欧几里得几何与非欧几何
非欧几何简介Non
非欧几何简介Non
一、欧几里得几何与欧几里得空间
这里的欧氏几何描述二维平面的几何，高维的欧氏几何叫欧几里得空间（三维欧氏几何叫做立体几何）。
一句话概括，欧氏空间是欧氏几何在多维情况下的推广。
所以欧几里得几何又叫平面几何(plane geometry)（两要素：二维、曲率为0），它基于五条公设：
二、欧几里得几何与非欧几何
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波约指出，第五条平行公理不一定在所有的几何情况下都成立，并非几何真理，也就是三角形内角和不一定为180。
基于“三角形内角≠180°”的几何学叫做非欧几何。
以下图为例，在球上的三角形的内角和就大于180°，所以在球上的几何是非欧几何，叫做球面几何(spherical geometry)，它描述的是二维球面(2-dim surface)的几何，而不是包括球内部的球体(ball, solid sphere)。
三、第五公理/平行公理
第五公理为：
它也可以等价为：
如果将公设改为“可引最少两条平行线”引申的几何为罗氏几何（双曲几何）；
如果将公设改为“一条平行线也不能引”引申的几何为黎曼几何（椭圆几何）。
这第五公理的三个版本不能说都错或者都对，只是需要一定条件。
如果（曲面的）曲率=0，原公理成立；曲率＜0，双曲几何的平行公理成立；曲率＞0，椭圆几何的平行公理成立。
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
数学中的非欧几何与应用知识点
数学中的非欧几何与应用知识点数学作为一门学科，其中的几何学一直以来都是研究空间、形状和变换的重要分支。
而欧几里得几何作为传统几何学的基础，主要研究了平面和空间中的几何关系和性质。
然而，19世纪的数学家们通过对平行公设的思考和推翻，引入了非欧几何的概念，开辟了几何学的新篇章。
本文将介绍非欧几何的概念、基本理论和应用知识点。
一、非欧几何的概念和分类非欧几何是与欧几里得几何相对应的一个几何学分支，它不满足欧几里得几何中的平行公设。
根据非欧几何的不同特性，可以将其分为以下两种类型：1. 椭圆几何椭圆几何是一种非欧几何，其中的平行公设被取否定，即不存在平行线。
相反，任意两条直线在某一点处相交。
椭圆几何主要研究了曲率为正的几何空间，如球面。
2. 双曲几何双曲几何也是一种非欧几何，其中的平行公设被替换为双曲公设，即通过一点外一直线的平行线可以有无数条。
相比于椭圆几何，双曲几何研究的是曲率为负的几何空间。
二、非欧几何的基础理论非欧几何的基础理论包括非欧空间、非欧几何公设和非欧运动等。
1. 非欧空间非欧空间，也称为开平面，是非欧几何的基础。
它是一个无穷大的平面空间，没有边界和界限。
在非欧空间中，平行线不再存在，给几何学带来了全新的视角。
2. 非欧几何公设非欧几何的公设与欧几里得几何不同。
非欧几何中的公设包括反证法、证明方法和平行公设的改变等。
其中最为重要的是改变平行公设，也是区分椭圆几何和双曲几何的关键因素。
3. 非欧运动非欧运动是指在非欧几何中的刚体运动。
在椭圆几何和双曲几何中，刚体在空间中的平移、旋转和翻转等运动被重新定义，不再满足欧几里得几何中的性质。
三、非欧几何的应用知识点非欧几何在现实生活中有着广泛的应用，特别是在相对论、地理学和计算机图形学等领域。
1. 相对论相对论是物理学中的一项重要理论，其中的时空观念受到了非欧几何的影响。
爱因斯坦的相对论通过引入非欧几何的概念，重新定义了时空的结构，改变了传统的欧几里得空间观念，从而对现代物理学产生了深远影响。
时空几何｜欧几里德（平面）几何非欧几里德（双曲、椭圆）几何
时空几何｜欧几里德（平面）几何非欧几里德（双曲、椭圆）几何数学研究的对象是“数”与“形”，形的数学就是几何学．它是以直观为主导，以培养人的空间洞察力与思维为目的．从数学发展的历史来看几何学的第一个最重要著作就是欧几里得(Euclid，约公元前330一275年)的《几何原本》．它被世界各国翻译成各种文字．它的印刷量仅次于“圣经”，所以不少人称《几何原本》为数学工作者的“圣经”。
《几何原本》在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位。
1 欧几里德几何（Euclid Geometry）－平面欧氏几何源于公元前3世纪。
古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”(欧几里得空间)。
Euclid(约公元前330一275) ↑在欧几里德以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。
欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，标志着欧氏几何学的建立。
这部划时代的著作共分13卷，465个命题。
其中有八卷讲述几何学，包含了现今中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对诸定理的出色证明。
真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。
我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。
这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”即是一例。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。
在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。
浅谈欧式几何与非欧几何公理的正确性
