同济大学《高等数学》第五版下册答案
高等数学第五版下册习题及答案
高等数学第五版下册习题及答案第一节 多元函数的基本概念一、填空题1．开，有，221x y +=及224x y += 2.{}(,)01x y x y x y +>+≠且 3.224xyx y+ 4．2(ln )ln x y y - 5.0 6.连续，间断二、单项选择题1.D2.C ，提示：沿着y kx =趋于(0,0)时，222220lim (,)lim 1y kx x x kx kf x y x k x k =→→==++，当k 取不同值时，极限取不同值，所以极限不存在，从而在(0,0)不连续 3.D三、解答题解：1．2201sin()cos lim x y xy xy x x y x →→+-221sin()cos lim x y xy xy x x y y xy →→+-=⋅1sin()lim cos 112x y xy x xy y xy →→⎛⎫=+-⋅=+= ⎪⎝⎭． 2．((0000002lim lim 24x x x y y y xy xy →→→→→→⋅==-=--．3t =，则 原式23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t tt t t t t t →→→--====． 4．证明：22222424240lim lim 1x x y xy k x k x y x k x k →===+++，因为随着k 的变化，241k k +随之变化，所以22400lim x y xy x y→→+不存在．第二节 偏导数 第三节 全微分一、填空题1．0(0,1)(0,1)limx f x f x∆→+∆-∆，0(0,1)(0,1)lim y f y f y ∆→+∆-∆ 2.二阶偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 连续 3.d d x y f x f y + 4. 25．2222d d y x x y x y x y ⎛⎫+⎪⎪++⎭二、单项选择题1．D 2.B ，提示：用(0,1)x f 定义求0(0,1)(0,1(0,1lim))x x f x f f x∆→+∆-∆=220sin()lim 1()x x x ∆→∆==∆ 3．D 4. A三、计算题解：1．12z x x ∂==∂，12z y y∂==∂. 2．2(,1)(1)x z z x x +==+，ln (2)ln(1)z x x ∴=++，在等式两边对x 求偏导，得12ln(1)1z x x z x x ∂+=++∂+，22ln(1)(11)x z x x x x x +∂+⎡⎤∴=++++⎢⎥∂⎣⎦， 31132ln 28ln 2122x y zx==∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭． 3．()222e d e xy tx y x f t y x--∂==∂⎰， ()22222222222e e (2)e (12)e xyxyxyx y xy f y y x y x y y----∂==+-=-∂．4．22z u x y =+，22222222()()x z xzu x x y x y --∴=⋅=++，从而(1,1,2)1x u =-，22222222()()y z yzu y x y x y --=⋅=++，从而(1,1,2)1yu =-，221z u x y=+，从而(1,1,2)12zu =， (1,1,2)1d d d d 2u x y z ∴=--+ 第四节 多元复合函数的求导法则一、填空题1．x u f f xϕ∂+∂，u f y ϕ∂∂ 2.222e xy x y x y ++，222e xyy x x y ++ 3.222222()()xyf x y f x y '---4．1(1ln )y xy x -+二、单项选择题1．B ，提示：()(),()(),z zx y x y x y x y x yφψφψ∂∂''''=++-=+--∂∂ 22()()zx y x y x φψ∂''''∴=++-∂，22()()z x y x y y φψ∂''''=++-∂，2()()zx y x y x yφψ∂''''=+--∂∂，∴选B 2. C ，提示：122zf x yf y∂''=-∂，21112221222(2)22(2)z x f x yf f y f x yf y ∂'''''''''=----∂ 221112222442x f xyf y f f '''''''=-+- 三、计算题解：1．令(,)arctan()z f x y xy ==,则222222d de e d d 111x xz f f y y x y x x x y x x y x y x y ∂∂+=+⋅=+⋅=∂∂+++. 2．1234z f f u ∂''=+∂，1222zf f v∂''=-∂. 3. 12e yz f u f f f x u x x∂∂∂∂''=⋅+=+∂∂∂∂，()212121e e e y y y f f z f f f x y y y y ''∂∂∂∂'''=+=++∂∂∂∂∂ 111132123111132123e e e e e e e y y y y y y y u u f f f f f f x f f x f f y y ⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''''''''''=++++=+⋅+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()2113112123e e e y y y f f x f x f f '''''''''=++++. 4．令2t x y =-，,u x v xy ==，则d d 2(2)d d z f t g u g vf x y x t x u x v x∂∂∂∂∂'=⋅+⋅+⋅=-∂∂∂∂∂ 12g yg ''++，21222()g g z t f t g y x y y y y''∂∂∂∂'''=+++∂∂∂∂∂122222(2)f x y xg g xyg '''''''=--+++. 第五节 隐函数的求导公式一、填空题 1．zx- 2．1±二、单项选择题1．D ，提示：方程两边同时对x 求导：1210z z ab x x φφ∂∂⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，同时对y 求导：1210z z ab y y φφ⎛⎫⎛⎫∂∂-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭；所以121212,z z x a b y a b φφφφφφ∂∂==∂+∂+，代入所求表达式化简，得D 2．D 3．A ，提示：方程组()(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩两边同时对x 求导，得d d ()()1d d d d 0d d x y z z y f x y xf x y x x y z F F F x x ⎧⎛⎫'=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪++=⎪⎩，解之得：d d z x =()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+三、计算题解：1．令(,,)F x y z=xyz +则x F yz =y z F xz F xy =+=+x zF zx F ∂=-=∂ 从而(1,0,1)1zx-∂=∂；y z F zy F ∂=-=∂从而(1,0,1)z y -∂=∂；所以(1,0,1)d d zx y -=．2．令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则3x F yz =-，3y F xz =-，233z F z xy =-；2x z F z yz x F z xy ∂∴=-=∂-，2y z F z xzy F z xy∂=-=∂-； ()()222222z z z y z xy yz z x y y z yz x y y z xy z xy ⎛⎫⎛⎫∂∂+--- ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭== ⎪∂∂∂--⎝⎭()()222222xz xz z y z xy yz z x z xy z xy z xy ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-()5322322z xyz x y z z xy --=-． 3．由题意知，222x y u +=，对方程两边对x 求偏导，得22u x ux ∂=∂，u xx u∂∴=∂． 第六节 多元函数微分学的几何应用一、填空题1．(4,2,1)-- 2. (1,2,1)-或(1,2,1)-- 3. 240x y +-=二、单项选择题1．C 2.B 3.B ，提示：由题意知,曲线的切向量2(1,2,3)T t t =-，与平面的法向量(1,2,1)n =垂直，则21430t t -+=，此方程只有两个根.从而对应切线只有两条，故选B4.C ，提示：（A ）:由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数，此时，不能确定(,)f x y 在(0,0)可微，故不一定成立；（B ）:曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的切平面法向量应为(3,1,1)-或(3,1,1)--；(C):曲面方程可以写为:0(,0)x ty z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,(0,0))(1,0,3)x T f '==三、计算题解：1.d d d e (cos sin ),e (sin cos ),e d d d t t t x y z t t t t t t t =-=+=，则d 1,d t x t==0d 1,d t yt==0d 1d t zt==，所以切向量(1,1,1)T =；而当0t =对应的点为(1,0,1)，所以切线的方程为：101111x y z ---==，法平面方程为：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-=. 2.令(,,)ln ln ,F x y z z y x z =--+则11,1,1,x y z F F F x z =-=-=+所以切向量11(,,),1,1x y z T F F F xz ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，在(1,1,1)M 处的切向量(1,1,2)T =--，所以在点(1,1,1)M 处的切平面方程：(1)(1)2(1)0x y z ----+-=，即20x y z --+=， 法线方程为：111112x y z ---==--. 3.2,2,x y z x z y ==则(2,2,1)T x y =-，设曲面上一点000(,,)x y z 处的切平面为所求，则00(2,2,1)T x y =-.又所求切平面与平面240x y z +-=平行，即 (2,4,1)∥T -，从而00221241x y -==-，0012x y =⎧∴⎨=⎩，05z ∴=从而切平面方程为： 2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即2450x y z +--=.第七节 方向导数与梯度一、填空题 1．12 2.244999i j k +-二、计算题解：1．函数22(,)2f x y x xy y =-+在点(2,3)处沿着梯度方向的方向导数最大，且其最大值为梯度的模.而(2,3)(2,3)(2,3)(,)(22,22)(2,2)x y ff f x y x y ==--+=-grad∴fl∂∂=． 2．3()1,()4,()8x t y t t z t t '''===-，M 点对应1t =，(1,4,8)T ∴=-，148e ,,999T ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 而332222222222,,()()x y y z xy u u x y z x y z +==-++++32222()z xz u x y z =-++，822,,,272727x M y M z M u u u -∴===81242816279279279243Mu l∂⎛⎫∴=⨯-⨯+⨯-=-⎪∂⎝⎭． 3.22,2,x y z u y z u xyz u xy ===，则2,4,1x PyPzPu u u ==-=，24P u i j k ∴=-+grad ，∴沿着梯度方向的方向导数最大，最大值是Pu =grad ．第八节 多元函数的极值及其求法一、填空题1．0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==2.(,,,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y u v f x y u v x y u v x y u v λμλϕμψ=++二、单项选择题1．B 2. A三、解答题解：1．3341,41,x y f x f y =-=-令33410410x yx f x f y y ⎧=⎪⎧=-=⎪⎪∴⎨⎨=-=⎪⎪⎩=⎪⎩∴是可能的极值点.又2212,12,0xx yy xy f x f y f ===，0,A B C ∴=== 20,0AC B A ∴->>，∴是极小值点，且极小值为．2．（法一） 设所求点(,,)P x y z ，则222221x y z ++=，又e l ⎫=⎪⎝⎭，2x f x =，2yf y =，2z fz =.)Pfx y l∂⎛∴==- ∂⎝ 再令(,)),u x y x y =-则设222(,,))(221)L x y z x y x y z λ=-+++-222404020221x yz L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩， 解得，12120x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩或12120x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩11,,02211,,022fu l ⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎛⎫∴-== ⎪∂⎝⎭11,,02211,,022fu l⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎛⎫-== ⎪∂⎝⎭∴所求的点为11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭． （法二）设所求点(,,)P x y z ，则222221x y z ++=，又e 2l ⎫=⎪⎝⎭，2x f x =，2y f y=，2z fz =.)Pf x y l∂⎛∴==- ∂⎝ 再令(,)),u x y x y =-则设222(,,))(221)L x y z xy x y z λ=-+++-222404020221x y z L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩，解得，121202x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩或121202x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎩ 而11,,022f i j l ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭grad ，(,,)f x y z ∴沿l 在11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭的方向导数取最小 值（舍去）.又11,,022f i j l ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭grad ，Pf l ∂∴∂沿l 方向取最大值.∴所求的点为11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．设长方体的长、宽、高为,,x y z ，则xyz k =，它的表面积为：22s xy yz xz =++，(,,0)x y z >，问题就转化为求s 在条件xyz k =下的最小值问题.构造辅助函数(,,)L x y z =22()xy yz xz xyz k λ+++-，解得2020220x yzL z y yz L z x xz L x y xy xyz kλλλ=++=⎧⎪=++=⎪∴⎨=++=⎪⎪=⎩，解得，2x y z z ⎧===⎪⎨=⎪⎩，由实际问题的意义知，一定存在满足条件的表面积最小的长方体水池，上面的,,x y z 就为所求.第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共27分）1．1 2．2d d 2ln 2d x y z -++， 提示：1ln (ln ln )u x y z=-，两边同时对x 求导，得 11u u x xz ∂=∂ 3．1，提示：2(,,)e 2e x x x zf x y z yz yz x∂=+∂，又方程0x y z xyz +++=两边同时对x 求偏导得：10z z yz xy x x ∂∂+++=∂∂，所以11z yz x xy ∂+=-∂+，则(0,1,1)0zx-∂=∂，∴(0,1,1)1x f -= 4. 1221y y yf f g y x x ⎛⎫'''+- ⎪⎝⎭5．