离散数学简介
自学考试：离散数学复习(一)
自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。
与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。
在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。
本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。
一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。
它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。
二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。
它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。
2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。
3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。
4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。
5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。
三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。
2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。
3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。
4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。
四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。
2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。
3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。
4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。
总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。
对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。
希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。
数学的离散数学与计算几何
数学的离散数学与计算几何离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散对象和离散结构之间的关系。
计算几何则是数学中研究几何图形的性质和计算方法的学科。
本文将讨论离散数学和计算几何的概念、应用以及它们之间的联系与差异。
一、离散数学的定义与应用离散数学是研究离散性质的数学学科，具体包括集合论、逻辑学、图论、代数学等。
它与连续数学相对应，连续数学主要研究无限可分性质的对象，如实数、函数等。
而离散数学研究有限或离散性质的对象，如整数、有限集合等。
离散数学在计算机科学、密码学、人工智能等领域具有广泛的应用。
在计算机科学中，离散数学的集合论和图论等概念被应用于算法设计、数据库管理等方面。
在密码学中，离散数学的数论知识被用于加密算法的设计。
在人工智能领域，离散数学的逻辑学和图论等理论为知识表示与推理提供了理论基础。
二、计算几何的定义与应用计算几何是研究几何图形的性质和计算方法的学科，它利用数学方法来解决几何问题。
计算几何主要研究包括点、直线、平面等几何知识在计算机科学和工程学中的应用。
计算几何主要应用于计算机图形学、计算机辅助设计等领域。
在计算机图形学中，计算几何的几何变换、投影算法等被应用于图形渲染、三维建模等方面。
在计算机辅助设计中，计算几何的曲线设计、体素建模等方法被用于工程设计、产品设计等。
三、离散数学与计算几何的联系与差异离散数学与计算几何在一定程度上是相互关联的。
在计算几何中，离散数学的概念和方法常常被用于描述和解决问题。
比如，利用离散数学的图论概念可以表示和计算几何中的网络结构和路径问题。
然而，离散数学和计算几何也存在一定的差异。
离散数学主要关注离散对象的性质和结构，而计算几何则更加注重几何图形的计算方法和应用。
离散数学的理论通常更加抽象和一般化，而计算几何则更加注重实际问题的求解和应用。
总的来说，离散数学与计算几何在数学中都扮演着重要的角色，并在计算机科学和工程学等领域得到广泛的应用。
离散数学和计算几何的联合研究将有助于理论的深入和应用的拓展，促进数学与实际问题的结合与发展。
大学离散数学的基本概念
大学离散数学的基本概念离散数学是一门研究离散对象及其关系的数学学科，与连续数学相对应。
它是现代计算机科学的基础和核心学科，对于计算机算法、数据库、网络通信等领域都有着重要影响。
本文将介绍大学离散数学的基本概念。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是对象的集合及其间的关系。
在离散数学中，我们用符号表示集合，用各种运算法则来描述集合的性质和运算。
比如，我们可以用交集、并集、差集、补集等运算来对集合进行操作。
集合论是离散数学中的一项重要工具，它用于描述离散对象的属性和关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构和数据库的设计与实现。
二、逻辑学逻辑学是研究推理和论证的规律的学科，它研究的是命题逻辑、谓词逻辑和命题演算等。
离散数学中的逻辑学帮助我们建立正确的思维模型，能够精确地描述数学命题的真假和推理的过程。
在计算机科学中，逻辑学是构建算法和验证程序正确性的基础。
通过使用逻辑学中的命题演算和谓词逻辑，我们可以对计算机程序进行形式化的推理，从而提高程序的可靠性。
三、图论图论是研究图和图的性质的数学分支，它研究的是由一些点和连接这些点的边构成的图形。
在离散数学中，图论用来描述对象之间的关系和相互作用，是离散数学中的一个重要分支。
图论在计算机科学中有广泛的应用。
