小学奥数 容斥原理之重叠问题(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
AB【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第3题【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐【答案】数学、音乐【例 2】四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第2题【解析】该班学生人数为：1813130+-=（名）。
【答案】30名【例 3】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？AC B【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【答案】45人【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【答案】21人【巩固】四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】⑴由题意，有48642-=(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：+-=(人)．3020428⑵只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822-=(人)．【答案】22人【巩固】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人【答案】12人【例 4】如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数是。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题【解析】阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整除的数，即15，30，45 【答案】15，30，45【例 5】学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有名学生．【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第5题【解析】3214295023723+-+=人【答案】723人【例 6】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530-=(人)．+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016【答案】16人【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【答案】9人【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721+-=(人)．【答案】21人【例 7】全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第8题【解析】有三角板的学生共50-28=22（人），其中女生22-14=8（人），那么有直尺的女生有31-8=23（人）。
【答案】23人【例 8】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的两部分全对的【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数．B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．【答案】6人【例 9】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+=(人)．【答案】44人【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【答案】42人【例 10】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A 圆表示采了樱桃的人数，B 圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715--=(人)．【答案】15人【例 11】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：523022-=(块)玻璃．【答案】甲组擦了：523022-=(块)玻璃，乙组擦了：683038-=(块)玻璃，丙组擦了30块玻璃。
三年级奥数4课题：重叠问题
课题：重叠问题【知识讲解】重叠问题的解决方法。
例1.小丽将3块手帕用夹子夹在绳子上晾晒，每一块的手帕两边必须用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻两块手帕的两边，小丽一共要用多少个夹子？例2.人们排队上公共汽车，小红排在队伍的中间，无论是从前面数还是从后面数，她都是第4个，这一排队伍一共有多少人？例3.同学们排练舞蹈，15个同学排成一对，从左边数小宁排在第8，问从右边数小宁排在第几？例4.学校要举行鼓操表演，同学们排成方队，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左往右数，还是从右往左数，王洁都是第4，这支方队有多少人？例5.有两块塑料板各长50厘米，把两块板钉成一个塑料板，中间钉在一起的重叠部分是10厘米，钉成的塑料板长是多少厘米？例6.二年级一班有36名学生，期末测试后，老师问：语文得“优”的请举手！结果有25人举手。
老师又问：数学得“优”的请举手！结果有30人举手。
最后老师问：两门都没有得“优”的请举手！没有人举手。
你知道这个班两门可都得“优”的有多少人吗？【巩固练习】1.幼儿园阿姨把洗好的6张床单用夹子夹在绳子上晾晒，每一张床单两边都用夹子夹住，同一个夹子夹住相邻的两块床单，一共需要多少个夹子？2.小红准备把8张照片钉在墙上钉成一行，每一张照片两边都用钉子钉住，同一个钉子可以钉住相邻的两张照片，一共需要多少个钉子？3.小朋友们排成一排做操，不论是从前往后数还是从后往前数，小红都是第6个，这一排一共有多少个小朋友？4.一串珠子摆放在桌子上，这一串珠子上有一颗红色的珠子。
从左往右数这颗红色的珠子排在第18，从右往左数这颗珠子排在第32，这一串珠子一共有多少颗？5.16辆七成排成一列车队向前行进，从前面数，唯一的一辆黑色是小汽车是第9辆，问从后面数它是第几辆？6.二年级两个班的同学在做操时正好排成一个方形队伍，不论是从前往后数，还是从后往前数，或者从左往右数，还是从右往左数，李伟都是第5个，二年级两个班做操的同学一共有多少个？7.二（1）班同学排队做操，每行是人数同样多。