1，提示：方程()x mz y nz ϕ-=-两边分别对,x y 求偏导得：10z z m n x x ϕ∂∂⎛⎫'-=⋅- ⎪∂∂⎝⎭则1z x m n ϕ∂='∂-；01z z m n y y ϕ⎛⎫∂∂'-=⋅- ⎪∂∂⎝⎭，则z y m n ϕϕ'∂-='∂-，代入所求的式子化简得，1z z mn x y ∂∂+=∂∂ 6．(4,2) 8．9270x y z +--= 9．111342111y x z +--==-或8423421y x z +--==- 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．C 2. C 3. A 4. D 5. B三、解答题(共58分)解：1．121z f y f y g x y∂'''=⋅+⋅+⋅∂，则 2111122212222211zx x f y f x f f f x f g yg x y y y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂'''''''''''''=+⋅⋅+-+⋅-+⋅⋅+-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1111222122231x x xf xyf f f f fg yg y yy y ⎛⎫'''''''''''''=++--+-++ ⎪⎝⎭ 111222231xf xyf f fg yg y y '''''''''=+--++. 2.方程两边对x 分别求导，得1122220z z zz xyz xy x x x z x∂∂∂+--++=∂∂∂ 112222z x xy yz z x z x ∂⎛⎫∴-+=-- ⎪∂⎝⎭，z xx z∂∴=-∂， 同理，112220z z z xxz xy y y y z y ∂∂∂--++=∂∂∂12122xz z yy x xy z-∂∴=∂-+，12d d d 122xz x yz x y z x xy z-∴=-+-+.3.方程组两边对x 求偏导：00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，解方程组得，22u ux vy x x y ∂+=-∂+. 4.令222(,,)1F x y z x y z =++-，则000()0,()0,()2x y z F P F P F P ===，(0,0,2),n ∴=e (0,0,1)n =， 又21,2,3,x y z u u y u z === 000()1,()0,()3x y z u P u P u P ===，000()0()0()13x y z P uu P u P u P n ∂=⋅+⋅+⋅=∂ ∴函数u 在0P 点沿方向n 的方向导数为3.5.（法一）在每个方程两边对x 求导，得d d 2220d d d 222d y z x y z x xy x y x ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：d 1d d 1d y x x y z xz -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，将P 代入d d y x ，d d z x得曲线的切向量)1,0,T ⎛== ⎝， ∴101y z -==，法平面方程为：1)0x z -+=，即0z +-=（法二）令222(,,)4F x y z x y z =++-，则2,2,2,x y z F x F y F z ===从而()2,()2,()x y z F P F P F P ===2224x y z ++=的法向量为12(1,1n =；再令22(,,)2G x y z x y x =+-，则()0,()2,()0x y z G P G P G P ===，从而曲面222x y x +=的法向量为2(0,2,0)2(0,1,0)n ==；∴切线的方向向量为：(0,1,0)(T =⨯=101y z -==，法平面方程为：1)0,x z -+=即0z +-=. 6.令：(,,)F x y zx y z F F F ===设曲面上的任一点为000(,,)x y z，在此点处的法向量为,n ⎛⎫= ∴000)))0x x y y z z ---=，即y =，∴∴a ==.7.{}(,)06,06D x y x y x =≤≤≤≤-，①当06x ≤≤，0y =时，(,0)0z f x ==；②当06y ≤≤，0x =时，(0,)0z f y ==；③当6x y +=，06x ≤≤时，223(,6)(6)(2)122z f x x x x x x =-=--=-+；令22460x z x x =-+=，则04、x =， 当0x =时，0z =；当4x =时，64z =-；当6x =时，0z =；∴二元函数在()()0,6,6,0点处取得最大值0，在()4,2处取得最小值64-.第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质一、填空题1.有界闭、有界、()01lim,niiii f λξησ→=∆∑、闭、连续 2.(,)d Df x y σ⎰⎰ 3.π4.36a π 5.221()d 2Dx y σ+⎰⎰ 二、单项选择题1． D三、解答题解：1.01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y xy +≤-，∴2222323x y xy ≤++≤-≤，22422d 3d 36DDI σσ∴==≤≤==⎰⎰⎰⎰，即 46I ≤≤. 2.22(2)(1)2x y -+-≤，即22(1)22()x y x y -++≤+，∴22(1)11()2x y x y -+≤+≤+，23()()x y x y +≤+，故23()d ()d D Dx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.第二节 二重积分的计算法（一）一、填空题1.201,0x y x ≤≤≤≤，011y x ≤≤≤≤2.40d (,)d xx f x y y ⎰⎰3.655，提示：D：201,x x y ≤≤≤≤()411e 2-- 5.221d ,:1Dx y D xy σ--+≤⎰⎰ 6．242222d (,)d d (,)d y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰二、单项选择题1.B2. A 3．C 4. B三、计算题解：1.26:24,12y D y x y --≤≤≤≤+，原式d d Dxy x y ==⎰⎰241232d d y y y y x x +--⎰⎰ 214256443243222322112d 428d 4362242324y y x y y y y y y y y y y y +----⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+--=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰2.如图9-1：:01,D y x ≤≤≤≤1220d d d d Dx y x y y y x =⎰⎰⎰13353111222222200002112d (1)d (1)d(1)(1)33335x y y y y y y y y ⎡⎤⎡==+=++=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰21)15=. 3.如图9-2：:2;:;:32xOA y x OB y AB y x ===-+，12D D D ∴=，1:01D x ≤≤，2;2x y x ≤≤2:12,32xD x y x ≤≤≤≤-，121202d d d d d d d d x x D D D x x y x x y x x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-1xy221x y -=11-图9-2xOOB (2,1)A (1,2)y11D2D D1223122323101201331313d d d 3d 222222xxx x y x x x x x x x x -⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+-=+-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.第二节 二重积分的计算法(二)一、填空题1.0,02cos 2πθρθ≤≤≤≤ 2.()2201d cos ,sin d d f πθρθρθρρθ⎰⎰3.2sec 34d ()d f πθπθρρρ⎰⎰二、单项选择题1.A2.D3.C三、计算题解：1.如图9-3，:0,02cos 4D πθρθ≤≤≤≤，原式2cos 2240d d d d Dπθρρθθρρ==⎰⎰⎰⎰2cos 334400018d cos d 33θππρθθθ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰2.如图9-4，:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤，原式=223202cos d d d d Dπθρρρθθρρ=⎰⎰⎰⎰2444222220002cos 11d 2(1cos )d 4(1cos )sin d 44πππθρθθθθθθ⎡⎤==-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 20515sin 2sin 4284ππθθθ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦.图9-3 xyy x = O2 D图9-42cos ρθ=2ρ=yxD2 O3．法一：如图9-5， :0,02sin D θπρθ≤≤≤≤，原式=cos (sin 1)d d Dρθρθρρθ+⎰⎰=2sin 220cos (sin 1)d d d cos (sin 1)d Dπθρθρθρθθρθρθρ+=+⎰⎰⎰⎰2sin 4353000118cos sin d cos 4sin sin d 433θππθρθρθθθθθ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰()536400824sin sin dsin sin sin 033ππθθθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰.法二：被积函数(1)x y +对x 是奇函数，区域D 关于y 轴对称，所以(1)d d 0Dx y x y +=⎰⎰.4．如图9-6，12D D D =，221:4D x y +≤，222:49D x y ≤+≤，原式()()()121222224d d 4d d 4d d D D D xy x y x y x y ρρρθ=--++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232330241(4)d d d (4)d d (4)d 2D πππρρρθθρρρθρρρ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．第三节 三重积分一、填空题1.43π2.163π3.2cos 22002d d d a h z πθπθρρ-⎰⎰⎰图9-5xyO 11－1 22sin ρθ=图9-6xyO2 3 D1D2D4.2120d d (sin cos )sin d f r r r ππθϕϕθϕ⎰⎰⎰二、单项选择题1.C三、计算题解：1.1:01,0,0122x x y z x y -Ω≤≤≤≤≤≤--，原式11122000d d d xx y x y x z ---=⎰⎰⎰ 112111222000(1)1d (12)d (1)d d 448xx x x x x y y x x y y x x x ---⎡⎤=--=--==⎣⎦⎰⎰⎰⎰.2.如图9-7，2π110d d d d πV V z ρθρΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者 π2π2cos 240d d d sin d πV V r r ϕθϕϕΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3.如图9-8，用柱面坐标表示2:02,01,0z θπρρΩ≤≤≤≤≤≤，原式222π1133201d d d 2πd 2z z z ρρθρρρρ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰1701π2πd 28ρρ==⎰. 4.如图9-9，用球面坐标表示:02,0,0sec 4r πθπϕϕΩ≤≤≤≤≤≤，原式sec ππ2πsec 344401d sin d d 2sin d 4r r r ϕϕθϕϕπϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰π44012sec sin d 1)46ππϕϕϕ==⎰. 5.222(222)d I x y z xy yz xz V Ω=+++++⎰⎰⎰，由对称性定理知：(222)d 0xy yz xz V Ω++=⎰⎰⎰，故 22222()d sin d d d I x y z V r r r ϕϕθΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-7xyzO11Ω222z x y =+222(1)1x y z ++-=图9-8xyz1 22z x y =+1OΩ图9-9 xy zO1z Ω[]2πππ455000014d sin d d 2πcos π55R r r R R θϕϕϕ==⋅⋅-=⎰⎰⎰.第四节 重积分的应用一、填空题d x y2.d xy D x y ⎰⎰3.2222:4(822)d d xy D x y x y x y +≤--⎰⎰，2π220d (82)d θρρρ-⎰⎰，16π 4.28a 5.22()d x y V ρΩ+⎰⎰⎰二、单项选择题1. B2. B.三、计算题解：1.22:2xy D x y x +≤，x Z =，y Z =，故所求面积d d d d xyxyxyD D D x y x y x y ====⎰⎰⎰⎰. 2.xoy面之上的球面为：z =x Z =，y Z =222d ,(:)xyxy D x y D x y ax =+≤⎰⎰2d 2d xyxyD D x y x y ==⎰⎰⎰⎰cos 22220222d d 2(1sin )d 2a a a ππθππθρθθπ--==-=⎰⎰⎰.3.设扇形的均匀密度为μ，其质心坐标为(,)x y ，由对称性知，质心在x 轴上，故0y =，2202d d d d cos d d 2cos d d 1d d d d 2L R DDDR L RDDx x yx x y x RL x yx yRL μρθρρθθθρρμ-⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3212sin 23L R RL R =⋅24sin 32R L L R =，故质心坐标为24sin ,032R L LR ⎛⎫ ⎪⎝⎭.第九章 自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1.2(e 1)- 2.2sin 20d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰3.2120d (,)d xxx f x y y ⎰⎰4.53245a提示：31I d 3a a a a x y y y x --⎡==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2225232()d 345a a a x x a -=-=⎰ 5.()111e 2-- 6.22218a b c 二、单项选择题（每小题3分，共24分） 1.A 2.C 3．D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D三、计算题(共52分)解：1.原式222211111222221111111d d d (1)(1)d 022x x x x x y y y x x x x -------⎡⎤⎡⎤===---=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 2.原式1100sin d d sin d 1cos1x xx y x x x===-⎰⎰⎰.3.薄片质量(,)d d DM x y x y μ=⎰⎰，其中()1,12,D x y x y x x⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，故上式=222222223122111111119d d d d d d ()d 4xx x Dxx x y x x y x x x x x x x x y y y x ⎡⎤⎛⎫==-=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.原式[]2π2π2π2π2ππ0πππd sin d 2πdcos 2πcos 2πcos d θρρρρρρρρρ==-=-+⎰⎰⎰⎰[]2π22π6π2πsin 6πρ=-+=-.5.原式2cos 42π2cos 222cos 0cos d d cos sin d 2πsin cos d 4r r r r ϕππϕϕϕθϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ππ625201515cos 5πsin cos d ππ2264ϕϕϕϕ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 6.如图9-10，由于:02π,24,28z θρΩ≤≤≤≤≤≤，故22I ()d z x y V Ω=+⎰⎰⎰2228248331002022d d d d d d z zππρθρρθρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰48π288π336π=+=.