这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
数学物理中的黎曼几何
数学物理中的黎曼几何黎曼几何是现代数学物理领域的一项重要分支，涵盖了许多领域，例如广义相对论、量子场论和拓扑学等。
黎曼几何的研究对象是曲面和多维空间的性质和结构，其基本概念是曲率和度量。
它在实际应用中有广泛的应用，从天体物理学到数据分析和机器学习。
1. 曲率曲率是黎曼几何的一个核心概念，它描述了曲面的曲率程度。
曲率可以通过曲面的弯曲程度来计算，弯曲程度越大，曲率也就越大。
黎曼曲率是一种张量，可以对曲面进行全局描述。
在黎曼几何中，曲率常被用来描述空间的形态，对于特殊的空间结构，例如在二维平面上的曲率为零，而在三维球面上的曲率是正的，而在双曲面上的曲率则是负的。
在现代物理学中，曲率起着关键作用，例如在广义相对论中，曲率可以描述重力场的强度和分布。
它也常用于描述物理系统的能量、热力学和互作用强度等现象，从而使我们了解和预测物理现象的本质。
2. 度量度量是描述曲面和空间的基本特性的数学方式，它可以测量曲面的大小和形状。
在黎曼几何中，度量是用来定义曲面或空间的距离概念的，它受到曲率和拓扑的限制。
度量可以用来确定基于欧氏距离的切空间的内积结构，从而使我们能够测量和比较不同点之间的距离。
在数学物理学和计算机科学中，度量在数据分类、模式识别和目标跟踪等应用中也起着重要的作用。
度量可以帮助我们测量和评估各种重要的属性，比如时间序列数据，文本和语音信号等。
3. 黎曼几何的应用黎曼几何和实际应用之间有着许多联系，例如在量子场论和弦理论中，黎曼曲率张量被用来描述了动态空间背景中的弦。
黎曼几何还被用来定义度量空间，这是一种用于跨越的、无界的、不连续的数据的数学结构。
它在数据分析和机器学习中广泛应用，在数据聚类、降维、分类和回归中都有着重要的作用。
总之，黎曼几何是一个涵盖广泛、应用广泛的学科，它的应用领域包括流体动力学、物理学、计算机科学、曲线拟合、统计学和信号处理等。
它们为现代数学和物理学提供了新的研究方法，对解决真实世界中的复杂问题提供了更全面、更深入的理解和创新方法。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
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Y B
A
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X
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Y
X
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
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五、陈省身的贡献
Chern在几何学上做出了巨大贡献， 最为重要的是 Gauss-Bonnet定理高维推广的内蕴证明 纤维丛的陈类（Chern Class)
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两维的Gauss-Bonnet定理
局部公式
2 i kg ds kdA
i
V EF 2
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环面的欧拉示性数
V EF 0
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双环面的欧拉示性数
V E F 2
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三环面的欧拉示性数
V E F 4
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定向紧致曲面：球面，环面，双环面等等，
在拓扑同构的意义下，所有紧致可定 向曲面，都是球面粘上g个环柄得到的。 都可以进行三角剖分。欧拉示性数为
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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什么是黎曼几何？
什么是黎曼几何？黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。
是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。
黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。
与欧氏几何注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。
数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。
欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。
物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。
而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。
以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。
欧氏几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。
因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。
两点之间的距离也是直的。
但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。
在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。
若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。
黎曼几何学的基本概念和原理
黎曼几何学的基本概念和原理黎曼几何学是19世纪德国数学家黎曼提出并发展起来的一门几何学分支。