浅谈欧式几何与非欧几何公理的关系摘要：非欧几何是人们在不断研究欧式几何的过程中，不断发展起来的又一套几何公理体系，它包括罗氏几何、黎曼几何、拓扑几何等许多部分，在解决非人们日常经验所不能理解的问题时有重大意义。
不过，在度过了最初的探索期之后人们开始重新审视非欧几何与欧式几何间的关系，抑或是说，哪种几何是真的？本文即是对这一问题进行初步的探讨。
关键词：欧式几何非欧几何公理化方法实践意义一、概述欧几里德几何简称“欧氏几何”，是为几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，并在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
欧式几何的五条公设是：1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延伸成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
而在其公理体系中，最重要的是平行公理，但由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
比如，罗巴切夫斯基认为：第五公设不能被证明；在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
黎曼认为，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π，等等。
从通常意义上来说，非欧几何指的是罗氏几何和黎曼几何。
面对这样一种状况，我们不禁要提出一个问题：三种几何在逻辑上都能自圆其说，但是，哪种几何是真的呢？这个问题，如果从纯数学的角度来说，三种几何都可以说是真的。
因为不论是欧式几何、罗氏几何还是黎氏几何，只要它的公理是成立的，由此推出的定理就是成立的。
所以，这里的“真”，不过是其逻辑上不自相矛盾罢了。
不过，这个论据本身就是需要证明的，也就是说哪种公理公设是真的呢？二、公理公设1、历史上人们对公理认识的变化(1)、唯心主义者认为：公理是人的先天洞察，是上帝给人的启示，是人对理念的认识，等等，是作为一种客观精神存在的；(2)、唯物主义者认为：公理来自于人对客观世界规律性的认识，是经验的总结与升华；(3)、二元论者认为：公理是人用先天的感知能力对经验总结的结果。
欧几里得几何与非欧几里得几何之间的关系
欧几里得几何与非欧几里得几何之间的关系欧几里得几何和非欧几里得几何是两个不同的数学分支，它们通过研究空间和几何形状之间的关系，在数学领域做出了巨大贡献。
虽然它们有着不同的基本假设和公理系统，但它们之间存在一些有趣而重要的联系。
欧几里得几何，也称为平面几何，是基于欧几里得公理系统而建立的几何学。
它以欧几里得公理为基础，包括了诸如平行公理、共线公理等，并通过这些公理推导出其他几何定理。
欧几里得几何的研究范围主要涉及二维平面和三维空间中的几何形状，如点、线、角、面等。
这个分支的主要目标是研究空间内物体之间的关系，如距离、形状、相交等，并通过推导出的定理来描述这些关系。
与欧几里得几何不同，非欧几里得几何是建立在不同公理系统基础上的几何学。
它包括了不满足欧几里得公理的几何系统，其中最著名的是黎曼几何和庞加莱几何。
黎曼几何是非欧几里得几何的一种形式，它引入了曲率的概念，并对平行线的概念进行了重新定义。
在黎曼几何中，平行线不再保持严格平行，而是随着曲率的变化而可能相交。
庞加莱几何是另一种非欧几里得几何的形式，其特点是没有平行线的概念，所有线都是相交的。
尽管欧几里得几何和非欧几里得几何是两个独立的数学分支，但它们之间存在一些联系和相互影响。
首先，非欧几里得几何的发展源于对欧几里得几何公理系统的质疑和挑战。
19世纪末，数学家们开始研究在非欧几里得公理系统下的几何学，并发现了与欧几里得几何不同的几何规律。
这种挑战促使数学界重新审视和理解几何学的基础。
其次，欧几里得几何和非欧几里得几何在某些方面也存在一些相似之处。
虽然它们的公理系统和推演规则不同，但它们都在探索空间和形状的性质方面发挥作用。
例如，在欧几里得几何中，我们研究了平行线的特性，而在非欧几里得几何中，我们研究了曲线和曲率。
这些研究都为我们提供了对几何空间的不同看法，拓宽了我们对空间结构的认识。
此外，欧几里得几何和非欧几里得几何在应用领域也存在一些交叉。
欧几里得几何在物理学、工程学和地理学等领域中得到了广泛的应用，帮助我们研究和解释物体之间的相对关系。
几何形的非欧几何探索非欧几何与几何形的关系
几何形的非欧几何探索非欧几何与几何形的关系在传统的欧几何中，我们熟悉的几何形包括了点、线、面、体等等。
这些几何形的属性和关系都是由欧几里得的公设体系所确定的。
然而，19世纪，数学家们开始思考一种完全不同的几何系统，即非欧几何。
非欧几何在很大程度上挑战了欧几里得的公设体系，提出了一种与我们直觉相违背的几何观念。
本文将探索非欧几何与几何形的关系，并分析非欧几何对传统几何学的冲击。
首先，我们来看非欧几何与点的关系。
在欧几里得几何中，点是最基本的几何元素，是没有大小和形状的。
然而，在非欧几何中，点被赋予了一些特殊的性质。
以双曲几何为例，双曲平面上的点是按照离散的方式排列的，且点之间的距离是有限的。
这与欧几里得几何中点的连续性和无限性相悖。
因此，非欧几何对点的概念进行了重新定义，其性质与欧几里得几何存在着明显的区别。
接下来，我们来看非欧几何与线的关系。
在欧几里得几何中，直线是由无穷多个点组成的集合，它没有宽度和长度。
然而，在非欧几何中，直线的定义发生了一些变化。
以椭圆几何为例，椭圆几何中的直线被定义为连接两个不同点的最短路径，而这条路径不一定是直的。
这种对直线的重新定义打破了欧几里得几何中对直线的固有理解。
此外，非欧几何与面的关系也是非常重要的。
在欧几里得几何中，面是由直线组成的，其属性由几何公设所决定。
然而，在非欧几何中，面的形状和性质与欧几里得几何存在着明显的差异。
以球面几何为例，球面几何中的面是由一些弧线所围成的，这些弧线被称为“大圆”。