第十章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分一、填空题1．(,,)d x y z s ρΓ⎰，22()(,,)d y z x y z s ρΓ+⎰，22()(,,)d x z x y z s ρΓ+⎰，22()(,,)d x y x y z s ρΓ+⎰，(,,)d (,,)d (,,)d ,,(,,)d (,,)d (,,)d x x y z s y x y z s z x y z s x y z s x y z s x y z s ρρρρρρΓΓΓΓΓΓ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2．π 二、单项选择题1．D 2．B ，提示：:0,01;:1,01;OA y x AB y x x =≤≤=-≤≤:0,01;BO x y =≤≤10I ()d (0)d OA AB BOx y s x x ++=+=+⎰⎰11(1d 1x x x y y ++-+=+⎰⎰3．B，提示：42π443I (cos sin R t t t =+⎰777π2π445333203(cos sin )|cos sin |d 24sin cos d 4R t t t t t Rt t t R =+==⎰⎰，故选B三、计算题图9-10xyzO 284 222z x y =+22x y ax +=y解：1．如图10-1，L 的参数方程： cos 22sin 2a a x a y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(02π)θ≤≤， 22I d Lx y s=+⎰222π0cos d 22a θθθ==⎰⎰π2ππ222π0022cos d cos d cos d 2令t a t t a t t t t θ=⎡⎤⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[][]ππ222π02sin sin 2a t t a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 2．Γ的参数方程：1222x ty t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩(01)t ≤≤，1220d (12)2(2x yz s t t t t Γ=+-⎰⎰14320(24244212)d t t t t t =-+++⎰15432024106614655t t t t -⎡⎤=+++=⎢⎥⎣⎦．3、Γ的参数方程：x y z θθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ (02π)θ≤≤2π00s θθΓ===⎰⎰⎰．第二节 对坐标的曲线积分一、填空题1．(,)d +(,)d AB P x y x Q x y y ⎰，d ABF r ⋅⎰ 2．[][]{}(),()()(),()()P t t t Q t t t ϕψϕϕψψ''+3．0280d 2d x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎰⎰，2243d2y y -⎰ 4提示：(1,2),cos x ταβ===，原积分[](,)cos (,)cos d LP x y Q x y s αβ=+⎰图10-1xθOa21二、单项选择题1．C ，提示:12L L L =+，12:,:01;:2,:12;L y x x L y x x =→=-→1222222201142d ((2))d [(2)](1)d 3I x x x x x x x x =++-+---=⎰⎰⎰ 三、计算题解：1．Γ的参数方程：112:1013x t y t t z t =+⎧⎪=+→⎨⎪=+⎩，2d d (31)d x x y y z y z Γ++--⎰22111(12)2(39121)3d (8306)d t t t t t t t t ⎡⎤=+++⋅++---⋅=++⎣⎦⎰⎰ 032187115633t t t ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦.2．2:,:02L y x x =→,2222224240()d ()d ()2d L x y x x y y x x x x x x ⎡⎤-++=-++⋅⎣⎦⎰⎰ 2354603523x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦1285=.3．令cos ,sin x R y R θθ==，π:0,2θ→ 22022π2()d d (sin cos cos )(sin )cos cos d 22L x R xy x x y R R R R θθθθθθθ⎡⎤++=+-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 303222π2sin sin (1sin )dsin 2R R R θθθθ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰33233223π2111=sin sin sin sin 322232R R R R R θθθθ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦． 第三节 格林公式及其应用一、填空题1．闭区域D ，一阶连续偏导数，d d d d LD Q P x y P x Q y x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，D 的取正向的边界曲线 2．沿G 内任意闭曲线积分为零，Q Px y∂∂=∂∂，(,)d (,)d P x y x Q x y y +为某一22 二元函数的全微分 3．(1,2)12(0,0)(,)d (,)d (,0)d (1,)d P x y x Q x y y P x x Q y y +=+⎰⎰⎰4．2222x y xy C +++ 二、单项选择题1．B ，提示：由格林公式，d (01)d d LDy x x y σ-=--=⎰⎰⎰，②③积分均为σ-，故选B2．D ，提示：由格林公式，(22)d d 4d d 0DDI xy xy x y xy x y =--=-=⎰⎰⎰⎰，因为被积函数关于x 是奇函数，D 关于y 轴对称三、计算题解：1．令2222,2()2()yxP Q x y x y-==++，则当220x y +≠，有222222()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂如图10-2，记L 所围区域D ,当(0,0)D ∉时,由格林公式得22d d 02()L y x x yx y -=+⎰；当(0,0)D ∈时选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周2221:l x y r +=.记L 与1l 所围的闭区域为1D ，对复连通区域1D ，用格林公式得112222d d d d 0d d 02()2()L l D y x x y y x x y x y x y x y --+=-=++⎰⎰⎰⎰，其中1l 取逆时针方向，于是122222220d d d d d 2()2()2L l y x x y y x x yr x y x y r πθπ---=-=-=++⎰⎰⎰．2．如图10-3，作辅助线段:0,:0OA y x a =→，与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令e sin ,e cos ,x x Q PP y my Q y my m x y∂∂=-=--=∂∂，由格林公式得(e sin )d (e cos )d xxL OA y my x y my y +-+-⎰2πd d d d 8D DQ P m a x y m x y x y ⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰，图10-2xy 1lOL图10-3xy O(,0)A a 22:L x y ax +=23所以22ππI (e sin )d (e cos )d 88x xOA m a m a y my x y my y =--+-=⎰. 3．如图10-4，法一：作辅助线段:1,:10AB x y =→，:0,:10BO y x =→与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令22,sin ,1Q PP x y Q x y x y∂∂=-=--=-=∂∂，由格林公式得22()d (sin )d d d 0L AB BO D Q P x y x x y y x y x y ++⎛⎫∂∂--+=--= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， 所以2222()d (sin )d ()d (sin )d L AB xy x x y y x y x x y y --+=---+-⎰⎰1122220sin 27()d (sin )d (1sin )d d 46BOx y x x y y y y x x --+=--+=-⎰⎰⎰. 法二： 由22,sin ,1Q PP x y Q x y x y ∂∂=-=--=-=∂∂，所以曲线积分在xoy 面内与路径无关，取折线：:0,:01,:1,:01OB y x BA x y =→=→， 则原积分1122220sin 27()d (sin )d d (1sin )d 46OB BAI x y x x y y x x y y +=--+=+--=-⎰⎰⎰. 第四节 对面积的曲面积分一、填空题1．(,,)dS x y z μ∑⎰⎰，22()(,,)dS y z x y z μ∑+⎰⎰，22()(,,)dS x z x y z μ∑+⎰⎰， 22()(,,)dS x y x y z μ∑+⎰⎰ 2．S，yzD d y z ⎰⎰ 3．222(d ,(d ,(d f R x y f R y z f R z x二、单项选择题1．C ，提示：22224()d d 4x y z S R S R π∑∑++==⎰⎰⎰⎰2．C ，提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故11d 4d 4d SS S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换对称性），其它类似可得图10-4xyO(1,1)A (1,0)B L24 三、计算题解：1．如图10-5，4:42,:1,323xy y x y z x D ∑=--+≤224d 1(2)d d 3S x y ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭，22442d 41(2)d d 33xyD x y z S x y∑⎛⎫⎛⎫++=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰61143246132=⋅⋅⋅⋅=．2．如图10-6，∑由1:1z z ∑=≤≤ 与222:1,1z x y ∑=+≤ 围成，1222222222222()d ()d ()d 2(d xyD x y z S x y z S x y z S x y x y ∑∑∑++=+++++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π12π122320000(d d d d (+1)d xyD x y x y θρρθρρρ+++=+⎰⎰⎰⎰⎰32⎫=⎪⎭．3．如图10-7，::02,11yz x D z y ∑=≤≤-≤≤，如图10-8，2(,,)f x y z x =为x 的偶函数，积分曲面关于yoz 面对称，22d 2(1d yzD x S y y z ∑=-⎰⎰⎰⎰ 图10-5y x zO 234∑图10-6xyzO2:1z ∑=221:z x y ∑=+图10-7xyzO 1∑zyz D225212d 2d 2πyzD y z z y -===⎰⎰⎰⎰．第五节 对坐标的曲面积分一、填空题1．(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰2．(22,d d ,:1xyxy D R x y x y D x y -+≤⎰⎰，)(),,d d ,:01,yzyz DP y z P y z y z D z z y z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，()(),d d ,:01,xzxz D Q x z Q x z z x D z z x z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 二、单项选择题1．C ，提示：如图10-9，12341,:0x ∑=∑+∑+∑+∑∑=后侧，2:0y ∑=左侧，3:0z ∑=下侧，4:1x y z ∑++=上侧，11(1)d d d d d d d d 002yzD x y z y z x x y y z ∑+++=-++=-⎰⎰⎰⎰, 2(1)d d d d d d 00d d +00zxD x y z y z x x y z x ∑+++=-=⎰⎰⎰⎰,31(1)d d d d d d 00d d 2xyD x y z y z x x y x y ∑+++=+-=-⎰⎰⎰⎰, 4(1)d d d d d d (2)d d (1)d d yzzx D D x y z y z x x y y z y z x z z x ∑+++=--+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰d dy xyD x +⎰⎰11111102114d (2)d d (1)d d d 3623y x x y y z z x x z z x y ---=--+--+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， ∴原积分为13三、计算题图10-8O y1图10-9xyzO 1:0x ∑=2:0y ∑=3:0z ∑=4∑z∑26 解：1．如图10-10，∑分为1:x ∑=2:x ∑=的后侧，∑在yoz 面的投影为22:4(0)yz D y z z +≤≥，如图10-11，则12222d dz d dz d dz x y x y x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222(4)d dz (4)d dz 0yzyzD D y z y y z y =-----=⎰⎰⎰⎰．2．如图10-12，设∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤，又()d d y z y z ∑-⎰⎰()d d ()d d 0,yzyzD D y z y z y z y z =---=⎰⎰⎰⎰()d d ()d d ()d d xzxzD D z x z x z x z x z x z x ∑-=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰0=，故原式=2π1()d d ()d d d (cos sin )d 0xyD x y x y x y x y θρθθρρ∑-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．3．如图10-13，∑在xoy 面的投影为22:4xy D x y +≤, 设n 是∑下侧上一点处法向量， 则(2,2,1)n x y =-，d d 2d d y z x x y =-，d d 2d d z x y x y =-， 所以22322d d d d d d (22)d d x y z xy z x y x y x xy y x y ∑∑++=--+⎰⎰⎰⎰ ()2π232232220(22)d d d cos (1sin )sin d xyD x xy y x y θρθθρθρρ=---+=+-⎰⎰⎰⎰π2π2220sin d sin d 4πθθθθ==-⎰⎰=-4-16．第六节 高斯公式 通量与散度一、填空题1．(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， 图10-10xyO2图10-11yzOyz D图10-12xyz1O∑图10-13xyzO∑427[](,,)cos (,,)cos (,,)cos d P x y z Q x y z R x y z S αβγ∑++⎰⎰(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰．2．(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z x y z ∂∂∂++∂∂∂,,1)x y -3．通量 4．2221x y z++ 二、计算题解：1．令,,P x Q y R z ===，∑所围闭域22:03,9z x y Ω≤≤+≤,如图10-14，由高斯公式得d d d d d d 3d d d 339π381πx y z y z x z x y x y z V ∑Ω++===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．2．如图10-15，添加辅助曲面2221:0,z x y a ∑=+≤的下侧与∑上侧一起构成封闭曲面的外侧，令323232,,P x az Q y ax R z ay =+=+=+，则2223()P Q Rx y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂，由高斯公式得1323232()d d (+)d d ()d d x az y z y ax z x z ay x y ∑+∑++++⎰⎰π52π22242006π3()d d d 3d sin d d 5aa x y z x y z r r θϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 其中:222:,0x y a z Ω+≤≤≤ 即π:02π,0,02r a θϕΩ≤≤≤≤≤≤. 