四年级 数学试题 奥数第20讲 幻方与数阵图扩展 苏教版(2014秋) 无答案
小学四年级专项思维训练(幻方与数阵图)【附参考答案】
幻方与数阵图1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中该是____。
2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。
5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。
7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。
8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。
9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。
10.将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的o内，并使每个面上的四个O内的数字之和都相等，求与填人数字1的O有线段相连的三个O内的数的和的最大值．11.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有__________种填法．12.将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。
四年级奥数数阵与幻方
数阵问题知识要点：一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。
在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。
如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。
在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。
还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。
这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。
例题分析：一．辐射型数阵：例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.二．封闭型数阵：例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。
例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。
例8. 图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?例9. 图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图讲义(含答案)
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
2、求解幻方的方法。
例题1：请你将1～9这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
小四奥数(幻方和数阵)
1、用“罗伯法”编制一个五阶幻方。
2、在下图的空格里填上合适的数，使横、竖、斜行中三个数的和都是27.
3、在下图的七个圆圈里分别填上1-7，使每条直线上的三个数的和都相等。
4、把1-9这九个数分别填入下图“七一”图案的格子里，使每一横行、每一竖行的数的和都是13.
5、将1-8八个数分别填入下图中，是每条边上三个数的和等于12.
数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。
二、典型例题
例1将1-9九个数字填在右图内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。
这幅图用现在的数字表示，即为1-9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上图）。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称它为“魔方”、“幻方”或“中国方阵”。
幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方——“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日无锡以为中学教师发明，这个数字方阵方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236.
将1-7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条线上三个圆圈内的数的和相等。
想一想：从（1+2+3+、、、+7-x）除以3，商是整数而没有余数时，该怎样思考？
变式3-1把3-9这七个数填入下图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
例4把1-10十个数填入下图中的小圆中，使每个大圆上六个数的和是30.
四年级奥数幻方与数表
知识要点幻方与数表二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
五、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）一、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nna a a a 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b ca b c⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。
数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表（本讲）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
四年级计算幻方与数表教师版
知识要点幻方与数表一、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、 掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
四年级奥数：数阵图
四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。
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第20讲幻方与数阵图扩展
内容概述
掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.
典型问题
兴趣篇
1. 把1，2，…，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．
2. (1)如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“。
”的方格内所填的数是多少?
4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．
5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”
的方格中所填的数分别是什么?
6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?
7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7．
8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
9．请在图20-10中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．
10．将0至9填入图20-11的10块区域中(阴影区域除外)，使得每个圆内的三个数之和都是相等的．请问：这个和最小是多少?最大是多少?
拓展篇
1．将1，2，3，…，24，25分别填入图20-12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“。
＊”的方格内所填的数是多少?
2．请在图20-13的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
3．(1)在图20-14的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有“t”的方格内所填的数是多少?
(2)请在图20-15的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。
4. 如图20-16，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．
5．将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人图20-17中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．
6．请将1至10填入图20-18中的10个圆圈中(9已经填好)，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
7．在图20-19的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
8．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起(相连的两个方格必须有公共边)；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少?
9．将数字1、2、3、4、5、6、7填人图20-21中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。
10．将1至9填人图20-22中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．
11．图20-23中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法．
12．如图20-24，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、
2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少?请给出一种填法．
超越篇
1．请在图20-25的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
2. 图20-26是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等．美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．
得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．
4．在图20-28的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差
(大数减小数)恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．
5．将1至9分别填人图20-29中的9个圆圈内，使图中每条直线(图中有7条直线)上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少?
6．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少?最小是多少?请分别给出使得和最大、最小的填法．
7．在图20-3l中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内(其中3、4已经填好)，使得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数(例如，虚线框中上面2个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数)，并且最下面空着的4个圆圈中的数之和等于43．
8．图20-32中共有10个圆圈，6条直线．请问：
(1)能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(2)能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(3)请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．。