几何学和欧几里得的介绍
欧几里德和《几何原本》
欧几里得 古希腊数学家，以其所
著旳《几何原本》（简称《原本》） 闻名于世．欧几里得将公元前7世纪以 来希腊几何积累起来旳既丰富又纷纭 庞杂旳成果整顿在一种严密统一旳体 系中，从最原始旳定义开始，列出5条 公理和5条公设为基础．经过逻辑推理， 演绎出一系列定理和推论，从而建立 了被称为欧几里得几何旳第一种公理 化旳数学体系．
欧几里德诞生旳重大意义
欧几里德《几何原本》旳诞生在几何学发展旳历史中具 有主要意义。它标志着几何学已成为一种有着比较严密 旳理论系统和科学措施旳学科。
因为欧氏几何具有鲜明旳直观性和有着严密旳逻辑 演绎措施相结合旳特点，在长久旳实践中表白，它已成 为培养、提升青、少年逻辑思维能力旳好教材。历史上 不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了 伟大旳贡献。
再如欧几里德提出了5个公理和5个公设： 公理1 与同一件东西相等旳某些东西，它们彼此也是相等旳。 公理2 等量加等量，总量仍相等。 公理3 等量减等量，余量仍相等。 公理4 彼此重叠旳东西彼此是相等旳。 公理5 整体不小于部分。 公设1 从任意旳一种点到另外一种点作一条直线是可能旳。 公设2 把有限旳直线不断循直线延长是可能旳。 公设3 以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能旳。 公设4 全部旳直角都相等。 公设5 假如一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和不不
欧几里德也反对那种急功近利旳
狭隘实用观点。据说有一次一位 刚开始学几何旳年轻后生，在第 一道命题开讲时，他就提出来： “老师，学了几何有什么用，能 得到什么好处？”欧几里德立即 对身边旳人说：“给他3个钱币， 因为他想在学习中得到实利。” 欧几里德这句话旳意思是：追求 知识旳目旳不应该是取得钱财旳 实利，而应该是追求知识本身。
第五节 几何学的发展
5 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直 角，那么把两直线无限延长．它们将在同旁内角和小于 两直角的一侧相交. 欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论十 碑．它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这 种范式要求一门学科中的每个 命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而 所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被 认为是不证白明的基本原理——公设或公理．这就是后 来所谓的公理化思想。 特点：概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成 立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的 方式易于接受；证明顺序自然；
4.2 发展 德沙格(G．Desargues，1591—1661，法国) 1639年《试论圆锥与平面相交结果》 70多个射影几何术语， 无穷远点，无穷远线。 德沙格定理：“如果两个三角形对 应顶点连线共点，那么对应边的交 点共线，反之也成立” 交比不变性定理；对合；调和点组 线可以看作具有无限长半径的圆的 一部分；焦点相合的椭圆退化为圆； 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物 线等等。
5 非欧几何学（罗氏几何） 5.1 背景 欧几里得第五公设（平行公设）：若一直线落在两直线 上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限 延长．它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。 给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一 条直线与之平行 证明或失败，或循环论证 萨特里（意大利）、吕格尔（德国）、兰伯特（瑞士）
第五节
几何学的发展
1 几何学简介 2 欧几里得几何学 3 解析几何 4 射影几何学 5非欧几何学 6 黎曼非欧几何 7 拓扑学 8 几何学的统一
1 几何学简介
几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。 中文“几何”一词，为明代徐光启所创，希腊语原意为 “测地术”。 几何学的发展： 欧几里得几何学（约公元前300年）； 解析几何学（17世纪）； 射影几何学（18世纪）； 非欧几何学（19世纪）； 微分几何学（19世纪）； 黎曼几何学（19世纪）； 拓扑学（19世纪）； 代数几何学（20世纪）； 分形几何（20世纪）
欧几里得几何学
2.欧几里得——公理化思想的先驱
欧几里得 （Euclid, 约公元 前 330--- 前 275 年 ） 是古希腊亚历山 大里亚时期的著 名数学家。
新课程现代数学——《分形几何简介》
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2.欧几里得——公理化思想的先驱
欧几里得的创造——《几何原本》 ： 工作：
筛选定义，选择公理，合理编排内 容，精心组织方法。 意义： 奠定了数学的公理化思想。使得数 学结论的可靠性建立在公理之上。
5. 《几何原本》的结构与内容
四种根本性的概念：
(1)定义——几何学中所用的字的意义。如：点、 线、面、体、直角、垂直、锐角、 钝角、平行线等。
(2)公理——适用于一切科学的不证自明的真理。 如：若a=c, b=c, 则a=b
(3)公设——适用于几何学的不证自明的真理。 如：所有直角彼此相等
5. 《几何原本》的结构与内容 (4)命题——包括定理和作图题。定理是 指能够根据假定条件、公理、 公设和定义利用逻辑推理得 到的结论；作图题是指由已 知的几何学对象找出或作出 所求的对象。
玛窦（Matteo Ricci ，1552---1610）于明 朝1607年翻译出前6卷； ➢ 李善兰(1811—1882)和英国传教士伟烈亚 力(A. Wylie, 1815—1887)于清朝1857年翻 译出后9卷。
6. 《几何原本》在中国
意大利传教士 1606 年与徐光启合
作翻译《几何原本》 前 6 卷。
5. 《几何原本》的结构与内容
定义
命题
