(同济大学)第5讲_全部--逆解法与半逆解法
σx
第二项 ~ q 同阶, （弹性力学的修正 项）
l ~ q( ) 同阶, h
τ xy
（与材料力学解同） （材料力学中不计）
σ y ~ q 同阶,
应力与材料力学解比较:
l 2 l 最主要量级 q( ) , 和次要量级 q ,在材料 h h
力学中均已反映，且与弹性力学相同。 最小量级 ~ q , 在材料力学中没有。
( σ x ) x = l dy ⋅ 1 = 0 , ( σ x ) x = l dy ⋅ 1 ⋅ y = 0 , (τ
xy
−h /2
) x = l dy ⋅ 1 = − ql 。
由此解出H，K. 另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。
应力
最后应力解答：
σx
2 6q 2 y y 3 2 = 3 (l − x ) y + q ( 4 2 − ) h h 5 h
2
(d)
平面问题的多项式解答
等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆 解法确定一下各种多项式能解决的问题。 1.一次式
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 不难验证： 1, x, y , x , y , x y , xy , x , y 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
2 2 2 2 3 3
⎛ ∂2 ∂2 ⎜ ⎜ ∂x 2 + ∂y 2 ⎝
⎞ 4 ⎟ ϕ ( x , y ) = ∇ ϕ ( x, y ) = 0 ⎟ ⎠
2
逆解法与半逆解法 多项式解答
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ⎛∂ ∂ ⎞ 4 ⎜ +2 2 2 + 4 =0 ⎟ ϕ(x, y) = ∇ ϕ(x, y) = 0 ⎜ ∂x2 + ∂y2 ⎟ 4 ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠ ⎝
设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
样的受力问题？
o
h/2 h/2
x
( l >>h)
y
l
按逆解法。
4 Φ 1. 将 代入相容方程，可见 ∇ Φ = 0 是
Φ 有可能成为该问题的解。 满足的。
2. 由 Φ 求出应力分量
2 12 Fxy Φ ∂ σ x = 2 =− 3 , h ∂y 2 ∂ =0, σy = Φ 2 ∂x 2 y τ xy = − ∂ Φ = − 3F (1− 4 2 ). ∂x∂y 2h h 2
x = l (正x面),
在x = 0,l 小边界上的面力 f x , f y 如下图 中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 由此，可得出结论：上述应力函数可以 解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问 题。
(a)
F
F
M (b)
半逆解法
3.半逆解法 步骤： ⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情 况，边界条件等）； ⑵ 由应力(d)式，推测 Φ 的函数形式；
= M I
y y y + q (4 h h
2 2
− 3 ), 5
τ
σ
xy
2 FS S 6q 2 h = − 3 x( − y )= , 4 bI h
y
2y 2 q y = − (1 − )( 1 − ) . 2 h h
应力的量级 当l >> h 时, x ~l 同阶， y ~ h 同阶.
l 2 第一项 ~ q( ) 同阶,（与材料力学解同）; h
4 ∇ ⑶ 代入 Φ = 0 ，解出 Φ ；
逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤： 否
根据问题的特 点设出部分应 力分量 求出应力函数 Φ 是否满足 相容方程
否
结束
是
求出其他应力分量
是
是否满足 边界条件
简支梁受均布荷载
。
简支梁 2 l × h × 1 ，受均布荷载 q 及两端支撑反 力ql 。
∇ 4Φ = 0.
⑵ 求应力
σ x =6ay,
σ y =τ xy =0.
(a)
⑶ 检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。
主要边界
主要边界y = ± h / 2, (σ y ) y=± h/2 =0, (τ xy ) y=±h / 2 = 0 . 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
Φ = a + bx + cy
当不计体力时，对应的应力状态为：
σ x = σ y = τ xy = 0
相应边界条件为： f x = f y = 0 可见线性函数对应于无面力无应力的状态。 故: 应力函数中加减一次式，不影响应力。
2.二次式
Φ = ax 2 + bxy + cy 2
2 不计体力时， Φ = ax 先来看
因为 因为
τ xy ∝ Fs = − ql + q ( l + x ),
σ y ∝ q = 常数,
所以，可假设 τ xy = xf 1 ( y ) + f 2 ( y ); 所以，可假设 σ y = f ( y )。 现采用此假设。
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分，
∂ 2Φ = σ = f ( y ), y ∂x 2
(d)
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
a = 2 M / h 3。
12 M y = M y, σ = 最终得应力解 x I h3
σ y =τ xy = 0. (e)
当 l >> h 时，即使在 x = 0, l 边界上面力 不同于σ x的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。
矩形梁
F 察应力函数 Φ = 3 xy (3h 2 − 4 y 2 )能解决什么 2h
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界）y = ± h / 2上，
σ y = 0, τ yx = 0.
因此，在 y = ± h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x = f y = 0.