又1132323222()d d (+)d d ()d d d d d d xyD x az y z y ax z x z ay x y ay x y ay x y ∑∑++++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图10-14xyzO3图10-15xyzO 22:z x y ∑=+1:0z ∑=图10-16xyzO11 ∑28 52π22πd sin d 4a a a θρθρρ=-=-⎰⎰，所以原式=5556ππ29π5420a a a +=．3．如图10-16，令22,,P xz Q x y R y z ===，则22P Q Rz x y x y z∂∂∂++=++∂∂∂，∑所围闭域Ω：22221,0,0,0x y x y z x y +≤≥≥≤≤+，即Ω：2π0,01,02z θρρ≤≤≤≤≤≤，由高斯公式得2222d d d d d d ()d d d xz y z x y z x y z x y z x y x y z ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰21220d d ()d z z πρθρρρ=+⎰⎰⎰π8=． 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度一、填空题1．0 2．d d d P x Q y R z Γ++⎰3．∑的侧，d d d d d d R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 二、计算题解：1．如图10-17，取∑为平面2az =22234x y a ⎛⎫+≤⎪⎝⎭的上侧被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得20013πd d d d (1)d 4a y x z y x z S S x y z yzxΓ∑∑∂∂∂++==-=-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰． 2．如图10-18，取∑为平面2z =的上侧被Γ所围成的部分(224x y +≤)，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得xyzOΓ2∑29220013d d d d (3)d 3y x xz y yz z S z S x y z yxzyz Γ∑∑∂∂∂-+==--∂∂∂-⎰⎰⎰⎰⎰ 2(5)d 5π220πS ∑=-=-⋅⋅=-⎰⎰．3．环流量22()d ()d 3d x z x x yz y xy z ΓΦ=-++-⎰，取∑为平面0z =的上侧(224x y +≤)被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，22:4xy D x y +≤,由斯托克斯公式得：2201d 2d 3S x S x y z x zx yz xy ∑∑∂∂∂Φ==∂∂∂-+-⎰⎰⎰⎰2π2202d d 2cos d 0xyD x y θρθρ===⎰⎰⎰⎰．第十章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）12328π2π3b R ⎫+⎪⎭ ，提示：222()d m x y z s Γ=++⎰=232π22228π(2π3b R b t t R ⎫+=+⎪⎭⎰2．0 3．P Q y x ∂∂=∂∂ 4．32π3R ，提示：由轮换对称性，222d d d y s z s x s ΓΓΓ==⎰⎰⎰2221(+)d 3x y z s Γ=+⎰3212πd 33R R s Γ==⎰ 5．12，提示：11001d d d d d d 2xzD y x z x x z x x z ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．B 2．D ，提示：(212)d 012d 12L L I xy s s a =+=+=⎰⎰图10-17xyzO:2a z ∑=Γ图10-18。
同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
高等数学同济五版下册答案
习题8−11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y −1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y −2)2≤4}.解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为{(x , y )|x 2+(y −1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y −2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22−+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅−+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x −y , xy ).解 f (x +y , x −y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x −y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2−2x +1);解 要使函数有意义, 必须y 2−2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2−2x +1>0}.(2)yx y x z −++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x −y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x −y >0}.(3)y x z −=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥−y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z −−+−=; 解 要使函数有意义, 必须y −x >0, x ≥0, 1−x 2−y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y −x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u −+++−−−=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2−x 2−y 2−z 2≥0且x 2+y 2+z 2−r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +−→; 解110011lim 22)1,0(),(=+−=+−→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim)0,0(),(+−→; 解 xy y x 42lim)0,0(),(+−→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++−=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(−=++−=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(−+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(−+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(−+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xyxy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++−→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→⋅++−=++− 01sin lim cos 1lim 00==−=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:(1)y x y x y x −+→)0,0(),(lim; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(==−+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(−=−=−+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x −+→)0,0(),(lim不存在. (2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),则 1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==−+→=→x x y x y x y x x xy y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),则 044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=−+→=→x x x y x y x y x x xy y x . 因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→不存在. 8. 函数xy x y z 2222−+=在何处间断？ 解 因为当y 2−2x =0时, 函数无意义,所以在y 2−2x =0处, 函数x y x y z 2222−+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x .证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x yx xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x yx y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤−+22|0|2222y x yx xy , 所以0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x −x 0|<δ时, 有|f (x )−f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x −x 0|<δ, 从而 |F (x , y )−F (x 0, y 0)|=|f (x )−f (x 0)|<ε,所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8−21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y −y 3x ;解 323y y x xz −=∂∂, 233xy x y z −=∂∂. (2)uvv u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s −=+∂∂=∂∂, 21)(v u u u v v u v v s −=+∂∂=∂∂. (3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理)ln(21xy y y z =∂∂. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅−⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y −= 根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz −=∂∂. (5)yx z tan ln =; 解 y x y y y x yxx z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂, y x y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222−=−⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(−−+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz , ]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++++=. (7)z yx u =;解 )1(−=∂∂z y x zy x u , x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂, x x zy z y x x z u z y z y ln )(ln 22⋅−=−=∂∂. (8) u =arctan(x −y )z ;解 z z y x y x z x u 21)(1)(−+−=∂∂−, z z y x y x z y u 21)(1)(−+−−=∂∂−, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(−+−−=∂∂. 2. 设gl T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解 因为l g l T ⋅⋅=∂∂1π, g g g l gT 121(223⋅−=⋅−⋅=∂∂−ππ, 所以 0=⋅−⋅=∂∂+∂∂gl g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +−=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 解 因为211(1xe x z y x ⋅=∂∂+−, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+−, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+−+− 4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(−+=, 求. )1 ,(x f x解 因为x x x x f =−+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dxd x f x . 5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 242x x x z ==∂∂, αtan 1)5,4,2(==∂∂xz , 故4πα=. 6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4−4x 2y 2;解 2384xy x x z −=∂∂, 2222812y x xz −=∂∂; y x y y z 2384−=∂∂, 2222812x y yz −=∂∂; xy y x y yy x z 16)84(232−=−∂∂=∂∂∂. (2)x y z arctan=; 解 22222)(11y x y x y xy x z +−=−⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy y z +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +−=∂∂; 22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +−=+−+−=+−∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y x z x ln =∂∂, y y xzx 222ln =∂∂; 1−=∂∂x xy y z , 222)1(−−=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂−−y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, −1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,f yz (0, −1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyy x xy x z , x xy y x z 122==∂∂, 023∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z −=∂∂∂. 9. 验证:(1)满足nx e y tkn sin 2−=22xy k t y ∂∂=∂∂; 证明 因为nx e kn kn nx e ty t kn t kn sin )(sin 2222⋅−=−⋅⋅=∂∂−−, nx ne x y t kn cos 2−=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222−−=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 222−−=∂∂, 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. (2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r x r −=∂∂−=∂∂, 由对称性知32222ry r y r −=∂∂, 32222r z r z r −=∂∂, 因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r −+−+−=∂∂+∂∂+∂∂ r r r r r z y x r 23)(332232222=−=++−=.