第5章微积分问题的计算机求解
js微积分运算
js微积分运算JS微积分运算微积分是数学中的一门重要学科，它涉及到函数、极限、导数、积分等概念和运算。
在计算机科学领域，微积分在很多领域都有应用，特别是在编程语言中，如JavaScript（JS）中的微积分运算。
一、函数与极限在JS中，我们可以定义各种函数来进行微积分运算。
函数是一种映射关系，它将一个自变量映射到一个因变量。
在微积分中，我们关注的是函数在某一点的变化情况，即函数的极限。
通过使用JS中的函数定义和极限计算方法，我们可以求解函数在某一点的极限值。
二、导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的切线斜率。
在JS中，我们可以使用差商的方法来计算导数。
差商是通过取函数在某一点附近两个点的函数值之差，除以这两个点之间的距离来近似表示函数的变化率。
通过使用JS中的差商计算方法，我们可以得到函数在某一点的导数值。
微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点的变化情况。
在JS 中，我们可以使用微分的概念来进行函数的近似计算。
微分是通过函数在某一点的导数值与自变量的变化量的乘积来近似表示函数的变化量。
通过使用JS中的微分计算方法，我们可以得到函数在某一点的近似变化量。
三、积分与面积积分是求解函数在某一区间上的面积的工具，它描述了函数在该区间上的累积效应。
在JS中，我们可以使用定积分的方法来计算函数在某一区间上的面积。
定积分是通过将区间划分为无穷多个小区间，并对每个小区间上的函数值乘以该小区间的宽度来求和，从而近似表示函数在整个区间上的面积。
通过使用JS中的定积分计算方法，我们可以得到函数在某一区间上的近似面积。
总结在JS中进行微积分运算，我们可以通过定义函数、计算极限、求解导数和积分等方法来完成。
这些方法可以帮助我们研究函数的变化规律、描述函数的变化率、近似计算函数的变化量和求解函数的面积等问题。
通过运用微积分的知识和JS编程技巧，我们可以更好地理解和应用数学在计算机科学中的重要性和价值。
计算机数值方法第五章常微分方程数值解法lz
hf ( x j 1, y j 1 )
yi1 yi hf xi1, yi h f ( xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
（P170）例1：取h=0.1，分别用显式Euler法、隐式
Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题
2 xi yi 1 yi h( yi ) 解： yi Evaluation 2 xi 1 用预测校正系统求解，有： y only. ) i 1 yi h( yi 1 ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 y y0=1 i 1 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2 x1 2 x0 y2 y1 h( y1 y ) 1.1827 y1 y0 h( y0 y ) 1.1 1 0 y y h( y 2 x1 ) 1.0918 y 2 y1 h( y2 2 x2 ) 1.1763 1 0 1 y2 y1
引言
考虑一阶常微分方程的初值问题 (Initial-Value Problem ):
dy f ( x , y ) x [a , b ] dx Evaluation only. y ( a ) y0 ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
2 xi yi 1 yi hfEvaluation ( xi , yi ) yi only. h( yi ) yi Profile 5.2 ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client 22004-2011 x0 2 0 Ltd. Copyright Aspose Pty y1 y0 h( y0 ) 1 0.1 (1 ) 1.1 y0 1
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
Matlab微积分问题计算机求解实验
>> q2=quad('quad1',0,1)
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。
数值积分
3、编写被积函数表达式，函数名为f=@(x).exp(-x.^2);
>> q2=quad(f,0,1)
数值积分
(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）
trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定义的函数关系的求定积分问题，求值速度快， 但精度差。
syms x; f=abs(x)/x;%给出待展开的函数 xx=[-pi:pi/200:pi]; xx=xx(xx~=0); xx=sort([xx,-eps,eps]);
Fourier级数的Matlab程序
yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值 for i=1:20
[A,B,F]=fseries(f,x,n); y=subs(F,x,xx); subplot(4,5,n); plot(xx,yy);%画出f(x)的图像 hold on plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像 end
K ex2dx 0
计算积分
21
( x1)2
练习：
e 2 dx,
0 2
e2t 2 x 2 1
dx
cost (2 x 2 3 x 1)2
符号求和
symsum(u,n,n0,nn): symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
例：计算级数
S 1 及其前100项的部2 分和 n n 1
>> syms n; f=1/n^2;
>> S=symsum(f,n,1,inf)
>> S100=symsum(f,n,1,100)
微积分问题的计算机求解资料
22
【例3-10】
用diff() 函数求其一阶导数，再积分， 检验是否可以得出一致的结果。
2019/8/6
高等应《用数数学学实问题验的》课MA件TLAB 求解
怀化学院数学系
23
对原函数求4 阶导数，再对结果进行4 次积分
2019/8/6
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怀化学院数学系
怀化学院数学系
2019/8/6
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怀化学院数学系
15
3.1.2.3 多元函数的Jacobi矩阵
2019/8/6
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16
X是自变量构成的向量， Y是由各个函数构成的向量。
2019/8/6
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3.1.1.2 多变量函数的极限
2019/8/6