它在欧几里得几何学的基础上引入了度量概念，研究了曲面和高维空间的性质。
本文将介绍黎曼几何学的基本概念和原理。
1. 度量空间度量空间是黎曼几何学的基础，它定义了空间中点之间的距离。
在度量空间中，我们可以使用度量函数来衡量点之间的距离，并且满足以下四个条件：非负性、同一性、对称性和三角不等式。
2. 曲面曲面是黎曼几何学的一个重要对象。
在数学上，曲面可以用参数方程或者隐函数方程表示。
在黎曼几何学中，我们研究曲面的度量性质、曲率和切空间等概念。
3. 切空间切空间描述了曲面上点的切平面，它是与曲面相切且与曲面的法线垂直的平面。
切空间是理解曲面上的切向量、法向量以及切平面上的切线的重要工具。
4. 连通性和曲率黎曼几何学研究了曲面的连通性和曲率。
连通性描述了曲面上任意两点之间是否存在一条曲线将它们连接起来。
而曲率则描述了曲面弯曲的程度，可以通过曲率向量和曲率标量进行度量。
5. 流形流形是黎曼几何学的一个核心概念。
它是一个局部上同胚于欧几里得空间的空间。
流形的引入使得黎曼几何学得以推广到更高维度的空间，并且在现代物理学中有着广泛的应用。
6. 黎曼度量黎曼度量是黎曼几何学中的一个重要概念，它赋予流形上的每个切空间一个内积结构。
黎曼度量不仅给出了切向量之间的夹角，还定义了切向量的长度，从而使得我们可以计算路径的长度和角度等量。
7. 流形上的曲线黎曼几何学研究了流形上的曲线。
通过引入度量结构，我们可以定义曲线的长度、曲率和挠率等概念。
黎曼几何学中的测地线是沿着最短路径连接两点的曲线，它有着重要的几何和物理学意义。
8. 黎曼几何学的应用黎曼几何学不仅在纯数学领域有着重要的地位，也广泛应用于物理学和工程学等应用领域。
在相对论中，我们需要使用黎曼几何学来描述时空的弯曲性质；在计算机图形学中，黎曼几何学可以用于建模和渲染曲面。
总结：黎曼几何学的基本概念和原理涵盖了度量空间、曲面、切空间、连通性和曲率等内容。
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
黎曼几何的基本概念与应用
黎曼几何的基本概念与应用黎曼几何是基于非欧几何学的一种几何学分支，它主要是研究曲面上的几何性质和空间曲面的性质。
它的基本概念包括曲率、曲线、切线、法线以及曲面的测量方式等。
本文将详细阐述这些基本概念及其应用。
1. 曲率曲率是黎曼几何中最基本的概念之一。
曲率是一个曲面在某一点处的弯曲程度，可以用某个曲线段的弧长和弯曲量来表示。
曲率与曲线的导数相关联，是曲面的一个基本属性。
曲面的曲率主要分为正曲率和负曲率两种。
在很多应用中，曲率是非常重要的。
比如，在制造汽车过程中，这个概念被用来设计安全带和车轮。
在图像处理领域中，曲率是用来衡量图像边缘的弯曲程度，方便图像分割和计算。
2. 曲线曲线是在平面或者空间上的一条折线或者弧线。
在黎曼几何中，曲线可以被看作为一个二维曲面的切线。
而切线又是曲线上点的切线向量的极限。
曲线的特征和性质通常和曲线的弯曲程度或者是曲率有关。
曲线在很多领域，尤其是计算机图形学和计算机视觉中都有重要应用。
比如，曲线可以被用来表示三维图形中的路径，来进行动画和模型优化，用于计算机辅助设计等。
3. 切线切线是曲面上一点的一条直线，与曲面相切于该点。
在黎曼几何中，法向量和与其相切的切向量是曲面上点的两个重要的属性。
在物理学、机械工程和计算机图形学等领域中，切线被用来描述相邻点之间的变化，来计算切向加速度和切向速度等。
4. 法向量法向量是与曲线或曲面相切的向量的垂直向量，具有法平面和法方向的含义。
在物理学和机械工程等领域中，法向量通常被用来计算物体的表面积和体积，并作为法线来确定物体表面的特征。
在计算机视觉和图形学等领域中，法向量是形成光线与物体相交点的基础。
5. 测地线测地线是曲面上的一条最短路径，可以看作是沿着曲面上曲率最小的路径移动。
在黎曼几何中，测地线常常用于描述地球表面上的飞行或航行路径等。
在计算机视觉或者计算机图形学中，测地线可以被用来设计动作和路径规划等。
总结黎曼几何是一门和欧氏几何不同的几何学分支，它主要研究曲面和空间曲线的性质和特征。
黎曼几何简介
黎曼几何黎曼几何（Riemannian Geometry）是数学中的一个分支，它研究的是曲线和曲面上的几何性质，尤其是在多维空间中的曲线和曲面上的几何。
以下是对黎曼几何的详细介绍：1. 发展历史：黎曼几何得名于19世纪德国数学家伯纳德·黎曼（Bernhard Riemann）。
他的研究为非欧几何学和曲线的几何性质奠定了基础，这些研究后来成为黎曼几何的核心内容。
2. 黎曼度量：黎曼几何的一个核心概念是黎曼度量（Riemannian Metric），它是一个定义在流形（Manifold）上的正定对称双线性形式，用于度量流形上的切向量的长度和角度。
黎曼度量允许我们在非欧几何空间中定义距离、角度和曲线的弧长等几何性质。
3. 流形：黎曼几何主要研究的对象是流形，它是一个具有拓扑性质的空间，每一点都有一个切空间，切空间上定义了一个黎曼度量，使得切向量的长度和角度有了明确的定义。
流形可以是平直的（如欧几里得空间）或弯曲的（如球面或其他非欧几何空间）。
4. 平直和曲率：黎曼几何研究的一个重要问题是对流形的曲率进行描述。
在欧几里得空间中，曲率为零，也就是说，直线是最短路径。
而在非欧几何空间中，曲率可以是正的或负的，这意味着直线可能不是最短路径，而是一条弯曲的路径。
5. 应用领域：黎曼几何广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
在物理学中，广义相对论中描述引力的数学形式就是基于黎曼几何的。
在计算机科学中，机器学习算法中的降维和数据聚类方法也使用了黎曼度量和黎曼几何的概念。
6. 黎曼度量流形：黎曼度量流形是一个流形，每一点都有一个定义良好的黎曼度量，因此可以在其上定义距离和度量几何性质。
这种流形的例子包括欧几里得空间、球面、超球面和许多其他曲面。
7. 研究难点：黎曼几何中一些问题的解决依然是数学领域的难题，如黎曼猜想和黎曼–默塞尔公式。
这些问题涉及到黎曼ζ函数的零点和复杂性质。
总的来说，黎曼几何是几何学中的一个重要分支，它的研究对象是曲线和曲面上的几何性质，可以应用于各种科学领域，包括物理学、工程学和计算机科学，对于理解空间和度量性质具有深远的影响。
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s a
