人教版八年级下学期 第18章 平行四边形——动点问题(尖子生必练)(无答案)
第18章平行四边形解答题典型必练(二)2020—2021学年人教版八年级数学下册
2020—2021学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题典型必练（二）1．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD 的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．（1）如图1，求证：EG＝FC；（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形；（2）若AC＝2，BD＝4，则四边形ABEO的面积是．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．4．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．5．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．6．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为；菱形EFCD的面积为．7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC 于E，连BE．（1）求证：四边形DEBC是菱形；（2）若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长．8．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）求证：AE⊥DE．9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．11．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．12．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE 的长．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．15．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝OB ，DF ＝OD ，∴BE ＝DF ，在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝FC ，∵EG ＝AE ，∴EG ＝FC ；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，S 四边形ABCD ＝4S △ABO ，∵EG ＝AE ，点E 为OB 的中点，∴AG 、OB 互相平分，∴四边形ABGO 是平行四边形，∴S △ABO ＝S △BGO ，∴S 四边形ABGO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵OA ＝OC ，EG ＝AE ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∵四边形ABGO 是平行四边形，∴BG ∥AC ，∴四边形BOCG 是平行四边形，∴S 四边形BGCO ＝2S △BGO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵四边形ABGO 是平行四边形，∴GO ∥AB ，GO ＝AB ，∵AB ∥CD ，∴GO ∥CD ，GO ＝CD ，∴四边形CDOG 是平行四边形，∴S 四边形CDOG ＝2S △CDO ＝2S △ABO ＝S 四边形ABCD ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴EF ＝BD ＝OD ，∵四边形CDOG 是平行四边形，∴CG ∥EF ，CG ＝OD ，∴EF ＝CG ，∴四边形EFCG 是平行四边形，∴S 四边形EFCG ＝S 四边形CDOG ＝S 四边形ABCD ，∴图中的平行四边形ABGO 、平行四边形BOCG 、平行四边形CDOG 、平行四边形EFCG 四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD 面积的一半． 2．（1）证明：∵BE ∥AC ，OE ∥AB ，∴四边形ABEO 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝2AO ，∵AC ＝2AB ，∴AO ＝AB ，∴四边形ABEO 是菱形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝AC ＝，OB ＝BD ＝2，连接AE 交BO 于M ，由（1）知，四边形ABEO 是菱形，∴AE 、OB 互相垂直平分，∴OM ＝BO ＝1，∴AM ＝＝＝，∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝＝2，故答案为：2．3．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS）；∴AF＝DB，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形；（2）解：∵D是BC的中点，∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，∵四边形ADCF是菱形，∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得：x＝，∴BE＝＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥BE，∴∠FAO＝∠BEO，∵O为AE的中点，∴OA＝OE，在△AOF和△EOB中，，∴△AOF≌△EOB（ASA），∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∵∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：∵E为BC的中点，且BC＝8，∴BE＝CE＝4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，∴EH＝OE＝1，∴OH＝＝＝，CH＝EH+CE＝5，∴OC＝＝＝2．6．证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四边形EFCD是平行四边形，又∵CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形；（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，∵四边形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH＝EF，FH＝EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF＝，∴菱形EFCD的面积＝2×＝2，故答案为：2，．7．（1）证明：如图，连接BD交AC于点F，∵AB＝AD，∠DAB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴F是BD的中点，∴BF＝DF，在△AED和△AEB中，，∴△AED≌△AEB（SAS），∴DE＝BE，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠EDF，在△BCF和△DEF中，，∴△BCF≌△DEF（SAS），∴BC＝DE，∵BC∥DE，∴四边形DEBC是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形DEBC是菱形；（2）如图，过点E作EH⊥AD于点H，∵四边形DEBC是菱形，∴∠CDB＝∠EDB＝CDE，∵∠CDE＝2∠EDA，∴∠BDE＝∠ADE，∵BD⊥CE，EH⊥AD，∴EF＝EH＝EC＝，∴AH＝EH＝，∴AE＝＝2，∴AF＝AE+EF＝2+，∴DF＝AF＝2+，∴AD＝AF＝（2+）＝2+2．8．证明：（1）设AC，EF的交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∠OAF＝∠OCE．∵点E与点F关于AC对称，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF．