2020年高三理科数学一轮复习课件：统计案例

（2） 像下表所示列出两个分类变量的频数表， 称为___________. 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1， y2 }，其样本频数列联表（称为 2× 2 列联表）为 y1 x1 x2 a c y2 b d 总计 a+b c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d 构造一个随机变量 K2=___________， 其中 n=a+b+c+d 为样本容量. 如果 K2 的观测值 k≥k0，就认为“两个分类变量之间有关系” ；否 则就认为“两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的 k0 为一个判 断规则的临界值.按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系” 错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过 P（K2≥ k0）.上面这种利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方 法称为___________.
在回归分析中，代表了数据点和它在回 归直线上相应位置差异的是( A．总偏差平方和 C．回归平方和 ) B．残差平方和 D．相关指数 R2
解：残差平方和描述了数据点和它在回归直线 上相应位置的差异，故选 B.
设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系， 它们 ^ 的相关系数是 r，y 关于 x 的回归直线的回归系数为b， ^ 回归截距是a，那么必有( ) ^ ^ A.b与 r 的符号相同 B.a与 r 的符号相同 ^ ^ C.b与 r 的符号相反 D.a与 r 的符号相反
类型三
独立性检验的相关概念
(1)想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别 有关，应检验( ) A．H0：男生喜欢参加体育活动 B．H0：女生不喜欢参加体育活动 C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关 D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解： 独立性检验中的假设是喜欢参加体育活动与性别无关， 当我们拒绝喜欢参加体育活动与性别无关时，喜欢参加体育活 动与性别就相关了．故选 D.
解： 因为 6.669 与附表中的 6.635 最接近， 所以得到的统 计学结论是：有 1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性 别与是否支持该活动有关系”．故填 99.
类型一
回归分析的相关概念
)
(1)在线性回归模型 y＝bx＋a＋e 中，下列说法正确的是( A．y＝bx＋a＋e 是一次函数 B．因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的
解：②中 R 越大，拟合效果越好；③中回归直线 同样可以远远偏离变异点；①④正确．注意④，e 是 随机变量，其方差衡量预报精度．故选 B.
2
【点拨】回归模型的诊断主要是看残差图上、 下是否大致均匀分布． 另外相关指数 R 也决定着模 型拟合的优劣，R 越大，模型拟合效果越好．而随 机误差 e 满足 E(e)＝0，D(e)＝σ ，σ 越小，线性 回归模型预报真实值的精度越高．
自查自纠
1. (2) 随机误差 0 高 (3)（ x ， y ）
i
ˆi (4) yi y
(y
i 1
i
n
ˆi )2 y
( y
(5)1－
i 1 n i 1
n
ˆi )2 y
越小 越好 越大 越差 贡献率 越好
2 ( y y ) i
2．(1)分类变量 (2)列联表 n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 独立性检验
C．因变量 y 除了受自变量 x 的影响外，可能还受到其他因素的影响， 这些因素会导致随机误差 e 的产生 D．随机误差 e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随 机误差 e 的产生．
解：随机误差是由除自变量 x 以外的其他因素影响产生．故选 C.
(2)下列四个命题： ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； ②用相关指数 R2 来刻画回归效果， R2 越小， 说明模型拟 合的效果越好； ③散点图中所有点都在回归直线附近； ④随机误差 e 满足 E(e)＝0， 其方差 D(e)的大小可用来衡 量预报精确度． 其中正确命题的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
第十一章 第一章
集合与常用逻辑用语 统 计
11.4
统计案例
1．回归分析 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)线性回归模型用 y＝bx＋a＋e 表示，其中 a 和 b 为模型的未知参数，e 称为____________．它的均值满足 E(e)＝__________，D(e)＝σ2，σ 2 越小，精 度越________． (3)在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)中，回归方 程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
(2)下列说法中正确的是(
下面是一个 2×2 列联表 y1 x1 x2 总计 a 12 b y2 21 25 46 总计 73 37
则表中 a，b 处的值分别为________．
解：因为 a＋21＝73，所以 a＝52.又因为 a＋12 ＝b，所以 b＝64.故填 52，64.
某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和 不支持两种态度)的关系，运用 2×2 列联表进行独立性检验，经 计算 K2＝6.669，则所得到的统计学结论是：有______%的把握认 为“学生性别与是否支持该活动有关系”． 附： P（K2≥k0） 0.100 k0 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828
(w - w)( y y)
i 1 i i 2 ( w w ) i i 1 8
8
108 .8 ^ ^ ＝ ＝ 68， c ＝ y － d w ＝ 563－ 68×6.8 1.6
＝100.6. ^ 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此 y 关 ^ 于 x 的回归方程为y＝100.6＋68 x.
2 指数 R2 ＝ 0.48 ，模型 2 的相关指数 R 1 2＝0.91，则模型 1
的拟合效果更好 D．该回归分析只对被调查样本的总体适用
解：对于 A，r＝－0.89∈[－1，－0.75]，则 y 与 x 具备 很强的线性相关，且为负相关，正确； 对于 B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确； 对于 C， 相关指数 R2 用来衡量两个变量之间线性关系的 强弱，R2 越接近 1，说明相关性越强，反之，相关性越小， 因此 R2 越大拟合效果越好，故不正确； 对于 D， 回归分析只对被调查样本的总体适用， 正确． 故 选 C.
^ β＝
(u
i 1 n
n
i
- u )(ui v)
2 ( u u ) i i 1
^ ^ ，α＝ v －β u .
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型． ^ (2)令 w＝ x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程．由于d＝
(2) x 18 ， y 7 .4 ， xi2 1660 ，
i 1
5
xi yi 620 ，
i 1
5
ˆ 所 以b
x
i 1 5 i 1
5
i
y i 5x y
xi2 5x 2
ˆx 28.1 ， ˆ y b 1.15 ，a
ˆ y
=-1.15x+28.1.