与欧几里得几何中平面的性质相比，球面几何中的面的性质更加复杂和特殊。
非欧几何对几何形的重新定义和重新解释，使我们对几何学有了全新的认识。
我们不再局限于欧几里得几何的框架和公设体系，而是能够思考更加广义的几何空间和几何形。
这种非欧几何观念的引入，拓宽了我们对几何学的理解和应用。
总结起来，非欧几何与几何形的关系可以被看作是一种对传统几何学观念的冲击和变革。
非欧几何对点、线和面的概念进行了重新定义，使我们对几何形的性质和关系有了全新的认识。
数学的三大核心领域几何学范畴
数学的三大核心领域几何学范畴数学的三大核心领域——几何学范畴1、初等几何在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。
“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。
例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后;然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。
这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。
定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。
因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。
公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。
后来印度人制作了正弦表;阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念;赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。
我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式;还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。
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欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。
1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。
十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。
从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
对几何从经验上升到理论作出重要贡献的有毕达哥拉斯学派。
他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质有出色的研究。
雅典的巧辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研究中心。
柏拉图是那个时代影响最大的哲学家。
柏拉图及其后继者把数学概念看作抽象图。
柏拉图说数学概念不依赖于经验而自有其实在性。
它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。
他是第一个把严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。
柏拉图学派的最重要发现是圆锥曲线。
还对不可公度量作过一些研究。
这些都为欧几里得的研究开辟了道路。
欧多克斯是古希腊时代最大的数学家，他在数学上的第一个大贡献是关于比例的一个新理论，后被欧几里得创造性地应用于《几何原本》之中。
亚里士多德用以证明存在性的方法均被欧几里得所继承。
亚里士多德也讨论数学的基本原理。
他认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理。
这一点欧几里得在构造几何公理与公设时得到了应用。
逻辑学的创立是亚里士多德的一个重要贡献。
欧几里得的《几何原本》的逻辑论证体系，很大程度得益于亚里士多德的逻辑学。
（二）欧几里得的《几何原本》欧几里得的《几何原本》是古希腊的几何知识的精华和大全，是对以往儿何知识的全面总结，爱因斯坦把它叫做“宏伟的大厦”。
《几何原本》首先摆出定义、公理、公设，从简到繁地导出了定理。
在欧几里得几何中，公理成了推出几何定理的一种思想规定，并且由这些公理和公设及传统的形式逻辑一起构成了公理化几何学的框架，公设则给出了构造几何图形的一般规定。
这样一来，欧几里得公理方法同时又是一种构造方法。
公理方法突出地证明了实践高于理论的选理。
公设、公理正是这种实践检验的直接产物，正是由此才建立起整个欧几里得几何学大厦。
也正是由于在方法论上欧几里得几何把外在物理空间直观绝对化了，这又使它并末停在感性直观和实践基础的简单形态上。
因此, 欧几里得的《几何原本》也是一个标志, 从它开始几何学由原始起源的测量技术的经验积累，转向了系统化、公理化的发展。
正是《几何原本》在使用公理方法的基础上所建立的演绎体系，使欧几里得几何成了几何发展史上的一个里程碑，其意义正如冯·诺伊曼所说: “欧几里得从公设出发的处理方法，标志着脱离经验主义的伟大的一步，可见《几何原本》是一部内容非常丰富逻辑上异常严谨毓几何学著作，是二千多年以前最早成热的数学著作，这使它有很强的生命力，一直到十九世纪都是人们学习和研究几何学的经典著作。
欧几里得在《几何原理》中给出了5条公设，其中给前四条人们认为简单明了，符合亚里士多德关于公理“自明性”的要求，唯独第五公设及所谓“平行公设”：“如两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同侧内角之和小于两直角则这两直线无限延长之后必相交于该侧的一点”，不仅文字表达要比前四个公理啰嗦，而且所阐述的事实也不是那么的简单明了，其欧几里得也对这一公设似乎也不太满意。
