利用角平分线构造全等三角形教学设计
初中数学教学课例《角的平分线的性质》教学设计及总结反思
证明后,教师强调经过证明正确的命题可作为定 理.同时强调文字命题的证明步骤.。
3.合作交流。 判断正误,并说明理由:： (1)如图 1,P 在射线 OC 上,PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE=PF. (2)如图 2,P 是∠AOB 的平分线 OC 上的一点,E、F 分别在 OA、OB 上,则 PE=PF.。 (3)如图 3,在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,若 P 到 OA 的距离为 3cm,则 P 到 OB 的距离边为 3cm。 （4）例题讲解 例 1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.。 求证:EB=FC.。 变题 1:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,且 BD=DF,求 证:CF=EB. 变题 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平 分线, DE⊥AB 于 E,BC=8,BD=5,求 DE.。 教师用多媒体展示问题,学生观察识图,独立思考,
整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合
作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力。
对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规
作图中浪费了一部分时间,当然这一环节时间的浪费与
我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的,以至于在
后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不
够完整。再就是课堂上安排的内容过多,也是导致前面
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种 数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数 学现象的本质和发现数学规律.根据如今各学校实际教 教学策略选 学环境及本节课的实际教学需要,我选择电脑及投影仪 择与设计 多媒体教学系统辅助教学,另外借助一定的教学软件, 如“几何画板”,“Powerpoint”等将有关教学内容用 动态的方式展示出来,让学生能够进行直观地观察,并 留下清晰的印象,从而发现变化之中的不变.这样,吸引
角平分线的性质教学设计
《角平分线的性质》教案——人教版《数学》八年级上册鞍山市二十六中学那琳11.3 《角平分线的性质》教案第二课时教学目标知识技能1、了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；2、会利用角的平分线的性质进行证明与计算.解决问题1、提高综合运算三角形全等的有关知识解决问题的能力2、初步了解角平分线的性质及判定在生活、生产中的应用数学思考通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
情感态度探讨角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点角平分线的性质的证明及运用。
难点角平分线性质的探究。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：情境引入：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？学生以小组为单位讨论，有部分学生疑惑，用以前学过的知识解决不了，引出新知识，等待学完再解决。
通过让学生动手画最短的路线，可以复习点到直线的距离这一概念，为探究角的平分线的性质作铺垫；同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相连的，从而激发学生的学习兴趣，体现人人学有价值的数学。
活动2：根据表中的图形和已知，猜想由已知可推出的结论，并用符号语言填写下表：1、学生可以讨论，独立思考，然后说出答案。
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的结论：点P在∠AOB的平分线上．判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．2、进一步引导学生用集合的观点概括两个性质，教师及时点拨讲解，让学生区别性质和判定两个的区别引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。
(完整版)利用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。
《角的平分线的性质》全等三角形
如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，则这 两个三角形全等。
三角形全等的判定定理
SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角 边）和HL（直角三角形全等）。
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长的一段等于较短的 一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
《角的平分线的性质》全等 三角形
2023-11-08
目 录
• 全等三角形概述 • 角的平分线的性质 • 用角的平分线的性质证明全等三角形 • 全等三角形的应用 • 复习与巩固
01
全等三角形概述
全等三角形的定义
两个三角形全等
如果两个三角形的形状和大小完全相同，则这两个三角形全 等。
全等三角形的表示
解决实际问题
要点一
总结词
全等三角形在实际问题中有着广泛的应用，如建筑设 计、工程绘图等领域。利用全等三角形的性质可以解 决许多实际问题。
要点二
详细描述
全等三角形在实际问题中的应用可以通过许多实例来 加以说明，如利用全等三角形测量不可直接测量的距 离和角度、利用全等三角形解决对称问题等。此外， 全等三角形在物理学、化学等领域也有着广泛的应用 ，如解释力学原理、化学反应中的分子结构等。通过 全等三角形的应用，可以帮助我们更好地理解和解决 实际问题。