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怀化学院数学系
7
【例3-3】求出二元函数极限值
2019/8/6
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怀化学院数学系
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3.1.2 函数导数的解析解
3.1.2.1 函数的导数和高阶导数
怀化学院数学系
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【例3-25】 求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的1～4 阶 导数，并和解析解比较精度。
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怀化学院数学系
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2019/8/6
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【第3章】微积分问题的计算机求解
【第3章】微积分问题的计算机求解极限问题的解析解单变量函数的极限假设已知函数f(x),则极限问题⼀般描述为L=limx→x0f(x)此外，还有单边极限问题L=limx→x−0f(x)左极限L=limx→x+0f(x)右极限matlab同样可以做这些极限运算L=limit(fun,x,x0) %求极限L=limit(fun,x,x0,'left'或'right') %求单边极限举个例⼦试求解极限问题lim x→∞sin(x) xmatlab代码syms x; f=sin(x)/x;limit(f,x,0)运⾏结果截图多变量函数的极限若想求出⼆元函数的极限L=limx→x0y→y0f(x)我们可以嵌套使⽤limit()函数。
L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或L1=limit(limit(f,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是确定的值，⽽是另⼀个变量的函数，例如x→g(y) ，则上述极限求取顺序不能交换。
函数导数的解析解函数的导数和⾼阶导数如果函数fun和⾃变量x都已知，且均为符号变量，则可以⽤diff()函数解出给定函数的各阶导数。
y=diff(fun,x) %求导y=diff(fun,x,n) %求n阶导例：给出如下函数，试求出其⼀阶导数f(x)=sinxx2+4x+3matlab代码syms x;f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f,x,1);latex(f1)最后得出结果如下cos(x)x2+4x+3−sin(x)(2x+4) x2+4x+32复合泛函求导例：给出如下函数，试求出其三阶导数公式，以及f(t)=e−t时的结果关键将f(t)声明为符号变量F(t)=t2sintf(t) matlab代码syms t f(t);G=simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))simplify(subs(G,f,exp(-t))),simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-ans)()最后得出结果如下G(t)=6*cos(t)*f(t) + 6*sin(t)*diff(f(t), t) + 3*t^2*cos(t)*diff(f(t), t, t) + 12*t*cos(t)*diff(f(t), t) - 6*t*f(t)*sin(t) + t^2*sin(t)*diff(f(t), t, t, t) - 3*t^2*sin(t)*diff(f(t), t) + 6*t*sin(t)*diff(f(t), t, t) - t^2*cos(t)*f(t)ans(t) =2*exp(-t)*(3*cos(t) - 3*sin(t) + t^2*cos(t) + t^2*sin(t) - 6*t*cos(t))ans(t) =0矩阵函数的求导矩阵的求导：H (x )=4sin (5x )e −4x23x 2+4x +1√4x 2+2可以对每个元素分别求导syms x;H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)];H1=diff(H,x,3)运⾏结果：H1 =[ -500*cos(5*x), 192*x*exp(-4*x^2) - 512*x^3*exp(-4*x^2)][ 0, (24*2^(1/2)*x^3)/(2*x^2 + 1)^(5/2) - (12*2^(1/2)*x)/(2*x^2 + 1)^(3/2)]参数⽅程的导数matlab中没有直接能够求解参数⽅程的函数，但我们可以根据其在数学上的定义来求：根据递推公式，我们可以从中看出了，它的形式与我们之前学习的递归调⽤有很⼤的相似性，因此我们可以编写⼀个这样的函数paradiff(y,x,t,n)来求参数⽅程的n 阶导数%paradiff.mfunction result=paradiff(y,x,t,n)if mod(n,1)~=0, error('n should positive integer, please correct')else, if n==1, result=diff(y,t)/diff(x,t);else, result=diff(paradiff(y,x,t,n-1),t)/diff(x,t);end, end例：已知参数⽅程如下，求其三阶导数y =sint(t +1)3x =cost(t +1)3matlab 代码syms t;y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; f=paradiff(y,x,t,3);[n,d]=numden(f); %提取分⼦和分母，进⾏单独化简F=simplify(n)/simplify(d)运⾏结果F =(3*(t + 1)^7*(23*cos(t) + 24*sin(t) - 6*t^2*cos(t) - 4*t^3*cos(t) - t^4*cos(t) + 12*t^2*sin(t) + 4*t^3*sin(t) - 4*t*cos(t) + 32*t*sin(t)))/(3*cos(t) + sin(t) + t*sin(t))^5多元函数的偏导数matlab 中没有求取偏导数的专门函数，但我们仍可以通过diff()函数直接实现。
数学：利用微积分求解问题的方法探讨
数学：利用微积分求解问题的方法探讨微积分是数学的一个重要分支，它是研究函数导数和积分的学科。
微积分在众多学科中都有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等等。
本文将探讨利用微积分求解问题的方法，并且将结合一些具体的例子来说明。
一、求函数极值求解函数的极值是微积分中最基本的问题之一。
函数在局部最值的位置处导数为零，这是判断函数局部最大值或最小值的标志。
其中最大值和最小值统称为极值。
下面以一个简单的例子来说明如何求解函数的极值。