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（一）7-7-1.容斥原理之重叠问题教学目标了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；1.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．2.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集(”和”或者“或用式子可表示成：其中符号“”读作“并”，相当于中文“的元素个数，BA?B?AB?A则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原)且”的意思．读作的意思；符号“”“交”，相当于中文“，即表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：理．图示如下:BACBA，记为：表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，阴影面积．图示如下:BACBA即阴影面积．1．先包含——B?A重叠部分计算了次，多加了次；1BA2．再排除——2B?AA?B减去．次的重叠部分把多加了1BA的元素的个数，可分以下两步进行：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集BAB、A包的一切元素都分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把“第一步：BA、B、ABA?进来，加在一起)含”；．”了重复计算的元素个数即减去()意思是“排除从上面的和中减去交集的元素个数，第二步：BC?A二、三量重叠问题类又既是类元素的个数类元素个数类元素个数类、类与类元素个数的总和?CC?A??AABB类、同时是类又是类的元素个数类的元素个数既是类又是类的元素个数既是是??CC?BABAB．图示类的元素个数．用符号表示为：类、CBC?AB?AB?C?A?ABC?AB?CC如下：的元素的个数，图中小圆表示的元素的个数，中圆表示BA的元素的个数．大圆表示C．先包含：1C?B?A次．次，多加了、重叠部分、重叠了1ABACBC2．再排除：2CABC??A?B?C?AB次，但是在进行重叠了重叠部分CBA??C3BA?计算时都被减掉了．CB?C?AAB．3．再包含：C?AC?ACBA???BB?CAB1在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
小学三年级奥数-重叠问题
重叠问题
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一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份 纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因 为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中， 我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有 重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图 形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方 法。
练习2：
同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数 从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？
为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置 从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜 花队共多少人？
三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置 从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。 三（4）班共有学生多少人？
练习4：
三（1）班有学生55人，每人至 少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。 已知参加赛跑的有36人，参加 跳绳的有38人。两项比赛都参 加的有几人？
两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘 米的木板，中间重合部分是多少厘米？
三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会 下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。两种棋都 会下的有多少名？
年级有107个小朋友去春游，带矿泉 的有78人，带水果的有77人，每人至 带一种。三年级既带矿泉水又带水果 小朋友有多少人？
重叠问题(动画版含答案)
举一反三3
2.四(1)班订《数学报》的有33人，订《语文报》的有27 人，两份报纸都订的有16人，全班每人至少订一种报纸。 四(1)班有学生多少人？
法一：33＋27－16=44（人） 法二：33＋（27－16）=44（人） 法三：27＋（33－16）=44（人）
经典例题4
某班有20个同学参加学校“庆六一”书法和绘画比赛。 其中参加书法比赛的有14人，两项比赛都参加的有9人， 问：参加绘画比赛的有多少人？
法一：72＋86－128=30（人） 法二：86－（128－72）=30（人） 法三：72－（128－86）=30（人）
举一反三3
1.一次数学测试中，全班42人中，做对第一道聪明题的 有26人，做对第二道聪明题的有19人，每人至少做对一 题，问两道聪明题都做对的有几人？
法一：26＋19－42=3（人） 法二：19－（42－26）=3（人） 法三：26－（42－19）=3（人）
法一： 80×2－140 =160－140 =20（厘米）
法二： 80-（140－80） =80－60 =20（厘米）
法三： 140÷2=70（厘米） （80－70）×2 =10×2 =20（厘米）
举一反三2
1.两块各长90厘米的木板，像下图这样钉成一块长木板， 中间重合部分是18厘米，这块钉成的长木板一共长多少 厘米？
法一： （120＋16）÷2 =136÷2 =68（厘米）
法二：
法三：
（120－16）÷2 120÷2=60（厘米）
=104÷2
16÷2+60
=52（厘米）
=8+60
52＋16=68（厘米） =68（厘米）
举一反三1
1.把两根同样长短的木棍钉在一起，钉成一根280厘米的
重叠问题(容斥原理,包含与排除)
包含与排除例题1，(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，两项活动都参加的有13人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班有多少人？(2)三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？2,某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。
第一小组共有多少人？例题2，(1)五年级一班有42人，参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班两项活动都参加的有多少人？(2)一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？(3)3,某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？3，学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？例题3，(1)四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？(2)全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。
数量关系:A∪B = A+B - A∩BA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法:先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
可画文氏（韦恩）图来解题。
例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长 _____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例题3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中,在把一些数据按照某个标准分类时,常常出现其中得一部分数据同时属于两种或两种以上不同得类别,这样在计算总数时就会出现重复计算得情况,这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到得容斥原理就是奥数得四大原理之一,就是奥数重要知识点。
