小学奥数 容斥原理之重叠问题(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下：
教学目标
知识要点
7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）
1．先包含——AB
重叠部分AB计算了2次，多加了1次；
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，1．先包含：ABC
重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．
2．再排除：ABCABBCAC
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
两量重叠问题
【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
BA 【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第3题
【解析】 阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐
【答案】数学、音乐
【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第2题
【解析】 该班学生人数为：1813130（名）。
【答案】30名
【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
CBA 【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217(人)．
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745(人)．
方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：28291245(人)．
【答案】45人
【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 例题精讲 CBA 【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721(人)．
【答案】21人
【巩固】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．
⑴ 问语文数学都写完的有多少人？
⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 由题意，有48642(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：3020428(人)．
⑵ 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822(人)．
【答案】22人
【巩固】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有 人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题
【解析】 至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人
【答案】12人
【例 4】 如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数是 。
BA
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题
【解析】 阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整除的数，即15，30，45
【答案】15，30，45
【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有
名学生．
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第5题
【解析】 3214295023723人
【答案】723人
【例 6】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016(人)．
【答案】16人
【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369(人)．
【答案】9人
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721(人)．
【答案】21人
【例 7】 全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第8题
【解析】 有三角板的学生共50-28=22（人），其中女生22-14=8（人），那么有直尺的女生有31-8=23（人）。
【答案】23人
【例 8】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？
两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的两部分全对的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数．B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．
已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．
【答案】6人
【例 9】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？
会打篮球的两项都不会的会游泳的两项都会的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．
由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035(人)，全班人数为：35944 (人)．
【答案】44人
【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
BA只参加围棋比赛的只参加象棋比赛的两项比赛都参加的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042(人)．
或者根据包含排除法直接得：32281842(人)．
【答案】42人
【例 10】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？
既没采樱桃又没采杏的既采樱桃又采杏的AB
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640(人)，而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715(人)．
小学奥数7-7-3 几何中的重叠问题.专项练习及答案解析
1
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数教学目标
知识要点
7-7-3.几何中的重叠问题
1．先包含——AB
重叠部分AB计算了2次，多加了1次；
2．再排除——ABAB
把多加了1次的重叠部分AB减去．
2 既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？
小学奥数：几何中的重叠问题.专项练习及答案解析
7-7-3.几何中的重叠问题.题库 教师版 page 1 of 4
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABABUI(其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：ABI，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集ABU的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CABI(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABCUUIIIII．图示如下： 教学目标
