第8讲四边形动点问题
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。
它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。
本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。
基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。
它有四个顶点和四条边。
2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。
在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。
解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。
以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。
具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。
2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。
3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。
4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。
5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。
共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。
当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。
各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。
针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。
解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。
例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。
求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。
解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。
2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。
动点问题（四边形动点专题）
动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。
几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。
【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。
动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。
解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。
有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。
根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。
【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
四边形中的动态问题(动点)
四边形中的动态问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
例1、Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。
令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。
设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式？例练、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O-A--B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？四边形动点问题(一)1.（1）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.2.已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t= 时，四边形MNCD是平行四边形．（2）当t= 时，四边形MNCD是等腰梯形6.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，BC=10㎝,AD=7㎝,从点A沿着A→D的方向运动，速度是每秒2㎝，连结CE,BE,过点B作BF∥CE,交射线AD于点F,设运动时间为t秒（0<t<3.5）（1）求证：ΔBDF≌ΔCDE（2）当t为何值时，四边形BFCE是矩形，说明理由（3）若四边形BFCE是矩形，当AB和CA满足什么条件时，四边形BFCE是正方形。
四边形中的动点问题
四边形中的动点问题动点问题是初中数学中常见的问题之一。
这种问题涉及到一些物体或点在平面或空间中的运动轨迹，从而引发一系列有趣的问题。
本文将重点讨论四边形中的动点问题。
一、定义四边形是一个拥有四个端点并且每个端点有两条相邻的边相连的图形。
在四边形中，如果一些点在边界或内部移动，我们称这些点是动点。
二、基本问题四边形中的动点问题主要有三个基本问题：1. 四边形内任取一个动点，这个点的移动轨迹是什么？2. 四边形内任取两个动点，它们的运动是否有任何联系？3. 四边形内任取三个动点，它们是否存在特殊的位置关系？三、解决方法1. 关于第一个问题，我们可以采用向量法、坐标法、三角函数法等不同的方式来解决。
其中最常用的方法是向量法，即用向量表示动点在平面内的位置，并利用向量的加减法来求得动点的移动轨迹。
比如，对于任意一边AB，在边AB上取一点C，设动点P的向量表示为向量a，向量AC表示为向量b，则P点在AC向量上的投影可以表示为向量b’。
而向量a’可以表示为由向量b’平移而来的向量，其中平移的大小和方向取决于向量b和a之间的夹角。
2. 第二个问题比较复杂，需要利用向量叉乘、双曲线函数等高深的数学知识来解决。
一般来说，我们需要找到两个动点之间的代数关系式，再根据这个关系式来判断它们是否有联系。
比如，如果我们发现两个动点在一条直线上运动，则它们存在一定的约束条件，这个约束条件可以用向量叉乘来表达。
3. 第三个问题则是考验计算几何能力的问题。
一般来说，我们需要找到一种不变量来描述三个动点之间的特殊位置关系。
比如，如果我们发现这三个动点共线，则我们可以通过向量叉乘或线性方程组来计算它们的位置关系。
如果我们发现这三个点可以构成一个三角形，则我们可以通过三角形的几何性质来判断它们的位置关系。
如果我们发现这三个动点可以构成一个正方形或者矩形，则我们可以通过它们的对角线、边长、面积等几何参数来计算它们的位置关系。
四、典型例题1. 在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF。
四边形的动点问题
四边形的动点问题1、如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．2、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．OE CBDAαlOCBA（备用图）3、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.4、 如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4cm ，∠A=60°，BD ⊥AD.一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A→B→C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.1．当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；2．当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A→B 的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，（当P 、Q 中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q 作直线QN ，使QN ∥PM ，设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t≤8），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S （cm2）. （1）求S 关于t 的函数关系式；（2）求S 的最大值.A D EB FC 图4（备A D EB FC 图5（备ADE BF C 图1 图2 A D E B F C P NM图3 A D E B F C P N M （第25题） 分两种情况：（1）①当P 、Q 都在AB 上运动时，PM 、QN 截平行四边形ABCD 所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.