假设有一个函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，如何求解函数$f(x)$的极值？首先，求函数的导数$f'(x)=3x^2-12x+9$，然后求解方程$f'(x)=0$。
通过解方程可以得到函数$f(x)$的极值点：当$x=1$时，$f'(x)=0$，$f(1)=5$，故此时$f(x)$取得极小值。
当$x=3$时，$f'(x)=0$，$f(3)=1$，故此时$f(x)$取得极大值。
二、求曲线长度在微积分中，曲线长度的求解是一个常见的问题。
对于一条曲线$L$来说，如果它的方程是$y=f(x)$，则它的弧长可以表示为：$$L=\\int _a^b\\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$a$和$b$是曲线$L$所覆盖的$x$轴区间的端点。
这个公式可以理解为是无数个小曲线段长度的累加和。
下面以一个简单的例子来说明如何求解曲线长度。
假设有一个曲线$y=x^2$，当$x\\in[0,1]$时，如何求解曲线长度？首先，计算出曲线的导数$f'(x)=2x$。
然后将导数代入公式中，得到曲线$y=x^2$在$x\\in[0,1]$时的弧长：$$L=\\int _0^1\\sqrt{1+(2x)^2}dx=\\int _0^1\\sqrt{4x^2+1}dx$$做一个 $u$ 替换，这样可以把积分变成标准形式：$$ u=4x^2+1$$$$L=\\frac{1}{4}\\int \\sqrt udu=\\frac{1}{4}\\cdot\\frac{\\sqrt{u^2}}{2}+\\frac{1}{4}\\ln\\m id\\sqrt{u}+u\\mid+C$$$$L=\\frac{1}{8}\\sqrt{(4x^2+1)^2}+\\frac{1}{8}\\ln\\mid\\sqrt{ 4x^2+1}+4x^2+1\\mid+C$$这个积分可能不太好算，因此我们可以使用数值积分法，例如Simpson法则进行数值计算。
高等数学工程类教材
高等数学工程类教材第一章：导言高等数学是工程类学生必修的一门专业课程。
它作为计算机科学、机械工程、土木工程和电子工程等学科的重要基础，为学生提供了解决实际问题所需的数学工具和方法。
本教材旨在系统地介绍高等数学在工程领域的应用，帮助学生打下坚实的数学基础。
第二章：函数与极限2.1 函数的基本概念与性质2.1.1 函数的定义与表示2.1.2 基本初等函数2.1.3 函数的性质与分类2.2 逼近与极限2.2.1 数列的极限2.2.2 函数的极限2.2.3 极限的运算法则2.3 连续与间断2.3.1 连续函数的定义与性质2.3.2 间断点与间断类型2.3.3 连续函数的运算法则第三章：微分学3.1 导数的概念与计算3.1.1 导数的定义3.1.2 基本初等函数的导数3.1.3 复合函数的导数3.2 微分与微分近似3.2.1 微分的概念与计算3.2.2 微分中值定理3.2.3 线性逼近与切线方程3.3 高阶导数与应用3.3.1 高阶导数的定义与计算3.3.2 凹凸性与拐点3.3.3 相关速率问题与最值问题第四章：积分学4.1 不定积分与定积分4.1.1 不定积分的概念与计算4.1.2 定积分的概念与计算4.1.3 积分与导数的关系4.2 定积分的应用4.2.1 几何应用：曲线长度、曲面面积4.2.2 物理应用：质量、质心、弹簧振动4.2.3 统计应用：概率密度函数与期望值4.3 微积分基本定理与不定积分的计算4.3.1 微积分基本定理4.3.2 不定积分的计算方法4.3.3 含参数积分与定积分第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.1.1 微分方程的定义与分类5.1.2 常微分方程的一阶与高阶5.1.3 齐次与非齐次微分方程5.2 一阶常微分方程的解法5.2.1 可分离变量方程5.2.2 线性方程5.2.3 齐次方程与一阶线性齐次方程5.3 高阶常微分方程5.3.1 带常数系数的二阶齐次方程5.3.2 变量分离的高阶微分方程5.3.3 古典振动问题与阻尼振动问题第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与表示6.1.1 多元函数的定义与性质6.1.2 高维空间与坐标系6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分的概念与应用6.2.3 隐函数与参数方程6.3 多元函数的极值6.3.1 条件极值与无条件极值6.3.2 边界上的极值6.3.3 极值存在条件与求解方法结语通过对高等数学工程类教材的详细阐述，希望学生能够逐步掌握高等数学的基本概念、方法和应用，并能够将其灵活运用于实际工程问题的解决中。
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MATLAB语言与应用
9
【例5-4】
2020年10月11日2时10分
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10
函数及其一阶导数图形：
>> f4=diff(f, x, 4); pretty(f4)
2020年10月11日2时10分
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11
5.1.2.2 多元函数的偏导
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
12
【例5-5】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
13
三维曲面： 引力线：
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
14
【例5-6】
syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); df=diff (diff (diff (f, x, 2), y), z); df=simple(df)
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2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
29
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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【例5-15】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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5.2 数值积分问题
5.2.1 由给定数据进行梯形求积 5.2.2 单变量数值积分问题求解 5.2.3 双重积分问题的数值解 5.2.4 三重定积分的数值求解
y4=diff(y,4); y0=int( int( int( int( y4) ) ) ); simplify(y0)
2020年10月11日2时10分
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【例5-10】证明
2020年10月11日2时10分
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23
