数学答案：长郡教育集团初中课程中心2020-2021学年度初二第1学期期中考试
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级(上)开学数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有()π-，911，2，0，3.725，3.207007⋯，3.14．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）下列命题中，真命题的是()A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等3．（3分）在方程1382x y-=中，用含x的代数或表示y，正确的是()A ．43xy-= B ．163xy-= C ．166xy-= D ．166xy-=4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角() A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定5．（3分）如果32.37 1.333≈，323.7 2.872≈，那么32370约等于() A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.13336．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，4PA=，5PB=，2PC=，则点P到直线l的距离为()A．2B．4C．不大于2D．小于27．（3分）已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形的对角线条数是() A．5B．7C．9D．108．（3分）已知图中的两个三角形全等，则α∠度数是()A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．72︒9．（3分）如图//a b ，M 、N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点，那么123(∠+∠+∠= )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒10．（3分）已知不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则(1)(1)a b +-值为( ) A ．6 B ．6- C ．3 D ．3-11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x ，则x 的取值范围是( )A ．4x >B ．4x <C ．48x <<D ．04x <<12．（3分）已知方程组：23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是：8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组：2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是( )A ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩B ．10.32.2x y =⎧⎨=⎩C ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩D ．10.30.2x y =⎧⎨=⎩二．填空题（每小题3分，共18分）13．（3()214,x x -=则 ．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了 道题．15．（3分）若关于x 的不等式组2x x m >⎧⎨>⎩的解集是2x >，则m 的取值范围是 ． 16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(210)x -︒和(110)x -︒，则x = ．17．（3分）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =，BE CF =，则下列结论：①DE DF =；②AD 平分BAC ∠；③AE AD =；④2AB AC AE +=中，正确的是 ．18．（3分）如图，在Rt ABC∆，90C∠=︒，12AC=，6BC=，一条线段PQ AB=，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使ABC∆和QPA∆全等，则AP=．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：231121x yy x+=⎧⎨-=⎩．20．（6分）解不等式组：212 342163x xx x-<+⎧⎪--⎨⎪⎩．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是ABC∆的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O 分别作OD BC⊥，OF AB⊥，垂足分别为点D，E，F．O是BAC∠角平分线AM上的一点()，(OE OF∴=)．同理，OD OF=．(OD OE∴=)．CP是ACB∠的平分线()，O∴在CP上()．因此，AM，BN，CP交于一点．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A ，B 两种型号的轿车．用300万元可购进A 型轿车10辆，B 型轿车15辆，用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A ，B 两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型轿车可获利8000元；销售1辆B 型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A ，B 两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．23．（9分）已知：如图，点D 、E 、F 、G 都在ABC ∆的边上，//DE AC ，且12180∠+∠=︒（1）求证：//AD FG ；（2）若DE 平分ADB ∠，40C ∠=︒，求BFG ∠的度数．24．（9分）已知：如图，在ABC ∆、ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连接BD ．（1）求证：BAD CAE ∆≅∆；（2）请判断BD 、CE 有何大小、位置关系，并证明．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，P 为AC 上一点，当AP = 时，ABP ∆与CBP ∆为偏等积三角形．（2）如图2，ABD ∆与ACD ∆为偏等积三角形，2AB =，6AC =，且线段AD 的长度为正整数，过点C 作//CE AB 交AD 的延长线于点E ，求AE 的长度（3）如图3，已知ACD ∆为直角三角形，90ADC ∠=︒，以AC ，AD 为边问外作正方形ACFB 和正方形ADGE ，连结BE ，求证：ACD ∆与ABE ∆为偏等积三角形．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD 以D 为顶点作MDN ∠，交边AC 、BC 于M 、N ．（1）若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M 、N 改在CA 、BC 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有( )π-，9110，3.725，3.207007⋯，3.14． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：911是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数；3.725，3.14是有限小数，属于有理数；无理数有π- 3.207007⋯共3个．故选：C ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．2．（3分）下列命题中，真命题的是( )A ．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．图形在平移过程中，对应线段平行且相等【分析】根据垂线段公理对A 进行判断；根据平行线的性质对B 进行判断；根据垂直公理对C 进行判断；根据平移的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为真命题， B 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B 选项为假命题；C 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C 选项为假命题；D 、图形在平移过程中，对应线段平行（或共线）且相等，所以D 选项为假命题． 故选：A ．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．（3分）在方程1382x y -=中， 用含x 的代数或表示y ，正确的是( ) A ．43x y -= B ．163x y -= C ．166x y -= D ．166x y -= 【分析】将原方程通过移项、 系数化为 1 ，变换成y ax b =+的形式 ．【解答】解： 移项， 得1382y x -=-， 方程两边同时除以3-，得166x y -=． 故选：C ．【点评】本题考点在于对方程式变形的掌握 ． 重点在于对方程式的变换过程中对方程式两边做同样的运算 ．4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角( )A ．相等B ．相等或互补C ．互补D ．不能确定【分析】本题应分两种情况讨论，根据图形中1∠，2∠，3∠的两边互相平行，由图形可以看出1∠和2∠是邻补角，它们和3∠的关系容易知道一个相等，一个互补．【解答】解：如图，1∠，2∠，3∠的两边互相平行，34∴∠=∠，41∠=∠，42180∠+∠=︒，31∴∠=∠，32180∠+∠=︒，∴这两个角相等或互补．故选：B ．【点评】此题考查了平行线的性质，解题时注意：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．5．（3 1.333≈ 2.872≈约等于() A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解： 1.333≈，∴ 1.3331013.33⨯=．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，4PA=，5PB=，2PC=，则点P到直线l的距离为()A．2B．4C．不大于2D．小于2【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连结直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据4PA=，5PB=，2PC=，可得三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2，据此判断即可．【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；因为4PA=，5PB=，2PC=，所以三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2．故选：C．【点评】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．7．（3分）已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形的对角线条数是() A．5B．7C．9D．10【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出(2)180540n-⨯︒=︒，求出边数，再求出对角线条数即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则(2)180540n-⨯︒=︒，解得：5n=，所以这个多边形的对角线的条数是(53)552-⨯=，故选：A ．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n 的方程是解此题的关键，注意：边数为n 的多边形的内角和(2)180n =-⨯︒，边数为n 的多边形的对角线的条数(3)2n n -⨯=． 8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则α∠度数是( )A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．72︒【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：两个三角形全等，50α∴=︒．故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．9．（3分）如图//a b ，M 、N 分别在a 、b 上，P 为两平行线间一点，那么123(∠+∠+∠= )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【分析】首先过点P 作//PA a ，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【解答】解：过点P 作//PA a ，则////a b PA ，1180MPA ∴∠+∠=︒，3180NPA ∠+∠=︒，123360∴∠+∠+∠=︒．