椭圆几何性质学案
高中数学专题椭圆的简单的几何性质学案
2.1。
2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。
椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（ ），（ ），（ ）; 长轴，其长为;短轴，其长为； 离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。
(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。
(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。
（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。
二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。
例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。
当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是 （ )A 。
3.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质 导学案正文
3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.能说明椭圆特征量的几何意义.3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.◆ 知识点 椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0) 图形性 质焦点焦距 |F 1F 2|=2c (c=√a 2-b 2)范围对称性 关于 对称 长轴 |A 1A 2|=2a ,其中a 为长半轴长 短轴 |B 1B 2|=2b ,其中b 为短半轴长顶点离心率(0<e<1)2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 (1)离心率椭圆的焦距与长轴长的比ca 叫作椭圆的离心率,用e 表示,即 ,e ∈(0,1). (2)离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示,在Rt △BF 2O 中,cos ∠BF 2O=c a,记e=c a,则0<e<1,e 越大,∠BF 2O 越小,椭圆越 ;e 越小,∠BF 2O 越大,椭圆越 .【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)设F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,M 为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c (c 为椭圆的半焦距).( )(2)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆. ( )(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x 225+y 216=1.( )◆ 探究点一 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆C 1:x 2100+y 264=1,椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C 2的方程,并写出x ,y 的取值范围及椭圆C 2的对称性、顶点、焦点和离心率.变式 (1)若点(3,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,则下列说法正确的是( )A .点(-3,-2)不在椭圆C 上B .点(3,-2)不在椭圆C 上 C .点(-3,2)在椭圆C 上D .无法判断上述点与椭圆C 的位置关系 (2)点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的外部,则a 的取值范围是 ( )A .(-√2,√2)B .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C .(-2,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)[素养小结]由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.◆探究点二由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0)的椭圆的标准方程为.(2)在平面直角坐标系中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为√22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.变式 (1)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为.(2)已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=6,则C 的方程为.[素养小结]利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置;(2)设出相应椭圆的标准方程;(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;(4)写出椭圆的标准方程.◆探究点三求椭圆的离心率例3 (1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√22C.√32D.23(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P为C上一点,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=π6,则C的离心率为( )A.√33B.23C.√63D.2-√3变式 (1)[2024·黄山高二期中] 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为( ) A.-1+√2B.2-√2C.-1+√3D.2-√3(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=2π3,则椭圆C离心率的取值范围是. [素养小结]求椭圆离心率的值(或范围)的步骤:(1)利用条件建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式);(2)借助a2=b2+c2消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式;(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式;(4)解方程或不等式即可求得e的值或取值范围.拓展已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N分别为椭圆C的左、右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得k MH·k NH∈(-12,0),则椭圆C的离心率e的取值范围为( )A.(√22,1)B.(0,√22)C.(√32,1)D.(0,√32)。
《3.1.2椭圆的几何性质》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《椭圆的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本课时学习主题为“椭圆的几何性质”。
该主题属于中职数学课程中解析几何的重要部分，是理解圆锥曲线及其相关性质的基础。
通过对椭圆的标准方程、焦点性质和几何图形等方面的学习，使学生掌握椭圆的基本概念和几何性质。
二、学习目标1. 知识与理解：掌握椭圆的标准方程，理解椭圆焦点性质及其在几何图形中的应用。
2. 技能与操作：学会利用椭圆的标准方程和焦点性质，分析并解决与椭圆相关的问题。
3. 情感与态度：培养学生对几何图形的兴趣和好奇心，提高学生的数学逻辑思维能力和问题解决能力。
三、评价任务1. 课堂小测验：随机抽查学生回答关于椭圆标准方程和焦点性质的问题，评价学生对基本知识的掌握情况。
2. 课堂互动：通过小组讨论和课堂发言，评价学生的合作能力和表达能力。
3. 作业批改：通过布置相关的练习题和作业，评价学生对知识的运用能力和问题解决能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的圆的相关知识，引出椭圆的概念和标准方程，为后续学习打下基础。