在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AB⊥AC，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝CE，∵BC＝2AB，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形．∴∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，∵CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．9．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADO＝∠CDO，又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，∴△AOD≌△COD（ASA），∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD＝BC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵BE∥CE，∴四边形ACEB是平行四边形，∴DC＝AB＝CE，∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．10．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．11．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝70°，∴∠BDE＝∠EDF＝35°．12．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．13．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．14．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBF，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴平行四边形BFDE是菱形；（2）连接EF，交BD于O，∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∴BD＝DC＝12，∴∠FDC＝∠A＝90°，∴DF＝，在Rt△DOF中，OF＝，∴菱形BFDE的面积＝．15．（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．。
(完整版)人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题含答案
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判断专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1 ，1)，B(3， 0)为极点，结构平行四边形，以下各点中不可以作为平行四边形极点坐标的是()A ．(－ 3， 1)B．(4， 1)C． (－2，1)D．(2，－ 1)2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ B＝90°，AB ＝3，BC＝4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的全部 ?ADCE 中， DE 最小的值是 ()A ．2 3．如图，B．3C．4D．5E 是?ABCD 内随意一点，若平行四边形的面积是6，则暗影部分的面积为____．4．如图， ?ABCD 与 ?DCFE 的周长相等，且∠ BAD ＝60°，∠ F＝110°，则∠ DAE 的度数为_______．5．如图，在平行四边形ABCD 中， E 为 BC 边上一点，且 AB ＝AE.(1)求证：△ ABC ≌△ EAD ；(2)若 AE 均分∠ DAB ，∠ EAC ＝25°，求∠ AED 的度数．6．如图，在 ?ABCD 中， E 是 BC 的中点， AE ＝9，BD＝12，AD ＝10.(1)求证： AE ⊥BD ；(2)求?ABCD 的面积．7 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ BAD 的角均分线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延伸线于点 E.(1)求证： BE＝CD；(2)连结 BF，若 BF⊥ AE ，∠ BEA ＝60°，AB ＝4，求 ?ABCD 的面积8.如图，已知 AB ∥CD ，BE⊥AD ，垂足为点 E，CF⊥AD ，垂足为点 F，而且 AE ＝DF.求证：四边形 BECF 是平行四边形．9.如图，将一张直角三角形纸片 ABC 沿中位线 DE 剪开后，在平面大将△ BDE 绕着 CB 的中点D 逆时针旋转 180°，点E 到了点 E′的地点，则四边形 ACE′E的形状是 _____________．10. 如图，已知点 E，C 在线段 BF 上， BE＝CE＝CF，AB ∥DE，∠ ACB ＝∠ F.(1)求证：△ ABC ≌△ DEF；(2)试判断四边形 AECD 的形状，并证明你的结论．11.如图 1，在 ?ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点， EF 过点 O 与 AD ，BC 分别订交于点E， F， GH 过点 O 与 AB ，CD 分别订交于点 G， H，连结 EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形；(2)如图 2，若 EF∥AB ，GH∥ BC，在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图 2 中与四边形 AGHD 面积相等的全部的平行四边形．(四边形 AGHD 除外 )12．如图，△ ABC 是等边三角形，点D，F 分别在线段 BC，AB 上，∠ EFB＝60°，DC＝ EF.(1)求证：四边形 EFCD 是平行四边形；(2)若 BF＝ EF，求证： AE＝ AD.答案：1. A2. B3. 34.25°5.解： (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ BC＝ AD ， BC∥AD ，∴∠ EAD＝∠ AEB ，∵AB ＝ AE，∴∠ B＝∠ AEB ，∴∠ B＝∠ EAD ，∴△ ABC ≌△ EAD( SAS) (2)∵AE 均分∠DAB ，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，又∵∠ DAE ＝∠ AEB ，AB ＝AE ，∴∠ BAE ＝∠ AEB ＝∠ B，∴△ ABE 为等边三角形，∴∠ BAE ＝60°，∵∠ EAC ＝25°，∴∠ BAC ＝ 85°，∵△ ABC ≌△ EAD ，∴∠ AED ＝∠ BAC ＝85°6.解： (1)过点 D 作 DF∥AE 交 BC 的延伸线于点 F，∵ AD ∥ BC，∴四边形 AEFD 为1平行四边形，∴EF＝AD ＝10，DF＝ AE＝ 9，∵ E 是 BC 的中点，∴ BF＝2AD ＋AD ＝15，∴ BD2＋DF2＝122＋92＝225＝BF2，∴∠ BDF＝ 90°，即 BD ⊥ DF，∵AE∥ DF，∴AE ⊥BD (2)过点9×1236D 作 DM ⊥BF 于点 M ，∵ BD·DF＝ BF·DM ，∴ DM ＝15＝5，∴ S?ABCD＝BC·DM＝727.剖析： (1)证 AB ＝BE，AB ＝CD，即可获得结论； (2)将?ABCD 的面积转变为△ ABE 的面积求解即可．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ＝ CD，AD ∥ BE，∴∠ DAE ＝∠ E，∵∠ BAE ＝∠ DAE ，∴∠ BAE ＝∠ E，∴AB ＝ BE，∴ BE＝CD (2)∵AB ＝BE，BF⊥ AE ，∴AF ＝FE，又∵∠ DAF ＝∠ CEF，∠ AFD＝∠ EFC，∴△ AFD ≌△ EFC(ASA)，∴ S?ABCD＝S△ABE，∵AB ＝1BE，∠ BEA ＝60°，∴△ ABE 是等边三角形，由勾股定理得 BF＝23，∴ S△ABE＝2AE·BF＝4 3，∴ S?ABCD＝438.剖析：可经过证 BE 綊 CF 来获得结论．