第20讲-幻方与数阵图拓展
三年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三年级数阵图与幻方
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图讲义(含答案)
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
2、求解幻方的方法。
例题1：请你将1～9这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、 掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
幻方和数阵
ii）a=1，b=3，c=5
d=s-（a+b）=6
e=s-（a+c）=4
f=s-（b+c）=2
?
?
iii）a=2，b=3，c=4
d=s-（a+b）=5
e=s-（a+c）=4
因为数字出现重复，所以不合题意。
?
（3）当s=11时，a+b+c=12
这时a、b、c的可能情况有：
?
学法指导
解数阵图的一般方法：
（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
（2）依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
（3）对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的排法为止。
?
因此在解答这类问题时，常用的知识有：
1．等差数列的求和公式
总和=（首项+末项）×项数÷2
2．数字的奇偶性
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
?
重点·难点
要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
知识网络
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了 这样的数阵图，也称做幻方。
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识集锦知识集锦数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。
数阵图和复合型数阵图三种形式。
幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。
“洛书”的传说。
在3×3的方格里，的方格里，填上填上9个连续的自然数，个连续的自然数，使每行、使每行、使每行、每列、每列、每列、每条对角线上的每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。
类似的还有四阶幻方、五阶幻方……例题集合例题集合例1 1 把把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是行、竖列三个数的和都是1414。
练习1 1 将将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是2121。
例2 2 将将1111～～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是4040。
练习2 2 将将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是4747。
例3 3 把把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。
练习3 3 如下图，在五个小圆圈内分别填上如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。
之和都相等。
例4 4 将将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是2121。
练习4 4 将将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是2222，那么，那么A 、B 两个圆圈内不可能填（两个圆圈内不可能填（ ））。
①1和7 7 ②②4和8 8 ③③3和5 5 ④④2和6例5如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相5 如下图，将等。
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知识点回顾
⏹幻方：
行和、列和以及对角线和都相等的方形数阵图称为幻方。
这个相等的和叫做幻和。
⏹一、各种幻和补全问题：
通过不同组幻和之间的比较，从而求出一些特殊位置上的数。
最常用的方法就是“两条直线去掉公共格之后，剩下的数仍然
相等”。
这个方法不仅适用于幻方，也适用于一些与“相等和数”有关的数阵图问题。
⏹幻方：
⏹二，三阶幻方的三条重要性质：
a
A c
b
1，幻和等于幻方中心方格内所填数的3倍，
如图所示，即幻和=3A；
2，所有经过中心方格的行、列或对角线上
的三个数，均构成等差数列；
3，位置如a,b,c所示的三个格子满足如下关系：b+c=2×a
复杂数阵图：
一，学会观察一个数阵图，找出其中哪些数是可以直接确定的，哪些数之间是相关联的，哪些位置是最特殊的，要填进去的数中，有没有哪些数对位置有特殊要求的。
二，重数分析和整体分析的思想。
求出公共的“和数”，并确定一些特殊位置上的数之间的关联。
【1】（高思学校竞赛数学导引P122）
将1，2，3，…，24，25分别填入下图的各个方格中（有些数已填好），使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数是多少?
【2】（高思学校竞赛数学导引P122）
请在下图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
【3】（高思学校竞赛数学导引P122）
(1)在下图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少?
【3】（高思学校竞赛数学导引P122）
(2)请在下图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。
【4】（高思学校竞赛数学导引P123）
如下图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．
【5】（高思学校竞赛数学导引P123）
将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人下图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．
【6】（高思学校竞赛数学导引P123）
请将1至9这9个数填入下图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?
【7】（高思学校竞赛数学导引P123）
请将1至10填入下图中的10个圆圈中(9已经填好)，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
【8】（高思学校竞赛数学导引P123）
在下图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
【9】（高思学校竞赛数学导引P124）
请在下图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．
【10】（高思学校竞赛数学导引P124）
请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边)；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是多少?
【11】（高思学校竞赛数学导引P124）
将数字1、2、3、4、5、6、7填人下图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。
【12】（高思学校竞赛数学导引P124）
将1至9填人下图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16
【13】（高思学校竞赛数学导引P125）
下图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法．
【14】（高思学校竞赛数学导引P125）
如下图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少?请给出一种填法．。