习题8−31. 求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=; 解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=. (2)x ye z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=. (3) 22yx y z +=; 解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−, 2/3222222222)(y x x y x y x y y y x z +=++⋅−+=∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=. (4)u =x yz .解 因为1−⋅=∂∂yz x yz x u , x zx y u yz ln =∂∂, x yx zu yz ln =∂∂, 所以xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=− 2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分.解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x x z, 3221=∂∂==y x y z,所以 dy dx dz y x 323121⋅+===. 3. 求函数xy z =当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时的全增量和全微分. 解 因为x y x x y y z −Δ+Δ+=Δ, y x x xy dz Δ+Δ−=12, 所以, 当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=Δz , 125.0)2.0(211.041−=−+×−=dz . 4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时的全微分.解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂= 所以, 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时,e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5. 计算33)97.1()102(+的近似值.解 设33y x z +=, 由于y y z x x z y x y y x x Δ∂∂+Δ∂∂++≈Δ++Δ+3333)()(332233233y x y y x x y x +Δ+Δ++=, 所以取x =1, y =2, Δx =0.02, Δy =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y Δ∂∂+Δ∂∂+≈Δ+Δ+)(y x x x yx x y y y Δ+Δ+=−ln 1, 所以取x =2, y =1, Δx =−0.03, Δy =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z Δ+Δ+=Δ+Δ=≈Δ, 当x =6, y =8, Δx =0.05, Δy =−0.1时,05.0)1.0805.0686122−=⋅−⋅+≈Δz . 这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,ΔV ≈dV =2πRh ΔR +πR 2Δh ,当R =4, h =20, ΔR =Δh =0.1时,ΔV ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂≤≈Δ|)|||(122y y x x yx Δ+Δ+=. 令x =7, y =24, |Δx |≤0.1, |Δy |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈Δ. 令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则 55.2718021278631.0232631.023278=×××+××+××≈πδs , 82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS , %29.182.212755.27==S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55 m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂=≈Δ. 所以两数之和的绝对误差|Δu |等于它们各自的绝对误差|Δx |与|Δy |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明 设u =xy , yx v =, 则Δu ≈du =ydx +xdy , 2y xdy ydx dv v −=≈Δ, 由此可得相对误差;ydy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈Δy y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤; y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v −=⋅−==Δ2y y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤.习题8−41. 设z =u 2−v 2, 而u =x +y , v =x −y , 求x z ∂∂, yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x , yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(−1)=2(u −v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而yx u =, v =3x −2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x −+−=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )2()(ln 222−+−⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x −−−−=. 3. 设z =e x −2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz . 解 dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅−⋅+=−− .)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x −=−=−− 4. 设z =arcsin(x − y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x −−−+⋅−−= 232)43(1)41(3t t t −−−=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz . 解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xx x e x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+−=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx du . 解 dxdz dz u dx dy y u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂= )sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax −⋅+−⋅+++−= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++−+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan =, 而x =u +v , y =u −v , 验证22v u v uv z u z +−=∂∂+∂∂. 证明 )()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂ )()(111)(11222y x y x y y x −⋅++⋅+=)1()()(111)(11222−⋅−⋅++⋅++y x yx y y x 22222v u v u y x y +−=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) u =f (x 2−y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号,2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy ′+′=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy ′+′−=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂. (2) ,(zy y x f u =; 解 1211)()(f yz y x f y x x f x u ′=∂∂⋅′+∂∂⋅′=∂∂, )()(21z y y f y x y f y u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂2121f z f yx′+′−=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂22f z y ′−=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅′+⋅′+⋅′=∂∂3211321f yz f y f ′+′+′=, 3232f xz f x xz f x f yu ′+′=⋅′+⋅′=∂∂, 33f xy xy f zu ′=⋅′=∂∂. 9. 设z =xy +xF (u ), 而xy u =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅)([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂′+⋅+∂∂′++= )]([)]()([u F x y u F xy u F y x ′+⋅+′−+= =xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f y z −=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222′−=⋅′⋅−=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()(′−+=−⋅′⋅−=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+′+′−=∂∂⋅+∂∂⋅211y z zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22xz ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ),f x xu u f x z ′=∂∂′=∂∂2)(, f y y u u f y z ′=∂∂′=∂∂2)(, f x f x u f x f xz ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ′′=∂∂⋅′′=∂∂∂422, f y f y u f y f y z ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).u f y vf y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0, vf u f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数.)()()(22u f x y uf y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=, )(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yv v u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u f y uf xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x vf u f x y y z y y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yv v f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vf x u v f v u f x u f x2222222v f v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =; 解 令u =x , yx v =, 则z =f (u , v ). v f y u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1, vf y xdy dv v f y z ∂∂⋅−=⋅∂∂=∂∂2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xv v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂= 22222212v f y v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=, 1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= yv v f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂⋅∂∂∂=22211 221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂∂⋅−= ()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322vf y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅−∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1′⋅y 2+f 2′⋅2xy =y 2f 1′+2xyf 2′,z y =f 1′⋅2xy +f 2′⋅x 2=2xyf 1′+x 2f 2′;z xx =y 2[f 11′′⋅y 2+f 12′′⋅2xy ]+2yf 2′′+2xy [f 21′′⋅y 2+f 22′′⋅2xy ] =y 4f 11′′+2xy 3f 12′′+2yf 2′′+2xy 3f 21′′+4x 2y 2 f 22′′=y 4f 11′′+4xy 3f 12′′+2yf 2′′+4x 2y 2 f 22′′,z xy =2y f 1′+y 2[f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+2xf 2′+2xy [f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2y f 1′+2xy 3f 11′′+x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+4x 2y 2f 21′′+2x 3yf 22′′ =2y f 1′+2xy 3f 11′′+5x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+2x 3yf 22′′,z yy =2xf 1′+2xy [f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+x 2[f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+2x 3y f 12′′+2x 3yf 21′′+x 4f 22′′=2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+4x 3y f 12′′+x 4f 22′′.