学生学习奥数,一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠得方法。
1、解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们得与中排除重复部分。
2、解答重叠问题得应用题,必须从条件入手进行认真得分析,有时还要画出图示,借助图形进行思考,找出哪些就是重复得,重复了几次。
明确需要要求得就是哪一部分,从而找出解答方法。
3、在数学中,我们经常用平面上封闭曲线得内部代表集合与集合之间得关系。
这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
4、解答重叠问题得常用方法就是:先不考虑重叠得情况,把有重复包含得几个计数部分加起来,再从它们得与中排除重复部分元素得个数,使得计算得结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理,也叫容斥原理。
5、容斥原理1:如果被计数得对象,被分为A、B两大类,则:被计数对象得总个数=A类元素得个数+B类元素得个数-同时属于A类与B类得元素个数。
容斥原理2:如果被计数得对象,被分为A、B、C三大类,则:被计数对象得总个数=A类元素得个数+B类元素得个数+C类元素得个数-同时属于A类与B类元素得个数-同时属于A 类与C类元素个数-同时属于B类与C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度:（1）拼接(对接)（2）搭接（3）打结题目1:(搭接正问题:求总长度)把两段同样就是20厘米长得纸条粘合在一起,形成一段更长得纸条。
中间重叠得部分就是6厘米,粘好得纸条长多少厘米？题目2:(搭接反问题一:等长搭接,求原来长度)把两段一样长得纸条粘合在一起,形成一段更长得纸条。
奥数容斥问题
2、某地区的外语教师中，每人至少懂得 英语和日语的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言都懂的有 21人，这个地区有多少名外语老师？
当两个计数部分有重复时，为了不重 复计数，应从它们的和中减去重复部分， 这就是重叠的最简单情形。重叠问题也叫 容斥问题，也叫包含与排除问题。
五年级96名学生都订了刊物，有64人订了《少年 报》，有48人订了《小学生报》，问两种刊物都订的有 多少人？
64＋48＝112﹙人﹚ 112－96＝16﹙人﹚ 答：两种刊物都订的 有16人。
四年级（1）班的同学们参加体育活动，已知有28 人参加打乒乓球，26人参加打羽毛球，两种球都参加 的有12人，全班有多少人？
28＋26－12＝42﹙人﹚ 答：全班有42人。
练习一：
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完 了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文和数 学作业都做完的有多少人？
课堂闯关：
1、一个少儿俱乐部有99人，其中会下中国象棋的有70人， 会下国际象棋的有42人，并且每个人至少会下一种棋， 两种象棋多会下的有多少人？
2、同学们去野外采集昆虫和花草标本。采集昆虫标本 的有32人，采集花草标本的有28人，两种标本都采集的 有16人。去采集标本的学生有多少人？
3、某校一次运动会中，某班参加60米跑的有15人， 参加跳远的有17人，既参加60米跑又参加跳远的有 9人，没有参加比赛的有23人。这个班有多少人？
2、五年级122名同学参加语文、 数学测试，每人至少有一门得优， 已知有65人语文得优，有78人数 学得优，求只有语文一门得优的 人数？ 65＋78－122＝21﹙人﹚ 65－21＝44﹙人﹚ 答：只有语文一门得优的人数是 44人。
小学奥数 容斥原理之重叠问题(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
第十五讲 重叠问题
第15讲重叠问题一、知识要点和基本方法在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图象法．公式法：运用容斥原理一：C＝＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题．运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题．图象法：不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题．二、例题精讲例1某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？解如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数，就能求出全班至少答对一题的人数．再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对．根据容斥原理一得：40－（23＋27－17）＝40－33＝7（人）答：有7位学生两题都没有做对．例2某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？解根据题意先作图（图15－1）：图15-1（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛的有21－7＝14（人）．（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有21＋13－7＝27（人）．（3）没有参加竞赛的一共有48－27＝21（人）．例3 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？解如图15－2，当100人都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即56＋75－100＝31（个）．图15-2当所有的音乐爱好者都是体育爱好者时，这两者都爱好的人为最大值即56人．例4某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语．而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科．问有多少同学只喜欢语文？解如图15－3：设只喜欢语文、外语的有x人．图15-3根据容斥原理二得：100＝58＋52＋38－（6＋12＋12＋x＋12＋4）＋12解得x＝14．58－6－12－14＝26（人）答：只喜欢语文的同学有26人．例5分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？解我们知道最简真分数即是分子与分母互质且分子比分母小的分数．因为1001＝7 × 11 × 13．在1至1000中：7的倍数有［1000 ÷ 7］＝142（个）11的倍数有［1000 ÷11］＝90（个）13的倍数有［1000 ÷13］＝76（个）7 × 11的倍数有［1000 ÷77］＝12（个）7 ×13的倍数有［1000 ÷91］＝10（个）11×13的倍数有［1000 ÷143］＝6（个）7 × 11 ×13的倍数有［1000 ÷ 1001］＝0（个）根据容斥原理得：能被7整除，能被11整除或被13整除的数共有142＋90＋76－12－10－6＋0＝280（个）．那么，1至1000中，不能被7整除、不能被11整除，也不能被13整除的数共有；1000－280＝720（个）．也就是说分母是 1001的最简真分数有720个． 由于若1001N （N ＜1001）是最简真分数，那么10011001N 也是最简真分数．这样 720个最简真分数的和等于720 ÷ 2＝360．答：分母是1001的最简真分数有720个．它们的和是360．