解：∵BE⊥AD ，CF⊥AD ，∴∠ AEB ＝∠ DFC＝90°，∴BE∥CF，∵AB ∥ CD，∴∠ A ＝∠D，又∵ AE ＝DF，∴△ AEB ≌△ DFC(ASA)，∴ BE＝CF，∴四边形 BECF 是平行四边形9.平行四边形10.解： (1)∵AB ∥DE，∴∠ B＝∠ DEF，∵ BE＝EC＝CF，∴ BC＝ EF，又∵∠ ACB ＝∠ F，∴△ ABC ≌△ DEF(ASA) (2)四边形 AECD 是平行四边形．证明：∵△ ABC ≌△ DEF，∴ AC＝DF，∵∠ ACB ＝∠ F，∴AC ∥DF，∴四边形 ACFD 是平行四边形，∴ AD ∥CF，AD ＝CF，∵EC＝CF，∴ AD ∥EC，AD ＝ CE，∴四边形 AECD 是平行四边形11.解：(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD ∥ BC，∴∠ EAO ＝∠ FCO，又∵ OA＝ OC，∠AOE ＝∠ COF，∴△ OAE≌△ OCF(ASA)，∴ OE＝OF，同理 OG＝OH，∴四边形 EGFH 是平行四边形(2)?GBCH， ?ABFE ，?EFCD，?EGFH12.解：(1)∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC ＝ 60°，又∵∠ EFB＝60°，∴∠ ABC ＝∠ EFB，∴EF∥ BC，又∵ DC＝ EF，∴四边形 EFCD 是平行四边形(2)连结 BE，∵∠ EFB＝ 60°，BF ＝EF，∴△ BEF 为等边三角形，∴ BE＝BF＝EF，∠ABE ＝60°，∵ CD＝EF，∴ BE＝CD，又∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ AC ，∠ ACD ＝ 60°，∴∠ ABE ＝∠ ACD ，∴△ ABE ≌△ ACD( SAS)，∴ AE ＝AD。
人教版八年级下册第18章平行四边形单元典型必练题(无答案)
人教版八年级下册第18章平行四边形单元典型必练题一、选择题1.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.52D.22.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )A．3cm2B．4 cm2C．√3cm2D．2√3cm23.如图,在平行四边形ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为()A.26 cmB.24 cmC.20 cmD.18 cm4.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．18 B．28 C．36 D．465.已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )A．10与6 B．12与16C．20与22 D．10与186.如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为( )A．9 B．10 C．11 D．127.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 AD 上一点，EF 交 AC于 G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则 AC 的长为（）A ．9cmB ．14cmC ．15cmD ．18cm8.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9.在平行四边形ＡＢＣＤ中，下列描述正确的是（ ）Ａ、对角线交于点Ｏ，则过点Ｏ的直线平分平行四边形的面 Ｂ、∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ：∠Ｄ＝３：１：１：３Ｃ、对角线是平行四边形的对称轴；Ｄ、ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＢＤ；10.顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC=AD ③∠A=∠C ④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种11.如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连结CE.若▱ABCD的周长为16,则△CDE的周长是()A.16B.10C.8D.612.如图所示，矩形ABCD中，AE平分BAD∠交BC于E，15∠=，CAE︒则下面的结论：①ODCBC AB；③135∆是等边三角形；②=2∠=；AOE︒④AOE COE=，其中正确结论有（）S S∆∆A．1个B．2个C．3个D．4个13.如图，已知△ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．814.如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）AB．C D．15.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC 的度数为（）A．α B．23αC．90α-D．2 903α-16.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD ＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．2418.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（）A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长C．△ABC的面积等于△ABP的面积D．△ABC的面积等于△PBC的面积19.如图，在▱ABCD 中，AB=4，3，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，且 AE=3，连结 DE，若 F 为线段 DE 上一点，满足∠AFE=∠B，则 AF=（）A．2 B3C．6 D．320.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S .当AD AB 2-=时，21S S -的值为( )A ．2aB ．2bC ．2a 2b -D ．2b -二、填空题 1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．2.如图,在▱ABCD 中,点E 在CD 的延长线上,AE ∥BD ,EC=4,则AB 的长是 .3.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．4.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为.5.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC ,AB=√3,AC=2,BD=4,则AE的长为_____7.如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，=____．则EGAB8.．如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，AE=3，AF=4，∠EAF=60°，则▱ABCD 的面积是．9.如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，ECF=45°，则CF的长为__________．若CE=10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：使得四边形BDFC为平行四边形．11.在□ABCD中，∠A =60 ，则∠C=__________________．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．三、解答题1.如图 ,四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,E是AD的中点,连结BE 并延长交CD的延长线于点F.(1)若连结AF,BD,试判断四边形ABDF是何种特殊四边形,并说明理由;(2)若AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF的面积.2.如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．3.如图,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线,与AD交于点E,连结CE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,若AB=3,BC=5,求△DCE的周长.4.已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．5.如图,平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点,DF∥AC，∠DFC=∠AEB，连接EF.(1)求证：DF=AE；(2)求证：四边形BCFE是平行四边形。