命题
命题
定义
命题
命题
公理、公设 定义
公理、公设
5. 《几何原本》的结构与内容
五条公理
1. 跟同一件东西相等的东西，它们彼此也是 相等的；
为什么称欧几里德为“几何之父”
为什么称欧几里德为“几何之父”欧几里德，约公元前300年到公元前275年之间，是希腊数学家之一。
他是几何学的创始人，创造了欧几里得几何学体系并写成了《几何原本》这一经典著作，因此也被称为“几何之父”。
以下将简要阐述欧几里德成为几何之父的原因。
首先，欧几里德对几何学的贡献是无可替代的。
几何学的范畴涵盖空间中物体的形状、大小、位置和相互关系等方面。
几何学的核心就是证明，而欧几里得的《几何原本》就是证明几何学的基本定理和公理的著作，故欧几里得的贡献不仅仅是推进了几何学的研究，更重要的是建立了几何学研究的基础，为之后的数学研究提供了坚实的基础。
而且，在早期科学研究都缺乏系统性的基础知识的时期，欧几里得的几何学体系成为了后人学习的模板，被广泛应用于物理、天文等领域。
其次，欧几里得的几何学体系被认为是历史上最重要的几何学体系之一，这也是他被称为几何之父的重要原因之一。
几何学在欧几里得之前已经有过许多完整的体系和成果，但很多定理和公理仍然存在错误或模糊的地方。
欧几里得通过自己的研究，将前人的成果和自己的思考结合起来，建立了一个完整、可靠、系统的几何学体系。
这个几何学体系包括了104条定理，以及五个公理、五个公理陈述之后的通用陈述，“它们、在它们要求之外，没有别的附足物或合意物，只有它们本身”（原文中的陈述约等于“没有别的附加要求或者条件除了这些公理和定理本身”）这一定义。
这个体系，在很长时间内成为了几何学的统一标准，并在很大程度上影响了数学研究的发展。
此外，欧几里得对证明思维方式的建立和发展也是他成为几何之父的原因之一。
几何学依赖于证明，而证明的方式通常是基于一些基本原理推导出新的结论。
欧几里得在其《几何原本》中，阐述了严谨证明和逻辑推理的重要性，并将其作为一个基本思维方式放到了几何学中。
他通过数学归纳法、牛顿芝诺法、直接证明法等方法，让几何证明的过程变得更加简洁明了。
这种严谨证明的思想和方式，成为了后来数学证明的基本方法，不仅让几何学在数学研究中更为重要，同时也对证明思维方式的推广和发展做出了重要贡献。
欧几里得平面几何公理
欧几里得平面几何公理欧式几何原理是指欧几里得几何的基本原理和公理。
欧几里得几何是一种传统的几何学，它基于欧几里得的《几何原本》构建。
欧几里得几何主要研究二维平面和三维空间中的几何性质，其中包括点、线、面、角、圆等基本概念，并通过一系列公理来描述它们之间的关系。
以下是欧几里得几何的五条公理（公设）：1.从一点向另一点可以引一条直线。
2.任意线段可以无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这些公理构成了欧几里得几何的基础，通过它们可以推导出许多几何定理和性质。
其中第五条公理被称为平行公理，它描述了平行线的性质。
然而，平行公理并不像其他公理那么显然，它在过去曾经受到质疑。
在19世纪，通过构造非欧几里得几何，人们发现平行公理是不能被证明的。
因此，平行公理可以看作是欧几里得几何的一个假设，而非必然的几何真理。
现代方法中，欧几里得几何的构造通常使用解析几何的方法。
通过解析几何，可以用数学语言和符号来描述几何对象和它们之间的关系。
例如，可以用坐标系来表示点，并使用距离公式来计算点之间的距离。
通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何中的公理和定理。
尽管这种方法没有公理化方法那么漂亮，但它更加简洁直观。
总结起来，欧式几何原理包括以下内容：1.欧几里得几何的五条公理，包括从一点向另一点引一条直线、任意线段可以无限延伸成一条直线、给定线段可以作一个圆、所有直角相等以及平行公理。
2.平行公理是欧几里得几何中的一个假设，无法从其他公理中推导出来。
3.现代方法中，欧几里得几何通常使用解析几何的方法进行构造和证明。
欧几里得与几何原本
以下是欧几里得的五大公设： 公设一：任两点必可用直线连接 公设二：直线可以任意延长 公设三：可以任一点为圆心，任意长为半径画圆 公设四：所有的直角皆相同 公设五：过线外一点，恰有一直线与已知直线平行
欧几里德几何学全部公理： 点是没有部分的 线是平面上只有长度，没有宽度的 直线是可以相两边无限延伸的 过两点有且只有一条直线 平面内过一点可以任何半径画圆 两直线平行，同位角相等 等量+等量和相等 等量—等量差相等 能重合的图形全等 整体大于部分
05数学教育
7号
邹建美
欧几里得(公元前330年～前275年)是古希腊数学家，以其所 著的《几何原本》闻名于世。关于他的生平，现在知道得很少。早 年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。公元前300年左右,在托勒 密王的邀请下，来到亚历山大，并长期在那里工作。 欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整 理收集起来，并且加以系统化，他从少数已被经验证明的公理出发， 运用逻辑推理和数学运算的方法演绎出许多定理，写成了十三卷的 《几何原本》，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。 《几何原本》是古希腊科学的骄傲，它的基本原理和定理直到 现在仍是科学教科书的一部分
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
欧几里得几何学的公理体系
欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”，以及“由到的变换群”所确定的，研究的子集（图形）性质中对于来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交.它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度；（3）线的界是点；（4）直线上的点是同样放置的；（5）面只有长度没有宽度；（6）面的界是线.