故选：C ．【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．10．（3分）已知不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集为11x-<<，则(1)(1)a b+-值为()A．6B．6-C．3D．3-【分析】先解不等式，求出解集，然后根据题中已告知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a、b．【解答】解：不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩，解得，1223axx b+⎧<⎪⎨⎪>+⎩，即，1 232ab x++<<，11x-<<，231b∴+=-，112a+=，得，1a=，2b=-；(1)(1)2(3)6a b∴+-=⨯-=-．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是() A．4x>B．4x<C．48x<<D．04x<<【分析】等腰三角形的两腰相等，所以另一个腰也为x，根据三边关系可列出不等式组．【解答】解：88x xx x>-⎧⎨<+⎩．4 x>．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，第三边大于其他两边之差小于两边之和．12．（3分）已知方程组：23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是：8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组：2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是( )A ．8.31.2x y =⎧⎨=⎩B ．10.32.2x y =⎧⎨=⎩C ． 6.32.2x y =⎧⎨=⎩D ．10.30.2x y =⎧⎨=⎩【分析】在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．【解答】解：在方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩中，设2x a +=，1y b -=， 则变形为方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩， 由题知8.31.2a b =⎧⎨=⎩， 所以28.3x +=，1 1.2y -=，即 6.32.2x y =⎧⎨=⎩． 故选：C ．【点评】这类题目的解题关键是灵活运用二元一次方程组的解法，观察题目特点灵活解题．二．填空题（每小题3分，共18分）13．（34,x =则 5或3- ．【分析】首先根据平方根概念求出2(1)16x -=，然后根据16的平方根等于4±，求出x 即可．【解答】解：4，2(1)16x ∴-=，14x ∴-=±，所以5x =或3-．故答案为：5或3-．【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果2(0)x a a =，则x 是a 的平方根．若0a >，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a 的算术平方根；若0a=，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了7道题．【分析】设该同学答对的题数为x道．根据在这次竞赛中共得了61分，列方程求解．【解答】解：设该同学答对的题数为x道．根据题意得：103(10)61x x--=，解得7x=．故答案为：7【点评】本题是一道一元一次方程的应用题，考查了列方程解应用题的基本步骤，寻找等量关系是关键，此题的等量关系：答对的分数-答错或不答的分数61=．15．（3分）若关于x的不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集是2x>，则m的取值范围是2m．【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．【解答】解：因为不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集是2x>，根据同大取较大原则可知：2m<，当2m=时，不等式组2xx m>⎧⎨>⎩的解集也是2x>，所以2m．故答案为：2m．【点评】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(210)x-︒和(110)x-︒，则x=40或80．【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180︒解答即可．【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，根据题意可得：(210)(110)x x-︒=-︒或(210)(110)180x x-︒+-︒=︒，解得：40x=或80x=，故答案为：40或80【点评】此题考查对顶角、邻补角问题，解答此题的关键：应明确对顶角相等，邻补角互补，进而根据其含义进行分析、解答．17．（3分）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =，BE CF =，则下列结论：①DE DF =；②AD 平分BAC ∠；③AE AD =；④2AB AC AE +=中，正确的是 ①②④ ．【分析】由HL 证明Rt BDE Rt CDF ∆≅∆，得出对应边相等DE DF =，得出AD 平分BAC ∠，①②正确；由AD AE >，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE CF =，AE AF =，得出④正确，即可得出结果．【解答】解：DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BDE ∆和Rt CDF ∆中，BD CD BE CF=⎧⎨=⎩， Rt BDE Rt CDF(HL)∴∆≅∆，DE DF ∴=，①正确， AD ∴平分BAC ∠，②正确，在Rt ADE ∆中，AD 是斜边，AD AE ∴>，③不正确， Rt BDE Rt CDF ∆≅∆，BE CF ∴=，AE AF =，2AB AC AB AF CF AB AE BE AE ∴+=++=++=，④正确；正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键18．（3分）如图，在Rt ABC ∆，90C ∠=︒，12AC =，6BC =，一条线段PQ AB =，P 、Q两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ∆和QPA ∆全等，则AP = 6或12 ．【分析】本题要分情况讨论：①Rt APQ Rt CBA ∆≅∆，此时6AP BC ==，可据此求出P 点的位置．②Rt QAP Rt BCA ∆≅∆，此时12AP AC ==，P 、C 重合．【解答】解：①当AP CB =时，90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆与Rt QPA ∆中，AP CB AB QP =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt QPA(HL)∴∆≅∆，即6AP BC ==；②当P 运动到与C 点重合时，AP AC =，在Rt ABC ∆与Rt QPA ∆中，AP AC QP AB=⎧⎨=⎩， Rt QAP Rt BCA(HL)∴∆≅∆，即12AP AC ==，∴当点P 与点C 重合时，ABC ∆才能和APQ ∆全等．综上所述，6AP =或12．故答案为：6或12．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：231121x y y x +=⎧⎨-=⎩． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：231121x y y x +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：412y =，解得：3y =，把3y =代入②得：1x =，则方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．（6分）解不等式组：212342163x x x x -<+⎧⎪--⎨⎪⎩．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：212342163x x x x -<+⎧⎪⎨--⎪⎩①② 解不等式①得：3x <，解不等式②得：2x -，∴不等式组的解集是23x -<．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据． 已知：如图，AM ，BN ，CP 是ABC ∆的三条角平分线．求证：AM 、BN 、CP 交于一点．证明：如图，设AM ，BN 交于点O ，过点O 分别作OD BC ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为点D ，E ，F ．O 是BAC ∠角平分线AM 上的一点( 已知 )，(OE OF ∴= )．同理，OD OF =．(OD OE ∴= )．CP 是ACB ∠的平分线( )，O ∴在CP 上( )．因此，AM ，BN ，CP 交于一点．【分析】根据角平分线的性质解答即可．【解答】证明：设AM ，BN 交于点O ，过点O 分别作OD BC ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为点D ，E ，F ．O 是BAC ∠角平分线AM 上的一点（已知）， OE OF ∴=（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）． 同理，OD OF =．OD OE ∴=（等量代换）． CP 是ACB ∠的平分线（已知）， O ∴在CP 上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 因此，AM ，BN ，CP 交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的两个性质解答．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A ，B 两种型号的轿车．用300万元可购进A 型轿车10辆，B 型轿车15辆，用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A ，B 两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型轿车可获利8000元；销售1辆B 型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A ，B 两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．【分析】（1）等量关系为：10辆A 型轿车总价钱15+辆B 型轿车总价钱300=；8辆A 型轿车总价钱18+辆B 型轿车总价钱300=，把相关数值代入计算即可；（2）关系式为：A 型轿车总价钱B +型轿车总价钱400；A 型轿车总利润B +型轿车总利润20.4，求合适的正整数解即可．【解答】解：（1）设A 型轿车每辆x 万元，B 型轿车每辆y 万元．（1分）根据题意，可得1015300818300x y x y +=⎧⎨+=⎩（3分） 解，得1510x y =⎧⎨=⎩（4分） 所以A 型轿车每辆15万元，B 型轿车每辆10万元．（5分）（2）设购进A 型轿车a 辆，则B 型轿车(30)a -辆．（6分）根据题意，得1510(30)4000.80.5(30)20.4a a a a +-⎧⎨+-⎩， 解这个不等式组，得1820a ．因为a 为整数，所以18a =，19，20．30a -的值分别是12，11，10．因此有三种购车方案：方案一：购进A 型轿车18辆，B 型轿车12辆；方案二：购进A 型轿车19辆，B 型轿车11辆；方案三：购进A 型轿车20辆，B 型轿车10辆．【点评】考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；得到关于总费用和总利润的关系式是解决本题的关键．23．（9分）已知：如图，点D 、E 、F 、G 都在ABC ∆的边上，//DE AC ，且12180∠+∠=︒（1）求证：//AD FG ；（2）若DE 平分ADB ∠，40C ∠=︒，求BFG ∠的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）利用平行线的性质和判定解答即可．【解答】证明：（1）//DE AC2DAC ∴∠=∠2180l ∠+∠=︒1180DAC ∴∠+∠=︒//AD GF ∴（2）//ED AC40EDB C ∴∠=∠=︒ ED 平分ADB ∠240EDB ∴∠=∠=︒80ADB ∴∠=︒//AD FG80BFG ADB ∴∠=∠=︒【点评】此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．24．（9分）已知：如图，在ABC ∆、ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连接BD ．