2. 知识讲解：详细讲解椭圆的标准方程和焦点性质，通过图示和实例加深学生对概念的理解。
3. 互动讨论：组织学生进行小组讨论，讨论椭圆的几何性质在实际生活中的应用，提高学生的应用意识和合作能力。
4. 练习巩固：布置相关的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用能力。
5. 课堂总结：总结本课时学习的重点和难点，强调椭圆的几何性质在解题中的应用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验和练习题，检测学生对椭圆标准方程和焦点性质的理解和运用能力。
2. 作业布置：布置相关的练习题和作业，包括选择题、填空题和解答题等，帮助学生巩固所学知识。
3. 作业评价：通过批改作业，了解学生对知识的掌握情况，及时发现学生的问题并进行指导。
六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在学习过程中的不足和收获，总结学习方法和经验。
2. 教师反思：教师应对本课时的教学过程进行反思，总结教学经验和教训，提高教学质量。
2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质学案(解析版)(1)
高二数学学案【题目】2.2.2椭圆的几何性质学案2.2.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a ，b ，c 的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca称为椭圆的离心率．2．因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．【编辑】 李静升 【审核】 孟德厚【使用时间】 2019/8/221．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √)题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，∵0＜m 2＜4m 2， ∴1m 2＞14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.题型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b .跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆的标准方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求椭圆的标准方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. (1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C. 题型三 求椭圆的离心率例4 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练4 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3， 所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案(0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。
2.3 椭圆的简单几何性质-王后雄学案
2.3 椭圆的简单几何性质教材知识检索考点知识清单1．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的点中，横坐标x 的取值范围是 ①，纵坐标y 的取值范围是②2．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 关于 ③ 、 ④ 、 ⑤ 都对称，椭圆的对称 中心叫做⑥3．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点坐标为⑦ ，⑧ ， ⑨ ， ⑩4．椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的5．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，、、)0,()0,(21a A a A -),,0(),0(21b B b B -线段2121B B A A 、分别叫做椭圆的在22F OB Rt ∆中，,||||||2222222OB F B OF -=这就是的几何意义，22F OB ∆，叫做椭圆的特殊三角形，并且22cos B OF ∠是椭圆的6．椭圆的焦点到其上任意点距离的最大值为最小值为 ；过焦点垂直于长轴的弦称之为椭圆的通径，其长为7．e 的范围是==ac e ,．且e 的值越接近于1，椭圆越要点核心解读一、椭圆的几何性质我们根据椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 来研究椭圆的几何性质．1．椭圆的范围．由标准方程可知，椭圆上点的坐标（x ，y)都适合不等式,1,12222≤≤by a x 即,||,,2222a x b y a x ≤∴≤≤b y ≤.这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形区域内（如图2 -3 -1所示）．[点拨] 确定了曲线的范围以后，用描点法画曲线的图形时就可以不取曲线范围以外的点了．2．椭圆的对称性．(1)判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据．①若把方程中的x 换成-x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ②若把方程中的y 换成-y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③若把方程中的x 、y 同时换成-x 、-y ，方程不变，则曲线关于原点对称． (2)椭圆关于x 轴、y 轴对称也关于原点对称，对于椭圆标准方程，把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y 方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的xt 称中心叫做椭圆的中心．[点拨] 如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．3．椭圆的顶点．(1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与坐标轴的交点．令,0=x 得,b y ±=令,0=y 得.a x ±=这说明)0,()0,(21a A a A -是椭圆与x 轴的两个交点，),0(),0(21b B b B 、-是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．(2)椭圆的长轴、短轴．线段21A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长， 线段21B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．[点拨] 明确a 、b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由,222b ac -=可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点)(21B B 或为圆心，以a 为半径，作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．4．椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比，称为椭圆的离心率，记作=e .10,022<<∴>>⋅=e c a aca c e 越接近于1，则c 就越接近于a ，从而22c ab -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c越接近于0，从而6越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，此时方程即为.222a y x =+可结合图2-3-2加强对上述说法的理解．[点拨] 上述e的数量的变化，反映了椭圆的扁平程度，离心率的大小影响了椭圆的形状．