比如，在网络通信中，我们可以用图模型来描述计算机网络的拓扑结构和通信路由；在社交网络中，我们可以用图模型来表示人与人之间的关系；在电路设计中，我们可以用图模型来描述电路的连接和功能。
四、排列与组合排列与组合是研究事物排列和选择方式的数学分支，它研究的是如何选取和安排对象，以及如何计算对象的数目。
在离散数学中，排列与组合用来计算离散对象的排列方式和组合数目，具有广泛的应用场景。
在计算机科学中，排列与组合被广泛应用于密码学、编码理论和算法设计等领域。
比如，在密码学中，排列与组合用来设计和分析密码算法的安全性；在编码理论中，排列与组合用来设计和分析数据的压缩和纠错算法。
离散数学(第一讲)
一、离散数学介绍离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
离散数学常常被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
其中各部分内容在本书中又有如下涉及：1．集合论部分：集合及其运算(3.1)、二元关系(3.2)与函数(3.5)、自然数及自然数集、集合的基数注：集合这个概念比较了解，在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。
这是康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 给出的基数概念。
他最先考虑的是集合{1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。
那何谓两个集合有相同数目的元素？康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来，若能做到，两个集合的基数自然相同。
这个答案虽然简单，却起到了革命性的作用，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。
2．图论部分(第5章)：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3．代数结构部分（第6、7章）：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理组合数学在本书中没有介绍，而关于组合数学的问题却是十分有趣的，可以供大家思考一下。
离散数学-详解
离散数学-详解离散数学（Discrete Mathematics）目录• 1 什么是离散数学• 2 离散数学的发展• 3 离散数学与现代信息技术• 4 参考文献什么是离散数学离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，离散数学是数学几个分支的总称，研究基于离散空间而不是连续的数学结构。
更一般地，离散数学被视为处理可数集合（与整数子集基数相同的集合，包括有理数集但不包括整数集）的数学分支。
与光滑变化的实数不同，离散数学的研究对象———例如整数、图和数学逻辑中的命题———不是光滑变化的，而是拥有不等、分立的值。
离散数学中的对象集合可以是有限或者是无限的。
特别是，有限数学一词通常指代离散数学处理有限集合的那些部分，特别是在与商业相关的领域。
包括基本的概率论、线性规划、矩阵和行列式的理论。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学等必不可少的科研基础。
离散数学的发展历史上，离散数学涉及各个领域的一系列挑战性问题。
在图论中，大量研究的动机是企图证明四色定理。
这些研究虽然从1852年开始，但是直至1976年四色理论才得到证明，是由肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯大量使用计算机辅助来完成的。
在逻辑领域，大卫·希尔伯特于1900年提出的公开问题清单的第二个问题是要证明算术公理是一致的。
1931年，库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的———至少算术本身不可能。
大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。
1970年，尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。
第二次世界大战时盟军基于破解纳粹德军密码的需要，带动了密码学和理论计算机科学的发展。
英国的布莱切利园因而发明出第一部数字电子计算器———巨像计算机。
离散数学知识点
离散数学知识点
离散数学是数学中的一种分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象，
例如集合、图论和组合数学等内容。
以下是一些离散数学的知识点：
1. 集合和函数：集合是离散数学的基础，函数是一种映射关系。
2. 逻辑和证明：逻辑用于建立数学理论的形式化方法，证明是验证数学结论的
方法。
3. 数论：研究整数和整数间的关系，包括质数、素数、最大公约数、最小公倍
数等。
4. 图论：研究图和网络的数学理论，包括图的表示、遍历、最短路径和树等。
5. 组合数学：研究离散结构的组合和计数问题，包括排列、组合、二项式系数等。
6. 计算理论：研究计算算法和计算机科学的理论基础，包括自动机、形式语言
和复杂性理论等。
7. 数值方法：研究数值计算的方法和理论，包括数值逼近、数值微积分和矩阵
计算等。
8. 离散优化：研究离散问题的最优解，包括线性规划、整数规划和组合优化等。
9. 随机模型：研究随机事件和概率论，包括随机过程、马尔可夫链和随机算法等。
10. 图形理论：研究图形的美学、结构和性质，包括图像处理、计算机视觉和
图形学等。
离散数学课程
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
离散数学与算法思想
离散数学与算法思想离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及其性质和关系的数学理论。
在计算机科学领域，离散数学是一门基础学科，与算法设计和分析密切相关。
离散数学与算法思想的结合，对于计算机科学领域的学习和研究具有重要意义。
本文将从离散数学的基本概念入手，探讨离散数学与算法思想的关系，以及它们在计算机科学中的应用。
一、离散数学基本概念离散数学是研究离散对象的数学理论，与连续数学相对应。
离散对象是指不连续、不可数的对象，如整数、图、集合等。
离散数学的基本概念包括集合论、图论、逻辑、代数结构等内容。