（1）求证：BAD CAE ∆≅∆；（2）请判断BD 、CE 有何大小、位置关系，并证明．【分析】（1）要证BAD CAE ∆≅∆，现有AB AC =，AD AE =，需它们的夹角BAD CAE ∠=∠，而由90BAC DAE ∠=∠=︒很易证得．（2）BD 、CE 有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD CE ⊥，需证90BDE ∠=︒，需证90ADB ADE ∠+∠=︒可由直角三角形提供．【解答】证明：（1）90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD EAD CAD ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆．（2）BD CE =，BD CE ⊥，理由如下：由（1）知，BAD CAE ∆≅∆，BD CE ∴=；BAD CAE ∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，45ABD DBC ∠+∠=︒，45ACE DBC ∴∠+∠=︒，90DBC DCB DBC ACE ACB ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒，则BD CE ⊥．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角ABC ∆，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，P 为AC 上一点，当AP = 2 时，ABP ∆与CBP ∆为偏等积三角形．（2）如图2，ABD ∆与ACD ∆为偏等积三角形，2AB =，6AC =，且线段AD 的长度为正整数，过点C 作//CE AB 交AD 的延长线于点E ，求AE 的长度（3）如图3，已知ACD ∆为直角三角形，90ADC ∠=︒，以AC ，AD 为边问外作正方形ACFB 和正方形ADGE ，连结BE ，求证：ACD ∆与ABE ∆为偏等积三角形．【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题．（2）证明()ADB EDC AAS ∆≅∆，推出AD DE =，2AB EC ==，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）过点B 作BH AE ⊥，垂足为H ，先证明ABH ACD ∆≅∆，则CD HB =．，依据三角形的面积公式可知ABE CDA S S ∆∆=，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可．【解答】解：（1）如图1中，当2AP PC ==时，PAB PBC S S ∆∆=，ABP ∆与PBC ∆不全等，ABP ∴∆与CBP ∆为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，ABD ∆与ACD ∆为偏等积三角形，BD CD ∴=，//AB EC ，BAD E ∴∠=∠，ADB EDC ∠=∠，()ADB EDC AAS ∴∆≅∆，AD DE ∴=，2AB EC ==，6AC =，6262AD ∴-<<+，428AD ∴<<，24AD ∴<<， AD 为正整数，3AD ∴=，26AE AD ∴==．（3）如图3中，过点B 作BH AE ⊥，垂足为H ．四边形ABFC 和四边形ADGE 均为正方形，90HAC DAC ∴∠+=︒，90BAH HAC ∠+∠=︒，AB AC =，AD AE =．BAH DAC ∴∠=∠．在ABH ∆和ACD ∆中，90BAH DAC H ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABH ACD AAS ∴∆≅∆．CD HB ∴=． 12ABE S AE BH ∆=，12CDA S AD DC ∆=，AE AD =，CD BH =，ABE CDA S S ∆∆∴=．ACD ∴∆与ABE ∆为偏等积三角形．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD 以D 为顶点作MDN ∠，交边AC 、BC 于M 、N ．（1）若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM 、MN 、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M 、N 改在CA 、BC 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM 、MN 、BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可；（2）延长CB 到E ，使BE AM =，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可；（3）在CB 截取BE AM =，连接DE ，证DAM DBE ∆≅∆，推出BDE MDA ∠=∠，DM DE =，证MDN EDN ∆≅∆，推出MN NE =即可．【解答】（1）AM BN MN +=，证明：延长CB 到E ，使BE AM =，90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒，在DAM ∆和DBE ∆中AM BEA DBE AD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM DBE ∴∆≅∆，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =，60MDN ADC ∠=∠=︒，ADM NDC ∴∠=∠，BDE NDC ∴∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DEMDN NDE DN DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=．（2）AM BN MN +=，证明：延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ，90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒，90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDN BDC ∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠，CDM NDB ∠=∠，在DAM ∆和DBE ∆中AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM DBE ∴∆≅∆，BDE MDA CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =，90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠MDN NDE ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=．（3）BN AM MN -=，证明：在CB 截取BE AM =，连接DE ，90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，ADN ADN ∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠，90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒，在DAM ∆和DBE ∆中AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAM DBE ∴∆≅∆，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =，ADC BDC MDN ∠=∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠，在MDN ∆和EDN ∆中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MDN EDN ∴∆≅∆，MN NE ∴=，NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．。
2020长郡集团初二数学期中考试(答案
长郡教育集团初二阶段性检测数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)长郡教育集团初中课程中心2020年上学期初二阶段性检测数学参考答案一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)题号123456789101112答案C B B B D C A B D C D D二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)13．(x ＋3)2＝1014.<115.2.516.y ＝3.5x 17.318.245(或4.8)三、解答题(共66分)19．【解析】(1)x 1＝1，x 2＝－12；(4分)(2)x 1＝－1，x 2＝3.(4分)20．【解析】(1)∵一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点A (3，1)和点B (0，－2)，k ＋b ＝1，＝－2，＝1，＝－2，即一次函数的表达式是y ＝x －2；(3分)(2)在y ＝x －2中，令y ＝0，则x ＝2，∴C (2，0)，∴S △BOC ＝12×2×2＝2.(3分)21．【解析】(1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴AM ∥CN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CM ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形；(3分)(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AED ＝∠CFB ＝90°，在△ADE 与△CBF 中，∠ADE ＝∠CBF ，∠AED ＝∠CFB ，AD ＝BC ，∴△ADE ≌△CBF (AAS)；∴DE ＝BF ＝8，∵FN ＝6，∴BN ＝82＋62＝10.(3分)22．【解析】(1)平均数(分)中位数(分)众数(分)A 队8385__85__B 队__83____80__95(3分)(2)两队成绩的平均分一样，但A 队成绩的中位数高，故A 队成绩较好；(2分)(3)s 2A ＝15[(75－83)2＋(80－83)2＋(85－83)2＋(85－83)2＋(90－83)2]＝26，s 2B ＝15[(70－83)2＋(95－83)2＋(95－83)2＋(75－83)2＋(80－83)2]＝106，两队成绩的方差分别是26，106，因此A 队选手成绩较为稳定．(3分)23．【解析】(1)把A (a ，2)代入y ＝－2x 中，得－2a ＝2，∴a ＝－1，∴A (－1，2)，把A (－1，2)，B (2，0)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝2，k ＋b ＝0，∴k ＝－23，b ＝43，∴一次函数的解析式是y ＝－23x ＋43；(4分)(2)由直线AB 与y 轴交于点C ，则∴S △ACO ＝12×43×1＝23；(3分)(3)不等式(k ＋2)x ＋b ≥0可以变形为kx ＋b ≥－2x ，结合图象得到解集为：x ≥－1.(2分)24．【解析】(1)①由题意得装C 种水果的车辆是(15－x －y )辆．则10x ＋8y ＋6(15－x －y )＝120，即10x ＋8y ＋90－6x －6y ＝120，则y ＝15－2x ；(3分)－2x ≥3，≥3，－x －（15－2x ）≥3，解得：3≤x ≤6.∵x 为正整数，∴x ＝3，4，5，6，则有四种方案：A 、B 、C 三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆；(3分)(2)w ＝10×800x ＋8×1200(15－2x )＋6×1000[15－x －(15－2x )]＋120×50＝－5200x ＋150000，根据一次函数的性质，∵k ＝－5200<0，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝3时，w 有最大值，最大值为－5200×3＋150000＝134400(元)．应采用A 、B 、C 三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆．(3分)25．