例6 某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生34人，选学法语的有21人，选学日语的有19人，选学俄语的有10人，其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？解 设同时选学法、日语有x 人．图 15-4根据题意得：21 ＋（19 －x ）＋（10－4－5）＝34解得：x ＝7所以，同时选学法语和日语的有7人．例7 某班学生中78％喜欢游泳，80％喜欢玩游戏机，84％喜欢下棋，88％喜欢看小说．该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？解 该班学生中：不喜欢游泳的有1－78％＝22％不喜欢玩游戏机的有1－80％＝20％不喜欢玩下棋的有 1－84％＝16％不喜欢看小说的有1－88％＝12％那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的：22％＋20％＋16％＋12％＝70％所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是1－70％＝30％．练 习 题A 组1．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有 24人，其中语文、数学都得优的有12人．全班得优的共有多少人？2．50名学生答A 、B 两题，其中没答对A 题的有 12名，而答对A 题，没答对B 题的有30名，那么A 、B 两题都答对的有多少人？3．某班中有30人参加足球与排球活动，参加足球活动的有16人，参加排球活动的有21人．求两项活动都参加的共有多少人？只参加足球活动一项的有多少人？只参加排球活动一项的有多少人？4．一个班级常识、数学期中考试得100分的共21人，其中常识得100分的12人，数学得100分的17人，两门课程都得100分的有多少人？5．某班共50人．参加学书法兴趣小组的32人，学绘画兴趣小组的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？6．育苗小学四年级学生到野外采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集植物标本的有27人，两种标本都采集的有7人．全班学生共有多少人？7．京华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班共40人，没有采集标本的有多少人？8．工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种床都会开的有19人，求全厂共有多少工人？B 组9．在1至10 000中不能被5或7整除的自然数共有多少个？10．外语学校共有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英日语的有5人，能教法日语的有3人，能教英法语的有4人，三种都能教的有2人，只能教法语的有多少人？11．某班有学生50人，有人学会骑车，有人学会游泳，已学会骑车的有35人，两样都会的有15人，没有一样也不会的学生，那么会游泳的有多少人？12．图15－5中A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积．图15-513．学校教导处对100名同学进行调查，结果他们喜欢看球赛和电影、戏剧．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，还知道：既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有4人，三种都喜欢看的有12人，只喜欢看电影的有多少人？14．求从1到1995中能被5整除，也能被6或7整除的自然数的个数．15．某学校有学生1050人，其中600人订阅《语文报》，450人订阅《数学报》，有210人订阅《科技报》，全校学生中有350人订阅两种报刊，有88人订阅三种报刊，那么这个学校有多少人没有订阅任何报刊？16．在自然数中，不超过105，且与105互质的数共有多少个？测试题1．有50名同学在操场上活动，其中有18名是女生，活动的项目是短跑和打球，如果有31名同学打球，有14名男生短跑，那么女生打球的有多少人？2．某小学六年级共有120名学生，其中爱好体育、文学和数学竞赛的共有135人，有15人既对体育又对数学竞赛感兴趣，有10人既爱好体育又对文学感兴趣，还有8人既爱好文学又对数学竞赛感兴趣，三项都感兴趣的有4人，问三项都不感兴趣的有多少人？3．某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6个人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？4．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每一个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有多少个？5．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？6．甲、乙、丙给100盆花浇水，甲浇了76盆，乙浇了69盆，丙浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次水？7．前锋小学有48名学生参加剪纸、绘画、独唱比赛．有24人参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中10人既参加剪纸比赛，又参加绘画比赛．问只参加独唱比赛的有多少人？8．某大学有外语教师130人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50人，既教英语又教日语有20人，既教英语又教法语有15人，既教日语又教法语有13人，有7人英语，日语和法语三门课都会教．则不教这三门课的外语教师有多少人？9．某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会骑自行车，42人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？10．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和．11．夏日的一大，有十个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有3个人既要咖啡又要果汁，有2个人既要可可又要咖啡，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁．其中一定有多少个人什么冷饮也没有要？12．某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生．参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了．那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？13．求从1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数．14．全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三项运动项目没有人全会．至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．如果全班有6个人数学不及格，问：（1）全班数学成绩优秀的有几名？（2）全班有几个人既会游泳又会滑冰？15．若干个人参加语文和数学两科竞赛，其中参加数学竞赛的占竞赛总人数的23，参加语文竞赛的占竞赛总人数的34，两科都参加的有45人．参加数学竞赛而未参加语文竞赛的有多少人？16．六年级开展跳绳和跳高竞赛，已知参加竞赛的人数正好占全年级人数的25，参加跳高的占全体参加竞赛人数的25，参加跳绳的占全体参加竞赛人数的34，两项都参加的有12人．问参加跳绳和跳高竞赛的各有多少人？全年级共有多少人？。