这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
高考数学应试技巧之黎曼几何
高考数学应试技巧之黎曼几何作为高中数学必修的一部分，几何学在高考数学考试中占有相当的分量。
其中，黎曼几何是不可忽视的一个部分，它对于考生掌握数学基础知识以及解题能力有着重要作用。
在这篇文章中，我们将讨论一些高考数学应试技巧，以帮助考生更好地应对黎曼几何这道难点题目。
一、黎曼几何基础黎曼几何是现代数学中的一部分，它研究的是非欧几何、曲线曲面的性质。
在高考中，黎曼几何主要考察题目有：空间坐标系变化、曲率半径、测地线等。
在应对黎曼几何问题时，首先需要掌握的是三维空间直角坐标系的变换。
空间坐标系的变换可以分为平移变换、旋转变换、伸缩变换、镜面反射变换等，其中平移变换和旋转变换是最常见的。
平移变换的形式为(x,y,z)→(x+a,y+b,z+c)，表示将点(x,y,z)移动到(x+a,y+b,z+c)的位置；旋转变换的形式为(x,y,z)→(x′,y′,z′)，表示将点(x,y,z)绕着某个轴旋转一定角度得到的变换。
此外，还需要掌握曲率半径和测地线的相关知识。
曲率半径表示了空间曲线在某一点处的曲率大小，它的数值越小，则曲线的弯曲程度越大；测地线则是在黎曼几何中的一种特殊的曲线，它在空间中具有“直线”的特性，但与欧式几何中的直线不同，它是沿着曲率最小的方向前进的。
掌握这些基本概念之后，可以更好地解决黎曼几何中的各种问题。
二、解题技巧（一）审题重要，掌握考点针对黎曼几何题目，考生首先需要仔细审题，明确题目中的要求和考点。
例如，一道典型的黎曼几何题目：已知三角形ABC，其中∠B=90°，AC=8，BC=6，点D在边AC上，使得CD=2，BD的垂线交边AC于点E，连BE，求BE 的长度。
这道题涉及了三角形和直角三角形的知识，在解题过程中需要运用到曲线曲面的相关知识点。
通过仔细分析题目中的条件和要求，可以发现它主要考察的是曲率半径的概念和平移旋转变换的知识。
明确了考点之后，就可以更有针对性、更加准确地解答题目。
黎曼几何的基础概念
黎曼几何的基础概念黎曼几何是数学中的一个分支，主要研究曲面或高维空间的性质和度量。
它是现代数学中重要的分支之一，对物理学、工程学等有着广泛的应用。
在黎曼几何中，有一些基础概念是必须要掌握的，接下来我们就来详细了解一下。
I. 曲面和流形曲面是黎曼几何中最基本的概念之一。
形象地说，曲面就是一个二维的物体，如球体、椭球体和双曲面等。
在数学上，曲面是指可以通过参数方程或隐式方程表示的点集合。
曲面是一个很抽象的概念，它的研究需要借助于微积分等数学工具。
流形是一个更为广泛的概念，它是指一个能够用局部的欧几里得空间逼近的几何对象。
流形可以是一般的曲面、高维空间、复流形等等。
因此，流形是一个可以向各个方向扩展的概念。
II. 测地线和曲率测地线是指在曲面上连接两点的最短路径，它在物理学中有着广泛的应用。
在平直的欧几里得空间中，两点之间的最短路径是一条直线。
但是在曲面上，两点之间的最短路径并不是一条直线，而是一条测地线。
测地线是黎曼几何中一个非常重要的概念，它与曲率密切相关。
曲率是一个衡量曲面非欧性的指标。
在欧几里得空间中，所有点的曲率都为零，因为一个欧几里得空间可以认为是没有弯曲的。
而在曲面上，曲率则不为零。
曲率可以通过计算曲面上不同点处的法曲率来得到，它反映了曲面的弯曲程度。
III. 度量和黎曼度量度量是一个衡量空间间距的指标。
在欧几里得空间中，度量就是我们熟悉的距离公式。
在曲面上，度量的概念稍有不同。
通常情况下，度量是通过一个对称正定矩阵来定义的，它可以用于计算曲面上点之间的距离。
黎曼度量是一个更加抽象和重要的概念，它定义了在一个流形上的内积、长度和角度等基本概念。
黎曼度量可以用于描述曲面上的测地线和曲率等重要参数。
综上所述，曲面和流形、测地线和曲率以及度量和黎曼度量是黎曼几何中非常重要的基础概念。
熟练掌握这些概念是需要花费大量精力和时间的，但是对于理解高级领域中的数学理论以及物理学和工程学中的应用都是至关重要的。
“四维空间”被德国数学家证明真实存在？它到底是什么样子呢？