【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，即∠BAF ＝∠ACE ，又∵AF ＝CE ，且AB ＝AC ，在△ABF 和△CAE 中＝CE ，BAF ＝∠ACE ，＝CA ，∴△ABF ≌△CAE (SAS)；(3分)(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ＝8，∵∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴ACD ＝∠BAC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴CD ＝AB ＝AC ＝22BC ＝42，∵DE ＝22，∴CE ＝CD －DE ＝22，∴AE ＝AC 2＋CE 2＝（42）2＋（22）2＝210；(3分)(3)由(1)得△ABF ≌△CAE ，∴BF ＝AE ，∠ABF ＝∠CAE ，取BF 的中点H ，连接AH ，如图所示；∵∠BAF ＝90°，AH ＝12BF ＝BH ，∴∠ABF ＝∠BAH ，∴∠BAH ＝∠CAE ，∴∠GAH ＝∠BAF ＝90°，∵∠ACE ＝90°，G 是AE 的中点，∴CG ＝12AE ＝AG ，∴AH ＝AG ＝BH ＝CG ，∴△GAH 是等腰直角三角形，∴GH ＝2AG ＝22AE ，∴22AE ＋CG ＝GH ＋BH ＝BG .(4分)26．【解析】(1)由x 2－9x ＋18＝0可得x ＝3或6，∵OA 、OC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－9x ＋18＝0的两个根(OA ＞OC )，∴OA ＝6，OC ＝3，∴A (6，0)，C (0，3)．(3分)(2)如图1中，∵OA ∥BC ，∴∠EBO ＝∠AOB ，根据翻折不变性可知：∠EOB ＝∠AOB ，∴∠EOB ＝∠EBO ，∴EO ＝EB ，设EO ＝EB ＝x ，在Rt △ECO 中，∵EO 2＝OC 2＋CE 2，∴x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝154，∴CE ＝BC －EB ＝6－154＝94，∴设直线AE 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，＋b ＝0，＋b ＝3，＝－45，＝245，∴直线AE 的函数关系式为y ＝－45x ＋245；(3分)(3)如图2，OB ＝32＋62＝3 5.①当OB 为菱形的边时，OF 1＝OB ＝BP 1＝35，故P 1(6－35，3)，OF 3＝OB ＝BP 3＝35，故P 3(6＋35，3)；②当OB 为菱形的对角线时，∵直线OB 的解析式为y ＝12x ，∴线段OB 的垂直平分线的解析式为y ＝－2x ＋152，可得P③当OF 4为菱形的对角线时，可得P 4(6，－3)．综上所述，满足条件的点P 坐标为(6－35，3)或(6＋35，3)(6，－3)．(4分)。
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初二数学上期中第一次模拟试题(及答案)
2020-2021长沙市长郡双语实验学校初二数学上期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD 是斜边AB 上的高，若AD=3cm ，则斜边AB 的长为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm 2．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF=600，那么∠DAE 等于（ ）A ．45°B ．30 °C ．15°D ．60°3．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180° 4．若分式11x x -+的值为零，则x 的值是( ) A ．1 B ．1- C ．1± D ．25．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形6．已知x 2+mx+25是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．10B ．±10C ．20D ．±20 7．计算b a a b b a +--的结果是 A ．a-b B ．b-a C ．1 D ．-18．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．关于x 的分式方程2x a 1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1< C ．a 1<且a 2≠- D ．a 1>且a 2≠10．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140° 11．式子：222123,,234x y x xy 的最简公分母是（ ） A ．24x 2y 2xyB ．24 x 2y 2C ．12 x 2y 2D ．6 x 2y 2 12．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1＝∠2，BE ＝CD ，则△ADE 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状二、填空题13．关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是_________． 14．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．15．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．16．已知210x x +-=，则2421x x x ++的值是______． 17．已知：a+b=32，ab=1，化简（a ﹣2）（b ﹣2）的结果是 ． 18．七边形的内角和为_____度，外角和为_____度．19．如图，在等边ABC V 中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60o 得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是 ．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．三、解答题21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．22．已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数及对角线的条数？23．“已知a m =4，a m+n =20，求a n 的值．”这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得： a m+n =a m a n ，所以20=4a n ， 所以a n =5．请利用这样的思考方法解决下列问题：已知a m =3，a n =5，求下列代数的值：（1）a 2m+n ； （2）a m-3n ．24．已知 a m =2，a n =4，a k =32（a≠0）．（1）求a 3m+2n ﹣k 的值；（2）求k ﹣3m ﹣n 的值．25．如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是AB,AC 的中点,且CD=BE,△ADC 与△AEB 全等吗?请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC ，再求出AB 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠A=60º，∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AC=12AB （直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， 又∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC=90º，∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），∴AD=12AC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），∴AC=6，又∴AC=12 AB，∴12AB ．故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．2．C解析：C【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．【详解】解：∵ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C．【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．3．D解析：D【解析】【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°，故选D．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．4．A解析：A【解析】试题解析：∵分式11xx-+的值为零，∴|x|﹣1=0，x+1≠0，解得：x=1．故选A．5．C解析：C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.6．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b2.【详解】∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．7．D解析：D【解析】【分析】将第二个式子提出一个负号，即可使分母一样，然后化简即可得出答案.【详解】b a b --aa b-=b aa b--=-1，所以答案选择D.【点睛】本题考查了分式的化简，熟悉掌握计算方法是解决本题的关键.8．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n ∠A n ，∴∠A n =(12)n ∠A=642n ︒， ∵∠A n 的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 9．D解析：D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．【详解】分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，解得：a 1>且a 2≠，故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．10．A解析：A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A ′处，点B 落在点B ′处，∴∠BFE =∠EFB '，∠B '=∠B =90°．∵∠2=40°，∴∠CFB '=50°，∴∠1+∠EFB '﹣∠CFB '=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A ．11．C解析：C【解析】【分析】分母都是单项式，根据最简公分母的求法：系数取最大系数，不同字母取最高次幂，将它们相乘即可求得．【详解】式子：222123,,234x y x xy的最简公分母是：12 x 2y 2． 故选：C ．【点睛】本题考查最简公分母的定义与求法．12．B解析：B【解析】【分析】先证得△ABE ≌△ACD ，可得AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝60°，即可证明△ADE 是等边三角形．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵∠1＝∠2，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．a>-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1可解得x=-a-1由于关于x 的方程＝1的解是正数则x ＞0并且x-1≠0即-a-1＞0且-a-1≠1解得a ＜-1且a≠-2详解：去分母得2x+a=x-1解析：a>-1【解析】分析：先去分母得2x+a=x-1，可解得x=-a-1，由于关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数，则x ＞0并且x-1≠0，即-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2．详解：去分母得2x+a=x-1，解得x=-a-1， ∵关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数， ∴x ＞0且x≠1，∴-a-1＞0且-a-1≠1，解得a ＜-1且a≠-2，∴a 的取值范围是a ＜-1且a≠-2．故答案为a＜-1且a≠-2．点睛：本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．14．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．15．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =2 16．【解析】【分析】由可知x≠0根据分式的基本性质可得进而可得根据分式的基本性质可得把代入即可得答案【详解】∵∴x≠0∴两边同时平方得：∴故答案为：【点睛】本题考查分式的基本性质分式的分子分母同时乘以或 解析：12【解析】【分析】由210x x +-=可知x≠0，根据分式的基本性质可得11x x-=-，进而可得2211x x +=，根据分式的基本性质可得242221111x x x x x=++++，把2211x x +=代入即可得答案． 【详解】∵210x x +-=，∴x≠0， ∴11x x-=-， 两边同时平方得：2211x x +=， ∴24222111121x x x x x==++++． 