知识要点
7-7-3.几何中的重叠问题
1．先包含——AB
重叠部分ABI计算了2次，多加了1次；
2．再排除——ABABI
把多加了1次的重叠部分ABI减去．
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案43容斥原理(一)
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年 级 四年级 学
科 奥数 版 本 通用版
课程标题 容斥原理（一）
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
有重叠的计数问题，即包含与排除问题。研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图（韦恩图），解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦恩图会更加便捷、直接。
下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式。
容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A、B两类元素个数和＝既是A类又是B类的元素个数＋A类或B类元素个数。写成公式形式即：A＋B＝A∪B＋A∩B（其中符号“”读作“并”，相当于“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于“且”的意思）。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB（意思是把AB、各自的所有元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
例1 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人。这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？
分析与解：完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42＝79（人），多于全班人数。这是因为在统计做完语文作业的人数时语文、数学作业都完成的人数算了一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以这个班语文、数学
第十五讲 重叠问题
第15讲
重叠问题
一、 知识要点和基本方法
在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图象法．
公式法：
运用容斥原理一：C＝＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题．
运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题．
图象法：
不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题．
二、例题精讲
例1 某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？
解 如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数，就能求出全班至少答对一题的人数．再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对．
根据容斥原理一得：
40－（23＋27－17）＝40－33＝7（人）
答：有7位学生两题都没有做对．
例2 某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么
（1）只参加数学竞赛的有多少人？
（2）参加竞赛的一共有多少人？
（3）没有参加竞赛的一共有多少人？
解 根据题意先作图（图15－1）：
图15-1
（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛的有21－7＝14（人）．
（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有21＋13－7＝27（人）．
（3）没有参加竞赛的一共有48－27＝21（人）．
例3 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？
解 如图15－2，当100人都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即 56＋75－100＝31（个）．
三年级奥数4课题：重叠问题
1
课题：重叠问题
【知识讲解】
重叠问题的解决方法。
例1.小丽将3块手帕用夹子夹在绳子上晾晒，每一块的手帕两边必须用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻两块手帕的两边，小丽一共要用多少个夹子？
例2.人们排队上公共汽车，小红排在队伍的中间，无论是从前面数还是从后面数，她都是第4个，这一排队伍一共有多少人？
例3.同学们排练舞蹈，15个同学排成一对，从左边数小宁排在第8，问从右边数小宁排在第几？
例4.学校要举行鼓操表演，同学们排成方队，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左往右数，还是从右往左数，王洁都是第4，这支方队有多少人？
例5.有两块塑料板各长50厘米，把两块板钉成一个塑料板，中间钉在一起的重叠部分是10厘米，钉成的塑料板长是多少厘米？
例6.二年级一班有36名学生，期末测试后，老师问：语文得“优”的请举手！结果有25人举手。老师又问：数学得“优”的请举手！结果有30人举手。最后老师问：两门都没有得“优”2
的请举手！没有人举手。你知道这个班两门可都得“优”的有多少人吗？
【巩固练习】
1.幼儿园阿姨把洗好的6张床单用夹子夹在绳子上晾晒，每一张床单两边都用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻的两块床单，一共需要多少个夹子？
2.小红准备把8张照片钉在墙上钉成一行，每一张照片两边都用钉子钉住，同一个钉子可以钉住相邻的两张照片，一共需要多少个钉子？
3.小朋友们排成一排做操，不论是从前往后数还是从后往前数，小红都是第6个，这一排一共有多少个小朋友？
4.一串珠子摆放在桌子上，这一串珠子上有一颗红色的珠子。从左往右数这颗红色的珠子排在第18，从右往左数这颗珠子排在第32，这一串珠子一共有多少颗？
5.16辆七成排成一列车队向前行进，从前面数，唯一的一辆黑色是小汽车是第9辆，问从后面数它是第几辆？
6.二年级两个班的同学在做操时正好排成一个方形队伍，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左往右数，还是从右往左数，李伟都是第5个，二年级两个班做操的同学一共有多少个？
小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习
1 1、先包含——A＋B
重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；
2、再排除——A＋B－A∩B 小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习
容斥原理1：两量重叠问题
计算公式：A∪B=A＋B-A∩B
说明：A∪B读作：“A并B”，表示A、B情况的总和。
A∩B读作：“A交B”，表示A、B的公共部分。
容斥原理2：三量重叠问题
计算公式： A∪B∪C= A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C－A∩B∩C
说明：A∪B∪读作：“A并B并C”，表示A、B、C情况的总和。
A∩B∩C读作：“A交B交C”，表示A、B、C的公共部分。
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？
2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重叠部分长11厘米。这两块木板各长多少厘米？