“四维空间”被德国数学家证明真实存在？它到底是什么样子呢？人类的大脑是世界上最精密的仪器，虽然人类目前已经发展出核科技，但对于大脑的研究还停留在浅显的认知阶段，人们根本不知道大脑是怎么思考的，大脑又是怎么存储记忆的，或许要想弄懂大脑到底是怎么组成的，人类还要走很长的路。
大脑可以带给人想象力，而想象力就能带来创造力，人类的进步也是基于此。
人类靠着丰富的想象力，不断的思考着各种问题，“四维空间”就是其中之一。
大家都知道四维空间的理论是爱因斯坦的相对论作出的，但爱因斯坦相对论的又是因何而来，恐怕就很少有人知道了。
其实，相对论来自于一个德国数学家的猜想，这个德国数学家就是大名鼎鼎的黎曼。
黎曼和四维空间四维空间的提出，是基于人类对世界的探索。
自从人类诞生以来，人类就在不断的寻找世界的真相，世界到底是什么样子的？这个问题一直困扰着人类。
如今，人类站在无数的巨人肩膀上，已经对世界有了一些浅薄的认识，因此各种猜想就不断被科学家提出。
四维空间的猜想也应运而生。
虽然说四维空间属于空间范畴，应该被归类到物理学领域，但是提出四维空间概念并证实这个概念的人确是一个天才数学家，他就是黎曼。
黎曼的名字我想大家并不陌生，困扰着数学界的世界难题——黎曼猜想，就是他提出的。
不过我们今天讨论的却是他对物理学领域的贡献，即证明了四维空间的存在。
黎曼为了证明四维空间，重新定义了一套几何系统，我们称之为黎曼几何。
在我们的世界中，我们常常会用简单的长宽高三个维度去衡量一个几何物品，但黎曼认为，数学不应该局限于三个维度，因为没有人规定世界只有三个维度。
黎曼认为世界不是一个长宽高的世界，而是一个球体，这些在球体当中被我们定义出来的直线，并不是直线，而是围绕着球体的曲线，这条线不是无限长，最多只能和球体的周长一样长。
黎曼提出的思想，其实就是四维空间的思想，但是在当时，黎曼刚提出这个想法的时候，很多人并不认同，直到后来爱因斯坦在黎曼几何的思想影响下，提出了著名的广义相对论。
广义相对论 黎曼几何
广义相对论黎曼几何
广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的描述引力的理论。
这个理论认为，物体之间的引力作用是由于它们所在的四维时空的曲率引起的。
在这种观念下，引力不再是一种神秘的力量，而是物体沿着弯曲时空的自由下落运动。
黎曼几何在这背景下扮演了重要角色。
黎曼几何是一种研究曲率的数学工具，它研究的是弯曲的空间，而不是欧几里得空间（即平面几何和立体几何）。
在广义相对论中，黎曼几何为我们提供了一种描述时空曲率的方法。
通过黎曼几何，我们可以更好地理解爱因斯坦场方程，这是描述引力如何改变时空曲率的方程。
广义相对论的应用不仅仅局限于理论研究，它对我们日常生活也产生了深远影响。
例如，全球定位系统（GPS）就需要考虑广义相对论的效应。
由于引力使时空弯曲，卫星和地球之间的距离在引力场中会发生变化。
这种效应被称为“引力红移”。
如果不考虑这种效应，GPS的定位精度会受到影响。
此外，广义相对论还为其他领域的研究提供了理论基础。
例如，它与量子力学相结合，促使了量子引力理论的发展。
而黑洞研究、宇宙学等领域也离不开广义相对论的指导。
总之，广义相对论是我国科学家在物理学领域的重要贡献。
它不仅改变了我们对引力的认识，还为现代科学的发展奠定了基础。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学共36页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
这个空语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
数学的微分几何与黎曼几何
数学的微分几何与黎曼几何微分几何和黎曼几何是数学中的两个重要分支，它们在研究空间的性质和结构时发挥着重要的作用。
微分几何是关于切空间和切量的研究，而黎曼几何则是基于黎曼度量的空间的几何学。
本文将详细介绍微分几何和黎曼几何的基本概念和应用。
一、微分几何微分几何是研究曲线、曲面和高维空间的几何性质的一门学科。
它主要利用微积分和线性代数的工具来描述和分析空间中的曲线和曲面的切向量、法向量、曲率等几何性质。
微分几何有着广泛的应用领域，比如在物理学中用于描述空间的弯曲性，而在计算机图形学中用于生成曲线和曲面的模型。
微分几何最重要的概念之一是切向量。