故答案为：12【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变；灵活运用分式的基本性质把已知和所求分式变形是解题关键． 17．2【解析】【分析】根据多项式相乘的法则展开然后代入数据计算即可【详解】解：（a ﹣2）（b ﹣2）=ab ﹣2（a+b ）+4当a+b=ab=1时原式=1﹣2×+4=2故答案为2考点：整式的混合运算—化简求解析：2【解析】【分析】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．【详解】解：（a﹣2）（b﹣2）=ab﹣2（a+b）+4，当a+b=32，ab=1时，原式=1﹣2×32+4=2．故答案为2．考点：整式的混合运算—化简求值．18．360【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°把多边形的边数代入公式就得到多边形的内角和任何多边形的外角和是360度【详解】（7﹣2）•180＝900度外角和为360度【点睛】已知多边形解析：360【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．【详解】（7﹣2）•180＝900度，外角和为360度．【点睛】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．19．6【解析】【分析】【详解】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD∠A=∠POD=60°∴∠APO=∠COD在△APO和△COD中∠A=∠CAPO=∠CODP=OD∴△APO≌△COD（AAS）∴A解析：6【解析】【分析】【详解】解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，∠A=∠C ,APO=∠COD ,P=OD ，∴△APO≌△COD（AAS），∴AP=CO，∵CO=AC-AO=6，∴AP=6．故答案为：6.20．mn（m+3）（m﹣3）【解析】分析：原式提取mn后利用平方差公式分解即可详解：原式=mn（m2-9）=mn（m+3）（m-3）故答案为mn（m+3）（m-3）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综解析：mn （m+3）（m ﹣3）【解析】分析：原式提取mn 后，利用平方差公式分解即可．详解：原式=mn （m 2-9）=mn （m+3）（m-3）．故答案为mn （m+3）（m-3）.点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、解答题21．()4,x +【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．22．所求的多边形的边数为7，这个多边形对角线为14条．【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和是（n-2）•180°，外角和是360°，列出方程，求出n 的值，再根据对角线的计算公式即可得出答案．【详解】设这个多边形的边数为n ，根据题意，得：(n ﹣2)×180°＝360°×2+180°，解得 n ＝7，则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为：12×7×(7﹣3)＝14(条)， 答：所求的多边形的边数为7，这个多边形对角线为14条．【点睛】本题考查了对多边形内角和定理和外角和的应用，注意：边数是n 的多边形的内角和是（n-2）•180°，外角和是360°．23．（1）45；（2）3125 . 【解析】试题分析：（1）逆用“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算法把2m n a +化成2()m n a a ⋅结合已知条件即可求值了；（2）逆用“同底数幂的除法”和“幂的乘方”的运算法则把3m n a -化成3m n a a ÷结合已知条件即可求值了.试题解析：（1）∵35m n a a ==，，∴222()3545m n m n a a a +=⋅=⨯=；（2）∵35m n a a ==，， ∴333()3125125m n m n a a a -=÷=÷=. 24．（1）4（2）0【解析】【分析】（1）根据已知条件可得a 3m =23，a 2n =24，a k =25，再逆用同底数幂的乘除法法则计算即可； （2）由已知条件计算出a k-3m-n 的值，继而求得k-3m-n 的值．【详解】（1）∵a 3m =23，a 2n =42=24，a k =32=25，∴a 3m+2n-k=a 3m •a 2n ÷a k=23•24÷25=23+4-5=22=4；（2）∵a k-3m-n =25÷23÷22=20=1=a 0， ∴k-3m-n=0，即k-3m-n 的值是0．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．25．答案见解析【解析】试题分析：由中点定义及AB=AC，可得到AD=AE，再通过SAS证明△ADC≌△AEB即可．试题解析：解：△ADC≌△AEB．理由如下：∵AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，∴AD=AE．在△ADC和△AEB中，∵AC=AB，∠A=∠A(公共角)，AD=AE，∴△ADC≌△AEB(SAS)．。
湖南省长沙市长郡教育集团初中课程中心2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
解：分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，
∴∠EDA＝∠BAC＝30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝ AB＝1，∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴AD＝AB－BD＝1；
②当点E在射线CA上，AE＝AD时，如图所示：
19．
【分析】
利用单项式乘多项式及完全平方公式展开，然后再合并同类项即可．
【详解】
解：原式 ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．
【分析】
利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式 ．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
（1）“距离坐标”为1，0的点有个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为p，q，且BOD150，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为 ，且DOB30，求OM的长．
参考答案
1．B
【解析】
A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
湖南省长沙市长郡教育集团初中课程中心2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
长郡集团八年级数学期中测试卷
A.B.C.D.3x <3x ≥3x ≥3x >2.下列命题中，假命题是( )A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线相等C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半D. 对角线相等的菱形是正方形3.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：)cm 的平均数与方差分别为：，，，，则麦苗又高13x x ==甲丙15x x ==乙丁223.6S S ==甲丁226.3S S ==乙丙又整齐的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则(为坐标原点)的面积为32y x =-+x A y B AOB ∆O ( )A.B.C.D.3222335.已知点和点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是( )()1,M a ()3,N b 21y x =-+a b A.B.C.D. 无法确定a b >a b =a b <6.如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式y kx b =+()1,2A --()2,0B -2y x =A 20x kx b <+<的解集为( )A.B. 2x <-21x -<<-C.D.20x -<<10x -<<长郡集团期中测试试卷7.直线与直线在同一坐标系中可能的大致位置是( )1:l y kx b =+2:l y bx k =+A. B. C. D.8.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了到题，从下列四个条件：①；②；③AB BC =90ABC ∠=︒；④中选两个座位补充条件，使为正方形(如图)，现有下列四种选法，你AC BD =AC BD ⊥ABCD □认为其中错误的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④9.如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为( )ABCD 8AC =6DB =DE BC ⊥E DE A.B.C.D.2.43.64.8610.如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，ABCD □BD A E BC F 48ABD ∠=︒，则( )40CFD ∠=︒E ∠=A.B.C.D.102︒112︒122︒92︒第8题图第9题图第10题图第11题图11.如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点是线段上一动点(不与点、4y x =-+A B C AB A 重合)，过点分别做、垂直轴、轴于点、，当点从点出发向点运动时，矩形B C CD CE x y D E C A B 的周长( )CDOE A. 逐渐变大B. 不变C. 逐渐变小D. 先变小后变大12.如图，矩形中，，，，且与之间的距离为，则的长是ABCD 3AB =4BC =//BE DF BE DF 3AE( )A. B.38C.D.7858二、填空题(共小题，每小题分，共分)631813.已知等腰三角形的周长为，请写出底边长与腰长的函数关系式： .40cm y cm x cm 14.把直线向上平移个单位所得到的直线的解析式为 .213y x =+315.一组数据：、、、、的方差是.7545916.一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的众数是 .23x 57417.，则该正方形的边长为.18.如图，中，，，，、Rt ABC ∆90ABC ∠=︒30ACB ∠=︒2AB =cm E F 分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为AB AC P E EF 1，同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设cm /s Q B BF 2cm /s PQ 运动时间为，则当 时，为等腰三角形.s t ()01t <<t =PQF ∆三、解答题(共分)6619.(6分)已知一次函数.()213y m x m =++-(1)若随的增大而减小，求的取值范围； y x m (2)若图象经过第一、二、三象限，求的取值范围. m20.(6分)学校开展的“书香校园”活动受到同学们的广泛关注，为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表.学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上人数713a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)___________，___________；a =b =(2)该调查统计数据的中位数是___________，众数是___________；(3)若该校共有名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数. 2000421.(分)如图，在中，、分别为边、的中点，对角线分别交、于点、8ABCD □E F AD BC AC BE DF G.求证：H (1)四边形为平行四边形； BEDF (2). AG CH =22.(分)如图，已知平行四边形中，垂直平分线段，8ABCD EF BD连接、.BE DF (1)求证：四边形是菱形；BEDF(2)若，，求的长.AB =6AD =135BAD ∠=︒AE23.(分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的9xOy 152y x =-+图象分别与、轴交于、两点，正比例函数的图象与1l x y A B 2l 1l 交于点.(),4C m (1)求的值及的解析式； m 2l (2)求的值；AOC BOC S S ∆∆-(3)一次函数的图象为，且、、不能围成三角形，直接写出的值. 1y kx =+3l 1l 2l 3l k24.