(4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1′⋅cos x + f 3′⋅e x +y =cos x f 1′+e x +y f 3′,z y =f 2′⋅(−sin y )+ f 3′⋅e x +y =−sin y f 2′+e x +y f 3′,z xx =−sin x f 1′+cos x ⋅(f 11′′⋅cos x + f 13′′⋅e x +y )+e x +y f 3′+e x +y (f 31′′⋅cos x + f 33′′⋅e x +y ) =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e x +y cos x f 31′′+e 2(x +y ) f 33′′ =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+2e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e 2(x +y ) f 33′′, z xy =cos x [f 12′′⋅(−sin y )+ f 13′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′+e 2(x +y )f 33′ =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+e 2(x +y )f 33′′, z yy =−cos y f 2′−sin y [f 22′′⋅(−sin y )+ f 23′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+ f 33′′⋅e 2(x +y ) =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−2e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′+f 33′′⋅e 2(x +y ).13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而3t s x −=, 3t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321y u x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅−=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(2yu x u s s u s s u ∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ (23)(212222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= 2321(23)2321(212222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(2yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(232222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂−= )2123(21)2123(232222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−+∂∂∂⋅+∂∂⋅−−=22222412343y uy x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−∂∂⋅=,所以 22222222y u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8−51. 设sin y +e x −xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x −xy 2, 则F x =e x −y 2, F y =cos y −2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222−−=−−−=−=.2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy. 解 令xyy x y x F arctan ln ),(22−+=, 则22222222)()(11221y x y x xy x y y x x y x F x ++=−⋅+−+⋅+=,22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +−=⋅+−+⋅+=,yx y x F F dx dyy x −+=−=. 3. 设022=−++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(−++=, 则 xyz yz F x −=1, xyzxz F y −=2, xyz xyF z −=1,xy xyz xyz yz F F x z z x −−=−=∂∂, xy xyz xyz xz F F y zz y −−=−=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及yz ∂∂, 解 令yz z x z y x F ln ),,(−=, 则z F x 1=, y yzyz F y 1)(12=−⋅−=, 2211z z x y y z z x F z +−=⋅−−=,所以 z x z F F x z z x +=−=∂∂, )(2z x y z F F y z z y +=−=∂∂.5. 设2sin(x +2y −3z )=x +2y −3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y −3z )−x −2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y −3z )−1,F y =2cos(x +2y −3z )⋅2−2=2F x , F z =2cos(x +2y −3z )⋅(−3)+3=−3F x ,313=−−=−=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=−−=−=∂∂x x z y F F F F y z ,于是 13231=+=−−=∂∂+∂∂z z z x F FF F yz x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z yy x .解 因为x y F F y x −=∂∂, y z F F zy −=∂∂, z x F F x z−=∂∂,所以 1()()(−=−⋅−⋅−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F xz z yy x .7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx −az , cy −bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足c yz b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为v u uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a v u vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z−xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z −xyz , 则F x =−yz , F z =e z −xy , xye yzF F x z z x −=−=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z −−∂∂−−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y z z z −−−−+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz −−−=. 9. 设z 3−3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3−3xyz −a 3, 则xy z yz xy z yz F F x z z x −=−−−=−=∂∂22333, xyz xz xy z xz F F y z z y −=−−−=−=∂∂22333, )()(22xyz yzy x z y y x z −∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂222)()2())((xy z x y z z yz xy z yz y z −−∂∂−−∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz y z −−−−−⋅−+=322224)()2(xy z y x xyz z z −−−=.10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设, 求⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z dx dy , dx dz; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−xdx dz z dxdy y xdx dz dx dy y 3222.解方程组得)13(2)16(++−=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设, 求⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x dz dx ,dz dy ;解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dzdx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+zdz dy y dz dx x dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x −−=∂∂, yx xz z y −−=∂∂. (3)设, 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求⎩⎨⎧−=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u x u ∂∂,x v ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅′+−∂∂⋅′=∂∂∂∂⋅′+∂∂+⋅′=∂∂x v yv g x u g x v x v f x u x u f x u 21212)1()( , 即⎪⎩⎪⎨⎧′=∂∂⋅⋅−′+∂∂′′′−=∂∂⋅′+∂∂−′121121)12()1(g x v g yv x u g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ′′−−′−′′′−−′′−=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ′′−−′−′−′+′′=∂∂.(4)设, 求⎩⎨⎧−=+=v u e y v u e x u u cos sin x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得, 即, ⎩⎨⎧+−=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin ⎩⎨⎧=+−=++dy vdv u du v e dxvdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (从中解出du , dv 得dy v v e v dxv v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +−−++−=, v v e u e v dx v v e u e v dv u uu u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +−+++−−=,从而1)cos (sin sin +−=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +−−=∂∂v v e vy u u ,]1)cos (sin [cos +−−=∂∂v v e u e v x v u , ]1)cos (sin [sin +−+=∂∂v v e u e v y v u.11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组可确定两个一元隐函数, 方⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y 程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dxdt t f x f dx dy ,移项得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂−x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂−=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yF t f t F x Ft f t F x f t Fx F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂−∂∂−∂∂⋅=1.习题8−61. 求曲线x =t −sin t , y =1−cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (−π处的切线及法平面方程.解 x ′(t )=1−cos t , y ′(t )=sin t , 2cos 2)(t t z =′. 因为点)22 ,1 ,12 (−π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (−π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(−π处, 切线方程为22211121−=−=−+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=−+−⋅++−⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=′, 21)(t t y −=′, z ′(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(−=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为21124121−=−−=−z y x , 即8142121−=−−=−z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=−+−−−z y x , 即2x −8y +16z −1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m −x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m −x 的两边 对x 求导, 得m dx dyy22=, 12−=dxdz z , 所以y m dx dy=, z dx dz 21−=.曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m −=T , 所求的切线方程为000211z z z y m y y x x −−=−=−, 法平面方程为0)(21)()(00000=−−−+−z z z y y y m x x . 4. 求曲线在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y .解此方程组得z y z x dx dy 61015410−−−−=, z y y x dx dz 610946−−−+=. 因为169)1,1,1(=dx dy, 161)1,1,1(−=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111−−=−=−z y x , 即1191161−−=−=−z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=−−−+−z y x , 即16x +9y −z −24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x ′=1, y ′=2t , z ′=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =−1, 31−=t . 于是所求点的坐标为(−1, 1, −1)和)271 ,91 ,31(−−. 6. 求曲面e z −z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z −z +xy −3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z −1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x −2)+2(y −1)+0⋅(z −0)=0, 即x +2y −4=0,法线方程为02112−=−=−z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x −x 0)+by 0(y −y 0)+cz 0(z −z 0)=0,即 , 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++法线方程为00000cz z z by y y ax x x −=−=−.