【点拨】用相关指数 R2 来刻画回归效果，R2 越大，说明 模型拟合的效果越好．另外，计算也不能出错．
全国卷Ⅰ ) 某公司为确定下一年度投入某种产品的 ( 2015· 宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位： 千元)的影响． 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1， 2， „， 8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（3）列出残差表： ˆi yi－ y 0 0.3 yi－ y 4.6 2.6 所以
－0.4 －0.4
5
－0.1 －2.4
0.2 －4.4

i 1
5
ˆ i） 2 0.3 ， （ yi y

i 1
（ yi y）2 53.2.
R2 1

i 1 5 i 1
5
ˆ i）2 （ yi y 0.994. 所以， 回归模型拟合效果很好． （ yi y） 2
类型二
回归分析
已知某商品的价格 x(元)与需求量 y(件)之间的 关系有如下一组数据： x y 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3
(1)画出 y 关于 x 的散点图； (2)用最小二乘法求出回归直线方程； (3)计算 R2 的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．
解：(1)散点图如图所示．
的残差，残差平方和为 . （5）相关指数 R2= . R2 越大，说明残差平 方和 ， 即模型的拟合效果 ； R2 越小， 残差平方和 ，即模型的拟合效果 . 在线性回归模型中， R2 表示解释变量对于预报变量变化 的 ， R2 越接近于 1， 表示回归的效果 . 2. 独立性检验 （1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像 这样的变量称为___________.
^ 解：根据b和 r 的定义公式可知 A 正确，故选 A.
对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关 系数比较，正确的是( )
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1<r3 D．r2<r4<0<r1<r3
解：由相关系数定义及散点图所表达含义可知 r2<r4<0<r3<r1，故选 A.
(2)(2016· 长春校级模拟)对两个变量 y 与 x 进行回归 分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn， yn)，则下列说法不正确 的是( ) ．．． A．若求得相关系数 r＝－0.89，则 y 与 x 具备很强 的线性相关关系，且为负相关 B．同学甲根据这组数据得到的回归模型 1 的残差 平方和 e1＝1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型 2 的残差平方和 e2＝2.4，则模型 1 的拟合效果更好 C．用相关指数 R2 来刻画回归效果，模型 1 的相关