1. 集合论集合论是离散数学的基础，研究集合及其元素之间的关系。
集合论中常用的概念包括并集、交集、补集、子集等。
集合论为算法设计提供了基本的思维工具，例如利用集合的交、并运算来实现数据的筛选和整合。
2. 图论图论是研究图及其性质的数学理论，图由节点和边组成，用于描述对象之间的关系。
图论在算法设计中有着广泛的应用，如最短路径算法、网络流算法等都是基于图论的理论基础。
3. 逻辑逻辑是研究推理和论证的学科，离散数学中的命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学的重要分支。
逻辑在算法设计中起着决定性的作用，通过逻辑推理可以验证算法的正确性，保证算法的有效性。
4. 代数结构代数结构是研究代数系统的数学分支，包括群、环、域等代数结构。
代数结构在算法设计中有着重要的应用，例如密码学中的置换群、线性代数中的矩阵运算等都是基于代数结构的理论基础。
二、算法思想与离散数学的关系算法是解决问题的方法和步骤的有限序列，是计算机科学的核心内容。
算法设计和分析是计算机科学中的重要课题，离散数学为算法设计提供了理论基础和方法论支持。
1. 离散数学与算法的联系离散数学中的集合论、图论、逻辑等概念为算法设计提供了基本工具和思维模式。
例如，利用集合的交、并运算可以实现数据的筛选和整合；利用图论的最短路径算法可以解决网络中的路径规划问题；利用逻辑推理可以验证算法的正确性。
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数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
– 18世纪著名古典数学问题之一 – 东普鲁士的哥尼斯堡城，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位
于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来 – 战争期间，破坏这七座桥。设想用一辆装载炸药的车，每过 一桥便炸毁该桥，车无法从原桥驶回 – 设计一种行驶路线的方案，要将七座桥都这样炸毁，不许遗 漏一座桥
– 某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己
理发的人理发。那么就产生了一个问题：理发师究 竟给不给自己理发？如果他给自己理发，他就是自 己理发的人，按照他的原则，他又不该给自己理发； 如果他不给自己理发，那么他就是不自己理发的人， 按照他的原则，他又应该给自己理发。这就产生了 矛盾。
数理逻辑
离散数学与计算机科学的关系
离散数学是计算机科学的理论基础 计算机的理论模型是离散的图灵机 本质上计算机只处理离散对象，但可通过近似和模拟 等手段处理连续对象（如求极值问题） 现代计算机越来越多地用于处理离散对象 离散数学在计算机科学中直接有用，是计算机科学的 工具
离散数学与计算机科学的关系
离散数学
南京大学信息管理学院 杨建林
简介
什么叫离散数学？
– 离散：分离，分散（空间）；与连续相对 – 离散对象（量）：不连续的，可分离的，如自然数。不同于
实数对象的集合，有限或可数 – 离散数学是以离散 ( 即非连续 ) 对象的 数量和空间关系 为研究 内容的若干个数学分支的总称。 – 包括数理逻辑、近世代数、古典概率、组合学、图论、集合 论、数论、自动机和形式语言、可计算性和可判定性、离散 几何、代数结构等。
把这个问题转化为数学问题：把东、南、北及岛四区看成四个点，连接它们的七 座桥看成七条通路，如东区与北区由桥3相连，则它们之间有一条通路，南区与 北区没有桥直接相连，则它们之间就没有直接的通路。 以A代表岛区，B，C，D分别代表北、东、南三区，把这四个点和连接它们的代表 七座桥的通路在图上画出来，就得到图(2)． 问题可以叙述为：以A，B，C，D这四点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔 便将上面的图形画出来 一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇 点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。
离散数学
一 命题逻辑 二 谓词逻辑 三 集合论 四 图论 教材：耿素云，屈婉玲，离散数学，高教出版社， 2004
数理逻辑
逻辑一词源于希腊文，意思指：词、思想、理 性、规律等。 逻辑学研究的是：判别一个推理过程是否正确 的标准。 数理逻辑也叫符号逻辑，即用人工符号来书写 逻辑法则，它是一门涉及数学、逻辑学、哲学 等学科的横向交叉学科。
悖论的提出，促使许多数学家去研究集 合论的无矛盾性问题，从而产生了数理 逻辑的一个重要分支—公理次数学危机
– 毕达哥拉斯学派证明了勾股定理，由此发现
一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整 数之比（不可通约）
无穷小是零吗？---第二次数学危机
– 龟兔赛跑，“兔子永远追不上乌龟”
离散数学的由来与发展
离散数学是随着计算机科学与技术的产生发展和应用 领域的不断发展而逐步形成和发展起来的一门新兴学 科，作为一门课程开设于上世纪70年代初。
4
简介
数论举例：费马大定理
x n y n z n (n 3)
勾股定理：特例32+42=52
简介
图论举例： 欧拉的七桥问题
简介
“ 离散”和“连续”之间的对立与统一是数学发展的
重要动力之一. 古代数学主要讨论整数等离散与离散化了的数量关系， 因而，那时数学被看成是研究上述数量关系的科学. 但随着数学理论的发展，处理离散数量关系的数学工 具在刻画和处理某类事务方面显得无能为力，因此出 现了处理连续数量关系的数学工具：微积分.
数理逻辑
集合论的产生是近代数学发展的重大事件
– 集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是
数学的基础 – 在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上 的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的 悖论引起。（悖论就是逻辑矛盾） – 罗素悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。
数理逻辑
罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很 有名的例子就是“理发师悖论”：