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
x = 0(负x面), f x = −(σ x ) x =0 = 0, 3F y2 (1 − 4 2 ); f y = −(τ xy ) x =0 = 2h h 12 Fl f x = (σ x ) x = l = − 3 y , h 3F y2 (1 − 4 2 ). f y = (τ xy ) x =l = − 2h h
相容方程对于任何 x, y 均应满足,故 x , x , x
2 1
0
的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。
半逆解法
解出:
⎫ f = Ay + By + cy + D , ⎪ ⎪ 3 2 f 1 = Ey + Fy + Gy , ⎬ ⎪ 5 4 3 2 A B f 2 = − y − y + Hy + Ky .⎪ 10 6 ⎭
τ xy = − x ( 3 Ay 2 + 2 By + C ) − ( 3 Ey 2 + 2 Fy + G )
对称性条件─由于结构和荷载对称于 τ xy 为 y轴，故 Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数，
x的奇函数，故 E = F = G = 0 。
主要边界
⑸ 考察边界条件。 主要边界
如图如果矩形梁侧面尺寸较小，面力可简化为两个力偶， 则对应的是纯弯曲的问题。
矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单 宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
∇ 4Φ = 0
本题是平面应力问题,且为单连体， Φ 应满足相容方程及 s = sσ 若按 Φ 求解， 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ = ay 3 ，且满足
∂Φ = xf ( y ) + f 1 ( y ), ∂x
x2 Φ= f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ). (a) 对x再积分， 2
半逆解法
⑶ 将 Φ 代入相容方程，求解 Φ :
4 4 4 2 d ( ) d ( ) f y f y d ( ) d f ( y) f y 2 1 1 2 x + x +( +2 ) =0. 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
2 2 2
4
4
4
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤： 取满足相容方程的 Φ 根据边界条件求出面力 求出应力分量 σ x , σ y , τ xy 考察能解决什么问题
逆解法
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 ∇ 4Φ = 0. ⑵ S = Sσ 上应力边界条件,
第5讲
逆解法与半逆解法
孙远韬 sun1979@
同济大学
调和函数
∂σ x ∂τ yx + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂y + ∂τ xy ∂x + fy = 0
当体力是常量时，特解可取为
σ x = − f x x,
σ y = − fy y
τ xy = 0
齐次方程
∂σ x ∂τ yx + =0 ∂x ∂y 齐次方程 的通解可取为:
q
ql
o
h/2 h/2
x
ql
l
y
l
按半逆解法求解。
⑴ 假设应力分量。由材料力学 σx ∝ M, τ ∝ Fs , σy ∝ q, 因为
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弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
结论4： 应力分量为x、y 的二次函数分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究指导老师：刘平姓名：曹天阁班级：研13学号：M13746弹性力学的半逆解法研究姓名：曹天阁学号：M13746摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。
这种方法简化了计算过程。
本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学;解析法;应力函数THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract:Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。
Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。
Key words:elasticity;analysis method;stress function半逆解法是圣维南于1856 年提出来的，它是求解弹性力学问题十分重要的方法，在弹性力学中占有极重要的地位。
半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数<从而求得各应力分量[1]。
这种方法较为有效，但通过解平衡方程求应力函数<时要做消元运算，升高了微分方程的阶数，以至于运算过于复杂，很有改进的必要。
实际上，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件，则是问题的解。
可以看出，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。
5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
线性代数课件(完整版)同济大学
a11 a12 a13
a21 a22 a23
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
p1 p2 L pn
4. 当 p1 p2 L是p偶n 排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 L是奇pn排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 1 ；1 ✓若理解成一阶行列式，则 1 . 1
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与 绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
例：写出四阶行列式中含有因子a11a的23 项.
解：a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
(a a a a )x a b b a
线性代数同济大学第五版课件5-3
正整数, f(x) = a0xm + a1xkB 相似, Am 与 Bm 相似, AT 与 BT 相似,
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
上页
下页
一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
上页 下页
可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
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一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
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可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法PPT文档108页
谢谢！
弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。Байду номын сангаас
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
逆解法与半逆解法
逆解法与半逆解法
2010-10-10 10:42
对于一般的工程构件，即弹性体，由于偏微分方程边值问题在数学上求解的困难，因此直接根据给定的边界条件求解弹性力学的基本方程是十分困难的。
为了避开偏微分方程边值问题直接求解的困难，在弹性力学问题的求解中，经常采用的方法是逆解法和半逆解法。
逆解法就是根据研究问题的性质和研究对象特点，确定基本未知量，写出相应的基本方程并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。
然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，根据边界条件确定表面作用面力或者已知位移。
由此确定假设函数可以求解的弹性力学问题。
半逆解法就是对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形的特点或者已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。
逆解法和半逆解法的求解过程带有"试算"的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
3.2 矩形梁的纯弯曲
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
简述平面问题半逆解法的求解过程
简述平面问题半逆解法的求解过程
平面问题半逆解法是一种以解析函数和数学模型的方式来求解
平面问题的技术，它能够有效地结合约束条件，以最优方式寻求出最佳解决方案。
因此，平面问题半逆解法在工程设计、物流规划、布局优化和运输等多个领域都发挥着重要作用。
一般而言，平面问题半逆解法的求解过程可以分为三个主要步骤：第一步，建立求解模型，即精确地描述问题，包括目标函数和对应的约束条件；
第二步，进行求解，一般采用数学解析的方法，解得满足约束条件的最优解；
第三步，对求解结果进行验证，以确认求解方案是否符合预期。
在第一步建立求解模型时，首先要明确问题的实际目的，即目标函数及其约束条件，根据问题对象的因素确定相应的数学模型，并将该模型表示为数学公式，以此来实现对问题的精确描述。
而完成求解模型建立时，除了理解问题本身，还需要认真研究题目中所提供的信息，根据实际情况确定相应的模型结构，以便搭建出符合要求的模型。
在进行求解时，通常采用数学解析的方法，将模型的数学公式进行加工处理，得出满足约束条件的最优解，并判断解的有效性。
不同的问题，所需要的解析方法也会有所不同，通常使用多元一次方程解析法、多元二次方程解析法、研究法求解最优解等。
最后，对求解结果进行验证，以确认求解方案是否符合预期。
需要根据实际的条件和要求，将求解的结果与实际的情况进行比较，可
以采用实际实验的方式验证求解的结果是否符合预期，以此来确认求解的正确性。
总之，平面问题半逆解法的求解过程是一个复杂而又有趣的过程，需要综合运用数学模型、解析函数、约束条件等多种方法，以最优方式寻求出最佳解决方案。
它不仅能够解决实际问题，而且为后续研究奠定基础，提供了全新的思路和指导方向。
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：