例如在《几何原本》的第一卷共有48条命题，其中前28条命题的证明，欧几里得都回避了第五公设，只有在第29条命题的证明中才不得不应用了一次，这也是唯一的一次应用第五公设，因此可以认为，第五公设问题实际上首先是由欧几里得本人提出来的。
自欧几里得以来，人们总怀疑这一公设本来就是一条定理，只是欧几里得本人无法证明它而已。
后来无数的数学家都曾尝试过证明第五公设，并付出了辛勤的劳动，也有许多数学家曾经宣告自己“证明”了第五公设，但这些“证明”后来或是自己或是被别人发现了毛病——用了第五公设的等价命题。
二、非欧几何的发展（一）问题的提出非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》。
许多数学家对《几何原本》第五公设的证明研究，在思想上、材料上为非欧几何的问世已经做好了充分的准备，这门学科的诞生，就有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的一步，应归功于高斯、波尔约和罗巴切夫斯基三人。
（二）非欧几何的创立——罗巴切夫斯基几何著名的数学家高斯、波尔约与罗巴切夫斯基是非欧几何的创始人，都为非欧几何的创立做出了巨大的贡献，但只有罗巴切夫斯基是最坚定不移地捍卫自己成果的斗士。
罗巴切夫斯基在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外一点可作两条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系。
经过推理后，得出3个结论：（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验；这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶。
（三）非欧几何的发展与确认——黎曼几何非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。
罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标。
1854 年，黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在3维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角。
并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究。
在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率。
他指出对于3维空间，有以下3种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0。
黎曼指出后2种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。
黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在。
它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。
此外，还有许多数学家为非欧几何的发展做出了巨大贡献。
历经2000余年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实。
三、欧几里得几何和非欧几何的辩证关系1.欧几里得几何和非欧几何的差异性欧氏几何和非欧几何是对立统一的关系。
它们的对立是一目了然的, 无论是它们之间的平行公设、定理以及整个几何体系所反映的空间形式，都表现了出来。
欧氏几何和非欧几何最根本的分歧在于平行公设的不同，其他一切区别都是由它派生出来的。
由于平行公设的对立，这就决定了各自包含一些相互对立的定理。
例如欧氏几何的定理说,三角形内角之和为两直角，罗氏几何定理却说，三角形内角之和小于两直角；欧氏几何证明，直线若与一角的一边相交，必与另一边也相交，罗氏几何却证明,对一角的一边作垂线可以不交另一边；欧氏几何认为，不在一直线上的三点可作一园, 罗氏几何却认为存在不可能作外接园的三角形，欧氏几何定理指出，两平行线被一直线所截，内错角相等，罗氏几何定理恰恰相反，认为两平行线被一直线所截，内错角不相等，如此等等。
欧氏几何和非欧几何所反映的现实空间也是不同的。
欧氏几何所反映的是没有重力场的“平直”空间( 实际上是重力场很弱,只是近似地看作无重力场作用)，牛顿力学和狭义相对论所讨论的空间就是这种空间：而非欧几何(主要是黎曼几何) 所反映的是有重力场的“弯曲”空间，广义相对论讨论的空间就是这种空间。
2. 欧氏几何和非欧几何的同一性欧氏几何和非欧几何不但是对立的，同时又是相辅相成、相互联系、相互转化、两极相通，具有同一性。
首先从欧氏几何和罗氏几何的出发点来看，它们的区别仅仅在于“平行公设”的不同，其他公设或公理完全相同。
因此，从这两种几何学的出发点来看，确实既具有对立的一面，又具有统一的一面。
其次，从希尔伯特公理体系来看，由它们的辈部五组公理的前四组公理—一结合公理、顺序公理、台同公理、连续公理得出的全部几何结论，构成绝对几何学，而它的全部定理在欧氏几何或罗氏几何中都是成立的，因为这些定理部是独立的，不依赖于平行公理。
再次，从欧氏几何到非欧几何的历史演变过程中，我们可以看到，欧氏几何孕育着非欧几何是从欧氏几何的母体中脱胎而出，转化而来的。
这个转化过程是相当艰巨和曲折的。
3.欧氏几何和非欧几何的对应性从科学理论发展角度来看，欧氏几何和非欧几何的对立统一，还表现为个别和一般、特殊和普遍的对应关系。