22n+1na-a=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列． 根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可 B:n+1n11-aa=n+1n-daa=11-da+nda+n-1d（）（） 与n有关系，因此不是等差数列.
C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；
D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C
2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ）
① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，…
③ 0，0，0，0，… ④ 1234,,,,10101010…
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为0的等差数列.第四个是公差为110的等差数列.故有3个等差数列，所以选C.
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §2-2.2 第2课时 等差数列习题课
1 [A 基础达标]
1．在数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )
A．a21和a22 B．a22和a23
C．a23和a24 D．a24和a25
解析：选C.因为an＋1＝an－23，所以数列{an}是等差数列，且公差为－23，
所以an＝15＋(n－1)·－23.因为a23＝13，a24＝－13，所以a23a24<0.
2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是( )
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
解析：选C.依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．
3．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
解析：选D.因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋n（n－1）2×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2522＋6254.又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．
4．数列{an}满足：a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N＋)，则a2 018＝( )
A．0 B．－3
C.3 D．32
解析：选B.由a1＝0，an＋1＝an－33an＋1，令n＝1，得a2＝a1－33a1＋1＝－3；令n＝2，得a3＝a2－33a2＋1＝3；令n＝3，得a4＝a3－33a3＋1＝0＝a1，所以数列{an}是周期为3的数列，所以a2 018＝a3×672＋2＝a2＝－3，故选B.
5．已知数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，„，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，则b2 018＝( )
2018年高中数学北师大版必修五：第1章§2-2.2第1课时等差数列的前n项和包含解析
[A基础达标]
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S
4＝20，S
2＝4，则公差d为()
A．2B．3
C．6 D．7
解析：选B.由S2＝4，
S4＝20得2a1＋d＝4，
4a1＋6d＝20，解得a1＝1
2，
d＝3.
2．已知数列{an}为等差数列，a10＝10，数列前10项和S
10＝70，则公差d＝()
A．－2
3B．－1
3
C.1
3D．2
3
解析：选D.由S10＝10（a1＋a10）
2，得70＝5(a1＋10)，解得a1＝4，所以d＝a10－a1
10－1＝10－4
9＝2
3，故
选D.
3．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()
A．160 B．180
C．200 D．220
解析：选B.(a
1＋a
2＋a
3)＋(a18＋a
19＋a
20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a
20＝a
2＋a
19＝a
3＋a
18，则3(a
1＋
a20)＝54，所以a1＋a20＝18.则S20＝20（a1＋a20）
2＝10×18＝180.
4．已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝2n2＋3n，则Sn
n()
A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列
C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列
解析：选A.因为Sn＝2n2＋3n，所以Sn
n＝2n＋3，
当n≥2时，Sn
n－Sn－1
n－1＝2n＋3－2(n－1)－3＝2，
故Sn
n是公差为2的等差数列．
5．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若an
bn＝2n
3n＋1，则S21
T21的值为()
A.13
15B．23
35
C.11
17D．4
9
解析：选C.S21
T21＝21（a1＋a21）
2
21（b1＋b21）
2＝a1＋a
21
b1＋b21＝a11
b11＝2×11
3×11＋1＝11
17.
6．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{a
n}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，a
高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的前n项和公式第2课时)教师版
1 / 12 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）
【学习目标】
（1）能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系；
（2）用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题；
（3）会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.
【知识复习】
1、等差数列的通项公式：
𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑
2、等差数列前n项和的公式：
𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2
𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑
【例题精讲】
例1(课本例8)（实 际 应 用 ）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
跟踪训练1
1、某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天道商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
2、虎甲虫以爬行速度闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n=1,2,…,100）时爬行的距离.
（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到0.01m）？它连 2 / 12 续爬行10m需要多长时间（精确到0.1s）?
例2（研究等差数列前n项和公式的性质）
性 质 1 ： 数 列 {𝒂𝒏}是 等 差 数 列 ⟺𝑆𝑛=𝐴𝑛2+𝐵𝑛 (𝑨,𝑩为 常 数 )
探究：如果数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛=𝑝𝑛2+𝑞𝑛+𝑟，其中𝑝,𝑞,𝑟为常数，且𝑝≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？
证：当n≥2时，an =Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q
高中数学选择性必修二 4 2 2第二课时等差数列前n项和的性质及应用(习题课)(含答案)
4．2.2 第二课时 等差数列前n项和的性质及应用(习题课)
[A级 基础巩固]
1．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选B ∵S奇S偶＝n＋1n，∴165150＝n＋1n.∴n＝10，故选B.
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选B 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB―→＝a1OA―→＋a200OC―→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
A．100 B．101
C．200 D．201
解析：选A 由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，
∴S200＝2002(a1＋a200)＝100.
4．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35
C．66 D．100
解析：选C 易得an＝ －1，n＝1，2n－5，n≥2.
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 令an＞0则2n－5＞0，∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
5．设数列{an}是等差数列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( )
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：选C ∵a1＋a3＋a5＝105＝3a3，
∴a3＝35，
∵a2＋a4＋a6＝99＝3a4，
∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，
2022年高中数学选择性必修第二册第四章 等差数列的性质
第 1 页 共 12 页 2022年高中数学第2课时 等差数列的性质 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝an－amn－m(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
思考 若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
答案 不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A．5 B．8 C．10 D．14 第 2 页 共 12 页 答案 C
解析 a1＋a7＝a3＋a5＝10.
2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于( )
高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的概念第2课时)教师版
1 / 8 4.2.1 等差数列的概念（第二课时）
【学习目标】
（1）能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
（2）能运用等差数列的性质解决有关问题.
【知识复习】
等差数列的概念
定义
（递推公式） 𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑑(𝑛∈𝑁∗)或𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑑,𝑛≥2,𝑛∈𝑁+(𝑑是常数)
通项公式 𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑,𝑛∈𝑁+
等差中项 如果𝑎,𝐴,𝑏成等差数列，那么𝐴叫做𝑎与𝑏的等差中项.
𝟐𝑨=𝒂+𝒃
函数特征 函数图象上所有的点在同一条直线上：
𝑑>0,等差数列单调递增；
𝑑<0,等差数列单调递减；
𝑑=0,等差数列为常数列.
【例题精讲】
例1（课本例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于进价的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
解：设使用𝑛年后,这台设备的价值为𝑎𝑛万元, 由题意知,𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=−𝑑(𝑛≥2),
即{𝑎𝑛}是一个公差为−𝑑的等差数列. 又𝑎1=220−𝑑, ∴𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)(−𝑑)=220−𝑛𝑑. 由{𝑎10≥220×5%,𝑎11<220×5%. 即{220−10𝑑≥11,220−11𝑑<11. 解得19<𝑑≤20.9, 所以,𝑑的取值范围为19<𝑑≤20.9.
跟踪训练1
1、某体育场一角的看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用𝑎𝑛表示第𝑛排的座位数吗？第10排有多少个座位？
例2（课本例4）已知等差数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1=2，公差𝑑=8,在{𝑎𝑛}中每相邻两项之间