(分)如图，在中，平分，于点，点是的中点.9ABC ∆AE BAC ∠BE AE ⊥E F BC (1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：； BE AC D ()12EF AC AB =-(2)如图2，探究线段、、之间的数量关系并证明你的结论.AB AC EF图1图225.(分)入冬以来，我省的雾霾天气频发，空气质量较差，容易引起多种上呼吸道疾病. 某电器商场代10理销售、两种型号的家用空气净化器. 已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进A B A B 价高元，台型空气净化器的进价与台型空气净化器的进价相同.2002A 3B (1)问、两种型号的家用空气净化器的进价分别是多少元？A B (2)若商场购进这两种型号的家用空气净化器共台，其中型家用空气净化器的数量不超过型家50A B 用空气净化器的数量，且不少于台，设购进型家用空气净化器台.16A m ①求的取值范围；m ②已知型家用空气净化器的售价为每台元，销售成本为每台元；型家用空气净化器的售A 8002n B 价为每台元，销售成本为每台元.若，求售完这批家用空气净化器的最大利润(元)与550n 25100n ≤≤W (元)的函数关系式(每台销售利润售价-进价-销售成本)n =26.(分)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交、轴于点、，直线分别交、轴于10AB x y A B BC x y 点、，点的坐标为，，且.C B A ()3,030ABO ∠=︒AB BC ⊥(1)求直线和的解析式；AB BC (2)将点沿某条直线折叠到点，折痕分别交、于点、，在轴上是否存在点，使B O BC BA E D x F 得以点、、为顶点的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存D E F DE F 在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与、两点构成的四边形是正方形？若存B C 在，请求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.。
长郡教育集团2020-2021学年度初二上学期入学考试数学试卷答案
长郡教育集团初中课程中心2020－2021学年度初二年级暑假作业检测数学参考答案1--5、C A C B C 6--10、C A A C B 11--12、A C13、5x =或3-14、715、2≤m16、40°或80°17、①②④18、6或1219、⎩⎨⎧==31y x 20、32-<≤x21、∵O 是∠BAC 角平分线AM 上的一点（ 已知 ），∴OE ＝OF （ 角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等 ）．同理，OD ＝OF ．∴OD ＝OE （ 等量代换 ）．∵CP 是∠ACB 的平分线（ 已知 ），∴O 在CP 上（ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ）． 因此，AM ，BN ，CP 交于一点．22、解、（1）设A 、B 两种型号的轿车每辆分别为x 万元，y 万元，根据题意得：1015300818300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1510x y =⎧⎨=⎩ 答、A 、B 两种型号的轿车每辆分别为15万元，10万元．（2）设A 型轿车x 辆，则B 型轿车()30x -辆，由题意得()()1510304000.80.53020.4x x x x +-≤⎧⎪⎨+-≥⎪⎩解得：18≤x ≤20又∵x 为整数，∴x 为18，19，20∴有3种方案：方案一、A 型轿车18辆，则B 型轿车12辆，方案二、A 型轿车19辆，则B 型轿车11辆，方案三、A 型轿车20辆，则B 型轿车10辆，23、证明、（1）∵DE ∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l +∠2＝180°∴∠1+∠DAC ＝180°∴AD ∥GF（2）∵ED ∥AC∴∠EDB ＝∠C ＝40°∵ED 平分∠ADB∴∠2＝∠EDB ＝40°∴∠ADB ＝80°∵AD ∥FG∴∠BFG ＝∠ADB ＝80°24、证明、（1）∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝∠EAD +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．（2）BD ＝CE ，BD ⊥CE ，理由如下、由（1）知，△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE ；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠ABD +∠DBC ＝45°，∴∠ACE +∠DBC ＝45°，∴∠DBC +∠DCB ＝∠DBC +∠ACE +∠ACB ＝90°，则BD⊥CE．25、解、（1）如图1中，当AP＝PC＝2时，S△P AB＝S△PBC，△△ABP与△PBC不全等，△△ABP与△CBP为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，△△ABD与△ACD为偏等积三角形，△BD＝CD，△AB△EC，△△BAD＝△E，△△ADB＝△EDC，△△ADB△△EDC（AAS），△AD＝DE，AB＝EC＝2，△AC＝6，△6﹣2＜AD＜6+2，△4＜2AD＜8，△2＜AD＜4．（3）如图3中，过点B作BH△AE，垂足为H．△四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，△△HAC+DAC＝90°，△BAH+△HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．△△BAH ＝△DAC ．在△ABH 和△ACD 中，90BAH DAC H ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩△△ABH △△ACD （AAS ）．△CD ＝HB ．△S △ABE＝12AE •BH ，S △CDA ＝12AD •DC ，AE ＝AD ，CD ＝BH ， △S △ABE ＝S △CDA ．△△ACD 与△ABE 为偏等积三角形．26、（1）AM +BN ＝MN ，证明：延长CB 到E ，使BE ＝AM ，∵∠A ＝∠CBD ＝90°，∴∠A ＝∠EBD ＝90°，在△DAM 和△DBE 中AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAM ≌△DBE ，∴∠BDE ＝∠MDA ，DM ＝DE ，∵∠MDN ＝∠ADC ＝60°，∴∠ADM ＝∠NDC ，∴∠BDE ＝∠NDC ，∴∠MDN ＝∠NDE ，在△MDN 和△EDN 中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△EDN ，∴MN ＝NE ，∵NE ＝BE +BN ＝AM +BN ，∴AM +BN ＝MN ．（2）AM +BN ＝MN ，证明、延长CB 到E ，使BE ＝AM ，连接DE ， ∵∠A ＝∠CBD ＝90°，∴∠A ＝∠DBE ＝90°，∵∠CDA +∠ACD ＝90°，∠MDN +∠ACD ＝90°， ∴∠MDN ＝∠CDA ，∵∠MDN ＝∠BDC ，∴∠MDA ＝∠CDN ，∠CDM ＝∠NDB ， 在△DAM 和△DBE 中AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAM ≌△DBE ，∴∠BDE ＝∠MDA ＝∠CDN ，DM ＝DE ，∵∠MDN +∠ACD ＝90°，∠ACD +∠ADC ＝90°， ∴∠NDM ＝∠ADC ＝∠CDB ，∴∠ADM ＝∠CDN ＝∠BDE ，∵∠CDM ＝∠NDB∴∠MDN ＝∠NDE ，在△MDN 和△EDN 中DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△EDN ，∴MN ＝NE ，∵NE ＝BE +BN ＝AM +BN ，∴AM +BN ＝MN ．（3）BN ﹣AM ＝MN ，证明、在CB 截取BE ＝AM ，连接DE ，∵∠CDA +∠ACD ＝90°，∠MDN +∠ACD ＝90°， ∴∠MDN ＝∠CDA ，∵∠ADN ＝∠ADN ，∴∠MDA ＝∠CDN ，∵∠B ＝∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠DAM ＝90°，在△DAM 和△DBE 中AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAM ≌△DBE ，∴∠BDE ＝∠ADM ＝∠CDN ，DM ＝DE ， ∵∠ADC ＝∠BDC ＝∠MDN ，∴∠MDN ＝∠EDN ，在△MDN 和△EDN 中DM DEMDN NDE DN DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△MDN ≌△EDN ， ∴MN ＝NE ，∵NE ＝BN ﹣BE ＝BN ﹣AM ， ∴BN ﹣AM ＝MN ．。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级(上)开学数学试卷 (解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有（）﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）下列命题中，真命题的是（）A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数或表示y，正确的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.13336．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，P A＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（）A．2B．4C．不大于2D．小于27．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（）A．5B．7C．9D．108．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣311．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（）A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜412．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）已知＝．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了道题．15．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是．16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝．17．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE ＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是．18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QP A全等，则AP＝．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：．20．（6分）解不等式组：．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（），∴OE＝OF（）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（）．∵CP是∠ACB的平分线（），∴O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列各数中无理数有（）﹣π，，，0，3.725，3.207007…，3.14．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；3.725，3.14是有限小数，属于有理数；无理数有﹣π，，3.207007…共3个．故选：C．2．（3分）下列命题中，真命题的是（）A．直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．图形在平移过程中，对应线段平行且相等【分析】根据垂线段公理对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据垂直公理对C进行判断；根据平移的性质对D进行判断．【解答】解：A、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，此命题为真命题，B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项为假命题；C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以C选项为假命题；D、图形在平移过程中，对应线段平行（或共线）且相等，所以D选项为假命题．