切向量是与曲线、曲面上某一点的切线方向相一致的向量。
通过研究切向量，我们可以得到曲线、曲面的切线、切平面等几何性质。
此外，微分几何还研究了曲线和曲面的曲率，曲率的计算可以帮助我们确定曲线、曲面的形状。
二、黎曼几何黎曼几何是研究黎曼度量空间的几何学。
黎曼度量是在任意切空间上定义的正定对称双线性型，它用于度量空间内的向量之间的夹角和长度。
在黎曼几何中，我们研究的是具有黎曼度量的空间的性质和结构。
黎曼几何中最重要的概念之一是黎曼曲率。
黎曼曲率是指黎曼度量空间上的曲率，并刻画了空间的弯曲程度。
黎曼度量和黎曼曲率的研究对于理解物理学中的引力场和广义相对论有重要的意义。
三、微分几何与黎曼几何的关系微分几何和黎曼几何在很多方面是相互关联的。
微分几何中的很多概念和方法都可以用于处理黎曼几何中的问题。
比如，微分几何中的切向量和曲率可以通过引入黎曼度量来推广到黎曼几何中。
而黎曼几何中的黎曼曲率可以通过微分几何中的微分形式理论来定义和计算。
此外，微分几何和黎曼几何也相互影响和促进了各自的发展。
微分几何的方法和思想对黎曼几何的研究提供了有力的工具，而黎曼几何的发展也为微分几何开辟了新的研究方向。
总结：微分几何和黎曼几何是数学中的两个重要分支，它们在几何学和物理学中具有广泛的应用。
微分几何主要研究空间中曲线和曲面的几何性质，而黎曼几何则基于黎曼度量来研究空间的特性。
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欧氏五条基本公理：
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心，任意长为半径可做一个圆 所有直角都相等 过直线外一点，有只有一直线与已知直线 平行
从这五条公理出发，可演绎出欧氏几何系 统，其中第五条就是著名的第五公设。第五条 是不是前四条的推论，这是著名的第五公设问 题。长达二千多年的时间里，这个问题折磨了 一代又一代数学家，直到18世纪中期才被德国 数学家Gauss、匈牙利数学家Bolyai、俄罗斯数
s a
yt
dt
在欧氏平面上，两点之间最短的曲线即测地线，是直
线段。在这里，连接两点最短的曲线是中心在 X 轴上圆弧。半圆弧是最短的曲线，它与欧氏平面中
直线段地位一样。
2019/12/23
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可验证这里的几何模型满足罗氏的五个假设
过两点存在一条“直线” “直线”无限延长 （测地）圆存在 所有直角相等 过一点至少有两“直线”于已知“直线”平行
学家Lobachevsky彻底解决，即第五假设是独 立存在的。
把第五条改为过直线外一点至少有两条直线 与已知直线平行导出非欧氏几何，即罗氏几何， 非欧氏几何直到意大利数学家Beltrami建立了 模型之后才被人们所接受。
二、罗氏几何
罗氏几何满足如下公理
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心任意长为半径可做一个圆 所有直角相等 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行
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Y B
A
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X
10Leabharlann YX2019/12/23
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
在 R3 中取单位球面
S 2 1 x, y, zZR3 | x2 y 2 z 2 1
A
B
Y
X
在球面上连接两点 A与 B的曲线中，最短的是过
两点的（大圆中短的一段)劣弧,大圆地位与直 线在平面中的地线一样，是测地线。 满足如下假设 过两点至少可连一“直线”（有问题） “直线”可无限延长 （测地）圆存在（有问题） 直角相等 过“直线”外一点没有“直线”与之平行
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把球面上对径点粘起来，不改变原来曲线的长 度，这个新的几何模型，就是 Riemann 的一 个非欧氏几何,椭圆几何。