在全等三角形中，相等的边和角分别用对应符号表示，如 △ABC≌△DEF。
全等三角形的性质
对应边相等
全等三角形的对应边相等，即如果△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF， CA=FD。
对应相等
全等三角形的对应角相等，即如果△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F。
【原创】第十二章 全等三角形习题训练 ---角平分线模型的识别与应用 教学设计
第十二章全等三角形习题训练------------角平分线模型的识别与应用一、教材内容分析本节课的主要内容是识别角平分线模型；并应用角平分线模型进行解决有关全等三角形相关的实际问题,；其中蕴含有数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、建模思想等数学思想方法；侧重于培养学生应用能力、推理能力、抽象概括能力等数学基本能力。
角平分线模型是在学生学完角平分线、轴对称图形等内容之后的延伸和扩展，有利于培养学生初步的推理抽象概括能力以及几何直观感，它在进一步学习几何模型等知识具有一定的地位和作用。
二、学习者特征分析在八年级几何证明中，学生经常遇到与角平分线相关的问题，八年级有些同学在做的过程中觉得有些吃力，特别是涉及到探究几何问题中线段与线段之间、角与角之间的关系时，不知该如何灵活利用角平分线构造全等三角形以便证明它们之间的关系，今天教会学生识别角平分线的模型，并在教学过程中引导学生灵活利用角平分线的模型快捷、有效解决此类问题。
三、教学目标分析知识与技能：复习角平分线中的定义与性质，识别中考几何中常用的角平分线的模型添加技巧，并能运用到几何证明中。
过程与方法：通过学生直接操作几何画板，动画演示，让学生亲身经历角平分线模型识别与应用的过程，培养学生空间想象能力以及添加辅助线的能力，体会其中蕴含的数学思想与方法，并总结概括初步说理的规律与技巧。
情感、态度与价值观：通过识别、交流、应用的数学活动，形成积极参与数学活动，与他人合作交流的意识，积累数学活动经验，诱发学生对数学产生好奇心，形成实事求是的态度以及质疑和独立思考的思维品质。
重点：相交线模型的识别与应用难点：灵活应用角平分线模型构造全等三角形进行解答角平分线为背景的几何证明题五、教学策略分析课型分析：复习和习题课型。
通过问题的不断深入，向学生渗透一些数学思想方法。
导学案教学；分组讨论探究教学；变式教学多媒体辅助教学：利用多媒体进行课初导入的激趣,并充分利用多媒体直观展示几何证明题动态的过程，引导学生从中获取方法。
角平分线的性质说课稿
角平分线的性质说课稿徐庄中学八年级张玉芳今天，我说课的题目是《角的平分线的性质》第一课时，选自新人教版教材《数学》八年级上册第十二章第三节．下面，我从教学背景的分析、教学目标的确定、教学方法与手段的选择、教学过程的设计和教学评价分析等五个方面对我的教学设计加以说明．一、教学背景的分析1．教学内容分析本节内容是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础．3．教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用．难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理 1正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．二、教学目标的确定1、知识与技能：(1)．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．(2)．探索并证明角的平分线的性质．(3)．能用角的平分线的性质解决简单问题．2.过程与方法：在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
八年级数学上册全等三角形 . 角的平分线的性质角平分线的判定教学
P B
C
第十一页，共二十三页。
新课讲解( jiǎngjiě)
1、判断题：
（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分(píngfēn)∠AOB.（× ）
（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（
）×
A M
Q
O
NB
图1
A
M Q
┐
O
NB
图2
12/13/2021
第十二页，共二十三页。
MD
C
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
12/13/2021
第十页，共二十三页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点3
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角 形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角
形三条角平分线的交点.
A
12/13/2021
∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA. （三角形内角和定理）
转化为 ∠BAC和∠BOC的关系.
12/13/2021
第十七页，共二十三页。
当堂 小练 (dānɡ tánɡ)
如图，O是△ABC内一点(yī diǎn)，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，
且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
如图，O是△ABC内一点(yī diǎn)，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE， 且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE. （角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. （角的平分线的性质）
由角平分线构造对称全等三角形解题
由角平分线构造对称全等三角形解题
多年来，依据角平分线构造对称全等三角形这一数学、几何知识点一直是高中
数学教学的重点。
而其核心内容是根据规定的角和边，求一个等边三角形，以准确解答对称全等三角形题目。