【例5-11】不可积问题 f (x) ex2 /2 的积分问题求解。
2020年10月11日2时10分
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5.1.3.2 定积分与无穷积分计算
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
25
【例5-12】求当a＝0，b＝1.5或 时f (x) ex2 /2 的定积分值。
2020年10月11日2时10分
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【例5-13】
38
【例5-18】 第一种: 一般函数方法
第二种：inline 函数 第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)
2020年10月11日2时10分
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用inline函数定义:
2020年10月11日2时10分
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【例5-19】
提高求解精度。
y1=quadl(f, 0, 1.5, 1e-16) abs([y1-y0, y-y0])
MATLAB语言与应用
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【例5-9】
用diff() 函数求其一阶导数，再积分， 检验是否可以得出一致的结果。
syms x; y=sin(x)/(x^2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0)
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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对原函数求4 阶导数，再对结果进行4 次积分
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
3
5.1.1 极限问题的解析解
5.1.1.1单变量函数的极限
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
4
【例5-1】试求解极限问题
2020年10月11日2时10分
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5
【例5-2】求解单边极限问题
2020年10月11日2时10分
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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5.2.1 由给定数据进行梯形求积
2020年10月11日2时10分
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2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
34
【例5-16】
x1=[0:pi/30:pi]’ y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)];
2020年10月11日2时10分
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41
【例5-20】求解 绘制函数:
第5 章 微积分问题的计算机求解
2020年10月11日2时10分
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1
主要内容
微积分问题的解析解 数值积分
2020年10月11日2时10分
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5.1 微积分问题的解析解
5.1.1 极限问题的解析解 5.1.2 函数导数的解析解 5.1.3 积分问题的解析解
2020年10月11日2时10分
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5.1.2.3 隐函数的偏导数
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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【例5-7】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
17
5.1.2.4 参数方程的导数
已知参数方程
,求
2020年10月11日2时10分
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5.1.1.2 多变量函数的极限
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
7
【例5-3】求出二元函数极限值
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
8
5.1.2 函数导数的解析解
5.1.2.1 函数的导数和高阶导数
2020年10月11日2时10分
2020年10月11日2时10分
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【例5-17】
画图：
2020年10月11日2时10分
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求理论值：
不同步距
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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5.2.2 单变量数值积分问题求解
2020年10月11日2时10分
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syms x t; f=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2; I=simple( int( f, x, cos(t), exp(-2*t) ) )
2020年10月11日2时10分
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5.1.3.3多重积分问题的MATLAB求解
【例5-14】
2020年10月11日2时10分
MATLAB语言与应用
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【例5-8】
syms t; y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; d4=diff(y,t,4)/diff(x,t,4)
2020年10月11日2时10分
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5.1.3 积分问题的解析解
5.1.3.1 不定积分的推导
2020年10月11日2时10分