其次是5个共设：（1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长；（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；（4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等；（3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等；（5）全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍——希尔伯特公理体系：一、结合公理 （incidence axioms ）——结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为 “在上”或“通过”. （1） 对于两点A 、B ，存在通过A 、B 的直线L ； （2） 当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线L 是唯一的；（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4） 对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，存在通过这三点的唯一的一个平面π； （5） 每个平面上至少有一个点；（6） 若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上的每一点都在平面π上； （7） 若两平面1π、2π通过一点A ，则它们必通过 另一点B ；（8） 至少存在4个点不在同一个平面上.二、顺序公理（order axioms ）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为 “在之间”. （1） 若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在A 与C 之间”，则“B 在C 与A 之间”； （2） 对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；（3） 对于在一条直线上L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB的内部，外部） （4） 设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π是 通过三点的平面，也记为ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过A 、B 、C 中的任何一点. 若直线L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线 段AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；（Pasch ，帕施公理）.B • LC •A • L三、合同公理（congruence axioms ）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1） 如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条或另一条直线'L 上，则直线'L 上的点'A 的一侧存在点'B ，使得线段''A B “合同”于AB ， 记为''A B AB ≡；A •B •'L L（2） 线段的合同关系是一个等价关系；AB BA ≡；''A B AB ≡ ⇒ ''AB A B ≡；''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ⇒ ''''''A B A B ≡；（3） 设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内点，又设''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同， 或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；（4） 设平面π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π⊂，并且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上引射线'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一 条射线'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠， 记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；（5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面π上通过同一点O 的 两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上引两条射线，记为k 、h .B •’ A •’A •h 1L (),h k ∠O k2L将这一对射线的所决定的集合称为平面π上的角，记 为(),h k ∠或(),k h ∠；若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此角为AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称 为角(),h k ∠的边.角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π上的直线（π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ， 作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条射线1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.1O • 1k(),h k ∠ ()','h k ∠1h1L② 角的合同关系是一个等价关系；③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在一直线上的三点，如果有B •11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，则必有111ABC A B C ∠=∠.四、平行公理（parallel axioms ）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为 “平行于”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且不与直线L 相交.