如果两焦点与原点重合，即a=b，则c=0，图形发生质的变化就不再是椭圆，成为圆，此时，圆方程为.222ayx=+ [注意] 关于椭圆的性质，还要注意如下几点：(1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两夺端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点；（2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点：(3)设椭圆的中心为O，其中一个焦点为2,BF是短轴的一个端点，则2222cos,||BOFeaFB∠==（如图2 -3 -3所示，==eaFB,||22⋅∠)cos22BOF二、椭圆的第二定义[问题] 直角坐标平面上，到点F（-c，0）与到直线cax2-=的距离之比为)0(>>caac的动点P 轨迹是怎样的曲线？[探究] 设P（x， y），则有,||)222accaxcx=+++γ（化简得⋅-=+-)()(22222222caayaxca令,0222>-=cab则有.12222=+byax∴点P的轨迹是一个椭圆，由于上述化简过程具有等价性，因此反过来，对于椭圆12222=+byax上任意一点P，则有P到)0,(cF-与到直线cax2-=的距离之比为定值ac由此可得到椭圆的第二定义．[结论] 平面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离之比为常数e(O<e<1)的点的轨迹为椭圆，定点F为椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．[注意] (1)由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：①椭圆)0(12222>>=+babyax的准线方程为cax2±=椭圆)0(12222>>=+b a ay b x 的准线方程为c a y 2±=②两准线间的距离为,22c a 焦点到相应的准线的距离为c b 2(2)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则，其轨迹不存在．(3)由椭圆的第二定义可得到椭圆的离心率的几何意义为“椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比”．三、椭圆的焦半径公式对于椭圆2122)[01F F b a by a x 、（>>=+分别为椭圆的左、右焦点，),(11y x P 为椭圆上任一点]，则有焦半径公式：⋅-=+=1211||,||ex a PF ex a PF对于椭圆212222)[0(1F F b a ay b x 、>>=+分别为椭圆的上、下焦点，),(11y x P 为椭圆上任一点]，则有焦半径公式：⋅+=-=1211||,||ey a PF ey a PF[注意] (1)由椭圆的第二定义便可推导出椭圆的焦半径公式，如：对于,||11ex a PF +=由定义可知==+||,||1211PF e ca x PF ⋅+1ex a 对于此公式重在掌握它的证明思路，不必死记硬背． (2)焦半径公式的好处在于“化形为数”，即要求焦半径长，只需转化为求P 点的坐标． 四、椭圆两个标准方程几何性质的比较典例分类剖析考点1 椭圆的简单几何性质[例1] 已知椭圆)0()3(22>=++m m y m x 的离心率=e ,23求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[答案] 椭圆方程可化为),0(1322>=++m m m y m x 因为,03)2(3>++=+-m m m m m m 所以3+>m mm 则焦点在x 轴上， 即⋅++=-=+==3)2(,3,2222m m m b a c m m b m a 由23=e 得，,2332=++m m 所以.1=m 所以椭圆的标准方程为.14122=+y x 所以===c b a ,21,1,23所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为);0,23(),0,23(21F F -四个顶点坐标分别为),0,1(1⋅-A ⋅-)21,0(),21,0(),0,1(212B B A [点拨] (1)解决本题的关键是确定m 的值，应先将椭圆方程化为标准形式，用m 表示a 、b 、c ，再由2(2)解决有关椭圆的问题一般需先弄清椭圆的焦点位置．母题迁移 1．求椭圆13610022=+y x 的长轴和短轴的长、离心率和顶点坐标． [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解析] 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” ．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程为12222=+b y a x 或.12222=+bx a y[答案] (1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或+22a y .122=bx由已知a =2b ． ① 且椭圆过点（2，-6），从而有1)6(22222=-+b a 或.12)6(2222=+-ba ② 由①、②得37,14822==b a 或.13,5222==b a故所求的方程为13714822=+y x 或.1135222=+x y (2)如图2-3 -4所示，21FA A ∆为一等腰直角三角形，OF 为斜边21A A 的中线（高），且.2,21b A A c OF ==,18,3222=+=∴==∴c b a b c故所求椭圆的方程为.191822=+y x[ 规律] 依据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程仍然可用待定系数法求解，不同之处在于：应由所给的几何性质充分挖掘a 、b 、c 所满足的关系式，进而求出a 、b ．还要注意的是：在求解时，应先确定标准方程的类型．母题迁移 2．（2011年江西高考题）若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是[例3] 如图2-3 -5所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP//AB ，求椭圆的离心率．[答案] 解法一：设椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 则abk AB -=∴,//AB OP 直线OP 的方程为.x aby -= 又PF ⊥x 轴∴P 点的坐标为⋅-),(abc c 而点P 在椭圆上，⋅=∴=∴=+∴22,12,12222222e e ba cb a c解法二：设椭圆方程为⋅->>=-+),(),0(122222a b c P b a by a x 则又.~,//ABO Rt OPF Rt AB OP ∆∆∴,||||||||AO OF BO PF =∴即,2acb a b =即,ac a b =⋅==∴=∴=∴22,2,ac e c a c b [点拨] 求椭圆的离心率关键是找到a 、b 、c 之间所满足的关系式，这就需要利用图形的直观性，充分挖掘它的隐含条件，寻求a 、b 、c 之间所满足的等式．母题迁移 3．（1)（2011年全国高考题）椭圆=+81622y x 1的离心率为( )31.A 21.B 33.C 22.D(2)（2010年全国高考题）已知，是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且=BF ,2FD 则C 的离心率为考点2椭圆的第二定义命题规律1．利用第 二定义求椭圆方程（含非标准形式）．2.将到定点（焦点）的距离转化为到定直线(准线）的距离．3.判断曲线的形状（类型）．4．椭圆的两个定义的综合运用． 5．给出椭圆准线求椭圆标准方程． 6．利用椭圆的焦半径公式 解题。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
椭圆的简单几何性质(第二课时)学案24-25学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