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x −y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, −1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =−=, 即z x 21=, z y 41−=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+−+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221∓=y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±±∓. 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+−±z y x ∓, 即 2112±=+−z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2−16, 则点(−1, −2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(−1, −2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(−1, −2, 3)=(−6, −4, 6).点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F −++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=−+−+−z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8−71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)cos ,(cos 23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy ′=4, 解得yy 2=′. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y ′(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +−=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222−+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a xF F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22b a b y a x b a −=−=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ,(2222βα=+−+−=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, bb y y z b a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, 所以 222222222cos cos b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(−=−=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=−=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=−=∂∂xy z z u , 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9−5, 4−1, 14−2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u, 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u, 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2−1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111cos cos cos z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x −2y −6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).。
【高等数学同济第五版下册工科期末资料】同济高等数学第五版
【高等数学同济第五版下册工科期末资料】同济高等数学第五版一、填空题（每空3分，共15分）z=（1）函数+20z=arctan的定义域为（2）已知函数y∂z=x，则∂x⎰（3）交换积分次序，dy⎰2yy2f(x,y)dx＝（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则⎰(x+y)ds=L（5）已知微分方程y""+2y"-3y=0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）⎰x+3y+2z+1=0⎰2x-y-10z+3=0，平面π为4x-2y+z-2=0，则（）（1）设直线L为⎰A.L平行于πB.L在π上C.L垂直于πD.L与π斜交（2A.xyz=(1,0,-1)处的dz=（）22(x+y)dv⎰⎰⎰Ωdx+dyB.dxD.dx在柱面坐标系下化成三次积分为（）2224z=25(x+y)及平面z=5所围成的闭区域，将Ω（3）已知是由曲面A.⎰⎰2π02πdθ⎰r3dr⎰dz252r25⎰2π02πdθ⎰r3dr⎰dz45C.dθ⎰r3dr⎰5dz∞⎰D.12dθ⎰rdr⎰dz225（4）已知幂级数nn∑2n=1n，则其收敛半径（）x**"""y-3y+2y=3x-2eyy=（）（5）微分方程的特解的形式为A.2B.1C.A.B.C.三、计算题（每题8分，共48分）(ax+b)xex(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxexx-1y-2z-3x+2y-1z====LL0-1且平行于直线2：211的平面方程求过直线1:1∂z∂zz=f(xy2,x2y)，求∂x，∂y已知设D={(x,y)x+y≤4}22，利用极坐标求⎰⎰xdxdyDy2求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值2⎰x=t-sint⎰(2xy+3sinx)dx+(x-e)dyy=1-cost从点O(0,0)到A(π,2)的一段弧⎰5、计算曲线积分L，其中L为摆线⎰6、求微分方程四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算外侧xy"+y=xex满足yx=1=1的特解22xzdydz+yzdzdx-zdxdy⎰⎰∑z=∑，其中由圆锥面与上半球面z=所围成的立体表面的")(102、（1）判别级数∑(-1)n-1n=1∞n3n-1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6"）（2）在x∈(-1,1)∑∞nxn求幂级数n=1的和函数（6"）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z=（1）函数的定义域为；（2）已知函数z=exy，则在(2,1)处的全微分dz=；⎰e1dxf(x,y)dy（3）交换积分次序，⎰lnx0＝；（4）已知L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则⎰=；（5）已知微分方程y""-2y"+y=0，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）⎰⎰x+y+3z=0（1）设直线L为⎰x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππA.0B.2C.3D.4∂z3=（2）设z=f(x,y)是由方程z-3xyz=a3确定，则∂x（）；yzyzxzxyA.xy-z22B.z-xyC.xy-z2D.z2-xy2x*（3）微分方程y""-5y"+6y=xe 的特解y的形式为y*=（）；A.(ax+b)e2xB.(ax+b)xe2xC.(ax+b)+ce2x2xD.(ax+b)+cxedv（4）已知Ω是由球面x2+y2+z2=a2所围成的闭区域,将⎰⎰⎰Ω在球面坐标系下化成三次积分为（）；π⎰2πdθ⎰2ϕdϕ⎰ar22ππa2ππa2ππAsin0drdϕB⎰0dθ⎰20dϕ⎰0rdrC⎰0dθ⎰0dϕ⎰0rdrdθD.⎰⎰sinϕ⎰ar2dr∑∞2n-1n（5）已知幂级数n=12nx，则其收敛半径）.1A.2B.1C.2D.三．计算题（每题8分，共48分）求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程.∂z∂z已知z=f(sinxcosy,ex+y)，求∂x，∂y.设D={(x,y)x2+y2≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算⎰⎰arctanyDxdxdy.1..求函数f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值. 1、利用格林公式计算⎰L(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy，其中L为沿上半圆周(x-a)2+y2=a2,y≥0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. y"-y36、求微分方程+1=(x+1)2x的通解.四．解答题（共22分）∑∞(-1)n-12nsinπ1、（1）（6"）判别级数n=13n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；∞x（2）（4"）在区间(-1,1)内求幂级数∑nn=1n的和函数.2xdydz+ydzdx+zdxdy222、(12")利用高斯公式计算⎰⎰∑，∑为抛物面z=x+y(0≤z≤1)的下侧高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、{(x,y)|x+y>0,x-y>0}-y2、x2+y23⎰40dx⎰1xf(x,y)dy2x-3x45、y=C1e+C2e二、选择题：（每空3分，共15分）1.C2.D3.C4A5.D三、计算题（每题8分，共48分）1、解：A(1,2,3)s→→1={1,0,-1}s2={2,1,1}2"→→i→→→→jkn=s1⨯s2=10-1=→i-3→j+→2116"∴平面方程为x-3y+z+2=08"2、解：令u=xy2v=x2y2"∂z=∂z∂f21"⋅y+f2"⋅2xy∂x∂u⋅u∂x+∂z∂v∂v⋅∂x=∂z∂z∂u∂z∂6"∂y=∂u⋅∂y+∂v⋅v∂y=f1"⋅2xy+f2"⋅x23、解：D:0≤θ≤2π0≤r≤28"，3"∴⎰⎰x2dxdy=3cos2θdrdθ=2π2⎰2D⎰⎰rD⎰0cosθdθ0r3dr=4π8"⎰⎰⎰f(x,y)=e2x(2x+2y2x+4y+1)=04．解：⎰⎰f(x,y)=e2x(2y+2)=01y(,-1)得驻点24"A=fxx(x,y)=e2x(4x+4y2+8y+4),B=fxy(x,y)=e2x(4y+4),C=fyy(x ,y)=2e2x16"A=2e>0,AC-B2=4e2>0∴f(,-1)=-1e极小值为228"∂P∂Q5．解：P=2xy+3sinx,Q=x2-ey=2x=∂x,∴，有∂y曲线积分与路径无关2"积分路线选择：L1:y=0,x从0→π，L2:x=π,y从0→24"x2-ey)dy=⎰L(2xy+3sinx)dx+(⎰LPdx+Qdy+1⎰LPdx+Qdy2=π22-ey)dy=2π2-e2+7⎰03sinxdx+⎰0(π8"y"+1xy=ex⇒P=1x,Q=ex6．解：2"P(x)dx11[⎰Q(x)e⎰P(x)dxdx+C]=e-∴⎰x dx[⎰exe⎰xdx通解为y=e-⎰dx+C]4"=1[x⎰ex⋅xdx+C]=1x[(x-1)ex+C]6"y=1[(x-1)x代入y=1e+1]x=1，得C=1，∴特解为x8"四、解答题⎰⎰2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy=⎰⎰⎰(2z+z-2z)dv=⎰⎰⎰zdv1、解：∑ΩΩ4"=⎰⎰⎰r3cosϕsinϕdrdθdϕΩπ6"dθ方法一：原式＝⎰2π0⎰4cosϕsinϕd0ϕ⎰3dr=π210"2π1方法二：原式＝⎰dθ⎰0rdr⎰r=2π⎰r(1-r2π)dr=210"n-1∞un-1nn=(-1)limun+1=n+131n2、解：（1）令3n-1n→∞ulimnn→∞3n⋅n=3∴∑(-1)n-1nn=13n-1绝对收敛。
同济第五版高数下册答案
高等数学同步练习第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1. 求定义域(1){(x,y ) 1xy e e≤≤}；(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.2.求极限(1)001)2x y →→=;(2)0 ;(3)22222002sin2lim 0()xyx y x y x y e →→+=+; (4)20sin cos lim.2x y xy xyx xy →→=.3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222222201lim 1x x k x k x k x k→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y,极限为0，不存在 ;(3)222222221100x y x y x y x y x y x y x y x y+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .4.因当220x y +≠时，2222220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.1. 求下列函数的偏导数(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 22()1()x y x y --+-. 2.6π.3.11(11xy y =+-==. 4.1222222222222222222222222222221ln()ln(),212.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+5.22002202010sin,lim (,)0(0,0),1sin00lim 10sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x yf x y f x f x x xf y y y→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆g 因为所以连续.（0，0），不存在，.1. 求下列函数的全微分 解：(1)21z z dz dx dy x y x ∂∂=+∂∂-=+=.(2)1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y zyzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=++∂∂∂=++.2.解：33222222220033332222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 11x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x yx f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x yx y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==≠g g 当沿时，故不可微第四节 1.解：322235221''(1)22323(21)(5456)1(2)1(3)()ln()v vdzuv w u v w x u v x x x xdxdzdx xdz z du z duvu f x u u g xdx u dx v dx-=⋅+⋅+⋅=++-===+∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂...2.解：(1)222221121(arctan ln21()uxy xy vz z x z y u uvye xe e u vuu x u y u u v u v vv∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂∂+++.221(arctanuvz z x z y ue u vv x v y v u v v∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂+.(2)'''()(1)()()()uf x xy xyz y yzxuf x xy xyz x xzyuf x xy xyz xyz∂=++++∂∂=+++∂∂=++⋅∂3. 解：''''1212.z z zf a f b f ft x yz z za bt x y∂∂∂=⋅+⋅==∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂，，，所以，4. 