3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？
4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？
5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？
6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？
7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。问:四年级有多少学生参加跑步比赛？
8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。三年级各班有多少名学生？ A∩C
A∩B∩C B∩C A∩B 图中小圆表示A的个数，中圆表示B的个数，大圆表示C的个数
重叠问题练习题集锦带答案
重叠问题练习题集锦带答案
在数学的世界里，重叠问题常常让同学们感到困惑，但只要我们掌握了方法，就能轻松应对。下面为大家准备了一些重叠问题的练习题，一起来挑战一下吧！
一、基础篇
1、 学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 25 人，参加书法小组的有 20 人，两个小组都参加的有 8 人。参加兴趣小组的一共有多少人？
答案：参加绘画小组的有 25 人，参加书法小组的有 20 人，但是有
8 人两个小组都参加了，这 8 人在计算总人数时被重复计算了一次，所以需要减去一次。则参加兴趣小组的总人数为 25 ＋ 20 8 ＝ 37（人）
2、 三（1）班有 45 人，喜欢唱歌的有 28 人，喜欢跳舞的有 20 人，既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，两种都不喜欢的有多少人？
答案：喜欢唱歌的有 28 人，喜欢跳舞的有 20 人，其中既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，所以喜欢唱歌或者喜欢跳舞的人数为 28 ＋ 20
10 ＝ 38（人）。班级总人数为 45 人，那么两种都不喜欢的人数为 45
38 ＝ 7（人）
3、 一次数学测验，做对第一题的有 25 人，做对第二题的有 18 人，两题都做对的有 8 人，至少做对一题的有多少人？ 答案：做对第一题的有 25 人，做对第二题的有 18 人，两题都做对的有 8 人。所以至少做对一题的人数为 25 ＋ 18 8 ＝ 35（人）
二、提高篇
1、 某班有 50 名学生，在一次测验中，语文成绩优秀的有 30 人，数学成绩优秀的有 28 人，英语成绩优秀的有 20 人，语文和数学成绩都优秀的有 18 人，语文和英语成绩都优秀的有 12 人，数学和英语成绩都优秀的有 10 人，三科成绩都优秀的有 5 人。请问：
（1）三科成绩都不优秀的有多少人？
（2）只有语文成绩优秀的有多少人？
答案：（1）语文成绩优秀的有 30 人，数学成绩优秀的有 28 人，英语成绩优秀的有 20 人。语文和数学成绩都优秀的有 18 人，语文和英语成绩都优秀的有 12 人，数学和英语成绩都优秀的有 10 人，三科成绩都优秀的有 5 人。所以至少有一科成绩优秀的人数为 30 ＋ 28 ＋
六年级奥数-重叠问题
六年级奥数-重叠问题
容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式法：
运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题《C表示两个集合的并集，A；B表示两个集合，AB表示两个集合的交集》。
运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。《D表示三个集合的并集，A；B；C表示三个不同的集合，AB；AC；BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集》
图象法：
根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。
例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？
例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。那么
《1》只参加数学竞赛的有多少人？
《2》参加竞赛的一共有多少人？
《3》没有参加竞赛的一共有多少人？
例3：某校有三个兴趣小组，体育；书法和美术。已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人；24人和30人。同时参加体育；书法兴趣小组的有5人，同时参加体育；美术兴趣小组的有2人，同时参加书法；美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？
例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。问有多少同学只喜欢语文？
例5：分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？
小学-重叠问题-中学-容斥原理
1 重叠问题
一、专题简析
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
练习1：
1.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有 个。
2.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有 个同学。
【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有 人。
2.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生 人。
【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
3.两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？
六年级奥数-重叠问题 2
第十二道沉叠问题 姓名之阳早格格创做
容斥本理便是：正在计数时，为了使沉叠部分不被沉复估计，人们钻研出一种新的计数要领，那种要领的基础思维是：先不思量沉叠的情况，把包罗于某实质中的所有对于象的数目先估计出去，而后再把计数时沉复估计的数目排斥进去，使得估计的截止既无遗漏又无沉复，那种计数的要领称为容斥本理.
公式法：
使用容斥本理一：C＝A＋B－AB，那一公式可估计出二个集中圈的有闭问题（C表示二个集中的并集，A、B表示二个集中，AB表示二个集中的接集）.
使用容斥本理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，那一公式可估计出三个集中的有闭问题.（D表示三个集中的并集，A、B、C表示三个分歧的集中，AB、AC、BC表示二个分歧集中的接集，ABC表示三个集中的接集）
图象法：
根据题意绘图，并借帮图形帮闲分解，逐个天估计出各个部分，进而解问问题.
例1：某班40位共教正在一次数教考验中，问对于第一题的有23人，问对于第二题的有27人，二题皆问对于的有17人，问有几个共教二题皆分歧过失？
例2：某班有教死48人，其中21人介进数教竞赛，13人介进做文竞赛，有7人既介进数教竞赛又介进做文竞赛.那么
（1）只介进数教竞赛的有几人？
（2）介进竞赛的一公有几人？
（3）不介进竞赛的一公有几人？
例3：某校有三个兴趣小组，体育、书籍法战好术.已知介进那三个兴趣小组的教死人数分别是25人、24人战30人.共时介进体育、书籍法兴趣小组的有5人，共时介进体育、好术兴趣小组的有2人，共时介进书籍法、好术兴趣小组的有4人，有1人共时介进了那三个兴趣小组，问：公有几人介进兴趣小组？
例4：某校对于五年级100名共教举止教习兴趣考察，截止有58人喜欢语文，有38人喜欢数教，有52人喜欢中语.而且喜欢语文战数教(但是不喜欢中语)的有6人，喜欢数教战中语(但是不喜欢语文)的有4人，三科皆喜欢的有12人，而且每人起码喜欢一科.问有几共教只喜欢语文？