学案高中课程标准·数学选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、课前回顾1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.设1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，M 为椭圆C 上一点，112MF =，216MF =，213sin 5MF F ∠=，则椭圆C 的离心率e =_________.二、学习目标1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 三、自学指导阅读课本113-114页，解决以下问题与例题 问题1：点与椭圆的位置关系点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系: （1）点P 在椭圆上⇔（2）点P 在椭圆内部⇔（3）点P 在椭圆外部⇔做一做：若点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是 .问题2：直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系判断方法:联立{y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y 得一个关于x 的一元二次方程. 位置关系 公共点个数 组成的方 程组的解 判定方法(利用判别式Δ) 相交 相切 相离做一做:直线y=x+1与椭圆x2+y 22=1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定例1：动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹．变式1：点(),M x y 与定点()2,0F 的距离和它到定直线 8x =的距离的比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．例2：如图3.1-13，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？图3.1-13变式2：已知直线m x y +=与椭圆191622=+y x 当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m 的取值范围.例3： 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1）当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围; （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.变式3： (1)已知椭圆205422=+y x 的左焦点为F ,过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于B A ,两点,求弦长AB .(2)椭圆有两个顶点)0,1(),0,1(B A -，过其焦点)1,0(F 的直线l 与椭圆交于D C ,两点,若223=CD ，求直线l 的方程.例4：过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(P 作一条直线交椭圆于B A ,两点，使线段AB 被点P 平分，求此直线的方程.变式4：（1）已知点)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,则直线l 的方程为（2）已知点)2,4(P 是直线082:=-+y x l 被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为 .四、当堂检测1.求下列直线与椭圆的交点坐标：（1）310250x y +-=，221254x y +=；（2）320x y -+=，221164x y +=．2.经过椭圆2212x y +=的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长.五、课后作业1.若直线x+2y=m 与椭圆x 24+y 2=1只有一个交点,则m 的值为( ) A.2√2B.±√2C.±2√2D.±22.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得的弦的中点坐标是( )A.(23,53)B.(43,73) C.(-23,13)D.(-132,172)3.若直线y=x+2与椭圆x2m +y23=1有两个公共点,则m的取值范围是.4.椭圆x23+y2=1被直线x-y+1=0所截得的弦长|AB|=.5.已知焦点坐标分别为(0,5√2)和(0,-5√2)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为12,求此椭圆的方程.6.已知椭圆221259x y+=，直线:45400l x y-+=．椭圆上是否存在一点，使得：（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？7.已知椭圆22149x y+=，一组平行直线的斜率是32．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．。
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椭圆的简单几何性质学习案
一、课程阅读学习目标
1．通过阅读椭圆标准方程和图形，使学生掌握椭圆的几何性质.
2．认真研读椭圆的几何性质，理解实质。
3．掌握椭圆的几何性质的简单运用
二、阅读学习建议
1．认真阅读椭圆的几何性质
2．认真研读重点性质
3．阅读难点是离心率
第一课时
1 阅读椭圆标准方程和图形，
猜想：椭圆有哪些几何性质
2研读教材
(1)对称性
问题1：请同学们观察刚才这个图形在x轴的上方、下方，y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？
问题2;一般的椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程来进行研究吗？
对称性:在上任取一点P（x,y）则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点P关于x轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。
总结：
（2）顶点
（大屏幕展示所表示的图形）
问题3：请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？一般的椭圆与坐标轴有几个交点呢？
问题4：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？
总结;顶点的定义,结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中a、b的几何意义。
（3）范围
问题5：（据图）如果过、、分别作y轴的平行线，过、分别做x 轴的平行线，则这四条直线将构成___________,
椭圆在矩形__________这说明了椭圆有____________,x、y的范围_____________________ ______;
（4）离心率
通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。
有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性）
练习：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程和所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？
实物展台展示画图，指出一个扁一些，一个圆一些。
问题6：教师课件动画展示，发现a 不变，b 大则___小，椭圆较___，b 小则___大，椭圆较____，特别当a=b 时，c=0椭圆为____。
固定a 、b 、c 中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即e 大则____，e 小则____，特别e=0时为圆）
因此离心率是一个刻画椭圆_____程度的量。
3，研读实例,理解性质
阅读教材的例题，理解及运用
4，综合性阅读,掌握几何性质的应用
（1）．椭圆4x 2＋y 2＝64的焦点坐标为______________，离心率为______________．
（2）(2009·吉林长春一模)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为
( )
A ．3
B ．3或253 C.15 D.15或5153
（3）.反思应用:已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G
上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．
5.拓展提升: 已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F (－m,0)(m 是大于0的常
数)．
(1)求椭圆的标准方程(结果用含m 的式子表示)；
(2)设Q 是椭圆上一点，过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若MQ
→＝2QF →，求直线l 的斜率．
6．作业：教材2,1,3,22424P P。