解：'222'222''2222''22''22()22(()2())2()24()zf x y xxzf x y x f x yxzx f x y y xyf x yx y∂=+⋅∂∂=+++∂∂=⋅+⋅=+∂∂第五节1.解：令(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂- 2. .解：令22222222(0,0,1)2(,,)10()|1x z F x y z x y z F z x x F z z xz x z x zx z x z zzx=++-=∂=-=-∂∂-⋅--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：''11''''1212'1''12()().x z c c zx a b a b c z y a b z zab C x yφφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=∂+∂∂+=∂∂所以6.（1）解：方程两边对y 求导，得：222460222642146212622242(62)(62)2(61)(61)22(61)61dz dxx ydy dy dx dz x y z dydy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dyy y z x x zx yx ydx y z y z dyx z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++===-++-==++（3）''12''12()(1)2u u v f u x f x x x v u vg g vy x xx ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩'''121'''121''12'''''''1212121''''''''21212112''12''11''11'''''212121(1)(21)212221121122u v xf f uf x x u v g vyg g x xuf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g uy vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-7.证明：x t dy f dx f dt =+ →x tdy dtf f dx dx=+ ① 0x y t dF F dx F dy F dt =++= → x y tF dx F dydt F +=-→y x t t F F dtdy dx F F dx=--⋅ ② ②代入①，得：()(1)y x x t t t t y t x x t tt t y x t t xt t x t t x t t yF F dydy f f dx F F dx f F f Fdy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+=-+-⋅=-∴=+第六节 多元函数微分学的几何应用1．解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。
高数第五版答案(同济)12-7
习题12-71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x , x 2;解 因为x xx =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ;解 因为22=xx , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ; 解 因为332=x x e e , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ;解 因为x xx e e e 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ;解 因为x x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ;解 因为x e xe x x 2222=不恒为常数, 所以2x e , 22x xe 是线性无关的. (7)sin2x , cos x ⋅sin x ;解 因为2sin cos 2sin =xx x , 所以sin2x , cos x ⋅sin x 是线性相关的. (8)e x cos2x , e x sin2x ;解 因为x xe x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以e x cos2x , e x sin2x 是 线性无关的.(9)ln x , x ln x ;解 因为x xx x =ln ln 不恒为常数, 所以ln x , x ln x 是线性无关的. (10)e ax , e bx (a ≠b ).解 因为x a b ax bx e ee )(-=不恒为常数, 所以e ax , e bx 是线性无关的. 2. 验证y 1=cos ωx 及y 2=sin ωx 都是方程y ''+ω2y =0的解, 并写 出该方程的通解.解 因为y 1''+ω2y 1=-ω2cos ωx +ω2cos ωx =0,y 2''+ω2y 2=-ω2sin ωx +ω2sin ωx =0, 并且x y y ωcot 21=不恒为常数, 所以y 1=cos ωx 与y 2=sin ωx 是方程的 线性无关解, 从而方程的通解为y =C 1cos ωx +C 2sin ωx .提示: y 1'=-ω sin ωx , y 1''=-ω2cos ωx ; y 2'=ω cos ωx , y 1''=-ω2sin ωx .3. 验证21x e y =及22x xe y =都是方程y ''-4xy '+(4x 2-2)y =0的解, 并写出该方程的通解.解 因为 0)24(2442)24(42222221211=⋅-+⋅-+=-+'-''x x x x e x xe x e x e y x y x y , 0)24()2(446)24(4222222232222=⋅-++⋅-+=-+'-''x x x x x xe x e x e x e x xe y x y x y , 并且x y y =12不恒为常数, 所以21x e y =与222x xe y =是方程的线性无关解, 从而方程的通解为22221x x xe C e C y +=.提示: 221x xe y =', 222142x x e x e y +=''; 22222x x e x e y +=', 223246x x e x xe y +=''.4. 验证:(1)x x x e e C e C y 5221121++=(C 1、C 2是任意常数)是方程 y ''-3y '+2y =e 5x的通解;解 令y 1=e x , y 2=e 2x , x e y 5121*=. 因为 y 1''-3y 1'+2y 1'=e x -3e x +2e x =0,y 2''-3y 2'+2y 2'=4e 2x -3(2e 2x +2e 2x =0, 且x e y y =12不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程y ''-3y '+2y =0的线性无关解, 从而Y =C 1e x +C 2e 2x 是齐次方程的通解.又因为x x x x e e e e y y y 5555121212531225*2*3*=⋅+⋅-=+'-'', 所以y *是方程y ''-3y '+2y =e 5x 的特解.因此x x x e e C e C y 5221121++=是方程y ''-3y '+2y =e 5x 的通解. (2))sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=(C 1、C 2是任意常 数)是方程y ''+9y =x cos x 的通解;解 令y 1=cos3x , y 2=sin3x , )sin cos 4(321*x x x y +=. 因为 y 1''+9y 1=-9cos3x +9cos3x =0,y 2''+9y 2=-9sin3x +9sin3x =0, 且x y y 3tan 12=不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程y ''+9y =0的线 性无关解, 从而Y =C 1e x +C 2e 2x 是齐次方程的通解.又因为x x x x x x x x y y cos )sin cos 4(3219)cos 4sin 9(321*9*=+⋅+--=+'', 所以y *是方程y ''+9y =x cos x 的特解. 因此)sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=是方程y ''+9y =x cos x 的通解.(3)y =C 1x 2+C 2x 2ln x (C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y ''-3xy '+4y =0 的通解;解 令y 1=x 2, y 2=x 2ln x . 因为x 2y 1''-3xy 1'+4y 1=x 2⋅2-3x ⋅2x +4⋅x 2=0,x 2y 2''-3xy 2'+4y 2=x 2⋅(2ln x +3)-3x ⋅(2x ln x +x )+4⋅x 2ln x =0, 且x y y ln 12=不恒为常数, 所以y 1与y 2是方程x 2y ''-3xy '+4y =0的线性 无关解, 从而y =C 1x 2+C 2x 2ln x 是方程的通解.(4)x x x C x C y ln 92251-+=(C 1、C 2是任意常数)是方程 x 2y ''-3xy '-5y =x 2ln x的通解;解 令y 1=x 5, x y 12=, x x y ln 9*2-=. 因为 x 2y 1''-3xy 1'-5y 1=x 2⋅20x 3-3x ⋅5x 4-5⋅x 5=0,015)1(32532322222=⋅--⋅-⋅=-'-''x x x x x y y x y x , 且621x y y =不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程x 2y ''-3xy '-5y =0的 线性无关解, 从而x C x C Y 251+=是齐次方程的通解. 又因为*5*3*2y xy y x -'-''x x x x x x x x x x ln )ln 9(5)9ln 92(3)31ln 92(222=-⋅---⋅---⋅=, 所以y *是方程x 2y ''-3xy '-5y =x 2ln x 的特解.因此x x x C x C y ln 92251-+=是方程x 2y ''-3xy '-5y =x 2ln x 的通解. (5)2)(121x x x e e C e C x y ++=-(C 1、C 2是任意常数)是方程 xy ''+2y '-xy =e x的通解;解 令x e x y 11=, x e xy -=12, 2*x e y =. 因为 0)(2)22(2223111=⋅-+-⋅++-⋅=-'+''x e x x e xex e x ex ex xy y y x x x x x x x , 0)(2)22(2223222=⋅---⋅+++⋅=-'+''------x e x x e xe x e x e x e x xy y y x x x x x x x , 且x e y y 221=不恒为常数, 所以y 1与y 2是齐次方程xy ''+2y '-xy =0的 线性无关解, 从而)(121x x e C e C x Y -+=是齐次方程的通解. 又因为x x x x e e x e e x xy y xy =⋅-⋅+⋅=-'+''2222**2*,所以y *是方程xy ''+2y '-xy =e x 的特解.因此2)(121x x x e e C e C x y ++=-是方程xy ''+2y '-xy =e x 的通解. (6)y =C 1e x +C 2e -x +C 3cos x +C 4sin x -x 2(C 1、C 2、C 3、C 4是任意常 数)是方程y (4)-y =x 2的通解.解 令y 1=e x , y 2=e -x , y 3=cos x , y 4=sin x , y *=-x 2 . 因为 y 1(4)-y 1=e x -e x =0,y 2(4)-y 2=e -x -e -x =0,y 3(4)-y 3=cos x -cos x =0,y 4(4)-y 4=sin x -sin x =0,并且04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xx e e x x e e x x e e x x e e x x x x x x x x, 所以y 1=e x , y 2=e -x , y 3=cos x , y 4=sin x 是方程y (4)-y =0的线性无关解, 从而Y =C 1e x +C 2e -x +C 3cos x +C 4sin x 是方程的通解. 又因为y *(4)-y *=0-(-x 2)=x 2,所以y *=-x 2是方程y (4)-y =x 2的特解.因此y =C 1e x +C 2e -x +C 3cos x +C 4sin x -x 2是方程y (4)-y =x 2的通解.提示:令k 1e x +k 2e -x +k 3cos x +k 4sin x =0,则 k 1e x -k 2e -x -k 3sin x +k 4cos x =0,k 1e x +k 2e -x -k 3cos x -k 4sin x =0,k 1e x +k 2e -x +k 3sin x -k 4cos x =0.上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为04c o ss i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s ≠=---------x x e e x x e e x x e e x x e e x x x x x x x x, 所以方程组只有零解, 即y 1=e x , y 2=e -x , y 3=cos x , y 4=sin x 线性无关.。
___《高等数学》第五版下册习题答案
___《高等数学》第五版下册习题答案以下是练8-1的答案：1.对于第一题，我们可以使用分部积分法来求解。
具体来说，我们可以将被积函数拆分成两个部分，一部分是三角函数，另一部分是指数函数。
然后，我们可以分别对这两个部分进行积分，并利用分部积分公式将它们结合起来，最终得到原函数的表达式。
2.第二题是一个比较简单的求导题。
我们只需要利用链式法则和乘法法则，对给定的函数进行求导即可。
需要注意的是，有些项可能需要使用指数函数的求导公式来进行求导。
3.第三题是一个求极限的题目。
我们可以利用洛必达法则来求解。
具体来说，我们可以将被积函数化为一个分式，然后对分子和分母分别求导，最后利用洛必达法则求出极限的值。
4.第四题是一个求解微分方程的问题。
我们可以先将微分方程化为标准形式，然后利用分离变量法或者其他的求解方法来求解。
需要注意的是，有些微分方程可能需要使用变量代换或者其他的技巧来进行求解。
5.第五题是一个求解曲线长度的问题。
我们可以利用弧微分公式来求解。
具体来说，我们可以将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行求解，最后将它们相加得到曲线的长度。
需要注意的是，有些曲线可能需要使用参数方程或者其他的表示方法来进行求解。
练9-2：本题要求证明一个三次方程的根的关系式。
先根据题目中给出的条件，将三次方程化为标准形式，然后利用___定理求出三个根的和、积，再利用___引理求出其中两个根的积的模，最后代入关系式中验证即可。
练9-3：本题要求证明一个函数的连续性。
先根据定义分别讨论左极限和右极限是否相等，若相等，则证明函数在该点处连续。
若不相等，则需要进一步讨论函数在该点处是否有间断点，若有，则证明函数在该点处不连续；若无，则证明函数在该点处跳跃，但仍是连续的。
练9-4：本题要求求出一个定积分的值。
首先根据积分的定义，将被积函数分解为正负两部分，然后利用线性性质将定积分分解为两个简单积分的和，再利用换元法或分部积分法求解即可得到最终结果。
高等数学(同济第五版)课后答案 第六章
=(3p 2
y−
1 2
y2
−
1 6p
y3)
p −3
p
= 16 3
p2
.
5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;
(1)ρ=2acosθ ; 解:
所求的面积为
A=
1 2
π
∫−2π 2
(2acosθ )2dθ
π
=
4a
2
∫2
0
cos2θdθ
=πa2.
(2)x=acos3t, y=asin3t; 解
a
a
z 20. 利用题 19 和结论, 计算曲线 y=sin x(0≤x≤π)和 x 轴所围
成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积.
∫ ∫ .3 解
V = 2π π xsin xdx = −2π π xd cosx = 2π (−xcosx +sin x)π = 2π 2 .
0
0
0
w 21. 计算曲线 y=ln x 上相应于 3 ≤ x≤ 8 的一段弧的长度.
o 解 设弦的倾角为 α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
.c A= A0+ A1.
e 显然当α
=π 2
时,
A1=0;
当α <π 2
时,
A1>0.
因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
h a ∫ z A0 =2 0
2axdx = 8 3
a
x3 a = 8 a2 . 03
曲线 ρ = 2 sinθ 与 ρ 2 =cos 2θ 的交点 M 的极坐标为 M ( 2 , π ) . 所求的面积为 26
A