yt
dt
在欧氏平面上，两点之间最短的曲线即测地线，是直
线段。在这里，连接两点最短的曲线是中心在 X 轴上圆弧。半圆弧是最短的曲线，它与欧氏平面中
直线段地位一样。
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可验证这里的几何模型满足罗氏的五个假设
过两点存在一条“直线” “直线”无限延长 （测地）圆存在 所有直角相等 过一点至少有两“直线”于已知“直线”平行
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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对于罗氏几何也有类似的结论
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
其中 S 是三角形的面积。
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定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
shA shB shC
定理3 （余弦定sh理a ）s三hb角形sh三c 个角 A, B,C 与对 应三边 a,b, c 关系为
cha chbchc shbshcchA chb chachc shashcchB chc chbcha shbshachC
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把球面上对径点粘起来，不改变原来曲线的长 度，这个新的几何模型，就是 Riemann 的一 个非欧氏几何,椭圆几何。
球面几何上一些基本结论
球面上三点 A, B, C ，任何两点不是对径点，
连接三点的三条劣弧围成图形称为球面三角形。
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
Poincaré上半平面模型： 取上半平面
R2 x, y R 2 | y 0
按如下的方式
ds 2 dx 2 dy 2 y2
求曲线长度。
若 rt xt, yt, t a,b 是 R2 中曲线，长度
为
b xt 2 yt 2
在 R3 中取单位球面
S 2 1 x, y, zZR3 | x2 y 2 z 2 1
A
B
Y
X
在球面上连接两点 A与 B的曲线中，最短的是过
两点的（大圆中短的一段)劣弧,大圆地位与直 线在平面中的地线一样，是测地线。 满足如下假设 过两点至少可连一“直线”（有问题） “直线”可无限延长 （测地）圆存在（有问题） 直角相等 过“直线”外一点没有“直线”与之平行
其中 S 是三角形的面积。
B
c a
பைடு நூலகம்
A b
C
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定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与对应三边 a,b, c 关系为
sin A sin B sin C sin a sin b sin c
定理3 （余弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
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具有内蕴几何的任何光滑曲面，是二维的黎
曼几何。实际上光滑曲面在其每一点附近与切 平面相差很少，所以在微小的区域里，它的几 何与平面欧氏差异很小，可以用平面线近似代 替曲面线。
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
学家Lobachevsky彻底解决，即第五假设是独 立存在的。
把第五条改为过直线外一点至少有两条直线 与已知直线平行导出非欧氏几何，即罗氏几何， 非欧氏几何直到意大利数学家Beltrami建立了 模型之后才被人们所接受。
二、罗氏几何
罗氏几何满足如下公理
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心任意长为半径可做一个圆 所有直角相等 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行
Bertrand Russell (quoted by Chern)
一、欧氏几何
公元前300年，Euclid总结前人的成果基础上， 写出了巨著《几何原本》（《Elements》,对人 类的发展产生了巨大的影响。美国《时代周刊》 主编在一本书中，列出对人类发展最有影响的一 百位人物中，Euclid 排在二十二位。欧氏的公理 化方法对科学产生了重大影响，一直为后来科学 巨匠们所推崇。比如牛顿在写巨著《数学原理》 时，就遵循欧氏的思想和方法。
四、Riemann 几何
Riemann 在他的报告中，提出了一般的几 何学，欧氏几何、罗氏几何、椭圆几何，都是 它的特例。这个一般几何学的思想是：在空间 中，给出决定任何已知点到任何与之无限接近 的点之间的距离法则，这个法则叫做度量。在 无限小的范围内欧氏几何关系在其中成立，但 并非精确成立。只是区域越小，精确度越大， 当空间的距离变大时，就不能按欧氏方法度量 距离，这个空间就叫做黎曼空间，这个空间的 几何学就叫做黎曼几何学。因此，无限小范围 之内，黎曼几何与欧氏几何几乎是一样的。
欧氏五条基本公理：
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心，任意长为半径可做一个圆 所有直角都相等 过直线外一点，有只有一直线与已知直线 平行
从这五条公理出发，可演绎出欧氏几何系 统，其中第五条就是著名的第五公设。第五条 是不是前四条的推论，这是著名的第五公设问 题。长达二千多年的时间里，这个问题折磨了 一代又一代数学家，直到18世纪中期才被德国 数学家Gauss、匈牙利数学家Bolyai、俄罗斯数
热烈欢迎各位专家光临我系！
祝大家在长期间生活愉快！
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题目：从欧氏几何谈起
Thus Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.