人教版八年级数学下册优秀作业课件(RJ) 第十八章 平行四边形 特殊平行四边形中的动点与最值问题
DE，将△ADE 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A′处，连接 A′C，若 F，G 分别为 A′C，
BC 的中点，则 FG 的最小值为(A )
A．1
B．2
C．
7 2
D．
5－1 2
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB 于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值为_3__2_．
类型二 特殊平行四边形中的最值问题
3．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，E 为 AD 的中点，P 为对角线 BD
上的一个动点，则 AP＋EP 的最小值是( D )
A．2 B．4 C． 5
D．2 5
4．如图，菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD 的中点，P是对角线BD上的一点，则PM＋PN的最小值为B( )
(2) 当 点 P 运 动 到 BC 的 中 点 时 矩 形 PEMF 变 为 正 方 形 ， 理 由 如 下 ： 连 接 MP ， ∵AB＝AM＝DM＝CD，∠A＝∠D＝90°，∴△ABM≌△DCM，∴BM＝CM.又 ∵点P为BC的中点，∴∠BMP＝∠CMP.又∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴PE＝PF， ∴矩形PEMF为正方形
数学 八年级下册 人教版
第十八章 平行四边形
专题训练(六) 特殊平行四边形中的动点与最值问题
类型一 特殊平行四边形中的动点问题 1．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边 上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN. (1)求证：△NED≌△MEA； (2)当点M运动到什么位置时四边形AMDN是矩形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，∴∠DNE＝∠AME.又∵E 为AD的中点，∴DE＝AE.又∵∠DEN＝∠AEM，∴△NED≌△MEA(AAS) (2) 当 点 M 为 AB 的 中 点 时 四 边 形 AMDN 是 矩 形 ， 理 由 如 下 ： 由 (1) 知 △NED≌△MEA，∴NE＝ME.又∵DE＝AE，∴四边形AMDN是平行四边形．又 ∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB.又∵M，E分别为AB，AD的中点，∴AM＝ AE. 又 ∵ ∠ DAB ＝ 60° ， ∴ △ AME 为 等 边 三 角 形 ， ∴ AE ＝ ME ， ∴ AD ＝ MN ， ∴▱AMDN为矩形
人教版八年级下学期第18章平行四边形——动点问题(尖子生必练)(无答案)
八年级放学期第18 章平行四边形——动点问题1、如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中， BD=4， E、 F 分别是 AD、 CD上的动点（包括端点），且 AE+CF=4，连结 BE、EF、 FB．（1）尝试究 BE 与 BF 的数目关系，并证明你的结论；（2）求 EF的最大值与最小值．2、在四边形 ABCD中， AD∥ BC，∠B=90°，AD=24cm， AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从点 A 开始，沿 AD 边，以 1cm/ 秒的速度向点 D 运动；动点 Q 从点 C 开始，沿 CB边，以 3cm/ 秒的速度向 B 点运动。
已知 P、 Q 两点分别从A、C 同时出发，，当此中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动。
假定运动时间为t 秒，问：（1） t 为何值时，四边形 PQCD是平行四边形A P D（2）在某个时辰，四边形 PQCD可能是菱形吗为何,B Q C3、如右图，在矩形 ABCD中， AB=20cm，BC=4cm，点 P 从 A 开始沿折线 A— B— C— D 以 4cm/s 的速度运动，点 Q 从 C 开始沿 CD 边 1cm/s 的速度挪动，假如点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，当此中一点抵达点 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)， t 为何值时，四边形APQD 也为矩形4、如下图，△ABC中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过O 作直线 MN//BC ，设 MN 交BCA 的均分线于点E，交BCA 的外角均分线于F。
（1）求证：EO FO ；（2）当点 O 运动到哪处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论。
AM O F NEB C D5、（ 1）如图 1，纸片□ABCD中， AD＝ 5，S□ABCD＝ 15，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为E，沿 AE 剪下△ ABE，将它平移至△DCE' 的地点，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D 的形状为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（ 1）中的四边形纸片AEE'D 中，在 EE'上取一点F，使 EF＝ 4，剪下△ AEF，剪下△ AEF，将它平移至△ DE'F'的地点，拼成四边形AFF' D．①求证：四边形AFF'D 是菱形；②求四边形AFF'D 的两条对角线的长。
人教八年级数学下册第18章 平行四边形 专项训练.docx
初中数学试卷桑水出品第18章平行四边形专项训练专训1.利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D 落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第2题)矩形的折叠问题3．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第3题)菱形的折叠问题(第4题)4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连接CF，那么∠BFC的度数是( )A．60° B．70° C．75° D．80°5．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．(第5题)正方形的折叠问题(第6题)6．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．7．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第7题)专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到．．．．一般的思想．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE，试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型名师点金：本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，将一张长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(图③中的虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )A．