故选：A．3．（3分）在方程x﹣3y＝8中，用含x的代数或表示y，正确的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】将原方程通过移项、系数化为1，变换成y＝ax+b的形式．【解答】解：移项，得﹣3y＝8﹣，方程两边同时除以﹣3，得y＝．故选：C．4．（3分）一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角（）A．相等B．相等或互补C．互补D．不能确定【分析】本题应分两种情况讨论，根据图形中∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．【解答】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，∴∠3＝∠4，∠4＝∠1，∠4+∠2＝180°，∴∠3＝∠1，∠3+∠2＝180°，∴这两个角相等或互补．故选：B．5．（3分）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．6．（3分）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，P A＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离为（）A．2B．4C．不大于2D．小于2【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连结直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据P A＝4，PB＝5，PC＝2，可得三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2，据此判断即可．【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；因为P A＝4，PB＝5，PC＝2，所以三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2．故选：C．7．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线条数是（）A．5B．7C．9D．10【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出（n﹣2）×180°＝540°，求出边数，再求出对角线条数即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°，解得：n＝5，所以这个多边形的对角线的条数是，故选：A．8．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴α＝50°．故选：A．9．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】首先过点P作P A∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【解答】解：过点P作P A∥a，则a∥b∥P A，∴∠1+∠MP A＝180°，∠3+∠NP A＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：C．10．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3【分析】先解不等式，求出解集，然后根据题中已告知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a、b．【解答】解：不等式组，解得，，即，2b+3＜x＜，∵﹣1＜x＜1，∴2b+3＝﹣1，，得，a＝1，b＝﹣2；∴（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：B．11．（3分）已知等腰三角形的底边长为8，腰长为x，则x的取值范围是（）A．x＞4B．x＜4C．4＜x＜8D．0＜x＜4【分析】等腰三角形的两腰相等，所以另一个腰也为x，根据三边关系可列出不等式组．【解答】解：．x＞4．故选：A．12．（3分）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（）A．B．C．D．【分析】在此题中，两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答．【解答】解：在方程组中，设x+2＝a，y﹣1＝b，则变形为方程组，由题知，所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即．故选：C．二．填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）已知＝5或﹣3．【分析】首先根据平方根概念求出（x﹣1）2＝16，然后根据16的平方根等于±4，求出x即可．【解答】解：∵＝4，∴（x﹣1）2＝16，∴x﹣1＝±4，所以x＝5或﹣3．故答案为：5或﹣3．14．（3分）一次数学测试共有10道题，按规定答对一道题得10分，答错或者不答题扣3分，某学生在这次数学测试中共得61分，则该生答对了7道题．【分析】设该同学答对的题数为x道．根据在这次竞赛中共得了61分，列方程求解．【解答】解：设该同学答对的题数为x道．根据题意得：10x﹣3（10﹣x）＝61，解得x＝7．故答案为：715．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是m≤2．【分析】根据不等式组的解集，可判断m与2的大小．【解答】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，当m＝2时，不等式组的解集也是x＞2，所以m≤2．故答案为：m≤2．16．（3分）两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x＝40或80．【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，根据题意可得：（2x﹣10）°＝（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°＝180°，解得：x＝40或x＝80，故答案为：40或8017．（3分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE ＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB+AC＝2AE中，正确的是①②④．【分析】由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出对应边相等DE＝DF，得出AD平分∠BAC，①②正确；由AD＞AE，得出③不正确，由全等三角形的对应边相等得出BE＝CF，AE＝AF，得出④正确，即可得出结果．【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，①正确，∴AD平分∠BAC，②正确，∵在Rt△ADE中，AD是斜边，∴AD＞AE，③不正确，∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE＝CF，AE＝AF，∴AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE，④正确；正确的是①②④．故答案为：①②④．18．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QP A全等，则AP＝6或12．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P 点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合．【解答】解：①当AP＝CB时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL），即AP＝BC＝6；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QP A中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝12，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，AP＝6或12．故答案为：6或12．三、解答题（第19、20题各6分，第21、22题各8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：4y＝12，解得：y＝3，把y＝3代入②得：x＝1，则方程组的解为．20．（6分）解不等式组：．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3．21．（8分）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点．【分析】根据角平分线的性质解答即可．【解答】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（等量代换）．∵CP是∠ACB的平分线（已知），∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．22．（8分）金都汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B两种型号的轿车．用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元；销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号的轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，那么有几种购车方案？写出所有的购车方案．【分析】（1）等量关系为：10辆A型轿车总价钱+15辆B型轿车总价钱＝300；8辆A型轿车总价钱+18辆B型轿车总价钱＝300，把相关数值代入计算即可；（2）关系式为：A型轿车总价钱+B型轿车总价钱≤400；A型轿车总利润+B型轿车总利润≥20.4，求合适的正整数解即可．【解答】解：（1）设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元．（1分）根据题意，可得（3分）解，得（4分）所以A型轿车每辆15万元，B型轿车每辆10万元．（5分）（2）设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆．（6分）根据题意，得，解这个不等式组，得18≤a≤20．因为a为整数，所以a＝18，19，20．30﹣a的值分别是12，11，10．因此有三种购车方案：方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆．23．（9分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）利用平行线的性质和判定解答即可．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°24．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE．25．（10分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝2时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题．（2）证明△ADB≌△EDC（AAS），推出AD＝DE，AB＝EC＝2，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD＝HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE＝S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可．【解答】解：（1）如图1中，当AP＝PC＝2时，S△P AB＝S△PBC，∵△ABP与△PBC不全等，∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，∴BD＝CD，∵AB∥EC，∴∠BAD＝∠E，∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB≌△EDC（AAS），∴AD＝DE，AB＝EC＝2，∵AC＝6，∴6﹣2＜AD＜6+2，∴4＜2AD＜8，∴2＜AD＜4，∵AD为正整数，∴AD＝3，∴AE＝2AD＝6．（3）如图3中，过点B作BH⊥AE，垂足为H．∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．∴∠BAH＝∠DAC．在△ABH和△ACD中，，∴△ABH≌△ACD（AAS）．∴CD＝HB．∵S△ABE＝AE•BH，S△CDA＝AD•DC，AE＝AD，CD＝BH，∴S△ABE＝S△CDA．∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．26．（10分）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．。
八上数学期中真题试卷精选含答案(附中、雅礼、长郡、青一)