第一步，要把题目中给定的角、边、绳子长度这些要素陈列出来。
确定绳子的
长度，是关键的步骤。
使用绳子绘制角平分线，然后根据角平分线的作用，计算出其它不同点的位置。
第二步，在第一步的基础上，要解决的是怎样构造一个对称全等三角形。
我们
可以根据前面步骤的结果，依次求出各边的长度。
当长度全部求出时，我们就可以依据角平分线将顶点连接起来，构造出一个对称全等三角形。
最后，结合题目给出的图形，通过比较来验证我们解答的准确性。
通过衡量等
边三角形各个边长度、外角大小等特征，可以判断出解决方案是否正确。
从而彰显出角平分线定理在构造对称全等三角形这一具有重要解题价值的应用。
总之，根据角平分线构造对称全等三角形的技巧是高中数学中的重要教学内容，对高中数学的学习有着积极、重要的意义。
只要认真按照所讲解的步骤做，加强理解，坚持练习，就能够较为轻松的应用角平分线构造对称全等三角形，解决一些有关此课题的考题。
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课题名称：利用角平分线--构造全等三角形
教师姓名：史月华学校：延庆县张山营学校编号：
教师年龄：45 教龄：21 职称：中学一级
教学背景分析
（一）教学内容的功能和地位
是在八年级学习了全等判定及性质，角平分线的概念和直角三角形全等的基础上进行教学的。
同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美；四边形的学习奠定了基础。
教材安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认识规律。
（二）学生情况分析
本节课在学生已探索过的全等三角形判定及性质，角平分线判定及性质基础上，，通过让学生添加辅助性，构造全等三角形，来证明线段相等的方法。
本节课对于学生来说添加辅助线是比较困难的，通过小组合作共同解决问题。
同时也为后续学习四边形，相似奠定基础。
教学目标
3、教学目的要求：
1．熟练掌握全等三角形判定定理；
2.熟悉角分线的性质及与角分线相关的辅助线模型
3.通过本节课，培养学生独立思考意识，合作交流意识，让同学们友好相处，树立远大志向，共同度过快乐时光。
4．节约粮食，学会感恩，懂得珍惜，一饭一汤当思来之不易，培养学生弘扬中华美德。
教学重点和难点分析
(一)教学重点：全等三角形判定定理及角分线相关的模型；
(二)教学难点：从具体题境中发现与角分线辅助线的相关模型。
教学过程
教学
环节
教师活动学生活动设计意图
环节
一：
情景
引入
问题1:见到这幅图片你有什么想法？
问题2:见到角平分线你有什么想法？回答老师的问题
运用类比进行传统
美德教育
积极回答老师的提
问畅所欲言
培养学生联
想能力，同时
进行传统教
育，节约粮
食，懂得感恩
为问题3作铺
垫
环节二 小组合作集思广益 环节三合作探究
问题3 如图，E 是∠AOB 的平分线OP 上一点，分别在OA,OB 上确定一点F 、G ，使△OEF ≌△OEG 你有几种确定的方法，并说明理由。
例1：
如图，四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，BD 平分∠ABC ，求证：AD=CD
方法1
证明：在BC 上截取BE=AB ，连接ED
A
B
D
C
E
由BD 平分∠ABC ， ∠1=∠2, BD=BD, BE=AB ∴△ABD ≌△EBD （SAS ） ∴AD=ED ，
∠BAD=∠DEB ，
开发学生思维，积极发言
再上面一题基础上，引导学生
1．复习角平分线定理及逆定理
2．等腰三角形三线合一性
3．做角平分线依据：三边对应相等两三角形全等
培养学生发散思维，培养学生一题多解，拓宽解题思路
环节四
拓展提高又∠BAD+∠C=180，
∠BED+∠CED=180，
∴∠C=∠DEC，
则DE=DC，
∴AD=DC．
方法2
过D点作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F
F
A
B
D
C
E
方法3
延长BA至E点，使BE=BC，连接ED
A
B C
D
E
变式训练：
已知Rt△ABC中，∠B=90°,BD是∠B的平分线，
将三角板的直角顶点放在D点，三角板的两角边
与AB交于E与直角边BC交于F，你能判断DE
与DF的数量关系吗？你是如何证明？
结论：DE=DF
方法1
在BC上截取BG=BE，连接GD
小组合作，共同交流
提供解题思路
小组合作交流
同学们把他写在学
案上
环节五 你的收获 环节六 作 业 布 置
1．如图，已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E 点，
求证：CD ＝BE
B
2．已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。
C 3．已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点， 且P
D ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ，
求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
同学们根据自己兴趣挑选至少2个自己喜欢的试题
作垂线构造
全等
巩固所学知
识
提升学生能力 学生活动的说明（200字内）
学生活动的设计目的在于，鼓励学生积极思考勇于发言，处于青春期的学生，逻辑思维、创造性思维迅速发展，他们能够从不同的角度、多维的、立体的考虑问题，并且通过综合、分析、推理找出本质和规律鼓励创新，并利用已有知识解决问题。
明确已知角平分线求线段长度的基本解题思路，掌握多题一解方法，并训练学生学会读题，理解题意，综合运用所学知识解题能力。
教学设计的说明（200字内）
本节课的教学设计围绕教学目标，运用全等判定及性质相关知识，角平分线性质综合应用的重点，运用类比联想，激发学生的积极性主动探究知识解决问题。
学会添加辅助线。
同时渗透爱家、爱国的教育，同时渗透青春期教育，让同学们友好相处，让他们树立远大志向，共同度过快乐时光。
板书设计
C D
B
P
A
例1：
如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，变式训练：
BD平分∠ABC，求证：AD=CD 已知Rt△ABC中，∠B=90°,BD是∠B的平分线，
将三角板的直角顶点放在D点，三角板的两角
边与AB交于E与直角边BC交于F，你能判断DE
与DF的数量关系吗？你是如何证明？。