10 cm2B．20 cm2C．40 cm2D．80 cm2(第1题)(第2题)2．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝46，则FD的长为( )A．2 B．4 C. 6 D．2 33．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( )A．15° B．30° C．45° D．60°(第3题)(第4题)特殊平行四边形中的动点问题4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°.点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0≤t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为( ) A．5 B．10C．15 D．205．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E.若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是( )A．2 B．4 C．2 2 D．4 2(第5题)(第6题)特殊平行四边形中的中点四边形问题6．如图，在四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形An BnCnDn.下列结论正确的是( )①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7的周长为a＋b8；④四边形An BnCnDn的面积为ab2n.A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°，则四边形EFGH的面积为________．(第7题)(第8题)特殊平行四边形中的图形变换问题8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )A.34B.2－12C.2－1 D．1＋ 29．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．(第9题)灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，连接AF ，CE. (1)求证：△BEC ≌△DFA ；(2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形，并说明理由．(第10题)11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交AE 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形DEFG 为菱形； (2)若CD ＝8，CF ＝4，求CEDE的值．(第11题)12．如图①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 上的点，且AF ⊥BE. (1)求证：AF ＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且MP ⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第12题)专训4.全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个性质，一个定理，四个图形，三个技巧．考点1 一个性质——直角三角形斜边上的中线性质1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.(第1题)考点2 一个定理——三角形的中位线定理2．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形．(第2题)考点3 四个图形图形1平行四边形3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．(第3题)图形2矩形4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．(第4题)图形3菱形5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？(第5题)图形4 正方形6．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H.(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．(第6题)考点4 三个技巧技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)7．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，求阴影部分图形的周长(第7题)技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．技巧3解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)9．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．答案专训11．127 点拨：如图，设AE ，BC 的交点为O ，连接BE ，已知O 是BC 的中点． ∵在△ABC 和△CDA 中，AB ＝CD ，BC ＝DA ，AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA ，则△ABC ≌△CEA ，∴∠ACB ＝∠CAE ，同时，BC ＝AE ，即在四边形ABEC 中，两条对角线相等．∵在△AOC 中，∠ACB ＝∠CAE ，∴AO ＝OC ，易得O 是AE 的中点．∴四边形ABEC 是矩形，在Rt △AEC 中，CE ＝AB ＝6，AE ＝AD ＝8，由勾股定理得AC ＝AE 2－CE 2＝82－62＝27.∴▱ABCD 的面积＝AB·AC＝6×27＝127.(第1题)(第2题)2．解：设AE 与BC 相交于点F ，如图． ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD 沿对角线AC 所在直线折叠，点D 落在点E 处， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC ＝FA. ∵F 为BC 边的中点，BC ＝6， ∴AF ＝CF ＝BF ＝12×6＝3.又∵AB ＝3，∴△ABF 是等边三角形．∴∠B ＝60°.(第3题)3．(1)证明：由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC. ∴EG ＝CH.(2)解：∵∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2， ∴DG ＝2，DF ＝2.∴AD ＝2＋ 2. 如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.4．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC ＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.5．解：如图，连接BD，AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.∴∠ABO＝90°－60°＝30°.∵∠AOB＝90°，∴AO＝12AB＝12×2＝1.由勾股定理，得BO＝DO＝ 3. ∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得EF为△ABD的中位线，∴EF＝12BD＝12×(3＋3)＝ 3.(第5题)6．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠BGN＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第6题)7．(1)证明：∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不变且为定值8.证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.