球面几何上一些基本结论
球面上三点 A, B, C ，任何两点不是对径点，
连接三点的三条劣弧围成图形称为球面三角形。
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
Poincaré上半平面模型： 取上半平面
R2 x, y R 2 | y 0
按如下的方式
ds 2 dx 2 dy 2 y2
求曲线长度。
若 rt xt, yt, t a,b 是 R2 中曲线，长度
为
b xt 2 yt 2
题目：从欧氏几何谈起
Thus Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.
Bertrand Russell (quoted by Chern)
其中 S 是三角形的面积。
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定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
shA shB shC
定理3 （余弦定sh理a ）s三hb角形sh三c 个角 A, B,C 与对 应三边 a,b, c 关系为
cha chbchc shbshcchA chb chachc shashcchB chc chbcha shbshachC
其中 S 是三角形的面积。
B
c a
A b
C
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定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与对应三边 a,b, c 关系为
sin A sin B sin C sin a sin b sin c
定理3 （余弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
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具有内蕴几何的任何光滑曲面，是二维的黎
曼几何。实际上光滑曲面在其每一点附近与切 平面相差很少，所以在微小的区域里，它的几 何与平面欧氏差异很小，可以用平面线近似代 替曲面线。
黎曼几何被Einstein用于相对论之后，受 到了数学家们的广泛重视，黎曼几何在上世纪 初期得到了迅速的发展。Hilbert、Cartan、 Hopf、Chern以及Weil等人对几何学的发展都做 出了贡献。从那时起，微分几何学在数学发展 上起到了核心的推动作用。有一个事实能说明 这一点，Wolf奖项从1978开始颁奖到1990有24 位数学家有10位，因他们在几何学中的突出贡 献而获奖。
一、欧氏几何
公元前300年，Euclid总结前人的成果基础上， 写出了巨著《几何原本》（《Elements》,对人 类的发展产生了巨大的影响。美国《时代周刊》 主编在一本书中，列出对人类发展最有影响的一 百位人物中，Euclid 排在二十二位。欧氏的公理 化方法对科学产生了重大影响，一直为后来科学 巨匠们所推崇。比如牛顿在写巨著《数学原理》 时，就遵循欧氏的思想和方法。
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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对于罗氏几何也有类似的结论
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
四、Riemann 几何
Riemann 在他的报告中，提出了一般的几 何学，欧氏几何、罗氏几何、椭圆几何，都是 它的特例。这个一般几何学的思想是：在空间 中，给出决定任何已知点到任何与之无限接近 的点之间的距离法则，这个法则叫做度量。在 无限小的范围内欧氏几何关系在其中成立，但 并非精确成立。只是区域越小，精确度越大， 当空间的距离变大时，就不能按欧氏方法度量 距离，这个空间就叫做黎曼空间，这个空间的 几何学就叫做黎曼几何学。因此，无限小范围 之内，黎曼几何与欧氏几何几乎是一样的。