②当P 在BC 上运动，而Q 在AB 边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.5、如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动． ⑴求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； ⑵设P 点运动时间为t （秒）. 当t ＝5时，求出点P 的坐标；若⊿OAP 的面积为s ，试求出s 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．6、（嘉兴市秀洲区模拟）一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：（1）把正方形ABCD 与等腰Rt △PAQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠PAQ =90°，点Q 在边BC 上，连接PD ，求证：△ADP ≌△ABQ ．（2）如图（b ），O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶点F 与点O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交于点M 、N ，求证：OM=ON ．（3）如图（c ），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD =6，FM=x ，FN=y ，试求y 与x 之间的关系式．图（a ） （第2题图）A B C D ()O F MN （图b ） （图c ） A B C D F M N Q P Q D P C B QA P5.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 是边BC 上的两点，且BE ＝FC ，DE 与AF 相交于梯形ABCD 内一点O ． (1) 求证：OE ＝OF ；(2) 当EF ＝AD 时，联结AE 、DF ，先判断四边形AEFD 是怎样的四边形，再证明你的结论．8、(2010娄底市一模)已知：如图模1-13，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC .⑴求证：BE =DG ；⑵若∠B =60︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.中考试卷练习中考数学达标试题14一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．计算：2(3)--的结果是（ ） A ．5B ．1C ．1-D ．5-2．下列计算正确的是（ ）A ．336x x x += B ．236m m m ⋅= C 3223-= D ．14772⨯= 3．下列几何体中，俯视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④O F E D C B AADGCB F E4．下列函数中，是正比例函数的是( )A ．8y x =-B ．8y x-=C ．256y x =+D ．0.51y x =--5．方程(2)20x x x -+-=的解是（ ） A ．2 B ．2- ，1C ．1-D ．2，1-6．矩形的长为x ，宽为y ，面积为9．则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的l5名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m ） 1.501.601.651.701.751.80人数1 2 4 3 3 2这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )．A ．1.65，1.70B ．1.70，1.70C ．1.70，1.65D ．3，4 8．在函数1212xy x -=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．12x ≠ B ．12x ≤ C ．12x <D．12x ≥9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（），A ．l20°B ．180°C ．240°D ．300°10．如图，平面直角坐标系中，⊙O 半径长为l ．点P(a ，0)，⊙P 的半径长为2．把⊙P 向左平移，当⊙P 与⊙O 相切时，a 的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1，3 D ．±1，±3二、填空题(共12分)11．不等式26x +> 的解集为_______。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。
解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。
2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。
3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。
4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。
5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。
6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。
综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。
八年级数学第8讲.四边形中的动点问题.尖子班.教师版.docx
8四边形中的动点问题满分晋级阶梯四边形 8 级四边形7级四边形中的动点问题四边形 6 级特殊图形的旋转与正方形弦图平移和几何最值问题春季班春季班春季班第六讲第七讲第八讲漫画释义如法炮制知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题由动点产生的特殊图例 1，例 2，例 3，练习 1，练习 2，练习3；型目例 4，例 5，例 6，例 7，练习4，练习 5．标由动点产生的函数关系编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．题型一：由动点产生的特殊图形思路导航我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．典题精练【例 1】已知如图：在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点 D 是OA的中点，点 P 在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三yCP B角形时，点P 的坐标为．(101 中学初三月考)【解析】 3 ，4 、2，4 或 8 ，4O DAx【例 2】在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，若 E、F 是 AC 上两动点，分别从A、C 两点以相同的速度1cm/s 向 C、 A 运动．⑴四边形 DEBF 是平行四边形吗 ?请说明理由．⑵若 BD =12cm， AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形 ?D C D CFEO OEFA B BADCD CFEOOE FAB A B 【解析】⑴四边形 DEBF 是平行四边形理由：∵ E， F 两动点，分别从A，C 两点以相同的速度向C，A 运动∴AE＝CF∴OE＝OF∴BD、EF 互相平分∴四边形 DEBF 是平行四边形⑵ ∵四边形 DEBF 是平行四边形∴当 BD ＝EF 时，平行四边形DEBF 是矩形∵BD＝ 12cm，∴ EF＝ 12cm∴OE＝ OF ＝6cm∵AC＝ 16cm∴OA＝ OC＝8cm∴AE＝ 2cm 或 AE＝ 14cm∵动点的速度是 1cm/s∴t＝ 2s 或 t＝ 14s【例 3】如图所示，在直角坐标系中，四边形 OABC 为直角梯形， OA∥ BC，BC=14cm ，A 点坐标为（ 16，0）， C 点坐标为（ 0， 2）．点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动，设运动时间为ts 0 ≤ t ≤ 4 ．⑴求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？⑵求当 t 为多少时， PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．【解析】⑴ ∵ t s 后， BP= 14 2t cm，AQ =4t cm．由y7BP= AQ ，得 142t(s)．4t ， t=73P B∴当 t= s 时， BP= AQ ，又 OA∥ BC，C 3∴四边形 PQAB 为平行四边形．O Qx A⑵∵ C 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 16， 0），∴ OC=2 cm ， OA=16 cm ．∴S梯形 OABC =1(OA+BC ) ·OC=1×(16+14)×2=30(cm 2) ．