(第7题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD.∵∠AEB ＋∠AED ＝∠CFD ＋∠CFB ＝180°， ∴∠AED ＝∠CFB.∴AE ∥CF. 2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC.∴∠CAD ＝∠ACB ，∠AEF ＝∠CFE. ∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ， ∴OA ＝OC.∴△AOE ≌△COF.∴OE ＝OF. ∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形． 设AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，(第2题)在Rt △ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5. ∴AF ＝5 cm .(2)显然当P 点在AF 上，Q 点在CD 上时，A ，C ，P ，Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上，Q 点在DE 或CE 上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上，Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP ，CQ ，则以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC ＝QA.∵点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，∴PC ＝5t cm ，QA ＝(12－4t)cm . ∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43.∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.3．证明：(1)如图①，连接AC.∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BCD ＝180°－∠B ＝120°.∴△ABC 是等边三角形．又∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC.∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－∠AEF ＝30°.∴∠CFE ＝180°－∠FEC －∠BCD ＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC ＝∠CFE.∴EC ＝CF.∴BE ＝DF.(第3题)(2)如图②，连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH为正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点．∵BE綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．A2．B 点拨：连接EF ，由题易知，AE ＝EG ＝ED ，∠A ＝∠EGB ＝∠EGF ＝∠D ＝90°，又EF ＝EF ，所以Rt △EGF ≌Rt △EDF ，所以FG ＝DF.设DF ＝x ，则BF ＝6＋x ，CF ＝6－x ，在Rt △BCF 中，(46)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x ＝4，所以FD ＝4.3．C4．B 点拨：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE ∥DF ，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．5．C 点拨：连接BD 交AC 于点O ，由图可知，DQ ＋PQ 的最小值即为DO 的长，由正方形的边长为4可知，DO 的长为22，所以DQ ＋PQ 的最小值为2 2.6．A(第7题)7．9 3 cm 2 点拨：连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，如图， 易知，四边形EFGH 是矩形． 由四边形ABCD 是菱形， ∠ABC ＝60°， 可得∠ABO ＝30°， 又∵∠AOB ＝90°， ∴AO ＝12AB ＝3 cm .∴AC ＝6 cm .在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝33(cm )， ∴BD ＝6 3 cm . ∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝3 3 cm ，EF ＝3 cm .∴矩形EFGH 的面积＝EF·EH＝3×33＝93(cm 2)． 8．C9．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BAG ＋∠EAD ＝90°. ∵DE ⊥AG ，∴∠AED ＝∠DEG ＝90°. ∴∠EAD ＋∠ADE ＝90°. ∴∠ADE ＝∠BAF. 又∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠DEG ＝90°. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED ＝∠AFB ，∠ADE ＝∠BAF ，AD ＝AB ，∴△AED ≌△BFA(AAS )． ∴BF ＝AE. ∵AF －AE ＝EF ， ∴AF －BF ＝EF.(第9题)(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连接F′E，由(1)易得DE ＝AF.根据题意知：∠FAF′＝90°，DE ＝AF ＝AF′， ∴∠F′AE＝∠AED ＝90°. 即∠F′AE＋∠AED ＝180°. ∴AF′∥ED.∴四边形AEDF′为平行四边形． 又∠AED ＝90°， ∴四边形AEDF′是矩形． ∵AD ＝3，∴EF′＝AD ＝3.10．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，BC ＝AD. ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝DF.∴△BEC ≌△DFA(SAS )．(2)解：四边形AECF 是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．当CA＝CB时，CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，∵FG∥CD，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴FG＝FE.∴DG＝GF＝EF＝DE.∴四边形DEFG为菱形．(2)解：设DE＝x，则EF＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴CE＝8－x＝3.∴CEDE＝35.(第11题)12．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE(ASA)．∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD 于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.专训四1．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形．(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，∴DH＝12AB＝AD，∴∠DAH＝∠DHA.同理可得HF＝12AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.∴∠DAF＝∠DHF.∴∠DHF＝∠DEF.2．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴▱EFGH是矩形．(2)∵点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点，∴EP＝12BC，PG＝12AD，GQ＝12BC，QE＝12AD.∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四边形EQGP是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.又∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )．(2)解：四边形MFNE 是平行四边形．证明：由(1)知△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ，∠AEB ＝∠CFD.∵M ，N 分别是BE ，DF 中点，∴ME ＝NF.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠AEB ＝∠EBC.∴∠CFD ＝∠EBC.∴BE ∥DF.∴四边形MFNE 是平行四边形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，∴∠AEO ＝∠CFO.在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC.∴△AOE ≌△COF(AAS )．(2)解：当AC ＝EF 时，四边形AECF 是矩形．理由如下：由(1)知△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF.∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．5．(1)证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC.又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形．(2)解：答案不唯一，下列解法供参考．当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形．理由：∵D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝12 BC.又∵AB＝BC，∴BD＝DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．6．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．7．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案8．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形，∴∠EOF ＝90°，∴∠EOF ＝∠BOC.∴∠EOF －∠BOF ＝∠BOC －∠BOF ，即∠BOE ＝∠COF.∴△BOE ≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1.∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 9．解：(1)如图，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8， 由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6，∴AC ＝2AG ＝2×6＝12.菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第9题)(2)如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF， 即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF， 解得OE ＋OF ＝9.6是定值，不变．(3)如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．所以OE＋OF的值变化，OE，OF之间的数量关系为：OE－OF＝9.6.。
人教版数学八年级下册第章平行四边形课本页动点问题课件
（人1教）版求：B第、十C两八点章的平坐行标四；边形 （书：第68页13题）
无从钱运之 动人开脚始杆，硬使，PQ有∥钱CD之和人P骨Q头=C酥D。，分别需经过多长时间？为什么？
人教版：第十八章平行四边形 （书：第68页13题）
题目来源：课本八年级下册
第十八章平行四边形 （第68页13题）
从运动开始，使PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多长时间？为什么？
∴ 当运动时间为6s时PQ//CD和PQ=CD
八年级（下册）数学 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；
点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向B运动.
主讲人：
题目来源：课本八年级下册
第十八章平行四边形 第68页13题
AP
D
B
Q
C
如图，在四边形ABCD中，AD//BC， ∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出发， 以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 3cm/s的速度向B运动.规定其中一个动点到达端点 时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使 PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多长时间？为什么？
解：设运动时间为t秒 （0 t 26）
3
则AP=t,PD=24-t,QC=3t,BQ=26-3t (1)如图1，若PQ//CD ∵ AD//BC
t
24-t
∴ 四边形PQCD为平行四边形 ∴ PQ=QC
即 24-t=3t 解得 t=6
26-3t
3t
∴ 当运动时间为6s时PQ//CD和PQ=CD
图1
时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始，使 人教版：第十八章平行四边形 （书：第68页13题）
201x八年级数学下册第十八章平行四边形小专题八四边形中的动点问题练习 新人教版
小专题(八) 四边形中的动点问题——教材P68T13的变式与应用教材母题如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发以3 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？【解答】①设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形．∵PD＝(24－t)cm，CQ＝3t cm，∴24－t＝3t，∴t＝6.∴当t＝6时，PQ∥CD，且PQ＝CD.②设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC 边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ 时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90 °，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.当四边形PQCD 为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(24－t )＋4＝3t.∴t ＝7.∴当t ＝7 s 时，PQ ＝CD.当四边形PQCD 为平行四边形时，由①知，当t ＝6 s 时，PQ ＝CD.综上所述，当t ＝6 s 时，PQ∥CD ；当t ＝6 s 或7 s 时，PQ ＝CD.1．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a ，c)，C(b ，0)，并且a ，b 满足b ＝a －21＋21－a ＋16.动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发，在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P ，Q 分别从点A ，O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求B ，C 两点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P ，Q 两点的坐标；(3)当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P ，Q 两点的坐标．