目录2021-2022-1附中博才八上期中 (2)2021-2022-1雅礼八上期中 (8)2021-2022-1长郡八上期中 (14)2021-2022-1青一八上期中 (19)答案2021-2022-1师大附中八上期中 (26)2021-2022-1雅礼八上期中 (29)2021-2022-1长郡八上期中 (30)2021-2022-1青一八上期中 (39)2021-2022-1附中博才八上期中一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列防疫的图标中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A.2cm ，5cm ，8cmB.3cm ，6cm ，9cmC.6cm ，8cm ，13cmD.7cm ，7cm ，15cm 3.下列各方程组中，是二元一次方程组的为（）A.23275x y x y +=⎧⎨=⎩ B.212x y x z +=⎧⎨+=⎩ C.132342x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ D.513223y x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩4.如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（）A.三角形的稳定性B.垂线段最短C.两点确定一条直线D.两点之间，线段最短5.）A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间6.在下列各图形中，分别画出了△ABC 中BC 边上的高AD ，其中正确的是（）A.B.C.D.7.下列说法中，表示三角形的重心的是（）A.三角形三条中线的交点B.三角形三条高所在的直线的交点C.三角形三条角平分线的交点D.三角形三条边的垂直平分线的交点8.下列说法错误的是（）A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等C.等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上9.如图，在△ABC 中，AB 边上的垂直平分线分别交边AC 于点E ，交边AB 于点D ，若AC 长为16cm ，BE 长为12cm ，则EC 的长为（）A.8cmB.6cmC.4cmD.12cm第9题图第10题图第14题图10.如图，已知△ABD 和△BCE 是等边三角形，且A ，B 、C 三点共线，连接AE 、CD ，交于点H ，AE 交BD 于点G ，BE 交CD 于点F ，下列说法中正确的有（）（1）ABE DBC △≌△；（2）AE DC =；（3）60DHA ∠=︒；（4）连接GF ，GF AC ∥；（5）连接HB ，HB 平分∠AHC .A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.八边形的外角和为________.12.5-的相反数是________.13.五边形有________条对角线.14.如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，已知3CD =，则D 到AB 的距离是________.15.如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使得ABC DCB △≌△，根据“HL ”判定方法，需要再添加的一个条件是________.第15题图第16题图16.如图，等边△ABC 中，AD 是中线，AD AE =，则ADE ∠=________.三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（6分）计算：()()2143221--+-+-.18.（6分）已知∠CAE 是△ABC 的外角，AB AC =，AD BC ∥.求证：12∠=∠.证明：∵AD BC ∥∴1B ∠=∠（________）2C∠=∠又∵AB AC=∴B C ∠=∠（________）∴12∠=∠（________）19.（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC求作：A B C '''△，使得A B C ABC '''△≌△，作法：如图.（1）画B C BC ''=；（2）分别以点B '，C '为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A '；（3）连接线段A B ''，A C ''，则A B C '''△即为所求作的三角形.请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）；证明：由作图可知，在A BC '''△和△ABC 中，____B C B BC A AB A C =⎧⎪'=⎨⎪'='''⎩'∴A B C '''△≌________.（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是________.（填序号）①AAS ②ASA ③SAS ④SSS20.（8分）已知：如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，BF CE =，A D ∠=∠，且AB DE ∥.求证：ABC DEF △≌△.21.（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为()0,2A -，()2,4B -，()4,1C -，请回答下列问题：（1）画出△ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并写出1A 的坐标；（2）求111A B C △的面积.22.（9分）若a ，b 是△ABC 的两边且()2370a b -+-=.（1）试求a ，b 的值；（2）若△ABC 是等腰三角形，试求此三角形的周长.23.（9分）如图，在△ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD ED =，EF 垂直平分线段AC .（1）求证：B AEB ∠=∠；（2）若△ABE 的周长为16，4AD =，3BD =，9AC =，求△ABC 的周长和面积.24.（10分）在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”.例如：()1,2M -和()1,2M '关于y 轴对称，则我们称M 和M '关于y 轴互为“镜面点”，y 轴为“镜面直线”.若已知两点坐标()111,P x y 、()222,P x y ，则1P 、2P 之间的距离为()()22121212PP x x y y =-+-.如()1,2M -和()3,5N 的距离为()()221325255MN =--+-==.实验与探究：（1）直线l 为AOA '∠角平分线所在的直线，由图观察易知()0,2A 关于直线l 的镜面点A '的坐标为()2,0，在图中找出()5,3B 、()2,5C -分别关于直线l 的镜面点B '、C '的位置，请写出他们的坐标：B '________、C '________；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点(),P a b 关于直线l 的镜面点P '的坐标为________；（不必证明）拓展与应用：（3）已知两点()1,3D -、()1,4E --，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值.25.（10分）如图1，△ABO 为等边三角形，顶点坐标分别为()0,2A ，()3,B b ，()0,0O ，动点Q 、P 分别从点O 、B 同时出发，点Q 运动到B 点停止，点P 运动到A 点停止.（1）求b =________；（2）若点P ，点Q 运动速度相同，求证：AQ OP =；（3）如图2，动点C 从点A 开始，沿着y 轴正方向运动，以CB 为边长作等边△EBC ，连接EA 并延长，交x 轴于点F .请问，当C 点运动时，在y 轴上是否存在点K ，使得△AFK 为等腰三角形，若存在，求出K 点坐标，若不存在，请说明理由.图1图2图2（备用图）2021-2022-1雅礼八上期中一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为()A.70.39310⨯米 B.63.9310⨯米 C.53.9310⨯米 D.439.310⨯米3.如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线l 对称，20BAC ∠=︒，'30B ∠=︒，则∠C 的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°4.下列运算中正确的是()A.()3322a a = B.236a a a ⋅= C.235a a a += D.()326a a =5.计算202120212332⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的结果是()A.1-B.1C.23D.326.一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为()A.8B.10C.9D.8或107.对整式2a b c -+-进行添括号，正确的是()A.()2a b c --+ B.()2a b c --- C.()2a b c -+- D.()2a b c -++第3题图第8题图第9题图8.如图，直线//l m ，等边△ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹锐角为18°，则∠α的度数为()A.60°B.42°C.36°D.30°9.如图所示，∠C =∠D =90°，添加下列条件①AC =AD ；②∠ABC =∠ABD ；③∠BAC =∠BAD ；④BC =BD ，能判定△ABC 与△ABD 全等的条件的个数是()A.1B.2C.3D.410.如图，已知△ABC 绕点A 逆时针旋转()0BAC αα<<∠得到△ADE ，且AB AC =，AD 交BC 于点F ，DE 交BC 、AC 于点G 、H ，则以下结论：①ABF AEH ≌△△；②FG CG =；③连接AG 、FH ，则AG ⊥FH ；④当DF 的长度最大时，AD 平分∠BAC .其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每题3分，共18分)11.计算：362m m ÷=__________.12.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AC ，如果10AB m =，30A ∠=︒，那么立柱BC 的长度是__________米.13.如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 是∠BAC 的平分线，2DC =，则D 到AB 边的距离是__________.14.已知36a =，32b =，则3a b -=__________.15.若()()24x a x +-的结果中不含x 的一次项，则a 的值为__________.第12题图第13题图第16题图16.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 点是AC 边的中点，P 是AD 上的一个动点，连接PE 、PC ，当PC PE +的值最小时，则∠APE 的度数为__________.三、解答题(共72分)17.（6()()022 3.142π-+---.18.（6分）先化简，再求值：()()()232x y x y x y y ⎡⎤---+÷⎣⎦，其中2x =，1y =.19.（6分）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，（1）作外角∠EAC 的角平分线AD ；（2）若//AD BC ，证明AB =AC .解：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形，并保留作图痕迹.作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画圆，交AC 于点M ，交AE 于点N ；②以M ，N 为圆心大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠EAC 内部相交于一点D ；③画射线AD ，射线AD 即为所求.（2）完成下面的证明.证明：∵//AD BC∴EAD B ∠=∠(_________________)(填推理依据)CAD ∠=_______(两直线平行，内错角相等)∵AD 为∠EAC 的角平分线∴EAD CAD ∠=∠(角平分线的定义)∴B ∠=_______(等量代换)∴AB AC =(_________________)(填推理依据)20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为()1,2A ，()4,1B ，()3,4C 请回答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）直接写出1A 、1B 、1C 的坐标；（3）求111A B C △的面积.21.（8分）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 在AC 的垂直平分线上.（1）若6AB =，10BC =，求△ABE 的周长；（2）若60B ∠=︒，30C ∠=︒，求∠DAE 的度数.22.（9分）某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读。