22∵ t s后，PC= 2t cm，OQ= 164t cm，∴S四边形 PQOC =116 4t2162t ．2t2由题意可得 S四边形PQOC=10，∴162t10，解得 t=3s．此时直线 PQ 的函数关系式为 y x 4 ．【探究】四边形中的动态问题【变式 1】如图，在矩形OABC 中，已知点 B 的坐标为 (9， 4)，点 P 是矩形边上的一个动点，若点 E 的坐标为 (5， 0)，且△POE 是等腰三角形，求点P 的坐标？yA P2P1By P3P4A BO E C xO E C x【解析】如图， 3 4，P22,4，P3 2.5,4，P49,3 .P1 ,【探究 2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；【变式 2】如图，矩形ABCD 中， B 的坐标为 ( 4 3，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，同时动点Q 以每秒 2 个单位的速度从点O出发沿OB向终点B运动 . 过点Q作QE⊥ OB，交AB于点E，连接PE PQ. 设运动时间为t、秒 . 求t为何值时，PE OB.∥yA E BP QO C x16【解析】 PQ=BE 时， PE∥ OB，此时t.7【探究 3】线动问题，线动问题转化为点动问题；【变式 3】如图，矩形 ABCO 中， B 的坐标为 ( 4 3 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，从点 O 出发沿 OA 向终点 A 运动，过点 P 作直线 PF ⊥ OB ，交 OB 于点 F ；同时将直线 PF 以每秒3 个单位向右平移，分别交 AB 、 OB 于点 E 、Q ，连接 PE. 设运动时间为 t 秒 . 求 t 为何值时， PE ∥ OB.yAEBPFQOC x【解析】同上，此时 t16 .7【探究 4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；【变式 4】如图，直角 Rt △ ABO 中， A 的坐标为 (15， 53 )，斜边中线 AC 将这个直角三角形分成了2 2两个等腰三角形△ AOC 与△ ABC （如图所示） ，将△ AOC 沿直线 x 轴正方向平移得到△ A 1O 1C 1 ，当点 O 1 与点 C 重合时，停止平移。
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（4）如图，矩形纸片 ABCD 中， AB 26 厘米， BC 18.5 厘米，点 E 在 AD 上，且 AE=6 厘
米，点 P 是 AB 边上一动点．按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点 P 与点 E 重合，展开纸片得折痕 MN（如图①）；
步骤二，过点 P 作 PT AB ，交 MN 所在的直线于点 Q，连结 QE（如图②）．
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模块一 翻折与动点
【例 1】（1）如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片， B' 为 CD 边上的点， B'C 3 . 将纸片沿某直线折叠，使点 B 落在点 B' 处，点 A 的对应点为 A' ，折痕分别与 AD，BC 边交于
点 M，N. 求：(1)求 BN 的长；(2)求四边形 ABNM 的面积
将正方形折叠，使点 A 与点 E 重合，折痕为 MN ，求 ANE 的面积.
DM
C
E
A
N
B
（2） 已知：如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， B 90 ， AD AB 4 ， BC 7 ，点 E
在 BC 边上，将△CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C ' 处．
图①
图②
图③
①无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ
QE（填“>”、“=”、“<”）；
②如图③所示，将矩形纸片 ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
（i）当点 P 在 A 点时，PT 与 MN 交于点 Q1 ， Q1 点的坐标是（
，
）；
（ii）当 PA=6 厘米时，PT 与 MN 交于点 Q2 ， Q2 点的坐标是（
连接 OP，将线段 OP 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 OQ.要使点 Q 恰好落在 AD 上，则 BP 的
长是( )
A．1
B．2
C．
D．4
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【例 2】（1）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
（2) 如图，已知正方形纸片 ABCD，M、N 分别是 AD、BC 的中点，把 BC 向上翻折， 使点 C 恰好落在 MN 上的 P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ=______．
（3）如图，梯形纸片 ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 AE，则 DC=______．
，
）；
（iii）当 PA= a 厘米时，在图③中用尺规作出 MN（不要求写作法，要求保留作图痕迹），
PT 与 MN 交于点 Q3 ， Q3 点的坐标是（
，
）．
备用图
备用图
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【巩固】（1）如图，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形， E 是 BC 上一点，且 BE 1 EC ， 2
四边形动点问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的 一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运 动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情 推理。选择基本的几何图形，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题 的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才 能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是 动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探 究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能 力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．
从数学思想的层面上讲： （1）运动观点； （2）方程思想； （3）数形结合思想； （4）分类思想； （5）转化思想等． 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊 的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似 三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见 题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
D．2
（2）如图，设 F 为正方形 ABCD 的边 AD 上一点,CE⊥CF 交 AB 的延长线于 E,若 S 正方形 ABCD=64，
S△CEF=50，则 S△CBE=（
）
A．20
B．24
C．25
D．26
（3）如图 2，在正方形 ABCD 中，AB=4，点 O 在 AB 上，且 OB=1，点 P 是 BC 上一动点，
A． 2 3
B． 2 6
C．3
D． 6
（2）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围
【例 3】（1）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点 M 从点 D 出发，按折线 DCBAD 方向以 2cm/s 的速度运动，动点 N 从点 D 出发，按折线 DABCD 方向以 1cm/s 的速度运动． （1）若动点 M、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？ （2）若点 E 在线段 BC 上，且 BE＝3cm，若动点 M、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几 秒钟，点 A、E、M、N 组成平行四边形？
（1）求 C ' DE 的度数；
（2）求△ C ' DE 的面积．
A
D
C'
B
E
C
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模块二 动点问题
【例 1】（1）如图，在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是 AD 上一动点,PF⊥AC 于 F,PE⊥BD
于 E,则 PE+PF 的值为（ ）
A．12 5
B．13 5
C．5 2