解：(1)∵b ＝a －21＋21－a ＋16，∴⎩⎨⎧a －21≥0，21－a≥0， 解得a ＝21.∴a ＝21，b ＝16.∵AB∥OC，A (0，12)，∴c＝12.∴B (21，12)，C (16，0)．(2)由题意，得AP ＝2t ，QO ＝t ，则PB ＝21－2t ，QC ＝16－t.∵当PB ＝QC 时，四边形PQCB 是平行四边形，∴21－2t ＝16－t ，解得t ＝5.∴P (10，12)，Q (5，0)．(3)当PQ ＝CQ 时，过点Q 作QN⊥AB，垂足为N.由题意，得PN ＝AP －OQ ＝t ，则122＋t 2＝(16－t )2，解得t ＝3.5.∴P (7，12)，Q (3.5，0)． 当PQ ＝PC 时，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M.由题意，得QM ＝t ，CM ＝16－2t ，则t ＝16－2t ，解得t ＝163.∴P (323，12)，Q (163，0)． 综上所述：P 1(7，12)，Q 1(3.5，0)；P 2(323，12)，Q 2(163，0)．2．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是线段AD 上一动点(不与点D 重合)，PO 的延长线交BC 于点Q.(1)求证：四边形PBQD 为平行四边形；(2)若AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度向点D 匀速运动．设点P 运动时间为t s ，问四边形PBQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，OD ＝OB.∴∠PDO ＝∠QBO.在△POD 和△QOB 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠QBO，OD ＝OB ，∠POD ＝∠QOB，∴△POD≌△QOB (ASA )．∴OP ＝OQ.又∵OB ＝OD ，∴四边形PBQD 为平行四边形．(2)四边形PBQD 能够成为菱形．点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t )cm . 当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t )cm . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90 °. 在Rt △ABP 中，AB ＝3 cm ，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝(4－t )2，解得t ＝78. ∴点P 运动时间为78s 时，四边形PBQD 为菱形． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级下学期第18章平行四边形——动点问题
1、如图，在边长为4的菱形
ABCD 中，BD=4，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE 、EF 、FB ．
（1）试探究BE 与BF 的数量关系，并证明你的结论； （2）求EF 的最大值与最小值．
2、在四边形ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1cm/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3cm/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。
假设运动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ ,
3、如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从
A 开始沿折线A —
B —
C —
D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？
A B
C
D P
Q
A
M O F N E
B C D
4、如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。
（1）求证：EO FO =；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
5、（1）如图1，纸片□ABCD 中，AD ＝5，S □ABCD ＝15，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE ，将它平移至△DCE '的位置，拼成四边形AEE 'D ，则四边形AEE 'D 的形状为（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE 'D 中，在EE '上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF ，剪下△AEF ，将它平移至△DE 'F '的位置，拼成四边形AFF 'D ．
①求证：四边形AFF 'D 是菱形；②求四边形AFF 'D 的两条对角线的长。
C B A
E E'D
E E'
F F'D
A
图1 图2
6、在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H （点H 与点D 不重合）．通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于E ，延长EG 交CD 于F ． （1）如图①，当点H 与点C 重合时，可得FG FD ．（大小关系）
（2）如图②，当点H 为边CD 上任意一点时，猜想FG 与FD 的数量关系，并说明理由． （3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF 的长。
7、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC。
（1）求证：OC平分∠ACB；（2）若AC＝5，BC＝7，求CO的长。
8、如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC、BD相交于点O；
（1）求边AB的长及菱形ABCD的面积；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF，判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由。
（3）求（2）中△AEF的面积的最小值。
9、如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度向点D运动。
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积。
10、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由．
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
11、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系式________；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明。
12、如图，P是等边三角形ABC内一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ。
（1）观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4；5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。
13、（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
14、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，且AD=8，BC=12，E，F是AB，AC的中点。
(1)线段EF=
(2)连接ED，FD，求证：四边形AEDF是菱形。
(3)动点P从B点以2个单位每秒的速度沿BC运动，运动____________秒时，△BEP是直角三角形？。