2017-2018年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2017-2018学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A=，B={x|2x﹣x2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[0，1） D．（0，1]2．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c等于（）A．4 B．3 C．D．4．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=t•3n﹣1+1，则t=（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．15．（5分）甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮用去1000元钱，乙每次购买1000kg的，谁的购粮方式更合算（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时 B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时 D．20（﹣）海里/小时8．（5分）已知a，b均为正数，且a+b=1，则+的最小值为（）A．24 B．25 C．26 D．279．（5分）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞110．（5分）小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元．（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=x，b=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．D．12．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足，则z=x+2y的最大值是．14．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣7（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=．15．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且=，则=．16．（5分）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD=75°，DC=1，AC=，则AB=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立，又已知t＜0，求t的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知csinA=acosC．（1）求C；（2）若c=，且b=3a，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂拟造一座平面为长方形，面积为200m2的三级污水处理池．由于地形限制，长、宽都不能超过16m，处理池的高度一定．如果池的四周墙壁的造价为400元/m，中间两道隔墙的造价为248元/m，池底的造价为80元m2，则水池的长、宽分別为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？20．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，S n≠0，a1=1，a n+1+2S n S n+1=0．（1）求证：数列是等差数列，并求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．已知．（1）求角B的大小；（2）设T=cos2A+cos2C，求T的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．2017-2018学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A=，B={x|2x﹣x2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1） B．[0，1]C．[0，1） D．（0，1]【解答】解：集合A=={x|﹣3＜0}={x|＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x﹣x2≥0}={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x＜1}=[0，1）．故选：C．2．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选：C．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则c等于（）A．4 B．3 C．D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=4+c2﹣4c•，∴c=4，或c=﹣2 （舍去），故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的前n项和S n=t•3n﹣1+1，则t=（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=t•3n﹣1+1，∴a1=S1=t+1，a2=S2﹣S1=（3t+1）﹣（t+1）=2t，a3=S3﹣S2=（9t+1）﹣（3t+1）=6t，∵a1，a2，a3是等比数列，∴，即（2t）2=（t+1）•6t，解得t=﹣3或t=0．（舍）故选：B．5．（5分）甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮用去1000元钱，乙每次购买1000kg的，谁的购粮方式更合算（）A．甲B．乙C．一样D．不能确定【解答】解：假设两次购买时粮食的单价分别为m，n，则甲的平均价格为：=；乙的平均价格为：=，∵﹣==≥0恒成立，故甲的购粮方式更合算，故选：A．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S 3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时 B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时 D．20（﹣）海里/小时【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，．MN=∴货轮航行的速度v=海里/小时故选：B．8．（5分）已知a，b均为正数，且a+b=1，则+的最小值为（）A．24 B．25 C．26 D．27【解答】解：∵已知a，b均为正数，且a+b=1，∴+=（+）（a+b）=4+++9≥13+2=13+12=25，当且仅当2b=3a时取得等号，故+的最小值为25．故选：B．9．（5分）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．10．（5分）小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元．（）A．B．C．D．【解答】解：∵小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，∴到第10年连本带利应还M（1+P）10元，而第k年还款x元，也还掉了这x元的（n﹣k）的利息，故有数列模型：（1+P）10M=x[（1+P）9+（1+P）8+…+（1+P）+1]，即（1+P）10M=x•，∴每年应还x=．故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=x，b=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．D．【解答】解：∵AC=b=，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为的圆与BA有两个交点，当A=90°时圆与AB相切；当A=时交于B点，也就是只有一解，∴＜A＜，即＜sinA＜1，∵b=，B=，∴由正弦定理得：a=x=，又＜sinA＜1，∴2sinA∈（，2 ），则x取值范围是（，2 ）．故选：D．12．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵S n有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S 20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足，则z=x+2y的最大值是5．【解答】解：画出x，y满足，表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故答案为：5．14．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣7（n∈N*），则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=58．【解答】解：∵a n=2n﹣7，∴n≤3时，a n＜0；n≥4时，a n＞0，∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=5+3+1+1+3+5+…+13=58，故答案为：58．15．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且=，则=．【解答】解：设S3=1，则S6=3，∵等差数列{a n}的前n项和为S n，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，成等差数列，∴S9=6，S12=10，∴=．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD=75°，DC=1，AC=，则AB=．【解答】解：∵在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点，如图，∠BAD=75°，DC=1，AC=，∴∠ADB=60°，∠ADC=120°，cos120°===﹣，解得AD=2，由正弦定理得：=，∴AB==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立，又已知t＜0，求t的取值范围．【解答】解（1）由已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．所以0，5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，，解得：∴f（x）=2x2﹣10x．（2）对任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立等价于2tx2﹣10tx≤2对x∈R恒成立即2tx2﹣10tx﹣2≤0恒成立因为t＜0，所以只需△=100t2+16t≤0所以所以t的取值范围是．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知csinA=acosC．（1）求C；（2）若c=，且b=3a，求△ABC的面积．【解答】解：（1）已知：csinA=acosC．由正弦定理，得，因为sinA≠0，解得，．（2）因为．由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，解得a=1，b=3，△ABC的面积．19．（12分）某工厂拟造一座平面为长方形，面积为200m2的三级污水处理池．由于地形限制，长、宽都不能超过16m，处理池的高度一定．如果池的四周墙壁的造价为400元/m，中间两道隔墙的造价为248元/m，池底的造价为80元m2，则水池的长、宽分別为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？【解答】解：设污水处理水池的长、宽分别为am，bm，总造价为y元，则ab=200，0＜a≤16，0＜b≤16，y=400（2a+2b）+248×2b+80×200=800a+1296b+16000=800a+1296•+16000，（0＜a≤16），易知函数是减函数，所以当时总造价最低．故最低造价为45000元．20．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，S n≠0，a1=1，a n+1+2S n S n+1=0．（1）求证：数列是等差数列，并求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．+2S n S n+1=0，【解答】解：（1）根据题意，a n+1﹣S n+2S n S n+1=0，则有S n+1=2S n S n+1，即S n﹣S n+1变形可得，∴数列是等差数列．由上知数列是以2为公差的等差数列，首项为，∴，∴．∴．综上，（2）由（Ⅰ）知=，∴，∴．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．已知．（1）求角B的大小；（2）设T=cos2A+cos2C，求T的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，，因为sinC≠0，所以sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以，因为0＜B＜π，所以．（2），=，因为，所以，故，因此，所以：．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n=b n﹣1+b n，﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴a n﹣a n﹣1∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．。