五、连续公理（continuity axioms ）（1） 对于任意两线段AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、、 n A ，使得1AA 、12A A 、、1n n A A -都合同于线段DC ， 1121n n CD AA A A A A -====， 并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；（2） 一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；（直线的完备性公理）.由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.仿射几何 ——（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ ，满足：（1） PP 等于X 中的零向量；（2） 任给A 中一点P ，任给X 中的向量a ，则在A 中存在唯一的点Q ，使得PQ a =；（3） 对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+；则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量.仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.（二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等.三维仿射空间中A 的仿射坐标系： 设1e 、2e 、3e 是三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基1e 、2e 、3e 表示123m x e y e z e =++，把有序实数(),,x y z 称为向量m 的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基{}123,,e e e ，合在一起{}123;,,O e e e 称为空间的一个仿射坐标系 （也称为仿射标架）. 也常用记号123OM m x e y e z e ==++.仿射坐标系中的1e 、2e 、3e 只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.仿射变换： 设仿射空间A 中有两组仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 、{}123:';',','II O e e e ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 中的坐标为()000,,x y z ，'j e 在{}123:;,,I O e e e 中的坐标为 ()123,,,1,2,3j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的点的仿射坐标变换公式： 设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为(),,x y z 、()',','x y z ， 则111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ② {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的向量的仿射坐标变换公式： 设向量OM 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、 ()123',','u u u ，则111121312212223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.射影几何 ——（一） 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称 它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.欧几里得几何学的公理体系在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.11 / 1111。
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六一班 王奕衡
什么是几何学？
• 几何学，简称几何，是研究空间区 域关系的数学分支。“几何学”这 个词，是来自阿拉伯文，原来的意 义是“测量土地技术”。“几何学” 这个词一直沿用到今天。在我国古 代，这门数学分科并不叫“几何”， 而是叫作“形学”。“几何”二字， 在中文里原先也不是一个数学专有 名词，而是个虚词，意思是“多 少”。比如三国时曹操那首著名的 《短歌行》诗，有这么一句：“对 酒当歌，人生几何？”这里的“几 何”就是多少的意思。是谁 把“几 何”一词作为数学的专业名词来使 用的，用它来称呼这门数学分科的 呢？他是明末杰出的科学家徐光启。
பைடு நூலகம்
欧几里得是谁？
• 欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元 前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他 活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时 期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧 洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认 为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于 透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
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几何学的分类
• 平面几何 立体几何 非欧几何 罗氏几何 黎曼几何 解析几何 射影几何 仿射几何 代数几何 微分几何 计算几何 拓扑学 分形几何 几何学可以分为13种，个名称在上方
哪些图形是几何图形？
• 平面几何： 正方形 长方形 三角形 四 边形 平行四边形 菱形 梯形 圆 扇形 弓 形圆环 立体几何： 立方体长方体 圆柱 圆台 棱柱棱台圆锥 棱锥